一次函数的定义
一、引入
共同特征：函数的关系式都是用含自变量的一次整式 二、归纳
1、一次函数的定义：函数的关系式都是用含自变量的一次整式表示的函数。
式子表示：y ＝kx ＋b (k,b 为常数，k ≠0)
条件：○
1含自变量 ○
2自变量的次数为1 ○
3整式 特别地，当b=0,一次函数y=kx(k ≠0)叫正比例函数 注：（1）对于y ＝kx ＋b
当k ≠0,b 为任意数时是一次函数 当k ≠0,且b=0时是正比例函数 (2)正比例函数是特殊的一次函数 一次函数不一定是正比例函数
(3)若y 是x 的一次函数关系，则函数关系一定可表示为y ＝kx ＋b (k ≠0)形式,反过来，能化为y ＝kx ＋b (k ≠0)形式的函数一定是一次函数
若y 是x 的正比例函数关系，则函数关系一定可表示为y ＝kx (k ≠0)形式,反过来，能化为y ＝kx (k ≠0)形式的函数一定是正比例函数 三、典例
1、函数：○
1y=2x ○2y=4x=3 ○3y=1
2
○
4y=3x +1 ○5y=3x+1 ○6y=ax ○7xy=3 ○
82x+3y-1=0 ○9y=12x 2+1 ○10y=x
2 ○
11 y=x(x-4)-x 2 ○12 y=-5x 2
_ 一次函数是__________ ___ 正比例函数是___________
2、 关于x 的函数y=(5m-3)x 2-m
+(m+n) (1) 当m 、n 为何值时，它是一次函数 (2) 当m 、n 为何值时，它是正比例函数。
3、 关于x 的函数3)3(3
+--=-n x
m y m
(1) 当m 、n 为何值时，它是一次函数
(2) 当m 、n 为何值时，它是正比例函数。 4、 已知y 与x-3成正比例，当x=4时，y=3
(1) 写出y 与x 的函数关系式 (2) Y 与x 之间是什么函数关系。 (3) 当x=2.5时，求y 的值。 小结：
1. y 与x 成正比例，则函数关系可设为y=kx(k ≠0)
2. 成正比例不一定是正比例函数，但正比例函数一
定成正比例。
5、当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 3
2-m +（m-4）是
一次函数？
6、已知函数34)3(1
2-++=+x x m y m (x ≠0)是一次
函数
7、若函数3
2
)2(-+=a x a y 是正比例函数，求a 的值。
一次函数图象
一、 复习
1、 一次函数，正比例函数定义
2、 描点画函数图象的步骤
○1列表 ○2描点 ○3连线 一、引入
1、在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象 (1)y=2x (2)y=-3x (3) y=2x+1 (4) y=-3x+6 二、归纳总结
1、一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线，通常称它为直线y ＝kx ＋b (k ≠0) 特别地，正比例函数y=kx 的图象是一条经过原点(0,0)的直线。
3、 一次函数图象的作法------两点法 根据“两点确定一条直线”，因而画一次函数图象只需描两个点即可
一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)取直线与坐标轴的两点 与x 轴的交点(-b
k ,o) 与y 轴的交点(0,b)
正比例函数y=kx(k ≠0)通常取(0,0),(1,k). 三、典例
1、画出直线y=-2x+3,借出图象找出 （1）直线上横坐标是2的点 （2）直线上纵坐标是-3的点
（3）直线上到y 轴的距离等于1的点
（4）若点(a,a-1)在函数图象上，求点p 的坐标。 （5）求出直线与x 轴的交点A 的坐标，直线与y 轴的交点B 的坐标。
（6）求 AOB 的面积（O 为坐标原点）
一次函数图象（2）-----k,b 对图象的影响
一、 引入：
在同一平面直角坐标系中画出下列函数图象. （1） y=2x 与 y=-3x （2） y=2x+3 与 y=2x-3
二、归纳总结
1、k 、b 符号共同决定图象的位置
K 的符号决定图象经过一、三象限还是二、四象。 直线y=kx+b 经过一、三象限（向右倾斜） 直线y=kx+b (1) k>0 b>0 直线经过_________象限 (2 )k>0 b<0 直线经过_________象限 (3) k<0 b>0 直线经过_________象限 (4 )k<0 b<0 直线经过_________象限
2.由直线y=kx+b 与y 轴的交点为（0，b ）,可知 B 的符号决定直线与y 轴的交点位置。
b>0 直线y=kx+b 与y 轴的正半轴相交 b<0 直线y=kx+b 与y 轴的负半轴相交 b=0 直线经过原点，是正比例函数。 三、典例
1.判断下列函数图经过哪几个象限 （1）y=3x (2) y=-x
2 (3) y=3x+2 (4) y=x
3 -
4 (5) y=-x 2 +3, (6) y=-x
2 -4
2.函数y=3x+6的图象与x 轴的交点坐标为_________ 与y 轴的交点坐标为_________,不经过_____象限。
3.两个一次函数y=ax+b 和y=bx+a 在同一直角坐标系( )
4.一次函数y=ax+1/a 的图象可能是( )
变：y=kx-k y=kx+k 2 5、图中，不可能是关于x 的一次函数y=mx-(m-3)的图象是（ ）
A B C D
5.已知一次函y=(6+3m)x-4+n
(1)当m,n 为何值时，函数图象过原点。
(2) 当m,n 为何值时,图象与y 轴的交点在x 轴的下方。 (3)当m,n 满足什么条件时，函数图不经过四象限。
6.直线y=(3-a)x+(b-2)在平面直角坐标系中的图象如图所示，化简
两直线的位置关系
一、引入：
在同一平面直角坐标系中画出下列函数图象. （1）y=2x (2) y=3x (3) y=-3x
(4) y=2x+4 (5) y=2x-4
二、归纳总结
1、k的符号决定直线倾斜方向（以y轴为基准）k>0 向右倾斜k<0 向左倾斜
2、决定直线的倾斜程度
越大，直线越陡（直线与x轴相交所成的锐角）
越小，直线越平，
K相同，直线平行或重合
K不同，直线相交
1. 直线l1:y=k1x+b1直线l2:y=k2x+b2
○1k1=k2 且b1≠
l1//l2
K相同，b不相同
○2k1=k2 且l1、l2重合
K 相同，b也相同。
○3k1≠直线l1、l2相交
K不相同
特别地k1≠k2 且b1=b2 , 直线l1、l2相交于y轴上一点。
3、典例
1、不画函数图象，判断下列直线的位置关系
（1）y=2x-3与y=2x+3 (2) y=2x与y=2x-3 (3) y=2x 与y=3x+3 (4) y=2x+3与y=3x+3 2、已知直线y=(2m+3)x+(4-n)与直线y=(n-2)x+4平行且直线y=(2m+3)x+(4-n)和直线y=3x+(4+3m) 交y轴于同一点，求m,n的值。
3、已知一次函数y=(3-k)x-2k2+18
(1) 当k为何值时，其图象经过原点。
(2) 当k为何值时，其图象平行于直线y=-x
图象的平移
一、引入：
在同一平面直角坐标系中画出下列函数图象. （1）y=2x (2) y=3x (3) y=-3x (4) y=2x+4 (5) y=2x-4 二、归纳总结
在平面直角坐标系中，两条相互平行的直线可通过平移到。 ○
1
特殊点：与y 轴的交点 （0，0） （0，b ） 口诀：上加下减
○2 左右平移 （0，0） -，b ）
口诀：左加右减3、典例
1、(1)直线y=3x+1向右平移2个单位得到直线_______
再向下平移3个单位得到直线_________
(2)直线y=-2x+6向_________平移______个单位，再向
____平移______个单位得到直线y=-2x-4
练习
1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直
线 。
2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线
3. 直线y=2
1
x 向右平移2个单位得到直线
4. 直线y=22
3
+-x 向左平移2个单位得到直线
5. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线
6. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线
7. 直线x y 3
1
=
向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。 8. 直线14
3
+-
=x y 向下平移2个单位，
再向左平移1个单位得到直线________。
9. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x 的直线是____ _____。
10. 过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是___________.
