函数奇偶性
1
[规律方法] 1
(1)定义法
(2)图象法
2．分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x
的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．
3、函数奇偶性的操作：
1．乘以任何系数k ，不改变奇偶性，不管是()kf x 还是()f kx ；
2．()f x a ±，偶函数不变（相当于图象上下平移，不改变偶函数的对称性），奇函数不行； 3．奇函数±奇函数=奇函数，奇函数?奇函数=偶函数，偶函数?偶函数=偶函数；
题型一_判定函数的奇偶性
例题1、判断下列函数的奇偶性．
(1) f (x )＝x 3
－1x ； (2) f (x )＝x 2－1＋1－x 2
； (3) f (x )＝???x 2＋2（x ＞0）
0（x ＝0）－x 2－2（x ＜0）
变式1、判断下列函数的奇偶性
x x x x f -+-=11)1()( ②2
9)(x x f -=, ③22
(0)()(0)
x x x f x x x x ?+??
.
题型二 判断抽象函数奇偶性
例题1、 定义在实数集上的函数)(x f ，对任意R y x ∈,，有)()(2)()(y f x f y x f y x f ?=-++，
且0)0(≠f ，则)0(f =_________；)(x f y =的奇偶性为_________
变式、定义在(1,1)-上的函数()f x ，对任意,(1,1)x y ∈-都有()()(
)1x y
f x f y f xy
++=-，则 ()f x 的奇偶性为____________
例2、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 ( )
(A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数 (C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数
变式、设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论
中正确的是（ ）
A. )()(x g x f 是偶函数
B. )(|)(|x g x f 是奇函数
C. |)(|)(x g x f 是奇函数
D. |)()(|x g x f 是奇函数
考点二、_函数奇偶性的应用(高频考点)________
函数的奇偶性是函数的重要性质，常与函数的单调性及周期性相结合命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题．
高考对函数奇偶性考查主要有以下四个命题角度： (1)求函数值； (2)求函数解析式；
(3)已知单调性求参数的值； (4)作函数图象或判断单调性．
题型一 求函数值
例题、已知53()2013f x x ax bx =++-，且(3)10f =，则(3)f -=____．
变式1、设函数3()21f x ax bx =+-，且(1)3,f -=则(1)f 等于（ ）
变式2、设函数3()21f x ax bx =+-，且(1)3,f -=则(1)f 等于（ ）
题型二 求函数解析式
例题1、已知偶函数()f x 的定义域是),0()0,(+∞?-∞，当0 f x 的解析式. 2、已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时x x x g 2)(2+=，求()g x 的解析式. 变式 1、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，32)(2+-=x x x f ，求()f x 解 析式。 2、已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数。当)0,(∞-∈x 时,4)(x x x f -=， 则当),0(∞+∈x 时，=)(x f . 题型三 已知函数奇偶性，求参数值 例1、f (x )＝k ·2x ＋2-x 为偶函数，则k ＝________，为奇函数，则k ＝________． 变式1、若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________． 2、22+,0 (),0 x x x f x ax bx x ?≤?=?+>??为奇函数，则a+b=_________ 题型四 奇函数与图象 例题1、设定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，且()f x 在(0)-∞，上为增函数，(1)0f -=， 则不等式()0f x ≥的解集为（ ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．[)[)101-+∞，， C ．[)10-， D ．[)[10]1-+∞，， 2、定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式x f （x ）＜0的解集为 ( ) A.（－3，0）∪（0，3） B.（－∞，－3）∪（3，+∞） C.（－3，0）∪（3，+∞） D.（－∞，－3）∪（0，3） 变式1、已知()f x 为奇函数，在(0)+∞，上单调递增，()10f =，则()20f x ->的解集为 ______． 2、 若定义在(0)(0)-∞+∞，，上的函数()f x 为奇函数，且在(0)-∞，上是减函数， 又 (2)0 f -=，则()0x f x ?<的解集为____________． 例2、设奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且f(1)=0，则不等式]()()0x f x f x ?-- 集（ ） 变式1、已知奇函数f (x )的定义域为[－2，2]，且在区间[－2，0]上递减，则满足 f (1－ m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围是________． 题型五、偶函数与图象 例题 1、已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是 ________． 