高二数学
等差数列典型例题
【例1】 在100以内有多少个能被 7个整除的自然数？
解?/ 100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中 a 1 =7, d = 7, a n = 98
-
代入 a n = a 〔 + (n - 1)d 中，有 98= 7+ (n - 1) ? 7 解得n = 14
答100以内有14个能被7整除的自然数.
【例2】 在—1与7之间顺次插入三个数 a , b , b 使这五个数成等差数列,
求此数列.
解 设这五个数组成的等差数列为 {a n } 由已知：a 〔 = — 1, = 7 ??? 7=— 1 + (5 — 1)d 解出 d = 2 所求数列为：—1 , 1, 3, 5, 7.
1 1
【例3】 在等差数列一5,— 3?，— 2,—
，…的相邻两项之间
插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项.
3
3 23
a n 5 (n 1)
n
4
4 4 即a n
=3 23
n
4 4
【例
4】 在［1000 , 2000］内能被
解 设 a n =3n , b m = 4m — 3, n , m € N
令a n = b m ，则 3n = 4m — 3
n = 一3 为使 n 为整数，令 m = 3k ,
3
得n = 4k — 1(k € N)，得｛a n ｝ , ｛b m ｝中相同的项构成的数列｛c n ｝的通项c n = 12n
—3(n € N).
则在［1000 , 2000］内｛c n ｝的项为 84 ? 12 — 3, 85 ? 12— 3,…，166 ? 12— 3
??? n = 166 — 84+ 仁83 二共有 83 个数.
1
解原数列的公差d= 3
2
1 3 2
d =-，期通项为 2 4
3
(-5)=-，所以新数列的公差d
3整除且被 4除余1的整数共有多少个?
【例5】三个数成等差数列，其和为15,其平方和为83,求此三个数.
解设三个数分别为x—d, x, x+ d.
r (x —d) + x+ (x + d) = 15
则
(x —d)2+ x2+ (x + d)2 = 83
解得x= 5, d =± 2
?所求三个数为3、5、7或7、5、3
说明注意学习本题对三个成等差数列的数的设法.
【例6】已知a、b、c成等差数列，求证：b+ c, c+ a, a+ b也成等差数列.
证■/ a、b、c成等差数列
? 2b=a + c
?- (b + c) + (a+ b) = a+ 2b + c
=a+ (a+ c) + c
=2(a + c)
? b+ c、c+ a、a+ b成等差数列.
说明如果a、b、c成等差数列，常化成2b = a+ c的形式去运用；反之，如果求证
a、b、c成等差数列，常改证2b=a + c.本例的意图即在让读者体会这一点.
1 1 1
【例7】若-、一、-成等差数列，且b,求证：a、b、c、不a b c
可能是等差数列.
分析直接证明a、b、c不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法.
证假设a、b、c是等差数列，则2b=a+ c
1 1 1
又???丄、11成等差数列，
a b c
2 1 1
…，即2ac= b(a+ c).
b a c
? 2ac= b(a+ c)=2b2, b2= ac.
又T a、b、c不为0,
? a、b、c为等比数列，
又? a、b、c为等差数列，
? a、b、c为常数列，与b矛盾，
?假设是错误的.
? a、b、c不可能成等差数列.
【例8】解答下列各题：
(1)已知等差数列{a n} , a n丰0，公差d丰0,求证：
①对任意k € N，关于x的方程
akX2+ 2ak+1 x+ ak+2 = 0 有一公共根；
⑵在△ ABC 中，已知三边a 、b 、c 成等差数列，求证:
B C
cot 、cot 也成等差数列.
2 2
分析与解答
(1)a k x2
+ 2a k+i x + a k+2 = 0 ???
｛a
n ｝为等差数列，??? 2a k+1 = a k + a k+2
二 a
kX 2
+(a
k + a
k+2)x + ak+2
= 0
?(a k x + a k+2)(x + I =0， ak M 0
? x = — 1或 x k = 1 1
a k 2
a k
a k
a k
a k a k 2 2d
d 为不等于零的常数
1
?方程有一公共根—1,数列｛—「｝是等差数列
1 X k
⑵由条件得 2b=a + c
? 4Rs inB = 2Rs inA + 2Rsi nC ， 2sinB = si nA + si nC
B B A +
C AC
…4sin cos = 2sin
cos -
2 2 2 2
B =cos —
2 B A C
? 2sin 2 =cos 丁
分析至此，变形目标需明确，即要证
B A
C 2cot = cot + cot —
2 2
2
I X k 1 a
k 2 a k
??? ｛a n ｝为等差数列,
②若方程的另一根为 X k ，求证数列
｛彳
1
切是等差数列;
A cot —、 2
sin A +C
2
由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有
【例10】设x丰y，且两数列x, a「
a2，a3，y和b1，x，
A C cot cot —2 2
A
cos—
___ 2
A
sin
2
C
cos$
C
sin
2
A
sin —
2
A C si
n—
A C
sin sin
2 2
1 A C
(cos—
2 2
B
2 cos— 2
B
sin 2 si n
2 2
ABC
??? cot —、cot -、cot —成等差数列.
2 2 2 （将条件代入）
A C
cos 2 ）
B
2 cot -
2
【例9】右正数a〔，a?，
83，
：.ai a2分析:a2. a3
a
d
…a n+1成等差数列，求证:
a
n
a
n 1
1
a
证明
..a n -：；a n 1
设该数列的公差为d,则
ai —a2=a2 —a3 =??? =a n —a n+1 = —
d
…a1 一a n+1 = _ nd
a 1 a
n 1
??— d =
n
左式-占1 W2.a2 a3
a2 a3 a n a n 1
d
弩a1
W a n 1
a1a n 1
n
n
；a1..a n 1右式
'■/ a1 订a n 1
【例10】
设x 丰y ，且两数列x , a 「
a
2， a 3， y 和 b 1， x ，
a 2 a 1 y x 解由
——1 = 3 2 5 1 b 4 b 3 = y x 6 4=52
b 2, b 3, y , b 4均为等差数列，求
b 4 b 3 a ? a i
分析可采用d =
a n
n
(2) 一(1)，得
b 4 a 2
b a a i
(1)
⑵