11．把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的函数是____________；
12．直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向
下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；
一次函数图象的性质 一、引入 画出函数y=-2x-4 y=1
2x+2的图象
向下平移 y=kx+b(k ≠0) 0) 向左平移 k b
向右平移k
b
b>0 向上平移 b<0 向下平移 向左平移 k b
b
二、总结归纳
一次函数y=kx+b(k ≠0)的性质 K 的符号决定函数的增减性 点p(x 1,y 1) Q(X 2,y 2)在直线上
○
1当k>0时，函数图象从左到右呈上升趋势（形） 增函数 Y 随x 的增大而增大
若x 1 自变量与其对应的函数值之间的大小关系一致 ○ 2当k<0时，函数图象从左到右呈下降趋势（形） 减函数 Y 随x 的增大而减少 若x 1 自变量与其对应的函数值之间的大小关系一致 注：一次函数的性质与k 、b 有关 （1） k 的符号决定 ○ 1经过一、三还是二、四象限 ○ 2倾斜方向 ○3增减性（单调性） （2） k 决定倾斜程度 （3） b 决定直线与y 轴的交点的位置 （4） k 、b 的符号共同决定图象的大致位置。 类型1：由自变量的大小关系比较函数值的大小关系；由函数值的大小关系比较自变量的大小关系。 例1： (1) 点p(x 1,y 1),Q(X 2,Y 2)是一次函数y=-4x+3图象上的两 个点，且x1>x2,则y1____y2. (2) 一次函数y=kx+b (k>0,b<0)过p(x 1,y 1),Q(X 2,Y 2)，当 x 1<0 (3) 已知一次函数y=-x+3，当0≤x ≤3,函数y 的最大 值为_________. (4) P （3，m ）,Q(-1/2.n)都在直线y=-1 2x-5上,则m____n (5) A(X 1,Y 1),B(X 2,Y 2)是一次函数y=kx+2(k>0)图象上不 同的两点，若t=(x 1-x 2)(y 1-y 2),则t_______0 类型2：根据图象的性质求字母的值（范围） 例2:已知一次函数y=(m-3)x+(5-m),求： （1） 当m 为何值时，y 随x 的增大而减小； （2） 当m 为何值时，函数图象与y 轴的交点在x 轴上方。 （3） 当m 为何值时，与轴的负半轴相交。 （4） 当m 为何值时，函数图象经过原点。 （5） 若函数图象经过第一、二、三象限，求m 的 取值范围。 （6） 当m 为何值时，直线与y=-3x-5平行。 （7） 若点(2,3),(3,2)在此函数图象上，求函数的解 析式。 例3：画出函数y=12x+3 2的图象，结合图象回答下列问题： （1） 这个函数中，随着自变量x 的增大，函数值 y 是增大还是减少？它的图象从左到右怎样变化？ （2） 当x 取何值时，y>0,y=0,y<0? （3） 当0≤x ≤3 2时，求x 的取值范围。 例4：电视台为某公司播放甲乙两部连续剧，经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次，公司要求电视台每周共播放19集 (1) 设一周内甲连续剧播x 集，甲乙两部连续剧收 视观众人次总和为y 万人次，求y 关于x 的函数关系式。 (2) 已知电视台每周只能为该公司提供不超过12.5 小时的播放时间，并且播放甲连续剧每集需50分钟，播放乙连续剧每集需35分钟，问电视台每周应播放甲乙两部连续剧各多少集才能使得每周收看甲乙连续剧的观众人次数总和最大，并求出这个最大值 求一次函数的表达式（直线解析式） 一、 引入 一次函数的形式: y=kx+b(k ≠0) 问：如何确一次函数的解析式？ 二、总结归纳 用待定系数法求一次函数的关系式 用待定系数法求一次函数式的关系式的步骤 ○ 1设：设出含有未知数的待求函数关系式。 一次函数 一般设为y=kx+b(k ≠0) 正比例函数 一般设为y=kx(k ≠0) ○ 2列：由已知条件（点的坐标或一对对应值）代入所设关系式，得到关于未知数的方程或方程组。 ○ 3解：解方程或方程组，求出未知数 ○ 4反代：将未知数的值代入所设函数关系式。 三、典例 类型1：已知两个点的坐标，求函数关系式。 1、 若一条直线经过点(-1,1)和点(1,5) 变y 是x 的一次函数 当x=-1时，y=1,当x=1,y=5 （1）求直线的解析式 （2）求这条直线与x 轴的交点坐标。 （3）求直线与坐标轴所围的三角形的面积。 （4）若点M(a,-1 2)和N(-4,b)在这条直线上，求a,b 的值 2、如图，求出图中直线对应的函数关系式。 3、 已知y 是x 的一次函数关系式，下表列出了部分 对应值， (1) 求一次函数关系式 (2) 填好上表 4、 若点A(a,6),B(2,a),C(0,2)三点在同一直线上，求这 条直线的解析式。 5、 判断点A,B,C 是否在同一条直线上 （1） A(2,3),B(3,2),C(1,6) （2） A(2,0),B(0,4),C(6,3) 6、已知一次函数y=kx+b 中自变量的取值范围是-2≤x ≤6,相应的函数值的取值范围是-11≤y ≤9,求此函数的解析式。 7、若直线y=kx+2与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求该直线的函数关系式。 类型2：由平移得到函数关系式。 1、 求直线y=2x-4向右平移6个单位所 得直线的解析式。 2、 将直线y=2 3x+1向上平移5个单位， 再向右平移3个单位，求所得直线的函数关系式。 类型3: 由直线的位置关系确定函数关系式 1、 若直线l1与直线y=2x-4关于x 轴对称，则直线l1 的解析式为_______;若直线l2与直线y=2x-4关于y 轴对称，则直线l2的解析式为_______; 2、 与直线y=2x+5平行，且经过点（2，1）的直线解 析式为__________. 3、 已知一次函数的图象平行于直线y=-2x+1,且与直 线y=3x-6的交点在x 轴上，求此函数的解析式。 4、 请写出符合以下两个条件的一个函数解析式 _______○ 1 过点（ 1，2）○2在第二象限内，y 随x 增大而增大 类型4： 1、已知y 与x-3成正比例，且当x=4时，y=3,求y 与x 的函数关系。 类型5实际应用 1、一根弹簧，不挂物体时的长为12cm ，挂上物体后 会伸长，当所挂物体的质量不超过10kg 时，伸长的长度与所挂物体的质量成正比，如果挂上3kg 的物体，弹簧总长是的13.5cm 。设挂上质量为xkg 的物体后，弹簧的总长为ycm. (1)求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围。 (2)画出（1）中函数的图象 (3)现测得弹簧的总长是16cm ，求它所挂物体的质量。 2、李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y(升)与行驶里程x （千米）之间的一次函数关系，其图象如图所示，求到达乙地时油箱剩余油量是多少升？ 3、某探究学习小组为了研究“大气压强的变化规律”，(3) 高度每升高1km,大气压强降低_____. (4) 在同一平面坐标系中作出大气压随高度变化 的图象 (5) 发现图象是一条_________,因而大气压强p 与高度(h)之间是________函数关系，其函数关系式______________. (6) 当高度为20km 时，大气压强约为________ 综合题： 1、已知直线l1经过A(2,3)和B(-1,-3),直线l2与l1相交于点C(-2,m),与y 轴交点的纵坐标为1，试求直线l1,l2的解析式。 2、已知一次函数的图象经过点A(3,0),与y 轴交于点B ， 若△AOB 的面积为6，求此一次函数的解析式。 答案： 1、解：设y 与x 的函数关系式为y=k(x-3)，由题意得：3=k(4-3) k=1 ∴y 与x 的函数关系式为y=x-3 2解：设y 与x 的函数关系式为 综合题： 解：设直线l 1的解析式为y=k 1x+b 1 直线l 2的解析式为y=k 2x+b 2 ∵点A 、B 在直线l1上 ∴{ 3 231111=+-=+-b k b k 解得：k1=2 b1=-1 ∴直线l 1的解析式为y=2x-1 又∵点C 在直线l1上 ∴C(-2,-5) ∵点C(-2,-5),(0,1)在直线l2上 ∴{ 5 21 222-=+-=b k b 解得：k2=3 b2=1 ∴直线l 2的解析式为y=3x+1 交点问题及直线围成的面积问题 方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解； 复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）； x 往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高； 1、直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴 围成的图形的面积。 2、已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于 点A（3,4），且OA=OB （1）求两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积； 3、已知直线m经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x 轴、y轴的交点式B、A，直线n过点（2，-2），且与y轴交点的纵坐标是-3，它和x轴、y轴的交点是D、C； （1）分别写出两条直线解析式，并画草图； （2）计算四边形ABCD的面积； （3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面 积。 