ABC △是等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B C 、重合），ADE
△是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交射线AB AC 、于点F G 、，连接BE ．
（1）如图（a ）所示，当点D 在线段BC 上时． ①求证：AEB ADC △≌△；
②探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2）如图（b ）所示，当点D 在BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？
（3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形？并说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．
（1）求点，点的坐标．
（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的
面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在直角梯形ABCD 中，?=∠90D ，
AB =BC ⊥, F 点以s cm /2的速度在线段AB 上由A 向B 匀速运动，E 点同时以s cm /1的速度在线段
(30)C -，A B ，x y 10OA -=A B P C CB AP ABP △S P t S t P A B P ，，AOB △P A
G C
D
F E 图（a ）
A
D
C
B
F
E
G
图（b ）
x
BC 上由B 向C 匀速运动，设运动的时间为t （0＜t ＜5）. （1）求证：⊿ACD ∽⊿BAC ； （2）求DC 的长；
（3）当t 为何值时，⊿FEB 与⊿ABC 相似？
如下4个图中,不同的矩形ABCD,若把D 点沿AE 对折,使D 点与
①②③④
（1）图①中，若DE ︰EC=2︰1，求证：△ABF ∽△AFE ∽△FCE ；并计算BF ︰FC ． （2）图②中若DE ︰EC=3︰1，计算BF ︰FC=；
图③中若DE ︰EC=4︰1，计算BF ︰FC=． （3
）图④中若DE ︰EC=n ︰1，猜想BF ︰FC=．
如图，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作等边△ADE ，过点C 作
CF ∥DE 交AB 于点F ．
（1）若点D 是BC 边的中点（如图①），求证：EF=CD ； （2）在（1）的条件下直接写出△AEF 和△ABC 的面积比；
（3）若点D 是BC 边上的任意一点（除B 、C 外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如，我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K 型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．
（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是正方形，且D （0，2），点E 是线段OB 延长线上一点，M 是线段OB 上一动点（不包括点O 、B ），作MN ⊥DM ，垂足为M ，且MN=DM ．设OM=a ，请你利用基本活动经验直接写出点N 的坐标 （用含a 的代数式表示）； （2）基本经验有利有弊，当基本经验有利于新问题解决的时候，这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考，让新问题解决不出来的时候，这是基本经验的负迁移．例如，如果（1）的条件去掉“且MN=DM”，加上“交∠CBE 的平分线与点N”，如图2，求证：MD=MN ．如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明过程．
A
B C
D
E
F A B C D E F A B C D E F F E D C B A
（3）如图3，请你继续探索：连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，请你指出正确的结论，并给出证明．
28．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形．
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？
（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD=PD）？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．
如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE=PA，
PE交CD于F．
（1）求证：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC=65°，则∠CPE=____
度．
如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点坐标（-2,4）△ODE是△OCB绕点O 顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H.
(1) 求直线BD的解析式；
(2) 求△BC F的面积；
(3) 点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，直线y=4－x与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点(A、B两点除外)，过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D。
(1)当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长为________；
(2)当四边形OCMD为正方形时，将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为
a (0 ①当平移距离a=1时, 正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为________； ②当平移距离a是多少时，正方形OCMD的面积被直线AB分成l：3两个部分? 如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG． （1）求证：△CBG≌△CDG； （2）求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由； （3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，四边形AEBD能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由． 如图①是一张矩形纸片ABCD , 1AD BC ==, 5AB CD ==.在边AB 上取一点M ，在边CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K ，得到MNK ?，如图②所示. (1)若170∠=?，求MKN ∠的度数. (2)MNK ?的面积能否小于 1 2 ?若能，求出此时1∠的度数;若不能，试说明理由. (3)如何折叠能够使MNK ?的面积最大?请你画图探究可能出现的情况，求出最大值. 