2、已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间(]0-∞，上为减函数，则满足()1213 ?? -< ? ??f x f 的x 的取值范围是（ ） A ．1 2 33 ?? ?? ?， B ．12 33?? ??? ? ， C ．12 23 ?? ?? ? ， D ．1 2 23?? ? ?? ?， 3、已知定义域为R 的函数()f x 在()8+∞，上为减函数，且函数()8y f x =+为偶函数，则（ ） A ．()()67f f > B ．()()69f f > C ．()()79f f > D ．()()710f f > 变式1、定义在［－2，2］上的 偶函数g （x ），当 x ≥0时，g （x ）单 调 递 减，若g （1 －m ）＜g （m ），求m 的取值范围 2、已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则（ ） A.f （0）＜f （－1）＜f （2） B.f （－1）＜f （0）＜f （2） C.f （－1）＜f （2）＜f （0） D.f （2）＜f （－1）＜f （0） 3、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1 ()3 f 的x 值范围 是（ ） 例题6、抽象函数综合： 1、()f x 是定义在R 上的函数，对任意,x y 都有()()() f x y f x f y +=+，且当0x >时 ()0 f x <，(3)f -=（1）求证：()f x 为奇函数； （2）求证：()f x 在R 上是减函数 （3）求()f x 在区间[9,6]-上的最值； 2、已知函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，且对任意{},0a b x x ∈≠恒有()()()f ab f a f b =+（1）求()1f 的值 （2）、判断()f x 的奇偶性 （3）若f （4）=1且(31)(26)3f x f x ++-≤， ()f x 为()0,+∞上的增函数，求x 的取 值范围 变式1、设函数()f x 的定义域为R ，且对任意的,m n 总有()()()f m n f m f n +=，且当 0x >时，()1f x >，(0)0f ≠ 。 （1）证明：(0)1f =， （2）证明：当x R ∈时，有()0f x > （3）证明：()f x 为R 上的增函数 （4）解不等式：2()(2)1f x f x x ->求x 的取值范围。 2、若()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且对一切实数(),0,a b ∈+∞，都有 ()()a f f a f b b ?? =- ??? ，且 x>1时，f （x ）>0。 （1）求()1f ； （2）判断()f x 的单调性 （3）若(3)1f =-，解不等式()2f x <-。 函数的单调性和奇偶性 教材复习 基本知识方法 1.奇偶函数的性质： ()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()2()f x 是偶函数?()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数?()f x 的图象关于原点对称； ()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的 单调性. 2.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ?=-=． 3.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． 4.判断函数的奇偶性的方法： ()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ()2图象法； ()3性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇?奇=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇； 5. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1() f x f x =±-． 6.判断函数的单调性的方法： （1）定义法；（2）图象法；（3）性质法：在公共定义域内，利用函数的运算性质：若()f x 、)(x g 同为增函数，则①()()f x g x +为增函数；②()()f x g x 为增函数；③()1()0() f x f x >为减函数； ()()0f x ≥为增函数；⑤()f x -为减函数. 1．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数。 2．函数)11()(+--=x x x x f 是（ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是奇函数但不是减函数 C ．是减函数但不是奇函数 D ．不是奇函数也不是减函数 3．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)2 52()23 (2++-a a f f 与的大小关系是（ ） A ．)23(-f >)252(2++a a f B ．)23(-f <)2 52(2 ++a a f C ．)23(-f ≥)252(2++a a f D ．)23(-f ≤)2 52(2++a a f 4．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是（ ） A ．{}|303x x x -<<>或B ．{}|303x x x <-<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ．{}|3003x x x -<<<<或 5．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 6．