初中数学·分式
一、分式的定义：
一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B
A
叫做分式，A 为分子，B 为分母。 二、与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（?
?
?≠=00
B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（??
?>>00B A 或???<<00
B A ）
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（??
?<>00B A 或???><0
B A ）
⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
三、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：
C B C ??=
A B A ，C
B C
÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：
B
B A B B --
=--=--=A
A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件
B ≠0。
四、分式的约分
1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3．注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法：
1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.
3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.
五、分式的通分
1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依据：分式的基本性质！）
2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时，最简公分母的确定方法：
1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.
① 分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
d
b c
a d c
b a ??=
? 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为：c
c ??=?=÷b d
a d
b a d
c b a
② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：n n n
b a b a =??
?
??
③ 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：
c b
a c
b ±=
±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：bd
bc
ad d c ±=±b a
整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错
误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。 七、整数指数幂
① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一
样适用。即：
n m n m a a +=?a ()
mn n
m
a a = ()n n n
b b a a = n m n m a a -=÷a （0≠a ）
n n b a b a =??
? ??n
n a 1=-n
a 0≠a ） 10=a （0≠a ） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）
其中m ，n 均为整数。
八、分式方程的解的步骤：
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。 产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
九、列分式方程——基本步骤： ① 审—仔细审题，找出等量关系。 ② 设—合理设未知数。
③ 列—根据等量关系列出方程（组）。 ④ 解—解出方程（组）。注意检验 ⑤ 答—答题。
分式计算题精选
一．选择题（共2小题）
1．（2012?台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程
中正确的是（）
A．B．C．D．
2．（2011?齐齐哈尔）分式方程=有增根，则m的值为（）
A．0和3 B．1C．1和﹣2 D．3
二．填空题（共15小题）
3．计算的结果是_________．
4．若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=_________
5．已知等式：2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，10+=102×，（a，b均为正整数），则a+b=_________ 6．计算（x+y）?=_________．
7．化简，其结果是_________．
8．化简：=_________．
9．化简：=_________．
10．化简：=_________．
11．若分式方程：有增根，则k=_________．
12．方程的解是_________．
13．已知关于x的方程只有整数解，则整数a的值为_________．
15．若关于x的分式方程无解，则a=_________．
16．已知方程的解为m，则经过点（m，0）的一次函数y=kx+3的解析式为_________．
17．小明上周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶，若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为_________．
三．解答题（共13小题）
18．计算：19．化简：．
20．A玉米试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B玉米试验田是边长为（a﹣1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克．
（1）哪种玉米的单位面积产量高？
21．化简：=_________．22．化简：．
23．计算：．24．计算．
25．解方程：．26．解方程：
28．①解方程：2﹣=1；
②利用①的结果，先化简代数式（1+）÷，再求值．
29．解方程：
（1）（2）．
30．解方程：
（1）﹣=1；（2）﹣=0．
2014寒假初中数学分式计算题精选
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．（2012?台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程
中正确的是（）
A．B．C．D．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
专题：压轴题．
分析：根据公共汽车的平均速度为x千米/时，得出出租车的平均速度为（x+20）千米/时，再利用回来时路上所花时间比去时节省了，得出分式方程即可．
解答：解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时，
根据回来时路上所花时间比去时节省了，得出回来时所用时间为：×，
根据题意得出：
=×，
故选：A．
点评：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，本题的关键是把握题意，利用回来时路上所花时间比去时节省了，得出方程是解题关键．
2．（2011?齐齐哈尔）分式方程=有增根，则m的值为（）
A．0和3 B．1C．1和﹣2 D．3
考点：分式方程的增根；解一元一次方程．
专题：计算题．
分析：根据分式方程有增根，得出x﹣1=0，x+2=0，求出即可．
解答：
解：∵分式方程=有增根，
∴x﹣1=0，x+2=0，
∴x1=1，x2=﹣2．
两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m，
整理得，m=x+2，
当x=1时，m=1+2=3；
当x=﹣2时，m=﹣2+2=0，
当m=0时，分式方程变形为﹣1=0，此时分式无解，与x=﹣2矛盾，
故m=0舍去，
即m的值是3，
故选D．
点评：本题主要考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解此题的关键．
二．填空题（共15小题）
3．计算的结果是．
考点：分式的混合运算．
专题：计算题．
分析：根据运算顺序，先对括号里进行通分，给a的分子分母都乘以a，然后利用分式的减法法则，分母不变，只把分子相减，进而除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，并把a2﹣1分解因式，约分即可得到化简结果．
解答：
解：
=÷（﹣）
=?