已知四边形ABCD 是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF 的两边分别与射线CB ，DC 相交于点E ，F ，且∠EAF=60°． （1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，直接写出线段AE ，EF ，AF 之间的数量关系； （2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE=CF ； （3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F 到BC 的距离． 1）如图①，已知△ABC ，请画出△ABC 关于直线AC 对称的三角形． 问题探究 （2）如图②，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC 、CD 上分别存在点G 、H ，使得四边形EFGH 的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由． 问题解决 （3）如图③，有一矩形板材ABCD ，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH 部件，使∠EFG=90°，EF=FG= 米，∠EHG=45°，经研究，只有当 点E 、F 、G 分别在边AD 、AB 、BC 上，且AF ＜BF ，并满足点H 在矩形ABCD 内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH 部件？若能，求出裁得的四边形EFGH 部件的面积；若不能，请说明理由． 20． 将两张完全相同的矩形纸片ABCD 、FBED 按如图方式放置，BD 为重合的对角线．重叠 部分为四边形DHBG ， （1） 试判断四边形DHBG 为何种特殊的四边形，并说明理由； （2） 若AB =8，AD =4，求四边形DHBG 的面积． 21． 如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 分别在x 、y 轴上，点B 坐标为（6，6），将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度a （0°＜a ＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连CH 、CG ． （1）求证：△CBG ≌△CDG ； （2）求∠HCG 的度数；并判断线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系，说明理由； （3）连结BD 、DA 、AE 、EB 得到四边形AEBD ，在旋转过程中，四边形AEBD 能否为矩形？如果能，请求出点H 的坐标；如果不能，请说明理由． 我们知道，如果两个三角形全等，则它们面积相等，而两 个不全等的三角形，在某些情况下，可通过证明等底等高来说明它们的面积相等．已知△ABC 与△DEC 是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，连接AD 、BE ． （1）如图1，当∠BCE =90°时，求证S △ACD =S △BCE （2）如图2，当0°＜∠BCE ＜90°时，上述结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成绩，说明理由． （3）如图3，在（2）的基础上，作CF ⊥BE ，延长FC 交AD 于点G ，求证：点G 为AD 中点． 25. 平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若E 、F 是AC 两动点，E 、 F 分别从A 、C 两点同时以2cm/s 的相同的速度向C 、A 运动。 (1)四边形DEBF 是平行四边形吗?说明你的理由。(2)若10BD =cm ，18AC = cm ，当运动时间t 为多少时，以D 、E 、B 、F 为顶点的四边形为矩形。 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AB =8cm ，AD =16cm ，BC =22cm ，点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm /s 的速度沿射线CB 运动，当点P 运动到点D 时停止运动，设运动时间为t 秒． (1)当t 为多少时，以A 、B 、Q 、P 为顶点的四边形成为平行四边形？ (2)四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度． 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，3OA =，4OC =，P 为直线AB 上一动点，将直线OP 绕点P 逆时针方向旋转90°交直线BC 于点Q ； A B C D E A B C D E A B C D E F G 图1 图2 图3 第28题图 （1）当点P 在线段AB 上运动（不与A B ，重合）时，求证：BP AP BQ OA ?=?； （2）在（1）成立的条件下，设点P 的横坐标为m ，线段CQ 的长度为l ，写出l 关于m 的函数解析式； （3）直线．．AB 上是否存在点P ，使POQ △为等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝1 2 ∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ． （1）当AB ＝AC 时，（如图1）， ①∠EBF ＝_______°； ②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明； （2）当AB ＝kAC 时（如图2），求BE FD 的值（用含k 的式子表示）． 如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片(如图 2)，量得他们的斜边长为10cm ，较短直角边长为5cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合(在图3至图6中统一用F 表示) 图1 图2 A B C D E F F E D C B A A B C D E F F E D C B A ② 图①图 (图1) (图2) (图3) 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决． (1)将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离； (2)将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度； (3)将图3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6的位置，AB 1交DE 于点H ，请证明：AH ＝DH 如图1，在长方形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始以1cm/s 的速度沿AB 边向 点B 运动，点Q 从点B 以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 运动，如果P 、Q 同时出发，设运动时间为ts ． (1)当t=2时，求△PBQ 的面积． (2)当t= 2 3 时，试说明△DPQ 是直角三角形． (3)当运动3s 时，P 点停止运动，Q 点以原速立即向B 点返回，在返回的过程中，DP 是否能平分∠ADQ ？若能，求出点Q 运动的时间；若不能，请说明理由． 如图，在ABC △和ADE △中，,AB AC AD AE ==，180BAC EAD ∠+∠=?，ABC △ 不动， ADE △绕点A 旋转，连接BE CD 、，F 为BE 的中点，连接AF ． （1）如图①，当90BAE ∠=?时，求证：2CD AF =； （2）当90BAE ∠≠?