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____________________。 7．若函数2()1 x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 8．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2-+=x x x f ，那么0x <时，()f x =. 9．设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且1()()1 f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式. 10．利用函数的单调性求函数x x y 21++=的值域； 数学·必修1(人教A版) 1.3.3 函数的奇偶性 ?基础达标 1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 解析：∵f(x)为R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0. 答案：B 2．(2013·山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x) ＝x2＋1 x ，则f(－1)＝( ) A．－2B．0C．1D．2 答案：A 3．如果偶函数在区间[a，b]上有最大值，那么该函数在区间[－b，－a]上( ) A．有最大值B．有最小值 C．没有最大值D．没有最小值 解析：∵偶函数图象关于y轴对称，由偶函数在区间[a，b]上具有最大值，∴在区间[－b，－a]上有最大值． 答案：A 4．已知f(x)＝ax3＋bx＋5，其中a，b为常数，若f(－7)＝－7，则f(7)＝( ) A．7B．－7C．12D．17 解析：∵f(－7)＝－7， ∴a(－7)3＋b(－7)＋5＝－7， ∴73a＋7b＝12. ∴f(7)＝73a＋7b＋5＝12＋5＝17. 答案：D 5．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________． 解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴k－1＝0，∴k＝1， ∴f(x)＝－x2＋3的递减区间为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) ?巩固提高 6．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数 C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数 解析：取f(x)＝x，则f(x)f(－x)＝－x2是偶函数，A错，f(x)|f(－x)|＝x2是偶函数，B错；f(x)－f(－x)＝2x是奇函数，C 错．故选D. 答案：D 7．已知定义在R上的偶函数f(x)的单调递减区间为[0，＋∞)，则使f(x)＜f(2)成立的自变量取值范围是( ) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－2,2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：∵f(x)是偶函数且在[0，＋∞)为减区间，示意图如下：由图示可知：f(x)＜f(2)成立的自变量的取值范围是(－∞，－ 2)∪(2，＋∞)． 答案：D 函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f 单元测试（2） 一、选择题：（每小题4，共40分） 1. 下列哪组中的两个函数是同一函数 ( ) A ．2y =与y x = B 。3y =与y x = C ．y = 2y = D 。y =与2 x y x = 2. 若()f x =(3)f -等于 （ ） (A)32- (B)34 - (C)34 (D)32± 3. 函数f(x)=2-x +(x-4)0的定义域为 （ ） A ． {x|x>2,x ≠4} B 。{x|x ≥2,或x ≠4} C 。[) ()2,44,+∞ D 。[)2,+∞ 4.函数y=x 2-1的值域是 （ ） A ． (-∞,-1) B 。 [)1,-+∞ C 。 [-1,0] D 。 R 5. 函数f(x)=x|x|+x 3是 （ ） A ． 偶函数 B 。奇函数 C 。非奇非偶函数 D 。既奇又偶函数 6．若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上 （ ） A ．必是增函数 B 。必是减函数 C ．是增函数或是减函数 D 。无法确定增减性 7．函数x x x x f +=)(的图象是 ( ) 8. .函数f (x )=x 2+2(a －1)x +2在区间(-∞,4)上递减,则a 的取值范围是 ( ) A.[)3,-+∞ B.(],3-∞- C.(-∞,5) D.[)3,+∞ 9、设偶函数f(x)的定义域为R ，当x [0,)∈+∞时f(x)是增函数，则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 A B C D （ ） A 。f(π)>f(-3)>f(-2) B 。f(π)>f(-2)>f(-3) C ．f(π) 1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. 函数单调性 证明格式： ① 取任意两个数12,x x 属于定义域D ，且令12x x <（反之亦可）； ② 作差12()()f x f x -并因式分解； ③ 判定 12()()f x f x -的正负性，并由此说明函数的增减性； 例 1 用定义法判定下列函数的增减性： ① y x =； ②2y x =； ③3y x =； ④y = ⑤1 y x = ； 练习：1. 判断函数()f x = 2.证明函数 3()f x x x =+在R 上是增函数； 例 2 已知函数 1 ()(0)f x x x x =+>，求证：函数的单调减区间为(0,1]，增区间为[1,)+∞，并画出图像； 练习：证明函数 x x x f 2 )(+ =在),2(+∞上是增函数。 3.