4、如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点， 点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C （0,2），直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为 6； （1）求△COP的面积； （2）求点A的坐标及p的值； （3）若△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式。 5、已知：经过点（-3，-2），它与x 轴，y轴分别交于点B、A ，直线经过点（2，-2），且与y轴交于点C（0，-3），它与x 轴交于点D （1）求直线的解析式； （2）若直线与交于点P，求的值。 6. 如图，已知点A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求△ABC的面积。 1. 解：设直线的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0) 由题意得：???k ＋b ＝2 －3k ＋b ＝4 解得:k ＝－12 b ＝5 2 y ＝－12x ＋5 2 当x ＝0时，y ＝5 2 当y ＝0时，x ＝5 ∴直线与x ,y 轴的交点分别为(5,0),(0,5 2) ∴S ＝12×5×52＝254 2. 解：(1)设直线OA 的解析式为y ＝k 1x (k 1≠0),直线 BA 的解析式为y ＝k 2x ＋b (k 2≠0) ∵点A (3,4)在直线y ＝k 1x 上 ∴4＝ k 1×3 k 1＝4 3 ∴y ＝4 3x ∵A (3,4) ∴BA ＝AO ＝2243+＝5 ∴B (0,－5) ∴ 3K 2＋b ＝4 且 0＋b ＝－5 ∴ k 2＝3 b ＝－5 ∴直线BA 的解析式为y ＝3x －5 (2) s ＝1 2 ×5×3＝7.5 3、解：(1) 设直线m 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0) 直线n 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0) ∵直线m 经过（1，6）（－3，－2） ∴{ 6 231111=+-=+-b k b k 解得：k 1＝2 b 1＝4 ∴直线m 的解析式为y ＝2x ＋4 ∵直线n 与y 轴交点的纵坐标为－3 ∴直线n 与y 轴交点的坐标为（0，－3） ∵点（2，－2），（0，－3）在直线n 上 ∴{ 2 23 222-=+-=b k b 解得：k 2＝1 2 b 2＝－3 ∴直线n 的解析式为y ＝1 2x －3 (2) ∵直线m 的解析式为y ＝2x ＋4 ∴A (0,4) ,B (－2,0) ∴AO ＝4,BO ＝2 ∵直线n 的解析式为y ＝1 2x －3 ∴C (0,－3),D (6,0) ∴CO ＝3,DO ＝6 ∴AC ＝7 ∴S 四边菜ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×7×2＋1 2×7×6＝ 28 (3)由题意得:?????y ＝2x ＋4 y ＝12x －3 解得：???x ＝－14 3y ＝－ 163 ∴E (－143,－16 3 ) S △BCE ＝S △ABE －S △ABC ＝28 3 3、∵C (0,2) P (2,p ) ∴CO ＝2 PE=2 PF=p ∴S △COP =1 2CO ·PE=2 ∵S △AOC =S △AOP -S △COP S △AOP =6 ∴S △AOC =4 ∵S △AOC =1 2AO ·CO ∴AO=4 ∴A(-4,0) ∵S △AOP=1 2 AO ·PF=6 ∴PF=3 ∴p=3 (3)∵S △DOP =S △POB S △DOP =1 2DO ·PE S △POB =1 2BO ·PF ∴2DO=3PO 设点D 的坐标为(0,3a)，则点B 的坐标为（2a,0）,设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0),由题意得: ? ????2k ＋b ＝3b ＝3a ak ＋b ＝0 解得：???k ＝－3 b ＝9 直线BD 的解析式为y=-3x+9 5、（1）∵直线l 1经过(-3,-2) ∴-2=-6+m m=4 ∴直线l 1的解析式为y=2x+4 ∵点(2,-2),C(0,-3)在直线l 2上 ∴???2k ＋b ＝－2 b ＝－3 ∴k=1 2 ,b=-3 ∴直线l 2的解析式为:y=1 2 x-3 (2)由题意得：?????12x －3＝y 2x ＋4＝y 解得：? ??x ＝－14 3 y ＝－ 16 3 ∴P(-14/3,-16/3) ∴PM=14/3 ∵点D 是直线l 2与x 轴的交点 ∴D(6,0) ∴DO=6 ∵S △ACP =1 2AC ·PM S △ACD =1 2AC ·DO ∴S △ACP : S △ACD =PM:DO=7:9 5、 解：延长AB 交x 轴于点D,设直线AB 的解析式为 y ＝kx ＋b (k ≠0). 由题意得：???2k ＋b ＝2 －2k ＋b ＝2 解得：?? ???k ＝1 2b ＝3 ∴y=1 2x+3 ∴D(-6,0) ∵C(4,0) ∴DC=10 ∵S △ABC =S △ADC -S △BDC ∴ S △ABC =12×10×4-1 2 ×10×2=10 一次函数与方程（组）的关系 知识点1： 点P （x 0，y 0）与直线y ＝kx ＋b 的图象的关系 （1）如果点P （x 0，y 0）在直线y ＝kx ＋b 的图象上，那么x 0,y 0的值必满足解析式y ＝kx ＋b ； （2）如果x 0，y 0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x 0，y 0为坐标的点P 必在函数的图象上． 例如：点P （1，2）满足直线y ＝x ＋1，即x ＝1时，y ＝2，则点P （1，2）在直线y ＝x ＋l 的图象上； 点P ′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P ′（2，1）不在直线y=x+l 的图象 知识点2： 1、一次函数关系式与二元一次方程 一次函数关系式y ＝kx ＋b 就是二元一次方程kx-y+b=0 （1）直线y ＝kx ＋b 的坐标都是其对应方程的解 （2）二元一次方程ax+by+c=0的解是其对应一次函数图象上点的坐标。 点p(x 0,y 0) 在直线y ＝kx ＋b 上 （形） 方程kx+b=0的解为 { 00 x x y y == (数) 直线上点的坐标 对应方程的解 2、 两直线的交点与二元一次方程组的解 两直线交点的坐标（形） 两直线解析式所组成的方程组的解(数) 3、利用函数数图象解二元一次方程组的方法 （1）画：在同一坐标系中画出两个函数的图象 （2）找：找交点坐标 （3）写：写出方程组的解???x ＝交点的横坐标 y ＝交点的纵坐标 典例： 引例：思考如何求函数y1=x+1与一次函数y2=-x+3的交点坐标。 法一：（形） 法二（数） 1、方程组???－x ＋y ＝1x ＋y ＝3的解集为???x ＝1y ＝2 ，则一次函数 y=x+1与y=-x=3的交点坐标是_________. 2、方程组???y －3x ＋3＝0 2y ＋3x －6的解集为?? ???x ＝4 3y ＝1 ，则一次函数 y=3x-3与y=-3 2x+3的交点坐标是_________. 3、直线y=3x-3与y=-2x+7的交点坐标_______. 4、直线l1：y1=2x-3与直线l2:y2=-x+6的交点坐标_______. 5、直线y=x+b 与直线y=kx+5相交于点（1，2），则b =_____，k =________ . 6、直线32-=x y 与直线6+=kx y 的交点的横坐标为1，则k = 7、若直线4y kx =+与()41y x =-交点的纵标 为0，则k 的值是______。 8、已知直线l1:(m-2)x-y=3和l2:x-y=3与直线l3:2x-y=2相交于同一点，则m=______ 9、已知直线l 与直线y=2x+1的交点的横坐标为2，与直线y=-x+2的交点的纵坐标为1，则直线l 的解析式为________. 10、若直线3x-2y+2m=0与直线x+2y-6=0的交点在第一象限，求m 的求取值范围。 11、二元一次方程组???x ＋y ＝2 2x ＋2y ＝3解的情况 A 有无数组解 B 有两组解 C 只有一组解 D 无解 变：???x ＋y ＝22x ＋2y ＝4 呢？ 12、如图，已知函数y ax c =+和y kx b =+的图象交于点P ，则根据图象可得关于的二元一次方程组? ??y ＝ax ＋c y ＝kx ＋b 的解是 。 13、当自变量x 取何值时，函数12 5 += x y 与175+=x y 的值相等？这个函数值是多少？ 14、下列四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解是( ) 引例 1、（1，2） 2、（4/3,1） 3、(2,3) 4、（3，3） 5、1，-3 6、7 7、-4 8、3 9、y=4x-3 10、解; 一次函数与一元一次方程的关系 一、引入根据函数图象，写出一元一次方程和一元一次不等式的解（集） 1、已知一次函数2+=x y ，函数图象与x 轴交点坐标 ，与y 轴交点坐标 。 