第2课时组合的综合应用
A级基础巩固
一、选择题
1.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案有( ) A.72种B.84种C.120种D.168种
解析:需关掉3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中,所以关灯方案共有C310=120(种).故选C.
答案:C
2.6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛,其中甲不能站第二道也不能站第一道,乙必须站在第五道或第六道,则不同的排法种数共有( )
A.144 B.96 C.72 D.48
解析:先为乙选一道C12,再为甲选一道C13,余下4个人有A44,则共有C12C13A44=144.
答案:A
3.从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种,在3块不同的土地上试种,每块土地上试种一种,其中1号种子必须试种,则不同的试种方法有( ) A.24种 B.18种 C.12种 D.96种
解析:从3块不同的土地中选1块种1号种子,有C13种方法,从其余的3种种子中选2种种在另外的2块土地上,有A23种方法,所以所求方法有C13A23=18(种).
答案:B
4.将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的2个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )
A.10种 B.20种 C.36种 D.52种
解析:根据2号盒子里放球的个数分类:第一类,2号盒子里放2个球,有C24种放法,第二类,2号盒子里放3个球,有C34种放法,剩下的小球放入1号盒中,共有不同放球方法C24+C34=10(种).
答案:A
5.一副扑克牌去掉两张王后还有52张,将牌发给4个人,每人13张,则某人获得的13张牌中花色齐全的情况数为( )
A.(C113)4C848
B.C1352-4C1339-6C1326-4
C.C1352-C14C1339+C24C1326-C34C1313
D.C1352-C14C1339+C24C1326
解析:从52张牌中任意取出13张牌的全部取法为C1352,缺少某一中花色的取法为C1339,缺少两种花色的取法为C1326,缺少三种花色的取法为C1313,则四种花色齐全的取法为C1352-C14C1339+C24C1326-C34C1313.
答案:C
二、填空题
6.有5名男生和3名女生,从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表,若某女生必须担任语文课代表,则不同的选法共有________种(用数字作答).解析:由题意知,从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表,共有A47=840种.
答案:840
7.50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共有________种.
解析:分两类,有4件次品的抽法有C44C146种,有3件次品的抽法有C34C246种,所以不同的抽法共有C44C146+C34C246=4 186(种).
答案:4 186
8.以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个.
解析:先从8个顶点中任取4个的取法为C48种,其中,共面的4点有12个,则四面体的个数为C48-12=58(个).
答案:58
三、解答题
9.为了提高学生参加体育锻炼的热情,光明中学组织篮球比赛,共24个班参加,第一轮比赛是先分四组进行单循环赛,然后各组取前两名再进行第二轮单循环赛(在第一轮中相遇过的两个队不再进行比赛),问要进行多少场比赛?
解:第一轮每组6个队进行单循环赛,共有C26场比赛,4个组共计4C26场.
第二轮每组取前两名,共计8个组,应比赛C28场,由于第一轮中在同一组的两队不再比赛,故应减少4场,因此第二轮的比赛应进行C28=4(场).
综上,两轮比赛共进行4C26+C28-4=84(场).
10.有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数.
(1)有女生但人数必须少于男生;
(2)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;
(3)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.
解:(1)先选后排,先取可以是2女3男,也可以是1女4男,先取有C35C23+C45C13种,后
排有A55种,
共(C35C23+C45C13)·A55=5 400(种).
(2)先选后排,但先安排该男生,有C47·C14·A44=3 360(种).
(3)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C36种,再安排该男生有C13种,其中3人全排有A33种,共C36·C13·A33=360(种).
B级能力提升
1.从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛,不同的组合方法种数为( )
A.C25C26B.C25A26
C.C25A22C26A22D.A25A26
解析:分两步进行.第一步,选出两名男选手,有C25种方法;第二步,从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对,有A26种.故有C25A26种组合方法.
答案:B
2.某科技小组有六名学生,现从中选出三人去参观展览,至少有一名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为________.
解析:设男生人数为x,则女生有(6-x)人.依题意C36-C3x=16,
则6×5×4=x(x-1)(x-2)+16×6,所以x(x-1)(x-2)=2×3×4,解得x=4.即女生有2人.
答案:2
3.有五张卡片,它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?
解:法一依0与1两个特殊值分析,可分三类:
(1)取0不取1,可先从另四张卡片中选一张作百位,有C14种方法;0可在后两位;有C12种方法;最后需从剩下的三张中任取一张,有C13种方法;又除含0的那张外,其他两张都有正面或反面两种可能,故此时可得不同的三位数有C14C12C13·22个.
(2)取1不取0,同上分析可得不同的三位数C24·22·A33个.
(3)0和1都不取,有不同三位数C34·23·A33个.
综上所述,不同的三位数共有
C14C12C13·22+C24·22·A23+C34·23·A33=432(个).
法二任取三张卡片可以组成不同三位数C35·23·A33个,
其中0在百位的有C24·22·A22个,这是不合题意的,
故可组成的不同三位数共有C35·23·A33-C24·22·A22=432(个).