复合函数的单调性 复合函数的单调性判断（同增异减）：构造中间过度函数，按定义比较函数大小并确定函数的单调性； 例 3 判断函数的单调性： （1 ） ()f x = （2 ）()f x =； （3） 2 1 ()2 f x x = +； 练习：① y = ②2 13y x = -； ③ 2 154y x x = +-； ④ y ； 4.函数的单调性的等价关系 设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --时，()1f x >且对任意的,a b 都有()()()f a b f a f b +=? (1)求证： (0)1f = ； (2)求证：对任意的x R ∈恒有 ()0f x > ； (3)求证：f(x)是R 上的增函数 ； (4)若2()(2)1f x f x x ?->,求x 的取值范围 相关练习 1、设 ()f x 的图像关于原点对称，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是………………( ) A {}|303x x x -<<>或 B {}|303x x x <-<<或 C {}|33x x x <->或 D {}|3003x x x -<<<<或 2、若 )(x f 的图像关于y 轴对称，且在[)+∞,0上是减函数，则235()(2)2 2 f f a a -++与的大小关系…( ) A )2 3(-f >)25 2(2++a a f B )23 (-f <)25 2(2++a a f C ) 23 (-f ≥ )2 5 2(2++a a f D 3() 2f -≤25(2)2 f a a ++ 高中数学函数的奇偶性知识点及例题解析 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象： 奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a 高一数学必修一函数专题：奇偶性 第一部分：常见的奇函数和偶函数 常见奇函数： 第一种：n x x f =)(（n 为奇数）例：x x f =)(；x x x f 1)(1==-；3)(x x f =；331)(x x x f ==-。第二种：n x x f =)(（n 为奇数）例：331 )(x x x f ==；5 1 5)(x x x f ==。第三种：) sin()(x A x f ?=例：)2sin()(x x f =；)sin()(x x f --=；x x f sin 21)(= 。第四种：) tan()(x A x f ?=例：x x f tan )(=；)2 1tan(2)(x x f - -=；x x f tan 3)(=。常见偶函数： 第一种：n x x f =)(（n 为偶数）例：2)(x x f =；221)(x x x f ==-；4)(x x f =；4 41)(x x x f ==-。第二种：c x f =)(（c 为常数） 例：2)(=x f ；2 1)(-=x f 。第三种：)cos()(x A x f ?=例：)cos(3)(x x f -=；)2cos(2 1)(x x f =；)cos()(x x f -=。第四种：|)(|)(x g x f =（)(x g 为奇函数或者偶函数）例：|)sin(2|)(x x f -=；||)(4 x x f =；|tan |)(x x f =；|)21cos(|)(x x f -=。两种特殊的奇偶函数： 第一种：)()()()(x f x g x g x f ?-+=是偶函数 例：x x e e x f -+=)(，假设：)()()()()()(x f x g x g x f e x g e x g x x ?-+=?=-?=-是偶函数。 第二种：)()()()(x f x g x g x f ?--=是奇函数例：x x x f 313)(-=，假设：)()()()(313)(3)(x f x g x g x f x g x g x x x ?--=?==-?=-是奇函数。)2ln()2ln(22ln )(x x x x x f --+=-+=，假设：)2ln()(x x g +=)()()()2ln()(x g x g x f x x g --=?-=-? 人教版高中数学必修一《函数的奇偶性》教案 函 数 的 奇 偶 性 和平中学 朱飞鸽 教学目标：1、学习函数奇偶性的概念； 2、利用定义判断简单函数的奇偶性 3、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点：函数的奇偶性及其建立过程，判断函数的奇偶性方法与格式 教学难点：对函数奇偶性概念的理解与认识 教学过程： 一、 新课引入 1、智力测验题：现有10枚硬币，摆成一个等边三角形，试只移动其中的3枚使 三角形的方向改变。 引导学生寻找其中的原因和规律：由于中间部分是个正六边形，即是个中心对称 图形，而等边三角形的三个顶点恰在相间的三条边上，所以只需移动这三枚硬币到另三条边上即可改变方向；而且我们把它看成一个轴对称图形也可解决问题。 小结：由此可见该智力题的解决关键是我们把握了图形的对称性，而实际生活中 对称性的应用远非仅仅解决智力题，它在许多地方起着极其重要的作用，例如：火箭为保持飞行方向和飞行平稳，尾翼称中心对称设计；汽车为易于驾驶设计成轴对称等等。 2美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，我们学校刚刚落成的综合大楼，它们都具有对称的美。对称也是函数图象的一个重要特征，通过图象的对称进而得到函数（函数值变化）的一个重要性质。今天，让我们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习。（板书课题） 二、 新课讲述 请同学们观察图像填写下表 学生填表、观察、函数2)(x x f =的图象，并注意观察分析随自变量的改变函数值间 让学生叙述自己（对函数值间的变化特征）的发现： ),2()2(),1()1(f f f f =-=- 适时引入课件，加深印象。（板书概念） 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 再注意观察x x g 1)(= 的图象，显然x x g 1 )(=不是偶函数，那么它随自变量的改变函数值间存在怎样的变化规律呢？