等比数列及其前?项和(讲义)
知识点睛
一、等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母g(qHO)表示.
<1)等比中项
?-|
(2)等比数列的通项公式：5=吋2.等比数列的性质
通项公式的推广：绻="01"(加，//€ N*).
若｛%｝是等比数列，且"伙，“亡N"),
若｛幼｝是等比数列，则“，仏，味+加，…伙，加eNj 组成公
Um
比为/的等比数列.
◎ 若0｝是等比数列，则仙｝, ｛\a I｝, ｛-), ｛/｝也是
It n n n 等比数列?
? 若｛“｝, ｛"｝是等比数列，则｛“*｝｛:｝也是等比/r ?If If I 数列.
e 当数列｛勺｝是各项均为正数的等比数列时,
数列｛ig"”｝是公差为igq的等差数列.
二、 等比数列的前“项和公式
1.对于等比数列 it\, (ty, a?, ***? cifj, * a （l_b ） 它的前"项和的公式为s 〃 ---- ---- I 一 0 当<7= 1时，
它的前n 项和的公式为S“ =
.推导过程：错位相减法
a —a q ?或 s =, “ ”一 \-q' 2.等比数列各项和的性质 （1） 若S,”，Sy s,”分别是等比数列｛“”｝的前加项，前加 项，前3加项的和，则S 瞅, 其公比为/. （2） 等比数列的单调性 q>0或绚<0 时， ■ ② 当$|>0或■ 10 < ^ < 1 [g > 1 ③ 当瓜工0时，｛a ｝是常数列. s 加- \|，s 如一s?朋成等比数列, ①当 t/i<0 时， 0 V qvl 于时，｛?｝是递减数列; ir ?｝是递增数列: ir ④当g<0时，｛4｝是摆动数列.
精讲精练
1.设｛偽｝为等比数列，且2佝=兔-绳，则公比是（）
A?0 B?1或-2 C. T或2 D?-1或-2
2.等比数列｛“讣中，偽=-8（/2，偽＞3 则绻= B?一（一2）1
C. （—2）"
C?1
8
?成等比数列，其公比为2,
4.在等比数列｛勺｝中,
的值为（
A?16 > 0 ,业2 =1-4，偽=9-03 ?贝!k/4 +?5
B ?27 C- 36 D. 81
A- (-2)1 D. -(一2)"
B? D. I
5 . 己知｛偽｝为等比数
列,
a 4 + 47 = 2 , ?5^6 = -8 r 则 6 + 40 =
6 . A?
7 B. 5 C. -5 D- -7
已知｛?｝是等比数
列，那么6+①的值为
（
A?5 B?-5
且绻 > 0,①/一 + 2?3?5 + ws =
25 ,
C- ±5D?25
S知数列｛"｝满足％
n IH-J
" = 贝ij{?}的前10项
2 3 ”
和等于（
A. -6(1-3"°)B
?
D
?
_(1-3T°)
9
3(1+3"°)
=1+ (1+ ) + (1+ + ) +■??+ (1+ + +…+ )=
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A. z
i
B ? n + _ 2?-
C ?
D. n -1 2?-1 各项均为正数的等比数列｛练｝的询
H 项和为S 八若Sw=2, A- 80 B ?30
C. 26
D. 16 s fl
D —个有穷等比数列的首项为1,项数为偶数，其奇数项之和为
85,偶数项之和为170,则这个数列的项数为 ___________ ?
U 已知定义在（YsO）U（O, + s）上的函数/（X）,若对任意给定的等比数列W”}, {/（?…）}仍然是等比数列，则称/（工）为“保等比数列函数”.现有定义在（Y,o）u（o,+s）上的如下函数：（l）/（x）=r；②/（.v）=2' ；③/（X）= /Ti；④/（x） = lnlxl. 其中是"保等比数列函数”的/0）的序号为__________ .
G已知仏｝是等差数列，其前畀项和为仇｝是等比数列，且?j= b\= 2 , + Z?4= 27 , S4 —“4= 10 ?
0) 求数列W”｝与的通项公式；
妙记 T =? h +a b +???+"/? '? € N',求Tn?
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回顾与思考
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