第2课时组合的综合应用
A级基础巩固
一、选择题
1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( ) A．72种B．84种C．120种D．168种
解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有C310＝120(种)．故选C.
答案：C
2．6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第二道也不能站第一道，乙必须站在第五道或第六道，则不同的排法种数共有( )
A．144 B．96 C．72 D．48
解析：先为乙选一道C12，再为甲选一道C13，余下4个人有A44，则共有C12C13A44＝144.
答案：A
3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有( ) A．24种 B．18种 C．12种 D．96种
解析：从3块不同的土地中选1块种1号种子，有C13种方法，从其余的3种种子中选2种种在另外的2块土地上，有A23种方法，所以所求方法有C13A23＝18(种)．
答案：B
4．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的2个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种
解析：根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有C24种放法，第二类，2号盒子里放3个球，有C34种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法C24＋C34＝10(种)．
答案：A
5．一副扑克牌去掉两张王后还有52张，将牌发给4个人，每人13张，则某人获得的13张牌中花色齐全的情况数为( )
A．(C113)4C848
B．C1352－4C1339－6C1326－4
C．C1352－C14C1339＋C24C1326－C34C1313
D．C1352－C14C1339＋C24C1326
解析：从52张牌中任意取出13张牌的全部取法为C1352，缺少某一中花色的取法为C1339，缺少两种花色的取法为C1326，缺少三种花色的取法为C1313，则四种花色齐全的取法为C1352－C14C1339＋C24C1326－C34C1313.
答案：C
二、填空题
6．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析：由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表，共有A47＝840种．
答案：840
7．50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种．
解析：分两类，有4件次品的抽法有C44C146种，有3件次品的抽法有C34C246种，所以不同的抽法共有C44C146＋C34C246＝4 186(种)．
答案：4 186
8．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．
解析：先从8个顶点中任取4个的取法为C48种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C48－12＝58(个)．
答案：58
三、解答题
9．为了提高学生参加体育锻炼的热情，光明中学组织篮球比赛，共24个班参加，第一轮比赛是先分四组进行单循环赛，然后各组取前两名再进行第二轮单循环赛(在第一轮中相遇过的两个队不再进行比赛)，问要进行多少场比赛？
解：第一轮每组6个队进行单循环赛，共有C26场比赛，4个组共计4C26场．
第二轮每组取前两名，共计8个组，应比赛C28场，由于第一轮中在同一组的两队不再比赛，故应减少4场，因此第二轮的比赛应进行C28＝4(场)．
综上，两轮比赛共进行4C26＋C28－4＝84(场)．
10．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数．
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
解：(1)先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有C35C23＋C45C13种，后
排有A55种，
共(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400(种)．
(2)先选后排，但先安排该男生，有C47·C14·A44＝3 360(种)．
(3)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，其中3人全排有A33种，共C36·C13·A33＝360(种)．
B级能力提升
1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )
A．C25C26B．C25A26
C．C25A22C26A22D．A25A26
解析：分两步进行．第一步，选出两名男选手，有C25种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A26种．故有C25A26种组合方法．
答案：B
2．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________．
解析：设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意C36－C3x＝16，
则6×5×4＝x(x－1)(x－2)＋16×6，所以x(x－1)(x－2)＝2×3×4，解得x＝4.即女生有2人．
答案：2
3．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解：法一依0与1两个特殊值分析，可分三类：
(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位；有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C14C12C13·22个．
(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C24·22·A33个．
(3)0和1都不取，有不同三位数C34·23·A33个．
综上所述，不同的三位数共有
C14C12C13·22＋C24·22·A23＋C34·23·A33＝432(个)．
法二任取三张卡片可以组成不同三位数C35·23·A33个，
其中0在百位的有C24·22·A22个，这是不合题意的，
故可组成的不同三位数共有C35·23·A33－C24·22·A22＝432(个)．