=
故答案为：
点评：此题考查学生灵活运用通分、约分的方法进行分式的加减及乘除运算，是一道基础题．注意运算的结果必须是最简分式．
4．若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=3
考点：分式的混合运算．
专题：计算题．
分析：
分别将去分母，然后将所得两式相加，求出yz+xz+xy=3xyz，再将xy+yz+zx=kxyz 代入即可求出k的值．也可用两式相加求出xyz的倒数之和，再求解会更简单．
解答：
解：若，
则++==5，
yz+2xz+3xy=5xyz；①
++==7，
3yz+2xz+xy=7xyz；②
①+②得，4yz+4xz+4xy=5xyz+7xyz，
4（yz+xz+xy）=12xyz，
∴yz+xz+xy=3xyz
∵xy+yz+zx=kxyz，
∴k=3．
故答案为：3．
点评：此题主要考查学生对分式的混合运算的理解和掌握，解答此题的关键是先求出yz+xz+xy=3xyz．
5．（2003?武汉）已知等式：2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，10+=102×，（a，b均为正整数），则a+b= 109．
考点：分式的混合运算．
专题：规律型．
分析：易得分子与前面的整数相同，分母=分子2﹣1．
解答：
解：10+=102×中，根据规律可得a=10，b=102﹣1=99，∴a+b=109．
点评：此题的关键是找到所求字母相应的规律．
6．（1998?河北）计算（x+y）?=x+y．
考点：分式的混合运算．
专题：计算题．
分析：把第一个分式的分母先进行因式分解，再算乘法化简，再算加法即可．
解答：
解：原式=．
点评：此题要注意运算顺序：先算乘法，再算加法；也要注意y﹣x=﹣（x﹣y）的变形．
7．（2011?包头）化简，其结果是．
考点：分式的混合运算．
分析：运用平方差公式、平方公式分别将分式分解因式，将分式除法转换成乘法，再约分化简，通分合并同类项得出最简值．
解答：
解：原式=??（a+2）+
=+
=
=
=．
故答案为：
点评：本题主要考查分式的混合运算，其中涉及平方差公式、平方公式、约分、通分和合并同类项等知识点．
考点： 分式的混合运算． 专题： 计算题．
分析： 先把括号里的式子通分，然后把除法运算转化成乘法运算，最后进行约分． 解答：
解：原式=×=． 点评： 本题主要考查分式的混合运算，注意运算顺序．
9．（2009?成都）化简：
=
．
考点： 分式的混合运算． 专题： 计算题．
分析： 把第二个分式的分子分母先因式分解，再把除法统一成乘法化简，最后算减法． 解答：
解：=1﹣=1﹣==．
点评： 此题运算顺序：先除后减，用到了分解因式、约分、合并同类项等知识点．
10．（2008?包头）化简：
=
．
考点：
分式的混合运算． 专题：
计算题． 分析： 能因式分解的分子或分母要先因式分解，先算小括号里的，再算除法． 解
答：
解：原式=[﹣]÷
=
÷
=
×
故答案为．
点评： 此题主要考查分式的化简、约分．对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除最后算加减，如果遇括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特活应变，注意方法．
11．（2012?攀枝花）若分式方程：有增根，则k= 1 ．
考点： 分式方程的增根． 专题： 计算题．
分析： 把k 当作已知数求出x=
，根据分式方程有增根得出x ﹣2=0，2﹣x=0，求出x=2，得出方程=2，
求出k 的值即可．
解答：
解：∵
，
去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1，
整理得：（2﹣k）x=2，
∵分式方程有增根，
∴x﹣2=0，2﹣x=0，
解得：x=2，
把x=2代入（2﹣k）x=2得：k=1．
故答案为：1．
点评：本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，把分式方程变成整式方程后，求出整式方程的解，若代入分式方程的分母恰好等于0，则此数是分式方程的增根，即不是分式方程的根，题目比较典型，是一道比较好的题目．
12．（2012?太原二模）方程的解是x=2．
考点：解分式方程．
分析：首先分时两边同时乘以x﹣3去分母，再去括号、移项、合并同类项、把x的系数化为1，可以算出x的值，然后要进行检验．
解答：
解：，
去分母得：1+2（x﹣3）=﹣（x﹣1），
去括号得：1+2x﹣6=﹣x+1，
移项得：2x+x=1﹣1+6，
合并同类项得：3x=6，
把x的系数化为1得：x=2，
检验：把x=2代入最简公分母x﹣3≠0，
则x=2是分式方程的解，
故答案为：x=2．