时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由． E F D A 1C 1 H A D F E G A B D F E A 1 B 1 A 1 E F D A ⑴ 如图1，点E 、点F 分别在边AB 和AD 上，且AE=AF ．此时，线段BE 、DF 的数量关系是， 位置关系是.请直接写出结论． [来 ⑵ 如图2，等腰直角三角形FAE 绕直角顶点A 顺时针旋转∠α，当0°＜α ＜90°时，连接BE 、DF ，此时⑴中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． ⑶ 如图3，等腰直角三角形FAE 绕直角顶点A 顺时针旋转∠α，当α =90°时，连接BE 、DF ，若正方形的边长为1，猜想当AE=时，直线DF 垂直平分BE ．请写出计算过程． ⑷ 如图4，等腰直角三角形FAE 绕直角顶点A 顺时针旋转∠α，当90°＜α ＜180°时，连接BD 、DE 、EF 、FB 得到四边形BDEF ，则顺次连接四边形BDEF 各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论：. 如图1，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M 从点D 出发，以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，同时，点N 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP ⊥AD 于点P ，连接AC 交NP 于点Q ，连接MQ ．设运动时间为t 秒． （1）AM= ，AP= ．（用含t 的代数式表示） （2）当四边形ANCP 为平行四边形时，求t 的值 （3）如图2，将△AQM 沿AD 翻折，得△AKM ，是否存在某时刻t ， ①使四边形AQMK 为为菱形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由 ②使四边形AQMK 为正方形，则AC= ． 第27题图 图④ 图③ 图② 图① B A A B F D C D C D C 28．（本题12分 )已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） D 第28题图① D E 第28题图②第28题图③ 平行四边形和梯形 【知识分析】 平行四边形：两组对边分别平行的四边形。梯形：只有一组对边平行的四边形。平行四边形的高：从平行四边形一条边上的一点向对边引垂线，这点到垂足之间的距离。 【例题解读】 1.例1意在考查学生对平行四边形特征的理解和掌握，能够通过画图建构问题解决几何直观表象，领悟概念本质。 2.例2意在考查学生对平行四边形和梯形概念的掌握情况和对平行四边形和梯形直观表象的建构，渗透数有序思考的策略和方法。 【例1】一个四边形的四个角分别是45度、135度、45度、135度，你能知道它是一个怎样的四边形吗？ 【思路简析】 平行四边形的一个重要特征是对角相等，依题意可以画出下图， 可见，它是一个平行四边形。 【例2】右图中的平行四边形和梯形分别有几个？ 【思路简析】 数平行四边形和梯形时要有一定的顺序，以避免重复和遗漏。可以先给图形中的线段从 左边开始标上序号，如图（⑤号线段为①号和③号线段的和，⑥号线段为②号和④号线段的和）：以①号线段为边的平行四边形有 2个，以②号线段为边的平行四边形有1个，以③号线段为边的平行四边形有2个，以④号线段为边的平行四边形有1个，以⑤号线段为边的平行四边形有2个，以⑥号线段为边的平行四边形有1个，共9个平行四边形；以①号线段为边的梯形有1个，以③号线段为边的梯形有1个，以④号线段为边的梯形有1个，以⑤号线段为边的梯形有1个，同法，右边还有3个梯形，一共7个梯形。 【经典题型练习】 1.一个四边形的四个角分别是45度、45度、135度、135度，你能知道它是一个怎样的四边形吗？ 2.右图中分别有多少和平行四边形和梯形？ 135度 45度 135度 45度 ⑤ ① ② ③ ④ ⑥ 第六讲 三角形和四边形（附详细答案） 1.（2008龙岩）如图1，在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，AD 是∠CAB 的平分线，tan B = 2 1 ，则CD ∶DB = . 2.（2008宁德）如图2，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是_______厘米. 3.（2008莆田）如图3，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD = 2AB ，若沿过点D 的折痕DE 将A 角翻折，使点A 落在BC 上的A 1处，则 ∠EA 1B=_________度. 4．（2008厦门）如图4，为了测量电线杆的高度 AB ，在离电线杆25米的D 处，用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端A 的仰角 22α= ，求电线杆AB 的高．（精确到 0.1米）参考数据：sin 220.3746= ，cos 22 0.9272= ，tan 220.4040= ， cot 22 2.4751= ． 5.（2008三明）如图5，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE=2DE ，延长DE 到点F ，使得EF=BE ，连接CF. （1）求证：四边形BCEF 是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=130°，求菱形BCEF 的面积. 参考数据： tan 65°=2.15。 6.（2008南平）如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以 AB AC ，为边， 向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD ，相交于点O ．①如图1，求证：ABE ADC △≌△； ②探究：如图1，BOC ∠= ； 如图2，BOC ∠= ；如图3，BOC ∠= ． （2）如图4，已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正 n 边形的一组邻边； AC AE ，是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点O ． ①猜想：如图4，BOC ∠= （用含n 的式子表示）；②根据图4证明你的猜想． 图1 B E 图3 图5 A B E C D α 图4 认识三角形和四边形同步检测 一、细心思考，认真填空。 1、按要求填写序号。 上面的图形中，立体图形有（），平面图形有（）；三角形有（）个，其中（）是锐角三角形。（）是直角三角形，（）是钝角三角形。 2、一个三角形的两个内角分别是43°和47°，第三个内角是（）°，这是一个（）三角形(按角分类)。 3、一个等边三角形的周长是36厘米，它的边长是（）厘米，每个内角都是（）°。 4、百家超市入口处有一块等腰三角形的“小心滑倒”提示牌，顶角是50°，那么其中一个底角是（）°，它还是一个（）三角形。（按角分类） 5、等腰三角形的一条边长5厘米，另一条边长10厘米，围成这个等腰三角形需要（）厘米长的绳子。 二、仔细推敲，认真辨析（对的在括号里画“√”，错的画“×”）。 1、有一个角是锐角的三角形是锐角三角形。（） 2、钝角三角形的内角大于直角三角形的内角和。（） 3、三角形中最大的内角一定不小于60°。（） 4、一个等腰三角形的三条边分别长3厘米、3厘米、7厘米。（） 5、因为一个四边形可以分成2个三角形，一个三角形的内角和是 180°，所以四边形的内角和是360°。（） 三、反复比较，谨慎选择（把正确答案前的字母填在括号里）。 