画出函数图象，看图回答下列问题： （1）当x = 时，y =0。 （2）当x = 时，y =2。 （3）当x = 时，y =3。 （4）当x 时，0 1 ax b + = 当 y=0时，求一次函数y=ax+b 的x 值（数） 一次函数y=ax+b 图象与x 轴的交点的横坐标（形） 2ax+b=c 当y=c 时，求一次函数y=ax+b 的x 值（数） 直线y=ax+b 与y=c 的交点的横坐标（形） 2、解方ax+b=cx+d 当y 1=y 2时，对应的自变量x 的值(数) 当y=0时，函数_____ 两直线交点的横坐标(形) ___________ 1、方程x+1=0的解是函数_______的图象与_______的交点的______坐标。 2、已知关于x 的方程mx+n=0的解是x=-2,则直线________与x 轴交点坐标是_______. 3、已知关于x 的方程ax-5=7的解为x=1,则一次函数______与x 轴的交点坐标为_______. 4、方程03=-x 的解是 ，则函数3-=x y 在自变量x = 时的函数值y 是0。 5、方程823=+x 的解是 ，则函数23+=x y 在自变量x = 时，函数值y 是8。变：函数值y 是0。 6、如图，是一次函数y kx b =+的图象，观察图象并思考：直线与x 轴的交点坐标是（ ， ），由此可知方程0kx b +=的解为 。 7、下列四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解是( ) 8、一次函数y=ax+b 的图象经过(-8/3,1),则方程ax+b=1的解为x=______ 9、一元一次方程3x-1=5的解可以看成是一次函数________与x 轴的交点横坐标。 10、已知函数y=2x+b 和y=ax-3的图象交于点p(-2,-5),根据图象可得方程2x+b=ax-3的解为______ 9、利用函数图象解方程032=+x 。 一次函数与一元一次不等式的关系 1、解一元一次不等式kx+b>0 当y>0时，对应的自变量x 的值（数） 一次函数y=kx+b 在x 轴上方的部分图象所对应的x 值 （形） 2、解一元一次不等式kx+b<0 当y<0时，对应的自变量x 的值（数） 一次函数y=kx+b 在x 轴下方的部分图象所对应的x 值（形） 引入：在同平面直角坐标系中画出一次函数 11+=x y 与一次函数32+-=x y 的图象 利用上题的函数图象，回答下列问题： （1）当x 时，函数值1y >函数值2y ，即不 等式1+x >3+-x 的解集为 （2）当x 时，函数值1y =函数值2y ，即方 程1+x =3+-x 的解为 （3）当x 时，函数值1y <函数值2y ，即 不等式1+x <3+-x 的解集为 2、 直线l1:y1=ax+b 直线l2: y2=cx+d 解不等式ax+b>cx+d 当y1>y2时，对应的自变量x 的值（数） 直线l1在直线l2的上方所对应的x 的值（形） 3、解不等式ax+b 当y1 直线l1在直线l2的下方所对应的x 的值（形） 概括：函数值大小关系 （数） 所对应的函数图象 形 函数图象所对应的x 的范围 （数） 5、若函数y=ax+2的图象与函数y=bx-3的图象交于x 轴上的某一点，则a:b=________. 6、一次函数y=3x+b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求b 。 1、在一次函数35-=x y 中，已知,0=x 则 y = ，若已知,2=y 则x = 。 2、直线a x y +=3与y 轴的交点是（0，4），则a = 3、已知点P （a ，4）在函数2-=x y 的图象上，则 a = 4、一次函数y=mx+n 的图象，如图所示，则代数式n m n m --+化简后的结果为__________ 平移，对称，旋转 一次函数图象的几何变换 【教学目标】 1．熟练掌握一次函数图象经过平移后的函数表达式求解方法． 2．了解一次函数的图象经过简单的旋转、对称的等几何变换后的表达式． 3．培养学生的位置感和推理能力. 【重难点】 重点：求一次函数平移变换后的表达式． 难点：由坐标系中不同的函数图象求相关的几何问题（面积，边长）． 【知识要点】 1．直线b kx y +=向左平移m 个单位得到直线 ，向右平移m 个单位得到直线 ，向上平移m 个单位得到直线 ， 向下平移m 个单位得到直线 ． 2．将直线b kx y +=①关于x 轴对称，得到直线 ； ②关于y 轴对称，得到直线 ． ③关于原点对称，得到直线 ． 3. 111b x k y +=和222b x k y +=，当,,2121b b k k ≠=两直线平行.当121-=?k k 时,两直线垂直. 【典型例题】 例1． （1）求函数3 6-= x y 向上平移4个单位后得到新函数的解析式. （2）直线121+-=x y 向 平移 个单位可得直线521--=x y 。 例2 已知函数25y x =-的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把它向右平移2个单位后与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点，求C ，D 两点的坐标. 例3 已知在直角坐标系中，直线y =+x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，作AB 边关于x 轴、y 轴和坐标原点的对称直线，画出图象，并求这四条直线围成的四边形的面积。 例4 如图，已知直线AB 与y 轴、x 轴分别交于点A （0，4）和点B （2，0），将此直线向左平移与x 轴的负半轴和y 轴的负半轴分别交于点C 、点D ，使DB=DC ，求直线CD 的解析式。 例5 已知直线1l ：21y x =-与2l ：122 y x =-+，将1l 向左平移3个单位得3l ，将2l 向下平移 一次函数图象的应用 一．知识与技能目标： 1．能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； 2．在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系。 过程与方法目标： 1．通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维； 2．通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力； 3．引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式． 情感与态度目标： 1．在具体的案例中，培养学生良好的环保意识和对生活的热爱等． 教学重点 一次函数图象的应用． 教学难点 正确地根据图象获取信息，并解决现实生活中的有关问题． 教学过程 第一环节复习 ．怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问 题，是我们这节课的主要内容．首先，想一想一次函数具有什么性质？ 在一次函数y kx b =+中 当0k >时，y 随x 的增大而增大， 当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过一、三、四象限． 当0 八年级数学一次函数图象题（行程问题） 1．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A．①②③ B、仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③ 2、甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地，停留1小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米．上图2是两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象． （1）请将图中的（）内填上正确的值，并直接写出甲车从A到B的行驶速度； （2）求从甲车返回到与乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离． 3．甲船从A 港出发顺流匀速驶向B 港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B 港．乙船从B 港出发逆流匀速驶向A 港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船到A 港的距离y 1、y 2（km ）与行驶时间x （h ）之间的函数图象如图所示． （1）写出乙船在逆流中行驶的速度． （2）求甲船在逆流中行驶的路程． （3）求甲船到A 港的距离y 1与行驶时间x 之间的函数关系式． （4）求救生圈落入水中时，甲船到A 港的距离． 4、某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y 甲（千米）、y 乙（千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图像．请根据图像所提供的信息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时； （2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定． 