点评：此题主要考查了分式方程的解法，关键是掌握（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
13．（2012?合川区模拟）已知关于x的方程只有整数解，则整数a的值为﹣2，0或4．
考点：分式方程的解．
分析：
首先解此分式方程，即可求得x==﹣2﹣，由方程只有整数解，可得1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，然后分别分析求解即可求得答案，注意分式方程需检验．
解答：解：方程两边同乘以（x﹣1）（x+2），
得：2（x+2）﹣（a+1）（x﹣1）=3a，
解得：x==﹣2﹣，
∵方程只有整数解，
∴1﹣a=3或1或﹣3或﹣1，
当1﹣a=3，即a=﹣2时，x=﹣2﹣1=﹣3，
检验，将x=﹣3代入（x﹣1）（x+2）=4≠0，故x=﹣3是原分式方程的解；
当1﹣a=1，即a=0时，x=﹣2﹣5=﹣7，
检验，将x=﹣7代入（x﹣1）（x+2）=40≠0，故x=﹣7是原分式方程的解；
当1﹣a=﹣3，即a=4时，x=﹣2+1=﹣1，
检验，将x=﹣1代入（x﹣1）（x+2）=﹣2≠0，故x=﹣1是原分式方程的解；
当1﹣a=﹣1，即a=2时，x=1，
检验，将x=1代入（x﹣1）（x+2）=0，故x=1不是原分式方程的解；
∴整数a的值为：﹣2，0或4．
故答案为：﹣2，0或4．
点评：此题考查了分式方程的解知识．此题难度较大，注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．
14．若方程有增根x=5，则m=﹣5．
考点：分式方程的增根．
专题：计算题．
分析：由于增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，所以将方程两边都乘（x﹣5）化为整式方程，再把增根5代入求解即可．
解答：解：方程两边都乘x﹣5，得x=2（x﹣5）﹣m，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣5=0，
解得x=5，
把x=5代入，得5=0﹣m，
解得m=﹣5．
故答案为：﹣5．
点评：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．若关于x的分式方程无解，则a=0．
考点：分式方程的解．
专题：计算题．
分析：分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x﹣1=0，求出x的值代入整式方程即可求出a的值．
解答：解：去分母得：2x﹣2a+2x﹣2=2，
由分式方程无解，得到2（x﹣1）=0，即x=1，
代入整式方程得：2﹣2a+2﹣2=2，
解得：a=0．
故答案为：0．
点评：此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．
16．已知方程的解为m，则经过点（m，0）的一次函数y=kx+3的解析式为y=﹣x+3．
考点：解分式方程；一次函数图象上点的坐标特征．
专题：计算题．
分析：首先解分式方程求出m的值，然后把（m，0）代入一次函数y=kx+3的解析式中，从而确定k的值，也就确定了函数的解析式．
解答：解：∵，
∴x﹣1=2，
∴x=3，
当x=3时，x﹣1≠0，
∴m=3，
把（3，0）代入解析式y=kx+3中
∴3k+3=0，
∴k=﹣1，
∴y=﹣x+3．
点评：此题考查了分式方程的解法，也考查了待定系数法确定一次函数的解析式，对于解分式方程时要注意验根．
17．小明上周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶，若设他上周三买了x袋牛奶，则根
据题意列得方程为．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
专题：应用题；压轴题．
分析：关键描述语为：“每袋比周三便宜0.5元”；等量关系为：周三买的奶粉的单价﹣周日买的奶粉的单价=0.5．解答：
解：周三买的奶粉的单价为：，周日买的奶粉的单价为：．所列方程为：．
点评：列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题中用到的等量关系是：总金额=数量×单价．
三．解答题（共13小题）
18．（2010?新疆）计算：
考点：分式的混合运算．
专题：计算题．
分析：分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．
解答：
解原式=
=
=x+2．
点评：分式的混合运算中，通分和约分是解题的关键．
19．（2009?常德）化简：．
考点：分式的混合运算．
专题：计算题．
分析：先把小括号的通分，再把除法统一为乘法，化简即可．