1、小白兔要给一块地围上篱笆，下面的围法（）更牢固些。 2、任意一个三角形至少有（） A 1 B 2 C 3 3、把一个长方形沿着对角线剪成两个三角形，这两个三角形 （）。 A 一定是直角三角形 B 一定是锐角三角形 C可能是锐角三角形，可能是钝角三角形，也可能是直角三角形4、小刚从一堆废木料中选了3组木条，准备钉一个三角形木架，下面能钉成三角形木架的一组是（） A 4分米、4分米、8分米 B 2分米、3分米、6分米 C 3分米、4分米、6分米 5、在一个三角形中，有一个角的度数等于其他两个角的度数之和，这是一个（）三角形。 A 锐角 B 直角 C 钝角 四、看清数据，准确计算。 1、分别计算出下面各图中未知角的度数。 一、专心填一填。 1、三角形的内角和是（）°，一个等腰三角形，它的一个底角是 26°，它的顶角是（）。 2、长5厘米，8厘米,（）厘米的三根小棒不能围成一个三角形 3、三角形具有（）性。 4、一个三角形中有一个角是45°，另一个角是它的2倍，第三个角是（），这是一个（）三角形。 5、按角的大小，三角形可以分为（）三角形、（）三角形、（）三角形。 6、在三角形中，∠1=30°，∠2=70°，∠3=（）°，它是（）三角形。 7、有（）组对边平行的四边形是平行四边形。 8、在一个直角三角形中，有一个角是30°,另两个角分别是（）（） 9、长方形正方形是特殊的（）形。 10、将一个大三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形的内角和是（）度。 11、三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是（）三角形，另一个角是（）度。 12、一个等边三角形的边长是9厘米，它的周长是（）厘米。 二、细心判一判（对的打“√”，错的打“×”）。 1、等边三角形的每一个内角都是60o。（） 2、等边三角形是特殊的等腰三角形。（） 3、有一组对边平行的四边形叫做梯形。（） 4、直角三角形的两个锐角之和大于直角。（） 5、用三根不一样长的小棒一定能围成一个三角形。（） 6、有一个角是钝角的三角形一定是钝角三角形。（） 7、等腰三角形中有锐角三角形，也有直角三角形和钝角三角形。（） 8、一个锐角三角形的三个内角分别是56°、70°、64°（） 9、一个三角形有两条边都是4厘米，第三条边一定大于4厘米。（） 10、两个完全一样的三角形，可以拼成一个平行四边形。（） 11、在一个三角形中截去一个20°的锐角，剩下图形的内角和是160。 12、一个等腰三角形中，有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形。（） 三、精心选一选（将正确答案的序号填在括号里）。 与三角形有关的角练习题 一、选择题： 1．若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于（ ） A.45 B.60 C.30 D.1 2．下列命题中，不正确的为（ ） A ．钝角三角形是斜三角形 B ．在一个三角形中至多有一个内角不小于60 C ．三角形的没有公共顶点的两个外角的和大于平角 D ．三角形的外角中，最小的一个是钝角，那它一定是锐角三角形 《 3．以下命题正确的是（ ） A.三角形三个外角的和是360 B ．三角形一个外角大于它的两个内角的和 C.三角形的外角都不大于90 D ．三角形中的内角没有大于120的 4．下列说法正确的是（ ） A.一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形 B ．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形 C.一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形 D ．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形 （ 5．三角形的三个外角中，钝角的个数最少是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 6．如图，ABC ?中，AD 是BC 边上中线，AE 是BD 边的中线，AF 是DC 边的中线，且AB 五年级平行四边形和三角形练习专题 一、填空题 1、一个平行四边形的底是14厘米，高是9厘米，它的面积是（）；与它等底等高的三角形面积是（）。 2、一个三角形比与它等底等高的平行四边的面积少30平方厘米，则这个三角形的面积是 （）。 3、一个三角形的面积是4.5平方分米，底是5分米，高是（）分米。 4、在推导平行四边形面积计算公式时，可把平行四边形通过割补平移转化为( )形去推导，推导三角形面积计算公式时，可把两个完全一样的三角形拼成一个( )形去推导，推导梯形面积计算公式时，可把两个完全一样的梯形拼成一个( )形进行推导。 5、两个一样的三角形通过（）、（）可以拼成平行四边形，平行四边形的面积（）两个三角形面积的和。 6、同底同高的平行四边形的面积是三角形面积的（）倍。 7、一个三角形底5dm，高6dm，面积是（），与它等底等高的平行四边形面积是（）8、直角三角形的两条直角边长分别为3厘米和4厘米，这个直角三角形面积是( )平方厘米。 9、一个三角形的面积是25平方厘米，和它等底等高的平行四边形的面积是()平方厘米。 10、一个平行四边形的底是6厘米，高是14厘米，它的面积是（）平方厘米，与它等底等高的三角形面积是（）平方厘米。 11、一块平行四边形田地，底是25米，高是17米，这块田地的面积是( )平方米。 12、一个直角三角形的面积是48平方米，一条直角边6米，另一条直角边( )米。 二、判断题 1.三角形面积是平行四边形面积的一半。( ) 2.平行四边形可以由两个完全相同的三角形拼成。( ) 3.周长相等的平行四边形面积也相等。( ) 4.面积相等的三角形一定等底等高。( ) 5.等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。（） 三、求下面图形的面积。 四、应用题 10cm 9cm 12dm 8dm 认识三角形和四边形练习题 一、专心填一填。（20分） 1、三角形的内角和是（）°，一个等腰三角形，它的一个底角是26°，它的顶角是（）。 2、长5厘米，8厘米,（）厘米的三根小棒不能围成一个三角形 3、三角形具有（）性。 4、一个三角形中有一个角是45°，另一个角是它的2倍，第三个角是（），这是一个（）三角形。 5、按角的大小，三角形可以分为（）三角形、（）三角形、（）三角形。 6、在三角形中，∠1=30°，∠2=70°，∠3=（）°，它是（）三角形。 7、有（）组对边平行的四边形是平行四边形。 8、在一个直角三角形中，有一个角是30°,另两个角分别是（）（） 9、长方形正方形是特殊的（）形。 10、将一个大三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形的内角和是（）度。 11、三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是（）三角形，另一个角是（）度。 12、一个等边三角形的边长是9厘米，它的周长是（）厘米。 二、细心判一判（对的打“√”，错的打“×”）。（每空1分，共计12分） 1、等边三角形的每一个内角都是60o。（） 2、等边三角形是特殊的等腰三角形。（） 3、有一组对边平行的四边形叫做梯形。（） 4、直角三角形的两个锐角之和大于直角。（） 5、用三根不一样长的小棒一定能围成一个三角形。（） 6、有一个角是钝角的三角形一定是钝角三角形。（） 7、等腰三角形中有锐角三角形，也有直角三角形和钝角三角形。（） 8、一个锐角三角形的三个内角分别是56°、70°、64° （） 9、一个三角形有两条边都是4厘米，第三条边一定大于4厘米。（） 10、两个完全一样的三角形，可以拼成一个平行四边形。（） 11、在一个三角形中截去一个20°的锐角，剩下图形的内角和是160。 