一次函数图象的平移及解析式的变化规律 我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律: 一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律: （1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y . （2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y . 注意: （1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±. （2）上面的规律如下页图（51）所示. 一次函数图象的应用 一、知识点睛 1.函数图象共存问题 选定一个函数图象，根据图象性质判断k，b符号，验证另一个函数图象存在的合理性. 2.数形结合求范围 __________、__________、__________. 二、精讲精练 1.若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a 5.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是（） A．x>1 B．x<1 C．x<2 D．x>2 6.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当0 一次函数专项训练 专训1.一次函数的两种常见应用 名师点金： 一次函数的两种常见应用主要体现在解决实际问题和几何问题．能够从函数图象中得到需要的信息，并求出函数解析式从而解决实际问题和几何问题，是一次函数应用价值的体现，这种题型常与一些热点问题结合，考查学生综合分析问题、解决问题的能力．利用函数图象解决实际问题 题型1行程问题 (第1题) 1．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示，则下列结论 ①A，B两城相距300 km； ②乙车比甲车晚出发1 h，却早到1 h； ③乙车出发后2.5 h追上甲车； ④当甲、乙两车相距50 km时，t＝5 4 或 15 4 . 其中正确的结论有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 2．甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，根据图象，解答下列问题： (1)线段CD表示轿车在途中停留了________h； (2)求线段DE对应的函数解析式； (3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车． (第2题) 题型2工程问题 3．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)之间的函数图象如图所示． (1)求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式． (2)求乙组加工零件总量a的值． (3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？ 一次函数与几何图形综合专题思想方法小结： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结： （1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响． ①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点； 当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交． b＞0时，直线与x轴正半轴相交； ②当k，b异号时，即- k b=0时，直线经过原点； 当b=0时，即- k b﹤0时，直线与x轴负半轴相交． 当k，b同号时，即- k ③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限； 当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限； 当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限； 当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0) 当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 121b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③?? ?≠=2 121,b b k k ?y 1与y 2平行； ④???==2 121,b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB (1) 求AC (2) 在 OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作 PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：① x 一次函数图像及应用中考题目专项训练 1 、(宁夏) 一次函数y=2x -3的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、(陕西省) 若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点（ ） A ．(1，2) B ．(－1，－2) C ．(2，－1) D ．(1，－2) 3、（安徽）已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是【 】 4、(河北)如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（ ） 5.（宜昌）由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V (万米 3)与干旱的时间 t (天)的关系如图所示，则下列说法正确的是( )． A ．干旱第50天时，蓄水量为1 200万米3 B ．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3 C ．干旱开始时，蓄水量为200万米3 D ．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3 O y x -2 - 4 A D C B O 4 2 y O 2 - 4 y x O 4 - 2 y x 取相反数 ×2 ＋4 图4 输入x 输出y x 6． (黄冈市)小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A ．12分钟 B ．15分钟 C ．25分钟 D ．27分钟 第5题 第6题 第7题 7．（桂林）如图，把该图像向左平移一个单位长度，得到的函数图像的解析式为 ． 8．（佛山）画出一次函数y=-2x+4的图象，并回答：当函数值为正时，x 的取值范围是 ． 9．（湘西）一次函数y=3x -b+1的图像过坐标原点，则b 的值为 ． 10．（天津）已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9)，则该函数的图象与y 轴交点的坐标为__________ ． 11．（乌鲁木齐）星期天8：00~8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y （立方米）与时间x （小时）的函数关系如图2所示． （1）8：00~8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？ （2）当0.5x ≥时，求储气罐中的储气量一（立方米）与时间x （小时）的函数解析式； （3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由． /天 t /万米3 V 20040060080010001200O 5040 302010O y x 2 -1 一次函数图象题（行程问题）提高篇 11．（2012武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的时间t （秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（ ） A ． ①②③ B ． 仅有①② C ． 仅有①③ D ． 仅有②③ 考点：一次函数的应用。 解答：解：甲的速度为：8÷2=4米/秒； 乙的速度为：500÷100=5米/秒； b=5×100﹣4×（100+2）=92米； 5a ﹣4×（a+2）=0， 解得a=8， c=100+92÷4=123， ∴正确的有①②③． 