引入课件，加深印象。 引导学生利用类比的方法得出结论，并试述概念。（由教师板书概念） 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-, 那么函数)(x f 就叫做奇函数。 图象具有这种特点的函数是奇（或偶）函数，函数图象的这种对称性就是函数的奇偶性。 前面我们得出了函数奇偶性的定义，那么通常为了正确理解和应用定义，就需要我们首先能够找到并把握定义中的关键词语，下面我们一起找找定义中的关键词：定义域内、任意…都、)()(x f x f =-及)()(x f x f -=-。 分析：⑴ 定义域内：奇偶性是整个定义域上的性质，而不仅仅是某个区间上的 性质，与单调性区分开； ⑵ 任意…都：说明具有普遍性，是对所有的自变量都成立，而不是个别 的； ⑶ )()(x f x f =-及)()(x f x f -=-：首先是函数值必须满足的关系即必要 条件，那么是不是充分条件呢？ 判定函数奇偶性基本方法: ①定义法: 先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系. ②图象法: 看图象是否关于原点或y 轴对称. 函数的奇偶性 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 理解函数的奇偶性及其图像特征； 2、 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征； 一、函数奇偶性定义 1、图形描述： 函数()f x 的图像关于y 轴对称?()f x 为偶函数； 函数()f x 的图像关于原点轴对称?()f x 为奇函数 定量描述 一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数；如果都有()()--f x f x =，则称()f x 为奇函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数()y f x =具有奇偶性。 特别提醒： 1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。 二、函数具有奇偶性的几个结论 1、()y f x =是偶函数?()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =是奇函数?()y f x =的图像关于原点对称。 2、奇函数()f x 在0x =有定义，必有()00f =。 函数的奇偶性 人教A版必修一第一章第三节 课题函数的奇偶性课型新授课课时安排一课时 教学目标1、知识目标： （1）理解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法；（2）能利用函数的奇偶性简化函数图像的绘制过程。 2、能力目标： (1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养； (2)启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题； (3)通过教师指导总结知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。 3、德育目标： 通过自主探索，培养学生的动手实践能力，激发学生学习数学的兴趣，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 教学 重点 函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判断教学 难点 对函数奇偶性定义的掌握和灵活运用 教学方法1、教法 根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法、类比法为辅的教学方式。教学中，教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。 2、学法 让学生在“观察一归纳一应用”的学习过程中，自主参与知识的产生、发展、形成的过程，使学生掌握知识。 教学 过程 教学内容师生活动教学设计意图 一、创设情境观察下面两张图片： 直观感受 生活中的对称 美。 通过让学生观察 图片导入新课，让学 生感受到数学来源于 生活，数学与生活是 密切相关的，从而激 发学生浓厚的学习兴 趣。 教学设计 （一）设疑导入、观图激趣 出示一组轴对称和中心对称的图片。 设计意图：通过图片引起学生的兴趣，培养学生的审美观，激发学习兴趣。 （二）指导观察、形成概念 观察教材第47页图2-20 从图象得出结论，函数图象关于 对称 x … 3- 2- 1- 0 1 2 3 … 2)(x x f = … … 相应的两个函数值 )(x f ，这时我们称这一类函数为偶函数。 定义： 仿照这个过程，说明x x f =)(与2)(2+=x x f 也是偶函数 观察教材第47页图2-19 从图象得出结论，函数图象关于 对称 x … 3- 2- 1- 0 1 2 3 … 3()f x x = … … 数值 )(x f ，这时我们称这一类函数为奇函数 定义： 仿照这个过程，说明()f x x =与3()2f x x x =+也是奇函数 （三） 学生探索、领会定义 【预习检测】 练习1：说出下列区间是否关于坐标原点对称 练习2：判断下列图象是否是偶函数的图象？ 函数定义域：R （四）知识应用、巩固提高 学生活动：尝试独立解答部分习题。 教师活动：打开PPT ，出示问题，强调解题格式，板演部分解题过程，带领学生归纳解题步骤： 首先，确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 其次，确定 与 的关系； 最后，得出相应的结论。 【精讲点拨】 例1、判断下列函数的奇偶性 1.2.(1,1)3.(1,1] 4.(,0)(0,)R ---∞+∞U 5.(,1)(1,) 6.{2,1,0,1,2} 7.[a,b](a b)-∞+∞-- 函数的奇偶性 题型归纳 题型一、函数奇偶性的概念 ? 