12、一个等腰三角形中，有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形。（） 三、精心选一选（将正确答案的序号填在括号里）。（每空1.5分，共18分） 1、三角形的高有（）条。 A、1 B、3 C、无数 2、所有的等边三角形都是（）三角形。 1. 如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，AD 是角平分线，E 是BC 边的中点，EF ⊥AD 于点F ，CG ⊥AD 于点G ，若tan ∠CAD=4 3，AB ＝20，则线段EF 的长为____ 2. 如图，在△ABC 中，tan ∠ACB=3，点D 、E 在BC 边上，∠DAE ＝2 1∠BAC ，∠ACB ＝∠DAE ＋∠B ，点F 在线段AE 的延长线上，AF ＝AD ，若CD ＝4，CF ＝2，则AC 边的长为_____ 3. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，BD=CE=BC ，点F 在BC 边上，DF 与BE 交于点G 。若BG=1，∠BDF=2 1∠ACB ，则线段EG 的长为___ B C B A 4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，角平分线BD 、CE 交于点F ，若BC ＝3CD ，BF ＝2，则BC 边的长为____ 5. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACD ＝45°，点E 在射线BD 上，AE//CD ，AE ＝DE ，若BD ＝1，CD ＝5，则AE 的长为____ 6. 如图，△ABC 中，∠AB ＝90°，CD 是AB 边上的中线，点F 在线段AD 上，点F 在CD 延长线上，AE ＝DF ，连接CE 、BF ，若∠AEC ＝∠DFB ，AC ＝32，DF ＝13 ，则线段CE 的长为_____ 7. 如图，在等边△ABC 中，D 为AB 边上一点，连接CD ，在CD 上取一点E ，连接BE ，∠BED ＝60°，若E A B E A B 与三角形有关的角习题 一、填空题 1．等腰三角形的一个内角是30°，那么这个三角形另两角的度数是_______． 2．过△ABC的顶点C作AB的垂线，如果这条垂线将∠ACB分为40°和20°两个角，?那么∠A，∠B中较大的角的度数是_______． 3．一个三角形中，最多有_____个锐角，最少有_____个锐角，最多有_____钝角． 4．如图1，∠1=31°，∠2=52°，∠3=60°，则∠4的度数为______． 5．如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是_______． 6．如图3，△ABC中，∠C=90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，?BD?的延长线交AC于E，则∠ADE的度数是________． 7．如图4，五角星的五个角∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的度数之和等于________． 8．一个非直角三角形ABC的∠A=55°，三条高所在直线交于点H，则∠BHC?的度数是________． 二、选择题 9．三角形的三个内角中（） A．至少有一个是钝角B．至少有一个是直角 C．至少有两个是锐角D．至多有两个是锐角 10．具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（） A．∠A+∠B=∠C B．∠B=∠C=1 2 ∠A C．∠A=90°-∠B D．∠A-∠B=90° 11．在锐角三角形中，∠A>∠B>∠C，则下列结论中错误的是（） A．∠A>60°B．∠B>45°C．∠C<60°D．∠B+∠C<90° 12．如图5，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（） A．30°B．36°C．45°D．70° 13．如图6，∠A=50°，BD，CD分别是∠B，∠C的平分线，则∠BDC等于（） A．65°B．100°C．115°D．130° 14．如果三角形三个内角度数的比是1：2：3，则这个三角形一定是（） A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．不能确定 答案：1．75°，75°或0°，120°2．70°3．3214．37°5．360?°?6．45°7．180°8．55°或125°9．C10．D11．D12．B13．C14．B 第二单元《认识三角形和四边形》单元试卷 姓名：班级：座号： 一、单选题（共5题；共20分） 1.木头椅子摇晃了，常常在椅子下边斜着钉木条，这是运用了（）。 A. 三角形的稳定性 B. 平行四边形容易变形的特性 2.用放大5倍的放大镜看一个三角形，这个三角形内角和是（）。 A. 360° B. 900° C. 180° 3.等腰三角形中有一个角是50°，另外两个内角（）。 A. 都是65° B. 是50°和80° C. 是50°和80°或者都是65° 4.按照下图所示的方式将直角三角形纸片折叠，角a的度数是（）度。 A. 45 B. 60 C. 70 D. 90 5.下列选项的图形中，不能直接判断出三角形种类的是（）。 A. B. C. 二、判断题（共5题；共15分） 1.三角板三个内角的和是180°。（） 2. 长方形和正方形的四个角都相等。（） 3.平行四边形的对边相等。（） 4.一个三角形中，至少有两个角是锐角。（） 5.左面的物体从上面看到的形状是。（） 三、填空题（共5题；共14分） 1.两组________分别________的四边形叫做平行四边形。 2.围成一个图形所有边长的总和叫做这个图形的________。 3.一个三角形的一个内角的读数是108°,这个三角形按角分是________三角形。 4.任意四边形的内角和都是________度。 5.三角形的两个内角和是85°，这是一个________三角形，另一个角是________°。 四、根据条件，在方格纸上画图形(小方格的边长是1cm)（共5分） 上底是2cm，下底是5cm，高是2cm的梯形。 五、列式计算（共10分） ①一个等腰三角形的底角是70°，它的顶角是多少度？ ②273与45的差比73多多少？ 六、按要求分一分。（写序号）（共20分） （1）锐角三角形有________。 （2）直角三角形有________。 （3）钝角三角形有________。 七、求下面各个三角形中∠A的度数。（共4分） 特殊三角形与四边形 ——几何综合专题复习一、教材内容解析 《特殊三角形与四边形》，是在九年级下学期第一轮系统复习《直线形》中的一节小专题复习课，是在前面复习了三角形、特殊三角形、平行四边形、矩形、菱形及正方形的基础上进行的,本节课将以直线形为载体,以方程、分类讨论的思想为主线,是学生学习几何图形的再知和整合的过程,通过本节课的学习,逐步增强学生利用特殊三角形与四边形的相关知识解决综合问题的能力,为中考和以后学习其它的几何图形做好准备. 二、学习目标 1、在问题的引导下,进一步体会特殊三角形与四边形之间的关系； 2、通过问题的解决,形成解决相关问题的基本方法和思路,进一步优化解决问题的策略; 3、在活动的探究中,逐步增强利用特殊三角形与四边形的相关知识解决综合问题的能力; 4、结合特殊三角形与四边形相关的几何问题,体会方程、分类讨论的数学思想. 三、重点难点 重点:体会特殊三角形与四边形之间的联系。 难点:在特殊三角形与四边形的背景下,综合运用相关知识解决问题 四、教学活动 活动一：动手操作 两个全等的直角三角形可以拼成哪些特殊的三角形或四边形？ （1）拼成的等腰三角形可能三条边都相等吗？这两个直角三角形需要满足什么条件？（2）拼成的矩形会是正方形吗？ （3）拼成的平行四边形可能是菱形吗？为什么？ 