1、在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t （h ），两组离乙地的距离分别为S 1（km ）和S 2(km)，图10中的折线分别表示S 1、S 2与t 之间的函数关系． （1）甲、乙两地之间的距离为 km ，乙、丙两地之间的距离为 km ； （2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少 （3）求图中线段AB 所表示的S 2与t 间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 2· 4· 6· 8· S(km) 2 0 t(h) A B 2、一辆客车从甲地开往甲地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设 客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x的函数关系图象如图12所示： （1）根据图象，直接写出 ．．．．y1，y2关于x的函数关系式。 （2）分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离。 （3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式。 （4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油。求A加油站到甲地的距离。 3、在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、 乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、 乙两船行驶x（h）后，与．B．港的距离 ．．．．分别为1y、2y（km），1y、2y与x的函数关系如图所示． （1）填空：A、C两港口间的距离为km， a； （2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； （3）若两船的距离不超过10 km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见 时x的取值范围． O y/km 90 30 a P （第3题） x/h 一次函数图象的变换——平移求一次函数图像平移后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标变化解决问题。 知识点：“已知一个点的坐标和直线的斜率 k，我们就可以写出这条直线的解析式”。我们知道：y =kx+b经过点（0，b)，而（0，b)向上平移m 个单位得到点（0，b+m)，向下平移m个单位得到点（0，b－m)，向左平移m个单位得到点（0－m，b)，向右平移m个单位得到点（0+m，b)，直线y =kx+b平移后斜率不变仍然是k，设出平移后的解析式为y =kx+h,把平移后得到的点的坐标带入这个解析式求出h，就可以求出平移后直线的解析式。下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用： 例1：把直线y=2x-1向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。 分析:y=2x-1经过点（0，-1），向右平移1个单位得到（1，-1）。平移后斜率不变，即k=2，所以可以设出平移后的解析式为y =2x+h，再将点（1，-1）代入求出解析式中的h，就可以求出平移后直线的解析式。 解：设平移后的直线解析式为y=2x+h 点（0，-1）在y=2x-1上，向右平移1个单位得到（1，-1）， 将点（1，-1）代入y=2x+h中得： -1=2×1+h h=-3 所以平移后直线的解析式为y=2x-3 例2：把直线y=2x-1向上平移3个单位，再向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。 分析：点（0，-1）在直线y=2x-1上，当直线向上平移3个单位，点变为（0，-1+3），即为（0 , 2 ）；再向右平移1个单位后，点（0，2）变为点（0+1，2），即点变为（1 , 2 ）。设出平移后的解析式为y =kx+h，根据斜率k=2不变，以及点（1 , 2 ）就可以求出h,从而就可以求出平移后直线的解析式。 解：设平移后的直线解析式为y=2x+h. 2014中考数学一次函数图像与应用题汇总 （鄂州）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA 表示货车离甲地距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系；折线BCD 表示轿车离甲地距离y （千米）与x （小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ （2）求线段CD 对应的函数解析式． （3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD 段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）． （?黄石）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车 从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离 甲地的距离为 1y 千米，出租车离甲地的距离为2y 千米，两车行驶的时间为x 小时，1y 、 2y 关于x 的函数图像如右图所示： （1）根据图像，直接写出 1y 、2y 关于x 的函数关系式； （2）若两车之间的距离为S 千米，请写出S 关于x 的函数关系式； （3）甲、乙两地间有A 、B 两个加油站，相距200千米，若客车进入A 加油站时，出租车恰好进入 B 加油站，求A 加油站离甲地的距离. （长春）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停 工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y （米）与时间x （时）的函数图象为线段OA ，乙队铺设完的路面长y （米）与时间x （时）的函数图象为折线BC -CD -DE ，如图所示，从甲队开始工作时计时． （1）分别求线段BC 、DE 所在直线对应的函数关系式． （2）当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长． ) 一次函数图象与行程问题综合题 1（期末考试题）：一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开 往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为(Km)，出租车离甲 地的距离为(Km)，客车行驶的时间为x (h)，与的函数关系如 图1所示． （ 1）根据图象直接写出，与x的函数关系式； （2）若设两车之间的距离为s (Km)，请写出s关于x的函数关系式； （3）甲乙两地间有M、N两个加油站，相距200 Km，若客车进入M站加油时，出租车恰好进入N站加油，求M加油站到甲地的距离． 解：（1）由图1知，客车离甲地的距离与时间x成正比例函数关系（直线AB过原点），出租车离甲地的距离与时间x成一次函数关系（直线CD不过原点）． 故设＝x （0≤x≤10），＝x＋（0≤x≤6），将点（10，600）代入＝x， 点（6，0）和（0，600）代入＝x＋，易求得，与x 的函数关系式为：＝60x（0≤x≤10）①，＝－100x＋600（0 ≤x≤6）②； （2）由图象知，点E的实际意义是：点E表示客车与出租车到甲地的距离相等（＝），即它们在此时相遇．联立①与②，解得，，所以点E的坐标为（，225），即两车同时出发后（＝3．75）小时相遇．借助行程图知：两车相遇前，s关于x的函数关系式为s＝－＝－160x＋600（0≤x≤）；两车相遇后，s关于x的函数关系式为s＝－＝160x－600（≤x≤6）；（注：当x＝时，－＝0，即相遇时s ＝0．）出租车到达甲地后，s关于x的函数关系式为s＝＝60x（6≤x≤10）． （注：在此时间段，出租车到达甲地后没有再行驶．） （3）由题意，知s＝200， 当0≤x≤时，－160x＋600＝200，∴x＝，此时，A加油站到甲地的距离为＝60x＝60×＝150(Km)；当≤x≤6时，s＝160x－600＝200，∴x＝5，此时，A加油站 到甲地的距离为＝60x＝60×5＝300(Km)； 当6＜x≤10时，s＝60x＝200，∵60x＞360，不合题意． 点评：本题以行程为背景的一次函数应用题，用图象给出了相关信息，要解决此类问题，第一，必须读懂图象：1.两坐标轴表示的实际意义分别是什么（如本题的y轴上的点表示两车在该时刻与甲地的距离）？2．图象的每一段的实际意义是什么（如：本题的CE段表示 出租车在相遇前离甲地的距离随时间x变化的函数图象，此段内每个点表示在该时刻出租车与甲地的距离）？3．图象的交点或拐点的实际意义是什么（如：本题的点E表示两车 在此时相遇，此时两车与甲地的距离相等，即x＝时＝）？4．图象与两坐标轴的 交点的实际意义是什么（如：本题的C点表示出租车在乙地刚要出发驶往甲地的时刻，此时出租车离甲地600 Km）？第二，借助行程图，是解决此类问题的关键．只有这样，才能弄清每一过程中y与x的函数关系（如：本题中“相遇前”、“相遇后”等过程中的函数关系），从而各个击破．第三，应注意图象的各段对应的函数解析式中自变量的取值范围（如： 本题的ED段对应的函数解析式为＝－100x＋600，其自变量的取值范围是≤x≤6）；第四，本题第（3）问M、N两个 加油站的位置是不确定的，但它们的距离恒为200 Km（如下图所示）．因此存在两种情形，即相遇前，客车进入M站时，出租车恰好进入N站；相遇后，客车进入M站时，出租车恰在此时好进入N站． 