【设计意图】从动手操作中激发学习对特殊三角形与四边形复习的兴趣，通过追问，体会特殊三角形与四边形之间的联系，从而使学生在轻松的氛围中进入学习的佳境。 活动二：基础练习 1、如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD，用直尺和圆规作∠DAB的平分线； （1）△ADH的形状是； （2）连接BH ，若BH 平分∠ABC ，则AD 、AB 的数量关系是 。 2、如图所示，菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，则菱形ABCD 的面积为 ． 【设计意图】这组基础训练题，以便了解学生对基础知识、基本方法的掌握情况，通过巧妙变式，使学生总结方法、形成能力，感受三角形是四边形的基础，四边形问题的转化途径是三角形。 活动三：例题讲解 例1、如图，矩形ABCD 中，E 为BC 边上一点，将矩形ABCD 沿AE 所在的直线折叠，B 点恰好落在对角线AC 上的B′处， （1）若AB=3，BC=4； ①B’C= ； ②求CE 的长 ； （2）若BC=3BE ，则∠ACB= ． 【设计意图】例一体现了矩形与直角三角形的联系，例题讲解针对学生日常重点问题，通过一题多解，从不同角度,不同方位审视分析同一题中的数量关系,用不同解法求得相同结果，逐步增强学生解决综合问题的能力，同时也渗透方程的数学思想。 例2、如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将△ABC 沿EF 所在的直线折叠，点C 恰好落在点B 处。 （1）证明：点E 是AC 的中点； （2）过点B 作AC 的平行线，交EF 的延长线于点D ，连接CD ，证明：四边形BECD 是菱形 B A C F B A C F D B D 一、填空题。 1. 三角形按角分类分为（）三角形、（）三角形和（）三角形。 2. 锐角三角形的三个角都是（）角；直角三角形中必定有一个是（）角；钝角三角形中也必定有一个角是（）角。 3. 在三角形中，已知∠1＝55°，∠2＝48°，∠3＝（）。 4. 等腰三角的顶角是60°，它的一个底角是（），它又叫（）三角形。如果底角是70°，顶角是（）；如果底角是45°，它的顶角是（），它又叫（）三角形。 5. 任何一个三角形都具有（）特性，都有（）条高。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 等边三角形一定是锐角三角形。（） 2. 等腰三角形一定是锐角三角形。（） 3. 钝角三角形只有一条高。（） 4. 三角形的三个内角的和的大小与三角形的大小无关，都是180°。（） 5. 任何一个三角形至少有两个锐角。（） 三、根据要求做题。 1. 画出下面每个三角形指定底边上的高。 2. 根据条件画三角形。 ①两条边分别是2厘米和5厘米，它们的夹角是60°。 ②两条边都是3厘米，它们的夹角是90°。 四、∠1、∠2、∠3分别是三角形中的三个内角。 ①∠1＝140°，∠2＝25°，求∠3。 小学四年级三角形复习课练习题 （1）一个三角形中至少有（）个锐角，最多有（）个钝角。（2）用两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是（）度。 （3）等腰三角形的一个底角是40度，它的顶角是（）度。（4）一根90厘米长的铁丝，围一个腰长为40厘米的等腰三角形，这个三角形的底边长（）厘米。 （5）直角三角形有（）条高。 A 、1 B、2 C、3 （6）当三角形中的两个内角之和等于第三个角时，这是一个（）三角形。 A、锐角 B、直角 C、钝角 （7）一个三角形中，有一个角是65°，另外两个角可能是（）。 A、95°20° B、45°80° C、55°70° （8）一个三角形的两条边长分别是4厘米，6厘米，第三条边一定比（）厘米短。第三条边一定比（）厘米长。 A、2 B、6 C、10 （9）羊村有一个等腰三角形花坛，周长是32米,已知一条边为6米,另外两条边各长多少米？（10）如果直角三角形的一个锐角是20度，那么另一个锐角是多少度？ （11）懒羊羊有两根木条，一根是8厘米，另一根是12厘米，它想搭一个三角形，再拿一根几厘米长的木条就可以搭成一个三角形呢？这根木条最长是（）厘米，最短是（）厘米。 （12）美羊羊用一根20厘米长的铁丝围成了一个三角形，三角形的边 第二单元：认识三角形和四边形知识点及测试题 1.图形分为：立体图形和平面图形。 2.平面图形： a、圆（由曲线围成的图形） b、三角形、四边形、多边形（由线段围成的图 形） 3.三角形内角和是 180°。锐角：小于 90°的角是锐角。钝角：大于 90 °的角是钝角。直角： 等于 90°的角是直角。平角=180°；周角=360° 4.等腰三角形相等的两条边叫做腰。等腰三角形两腰间的夹角叫顶角。腰与底边的夹角叫底角。 5.等腰三角形包含：等腰三角形、等边三角形（又叫正三角形）、等腰直角三角形。 等边三角形是特殊的等腰三角形，它的每个内角都是60°。 6. 三角形不易变形具有稳定性。四边形易变形具有不稳定性. 直角三角形（有一个直角两个锐角） 按角分锐角三角形（三个角都是锐角） 钝角三角形（有一个钝角两个锐角） 7 . 三角形 （有三条边）等边三角形（三条边都相等）是对称图形，有三条对称轴 按边分等腰三角形（有两条边相等）是对称图形，有一条对称轴 不等边三角形（三条边都不相等） 8.三角形任意两边之和大于第三边。 9. 由四条线段围成的封闭图形叫四边形四边形内角和是360°。 10. 正方形是特殊的长方形。长方形和正方形是特殊的平行四边形。 11.平行四边形：两组对边分别平行且相等的四边形。 12.梯形：只有一组对边平行的四边形。 13.平行的两条边叫做梯形的底边，上面的一条叫上底，下面一条叫下底。 14. 梯形的周长：上底 + 下底 + 腰+ 腰梯形的面积：（上底+下底）×高÷2 15.. 根据三角形的边长判定三角形的类型： 较小两边的平方和小于最长边的平方钝角三角形 较小两边的平方和等于最长边的平方直角三角形 较小两边的平方和大于最长边的平方钝角三角形 16.. 等腰三角形的两个底角相等。等边三角形是特殊的等腰三角形。 一般平行四边形 平行四边形：长方形 特殊的平行四边形 （两组对边分别平行且相等的四边形）正方形 17. 四边形一般四边形：正方形是特殊的长方形 （有四条边）（两组对边都不平行的四边形）一般梯形 等腰梯形是轴对称图形 梯形：等腰梯形：两条腰相等，同一底上的两个底角相等。 （只有一组对边平行的四边形）直角梯形：一条腰垂直于的的梯形。 第二单元认识三角形和四边形测试题 一、填空： 1. 有一个角是直角的三角形是（）有一个角是钝角的三角形是（），三个角是 锐角的三角形是（）。任何三角形都有（）个角，（）条边，（）顶角。 2. 等腰三角形相等的两条边叫（），另一条边叫（）；两腰的夹角叫（），底边 上的两个角叫（）。 3. 三角形中三个角都相等的是（）三角形，又叫（）三角形。它的三天边都（），每个角都是（）度。 4. 三角形按角分可以分为（）（）（）；按边分可以分为（）（）（）。三角形是（）图形，圆球是（）图形。 5.三角形最多有（）直角，最多有（）钝角，最多有（）锐角，至少有（）个锐角。 6.（）条边相等的三角形是等腰三角形，（）条边都相等的三角形是等边三角形。 与三角形有关的角测试题 一、选择题 1、一个三角形的两个内角分别是55°和65°，不可能是这个三角形外角的是（） A．115°B．120° C．125°D．130° 2、如图，已知∠1=20°，∠2=25°∠A=35°，则∠BDC的度数为（） A．50°B．80° C．70°D．60° 3、已知如下图所示，△ABC， （1）如图（1），若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则 （2）如图（2），若P点是∠ABC和∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°－∠A；（3）如图（3），若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则 上述说法正确的个数是（） A．0个B．1个 C．2个D．3个 4、如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4=（） A．100°B．200° C．280°D．300° 5、下列语句中，正确的是（） A．三角形的外角大于它的内角 B．三角形的一个外角等于它的两个内角 C．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角 D．三角形的外角和为180° 6、如图所示，住宅小区呈三角形ABC形状，且周长为2000m，现规划沿小区周围铺上宽为3m的草坪，则草坪的面积（精确到1m）是（） A ．6000m 2 B ．6016m 2 C ．6028m 2 D ．6036m 2 7、在△ABC 中，AD⊥BC 于D ，且AD 将∠BAC 分成的两个小角度分别为20°和50°，则此三角形一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对 8、如图∠2＋α=180°，则下列式子中值为180°的是（ ） A ．α＋β＋γ B ．α＋β－γ C ．β＋γ－α D ．α－β＋γ 9、如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=（ ） A ．150° B ．180° 三角形习题 1 、一个三角形有（）个顶点，（）个角和（）条边。 2、这个架子太危险，怎样加固呢？这是利用了三角形的（）特性。 3、宁宁要去书店，有几种走法？哪种最近，为什么？ 4、给下面的三角形画高，一个三角形有（）条高。 5、三角板上的三个角的度数分别是（）、（）、（）或（）、（）、（）。 6、一个等腰三角形的顶角是120o，它的底角是（）度，是（）三角形。 7、等腰三角形的周长是20 厘米，底边长8 厘米，腰长（）厘米。 8、在一个等腰三角形中，顶角是一个底角的 3 倍，这个三角形三个角的度数分别为（）、 （）、（）。 9、三角形的三边关系：①三角形任意两边之和第三边；②三角形任意两边之差第 三边。下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？（单位：厘米。填“能” 或“不能”）（1）3，4，5（）（2）8，7，15（） （3）13，12，20（）（4）5，5，11（） 10、三角形三个内角的和等于。在△ABC中，∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度。 11、三角形按内角的大小分为三类，一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什 A 么三角形？（1）30°和60°（） （2）40°和70°（） （3）50°和30°（） B C 12、直角三角形的两锐角相加等于（）度。 如上图，在直角三角形ABC中，∠A=2∠B，则∠A= 度，∠B= 度。 13、在△ABC中，AB＝5，BC＝9，那么＜AC＜ 14、一个三角形的两边长分别是 3 和8，而第三边长为奇数，那么第三边长是 A 15、已知一个等腰三角形的一边是3cm，一边是7cm，这个三角形的周长是 16、如右图，∠1=60°，∠D=20°，则∠A= 度 C D 1 E 17、如右图，AD垂直于BC，∠1=40°，∠2=30°，则∠B= 度，∠C= 度 B 18、在空白处填入“锐角”、“直角”或“钝角”： （1）如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是三角形； （2）如果三角形的两个内角都小于40°，那么这个三角形是三角形。 19、最少用（）个等腰三角形可以拼成一个 几何图形综合题 几何图形综合题是四川各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练． 题型1 与三角形、四边形有关的几何综合题 类型1 操作探究题 (2019·南充)如图，点P 是正方形ABCD 内一点，点P 到点A ，B 和D 的距离分别为1，22，10. △ADP 沿点A 旋转至△ABP ′，连PP ′，并延长AP 与BC 相交于点Q. (1)求证：△APP ′是等腰直角三角形； (2)求∠BPQ 的大小； (3)求CQ 的长． 【思路点拨】 (1)利用旋转相等的线段、相等的角APP ′是等腰直角三角形；(2)利用勾股定理逆定理证△BPP ′是直角三角形，再利用(1)的结论，得∠BPQ 的大小；(3)过点B 作BM ⊥AQ 于M ，充分利用等腰直角三角形、直角三角形的性质，特别是锐角三角函数，先求得正方形的边长和BQ 的长，进而求得CQ 的长度． 【解答】 (1)证明：由旋转可得：AP ＝AP ′，∠BAP ′＝∠DAP. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝90°. ∴∠PAP ′＝∠PAB ＋∠BAP ′＝∠PAB ＋∠DAP ＝∠BAD ＝90°. ∴△APP ′是等腰直角三角形． (2)由(1)知∠PAP ′＝90°，AP ＝AP ′＝1， ∴PP ′＝ 2. ∵P ′B ＝PD ＝10，PB ＝22， ∴P ′B 2＝PP ′2＋PB 2 . ∴∠P ′PB ＝90°. ∵△APP ′是等腰直角三角形， ∴∠APP ′＝45°. ∴∠BPQ ＝180°－90°－45°＝45°. (3)过点B 作BM ⊥AQ 于M. ∵∠BPQ ＝45°，∴△PMB 为等腰直角三角形． 由已知，BP ＝22，∴BM ＝PM ＝2. ∴AM ＝AP ＋PM ＝3. 在Rt △ABM 中， AB ＝AM 2 ＋BM 2 ＝32 ＋22 ＝13. ∵cos ∠QAB ＝ AM AB ＝AB AQ ，即313 ＝13AQ ， ∴AQ ＝ 133 . 在Rt △ABQ 中，BQ ＝AQ 2 －AB 2 ＝ 2 3 13. ∴QC ＝BC －BQ ＝13－2313＝13 3 . 八上《与三角形有关的角》练习题 1．△ABC 中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________． 2．已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 3．△ABC 中，∠A=∠B+∠C ，则∠A=______度． 4．根据下列条件，能确定三角形形状的是（ ） （1）最小内角是20°； （2）最大内角是100°； （3）最大内角是89°； （4）三个内角都是60°； （5）有两个内角都是80°． A ．（1）、（2）、（3）、（4） B ．（1）、（3）、（4）、（5） C ．（2）、（3）、（4）、（5） D ．（1）、（2）、（4）、（5） 5．如图，∠1+∠2+∠3+∠4=______度． 6．三角形中最大的内角不能小于_______度， 最小的内角不能大于______度． 7．△ABC 中，∠A 是最小的角，∠B 是最大的角，且∠B=4∠A ，求∠B 的取值范围． 8．如图2，在△ABC 中，∠BAC=4∠ABC=4∠C ，BD ⊥AC 于D ， 求∠ABD 的度数． 综合创新作业 9．（综合题）如图3，在△ABC 中，∠B=66°，∠C=54°，AD 是 ∠BAC 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，则∠BDE=_________． 10．（应用题）如图是一个大型模板，设计要求∠ADC=130°,现在 已测得∠A=40°，∠B=60°，∠C=100°。该模板是否合格？ 11．（创新题）如图，△ABC 中，AD 是BC 上的高，AE 平分∠BAC ，∠B=75°，?∠C=45°，求∠DAE 与∠AEC 的度数． B A C D 五年级平行四边形和三角形练习专题认真审题！熟记公式！ 