2. A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B 城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象． （1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度． 【答案】 （1）①当0≤≤6时， 一次函数 一次函数 图像性质 【培优练习】 1. 在同一直角坐标系中，对于函数：①y=﹣x ﹣1，①y=x+1，①y=﹣x+1，①y=﹣2（x+1）的图象，下列说法正确的是（ ） A ． 通过点（﹣1，0）的是①和① B ． 交点在y 轴上的是①和① C ． 相互平行的是①和① D ． 关于x 轴对称的是①和① 2. 如果点P(a ，b)关于x 轴的对称点p’在第三象限，那么直线y=ax+b 的图像不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 一次函数y=ax+b 在直角坐标系中的图象如图所示，则化简|a+b|﹣|a ﹣b|的结果是（ ） A ． 2a B ． ﹣2a C ． 2b D ． ﹣2b 4. 函数y=kx+|k| （k≠0）在直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 5. 作函数y 1=﹣x+4，y 2=3x ﹣4的图象如图，若y 1＞y 2成立，则x 的取值范围为（ ） A ． x≤2 B ． x ＜2 C ． x ＞2 D ． x≥2 6. 一次函数y 1=kx+b 与y 2=x+a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；①a ＞0；①当x ＞2时，y 2＞y 1，其 中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7. 下列图象中，不可能是关于x 的一次函数y=mx ﹣（m ﹣3）的图象的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8. 设直线kx+(k+1)y ﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S k ，则S 1+S 2+…+S 2008= ． 《应用一次函数图像解决实际问题》说课稿 老河口市第七中学陈薇 尊敬的各位评委，老师： 大家好！ 今天，我说课的内容是人教版数学九年级下册《函数及其图像》专题复习之一-------《应用一次函数图像解决实际问题》，下面我将从教材分析，教法学法，教学过程，设计思路、教学反思五个方面来展开我对本节课的理解。 一、教材分析 1、地位和作用 一次函数是中学数学中一种最简单、最基本的函数，是中考考点之一，而利用一次函数图像解决实际问题，已成为中考的热点。它命题背景广泛，紧贴实际生活，构思新颖，题型多样，突出对学生识别图象,处理信息、获取知识以及解决问题的能力的考察，增强了学生应用数学的意识和能力。 很多学生对基础题有一定的认识和解决方法，但对中档题和综合题缺乏清晰的解题思路，往往导致对灵活程度高，综合能力强的试题得分不够理想。通过本节课的学习，有助于帮助学生解题思维的形成，掌握系统的解题方法。应用一次函数图像解决实际问题所涉及到的数学建模，待定系数法，分类讨论，数形结合，化归等思想方法也是解决表格式、文字类的实际问题常用的方法，对后续其它函数图像的应用学习以及高中函数学习都将积累宝贵的学习经验和经历，同时《义务教育数学课程标准》也要求“能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析”，因此本节课的重要性不言而喻。 2、教学目标 （1）经历实际问题的解决过程，掌握系统的解题思路和方法。 （2）通过知识的归纳学习过程，理解和掌握分类讨论，数形结合等思想方法。 （3）进一步体会数学知识与实际生活的的密切联系，丰富数学情感，建立自信心。 3、教学重点：会分析和应用一次函数图像解决实际问题 教学难点：数形结合思想方法的应用； 用一次函数与方程、不等式的联系解决实际问题 二、教法学法 本节课采用学案式，分类归纳，引导探究的教学方法，指导学生以独立思考、观察发现、合作交流，类比归纳的学习方法，得出清晰的解题思路和方法。 三、教学过程 首先通过错题分析，引入新课，其次将所学知识分为由“数”到“形”、由“形”到“数”、“数形”结合三种类型进行归纳，形成体系，然后总结反思，感悟方法提升能力，最后布置作业，达到巩固提高的目的。 1、错题分析，引入课题 通过选取具有代表性的错题进行分析，可以发现： ①审题缺乏细心，不能抓住关键字眼去区分图像的前后差异。 ②图像和实际问题的结合能力不够，思维缺乏条理性，逆向性。 课题：6.5一次函数图象的应用（2） 【教学目标】 1、通过函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力。 2、从函数图象中正确读取信息，进一步发展学生的数形结合能力。 一、自主探究 阅读课本202p 页，并完成相应的空格部分。 例1、如图，1l 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，2l 反映了该公司产品的销售成本与销售的关系，根据图象填空． ①当销售量为2t 时，销售收入= ， 销售成本= ． ②当销售量为6t 时，销售收入= ， 销售成本= ． ③当销售量等于 时， 销售收入等于销售成本． ④当销售量 时，该公司赢利， 当销售量 时，该公司亏损． ⑤1l 对应的函数解析式是 ． 2l 对应的函数解析式是 ． 二、练习： 1、如图分别是龟兔赛跑中路程与时间之间的函数图象。 根据图象可以知道： （1）这一次是 米赛跑 （2）表示兔子的图象是 （3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 米 （4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 米 （5）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 分钟 三、自学课本P203－204页，并完成相应的问题。 例2、我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A 正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B 追赶 （如图），下图中l 1，l 2分别表示两船相对于海岸 的距离s （海里）与追赶时间t （分）之间的关系． （1）哪条线表示B 到海岸的距离与时间之间的关系？ t （2）A，B哪个速度快？ （3）15分钟内B能否追上A？ （4）如果一直追下去，那么B能否追上A （5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查．照此速度，B能否在A逃到公海前将其拦截？ 四、练习： 1、一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前y与x之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱 (含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆？ 2、如图：OA、BA分别表示甲乙两名学生跑步过程的一次函数的图象，图中s和t分别表示 1、某仓库调拨一批物资，调进物资共用8小时，调进物资4小时后同时开始调出物资（调 进与调出的速度保持不变）．该仓库库存物资m（吨）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则这批物资调出的速度（吨/小时）及从开始调进到全部调出所需要的时间是（）A．10，10 B．25，8.8 C．10，8.8 D．25，9 2、一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打 开出水管放水．至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．关停进水管后，经过________分钟，容器中的水恰好放完． 3、设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回．设x秒后两车间的距离为y米，y关于x的函数关系如图所示，则甲车的速度是米/秒． 4、一条笔直的公路上依次有B、A、C三地，BC两地相距300千米，甲、乙两辆汽车分别从B、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C、B两地，甲、乙两车到A地的距离y1、y2（千米）与行驶时间t（时）的关系如图所示，则甲、乙两车相遇时离A地的距离为千米． 5、甲、乙两名大学生去距学校36千米的某乡镇进行社会调查．他们从学校出发，骑电动车行驶20分钟时发现忘带相机，甲下车前往，乙骑电动车按原路返回．乙取相机后（在学校取相机所用时间忽略不计），骑电动车追甲．在距乡镇13.5千米处追上甲后同车前往乡镇．乙电动车的速度始终不变．设甲与学校相距y甲（千米），乙与学校相离y乙（千米），甲离开学校的时间为x（分钟）．y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：（1）电动车的速度为千米/分钟； （2）甲步行所用的时间为分； （3）求乙返回到学校时，甲与学校相距多远？ 6、甲、乙两地之间有一条笔直的公路L，小明从甲地出发沿公路L步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．