一、填空题 1、一个平行四边形的底是14厘米，高是9厘米，它的面积是（）；与它等底等 高的三角形面积是（）。 2、一个三角形比与它等底等高的平行四边的面积少30平方厘米，则这个三角形的面积是 （）。 3、一个三角形的面积是4.5平方分米，底是5分米，高是（）分米。 4、在推导平行四边形面积计算公式时，可把平行四边形通过割补平移转化为( )形去推 导，推导三角形面积计算公式时，可把两个完全一样的三角形拼成一个( )形去推导， 推导梯形面积计算公式时，可把两个完全一样的梯形拼成一个( )形进行推导。 5、两个一样的三角形通过（）、（）可以拼成平行四边形，平行四边 形的面积（）两个三角形面积的和。 6、同底同高的平行四边形的面积是三角形面积的（）倍。 7、一个三角形底5dm，高6dm，面积是（），与它等底等高的平行四边形面积是（） 8、直角三角形的两条直角边长分别为3厘米和4厘米，这个直角三角形面积是( )平方厘 米。 9、一个三角形的面积是25平方厘米，和它等底等高的平行四边形的面积是( )平方厘米。 10、一个平行四边形的底是6厘米，高是14厘米，它的面积是（）平方厘米，与它等 底等高的三角形面积是（）平方厘米。 11、一块平行四边形田地，底是25米，高是17米，这块田地的面积是( )平方米。 12、一个直角三角形的面积是48平方米，一条直角边6米，另一条直角边( )米。 二、判断题 1.三角形面积是平行四边形面积的一半。( ) 2.平行四边形可以由两个完全相同的三角形拼成。( ) 3.周长相等的平行四边形面积也相等。( ) 与三角形有关的角课时练第一课时7.2.1与三角形有关的内角 1.在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸片， 把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写 出这一定理的结论：三角形的三个内角和等于° 1 ∠C，则∠C 等于（）2.在△ABC 中，若∠A= ∠B= 2 A.45 ° B.60° C.90° D.120°第1题 图 3.一个三角形的内角中，至少有（） A 一个内角 B. 两个内角 C.一内钝角 D.一个直角 4.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4 的度数为（） A100 ° B.180° C.360° D.无法确定 5.如图所示，AB ∥CD，AD ，BC 交于O，∠A=35 °，∠BOD=76 °，则∠C 的度数是（） A.31 ° B.35° C.41° D.76 ° 6.在△ABC 中：（1）若∠A=80 °，∠B=60 °，则∠C= （2）若∠A=50 °，∠B=∠C，则∠C= （3）若∠A ∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A= ∠B= ∠C= ；（4）若∠A=80 °，∠B-∠C=40°，则∠C= 7.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4 的度数为. 第4题 图第5题 图第8题 图 第7题图 8.一幅三角板，如图所示叠放在一起，则 2 中 a 的度数为（） A.75 ° B.60° C.65° D.55° 9.如图所示，AD 、AE 分别是△ABC 的角平分线和高，若∠B=5 0°，∠C=70°， 求∠DAC 的度数. 第9题 图 第一课时答案 ： 1.180； 2.C，提示：依据三角形内角和定理得，1 2 ∠C+ 1 2 ∠C+∠C=180°，解得∠C=90°； 三角形与四边形的综合题 知识梳理 教学重、难点 作业完成情况 典题探究 1．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（）． （A）①②③（B）①④⑤（C）①②⑤（D）②⑤⑥ 2．把“直角三角形、等腰三角形、?等腰直角三角形”填入下列相应的空格上：（1）正方形可以由两个能够完全重合的_________拼合而成； （2）菱形可以由两个能够完全重合的_________拼合而成； （3）矩形可以由两个能够完全重合的________拼合而成． 3．一张矩形纸片按如图甲或乙所示对折，然后沿着图丙中的虚线剪下，得到①，?②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）． （A ）三角形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）梯形 4．小许拿了一张正方形的纸片如图甲，沿虚线对折一次得图乙．?再对折一次得图丙．然后用剪刀沿图丙中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角．打开后的形状是（? ）． 演练方阵 A 档（巩固专练） 1.用 一 把 刻 度 尺 来 判 定 一 个 零 件 是 矩 形 的 方 法 是 . 2．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ． 3．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2． 4．如图1，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有_______个平行四边形． 5若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 A B C D (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形． 6．，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝ ⒎以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE，则∠AED 的度数为 . 8．延长正方形ABCD 的边AB 到E ，使BE ＝AC ，则∠E＝ ° 9．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么 AP 的长为 ． 10．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)， B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形 ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ． B 档（提升精练） 1如图1，在四边形ABCD 中，AB CD =，E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，则BME CNE ∠=∠（不需证明） ． （温馨提示：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ，连结HE HF 、，根据三角形中位线定理，证明HE HF =，从而12∠=∠，再利用平行线性质，可证得BME CNE ∠=∠．） 问题一：如图2，在四边形 ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E F 、分别是 BC AD 、的中点，连结EF ，分别交DC AB 、于点M N 、，判断OMN △的形状，请直接 写出结论． 问题二：如图3，在ABC △中，AC AB > ，D 点在AC 上，AB CD =， E F 、分别是BC AD 、的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=°，连结GD ，判断AGD △的形状并证明． A C D F E N M O B C D H A F N M 1 2 图1 图2 图3 A B D F G E四年级平行四边形、梯形和三角形典型练习题
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