设小明与甲地的距离为y1米，小亮与甲地的距离为y2米，小明与小亮之间的距离为s米，小明行走的时间为x分钟．y1、y2与x之间的函数图象如图1，s与x之间的函数图象（部分）如图2． （1）求小亮从乙地到甲地过程中y2（米）与x（分钟）之间的函数关系式； （2）求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s（米）与x（分钟）之间的函数关系式；（3）在图2中，补全整个过程中s（米）与x（分钟）之间的函数图象，并确定a的值． 7、在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A 地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题： （1）写出A、B两地之间的距离； （2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实 际意义； （3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用 无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用 无线对讲机保持联系时x的取值范围． 1、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆．图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：（1）小聪在图书馆查阅资料的时间为________分钟，小聪返回学校的速度为________千米／分钟； （2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系式； （3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 2、如图已知函数y=-1/2x+b的图像与x轴y轴分别交于点A、B ，与函数y=x 的图像交于点M 点M的横坐标为2 在x轴上有一点P（a，0）（其中a＞2）且过点P作x轴垂线分别交函数y=-1/2x+b和y=x的图像于点C、D ⑴求点A坐标 ⑵若OB=CD，求a的值 3、如图，一次函数y= -3/4x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合、直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D． （1）点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）； （2）求OC的长度； （3）在x轴上有一点P，且△PAB是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P 的坐标． 4、甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔1 h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图所示，OA是第一列动车组列车离开甲城的距离s（km）与运行时间t（h）的函数图象，BC是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s（km）与运行时间t（h）的函数图象．请根据图中的信息，解答下列问题： （1）点B的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间 _____ 1 h(填”早”或”晚”)，点B的纵坐标300的意义是 _______ ；（2）请你在图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s（km）与时间t （h）的函数图象； （3）若普通快车的速度为100 km/h， ①求BC的解析式，并写出自变量t的取值范围； ②第二列动车组列车出发多长时间后与普通快车相遇？ ③请直接写出这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的时间间隔时间。 一次函数图象的变换——对称求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。 知识点： 1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为（x,y），则（x, -y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。 2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用： 例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。 分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数； 关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数； 关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点 解：1、关于x轴对称 设点（x , y ）在直线l上，则点（x , -y ）在直线y=2x+6上。 即：-y=2x+6 y=-2x-6 所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6. 关于直线对称。 2、关于y轴对称 设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。 即：y=2(-x) +6 y=-2x+6 所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6. 3、关于直线x=5对称（作图） 由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10 所以点C （-x+10, y） 设点（x,y）在直线l上， 则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。 即：y=2（-x+10）+6 y=-2x+26 所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26. 总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。 关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数； 关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数； 关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题 中分析的方法去求对称点。 练习：1、和直线y=5x-3关于y轴对称的直线解析式为，和直线y=-x-2关于x轴对称的直线解析式为。 2、已知直线y=kx+b与直线y= -2x+8关于y轴对称， 求k、b的值。 答案：1、y=-5x-3;y=x+2 分析：设点（x,y）在直线上，则点（-x,y）在关于y轴对称的直线y=5x-3上，所以直线为y=-5x-3;设点（x,y）在直线上，则点（x,-y）在 学生做题前请先回答以下问题 问题1：对于一次函数y=kx+b来讲，当k0时，图象必过第_______象限；当k0时，图象必过第_______象限； 当b0时，图象必过第_______象限；当b0时，图象必过第_______象限． 问题2：函数图象共存问题的处理思路： ①选定一个函数图象，根据图象性质_____________； ②验证___________________________________． 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：对于一次函数y=kx+b来讲，当k0时，图象必过第象限；当k0时，图象必过第象限； 当b0时，图象必过第象限；当b0时，图象必过第象限． 答：对于一次函数y=kx+b来讲，当k0时，图象必过第一、三象限；当k0时，图象必过第二、四象限； 当b0时，图象必过第一、二象限；当b0时，图象必过第三、四象限． 问题2：函数图象共存问题的处理思路： ①选定一个函数图象，根据图象性质； ②验证． 答：函数图象共存问题的处理思路： ①选定一个函数图象，根据图象性质判断k，b的符号； ②验证另一个函数图象存在的合理性． 一次函数图象的应用（图象共存问题）（人教版） 一、单选题(共8道，每道12分) 1.一次函数y=-ax+4与正比例函数y=2ax（a为常数，且a≠0）在同一坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：图象共存问题 2.一次函数y=kx-k2与正比例函数y=-kx（k为常数且k≠0）在同一坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：图象共存问题 3.一次函数y=mx+n与正比例函数y=nx（m，n是常数，且mn≠0）在同一坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：八年级数学辅导： 一次函数图象的几何变换
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