函数奇偶性的定义： 设函数D x x f y ∈=，)(，（D 为关于原点对称的区间）： ①如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f -=，则称)(x f y =为偶函数； ②如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f --=，则称)(x f y =为奇函数。 ? 函数奇偶性的性质： ①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。 ②奇偶函数的图像：奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称。 ③奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则必有0)0(=f 。 ④偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =。 1. 若)(x f 是奇函数，则其图象关于（ ）【答案：C 】 A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称 D ．直线x y =对称 2. 若函数))((R x x f y ∈=是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数)(x f y =图象上的是 （ ）【答案：C 】 A ．))(,(a f a - B ．))(,(a f a -- C ．))(,(a f a --- D ．))(,(a f a - 3. 下列说法错误的是（ ）【答案：D 】 A.奇函数的图像关于原点对称 B.偶函数的图像关于y 轴对称 C.定义在R 上的奇函数()x f y =满足()00=f D.定义在R 上的偶函数()x f y =满足()00=f 题型二、判断函数的奇偶性 ? 定义法： ? 运算函数奇偶性的规律：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×÷奇=偶；奇×÷偶=奇；偶×÷偶=偶。 ? 复合函数奇偶性判断：内偶则偶，两奇为奇。 ? 抽象函数奇偶性：赋值法。 1、定义法： 1. 下列函数中为偶函数的是（ ）【答案：C 】 A ．x y = B ．x y = C ．2x y = D ．13+=x y 2. 判断函数的奇偶性 ①)3,1(,)(2-∈=x x x f ②2)(x x f -=； ③25)(+=x x f ； ④)1)(1()(-+=x x x f . ⑤()x x x f 1-= ⑥()13224+-=x x x f 【答案：】（1）非奇非偶函数.（2）偶函数.（3）非奇非偶函数.（4）偶函数.（5）奇函数 （6）偶函数. 2、奇偶函数的四则运算法则： 3. 下列函数为偶函数的是（ ）【答案：D 】 A.()x x x f += B.()x x x f 12+ = C.()x x x f +=2 D.()2x x x f = 4. 判断函数的奇偶性 ①53)(x x x x f ++=； ②1y 2+=x x 【答案：（1）奇函数. （2）奇函数. 】 5. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）。 ①|)(|x f y =；②)(x f y -=；③)(x xf y =；④x x f y +=)(。 【答案：②④】 人教A版高中数学必修一《函数的奇偶性》说课稿尊敬的各位评委、老师： 你们好！我叫学。今天我为大家讲的课题是：《函数的奇偶性》。内容选自高中数学人教A版必修一第一章第三节，本节课是第一课时。 我将从以下几个方面对本节课进行分析： 一、教材分析 1、教材所处的地位和作用： 本节课是高中数学人教A版必修一1.3.2的内容，它的主要内容是分析函数奇偶性的概念和意义，判断函数奇偶性的方法和步骤。本节课是继函数的单调性之后要学习的函数的第二个性质。本节课既是前面知识的一个延续，又是后面学习具体函数的基础。是在学生学习了函数、轴对称和中心对称图形的基础上来进行的，函数的奇偶性是考查函数性质时的一个重要方面，是高考的常考内容之一。教材从具体到抽象，从感性到理性，循序渐进地引导学生在数学领域中进行观察、归纳，形成函数奇偶性概念。同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想。 2、重点、难点： 本课中函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判断是重点，对函数奇偶性定义的掌握和灵活运用是本课的难点。 二、教学目标 根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标： 1、知识目标： （1）理解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法； （2）能利用函数的奇偶性简化函数图像的绘制过程。 2、能力目标： （1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养； （2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题； （3）通过教师指导总结知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。 3、德育目标： 通过自主探索，培养学生的动手实践能力，激发学生学习数学的兴趣，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 高一数学必修一函数图像知识点总结 高一数学必修一函数图像知识点总结 高中数学因为知识点多，好多同学听课能听懂，但是做题却不会。因此，经常性的复习是巩固数学知识点的很好的途径。以下是小编为您整理的关于高一数学必修一函数图像知识点的相关资料，供您阅读。 高一数学必修一函数图像知识点 知识点总结 本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。 一、函数的单调性 1、函数单调性的定义 2、函数单调性的判断和证明：(1)定义法 (2)复合函数分析法 (3)导数证明法 (4)图象法 二、函数的奇偶性和周期性 1、函数的奇偶性和周期性的定义 2、函数的奇偶性的判定和证明方法 3、函数的周期性的判定方法 三、函数的'图象 1、函数图象的作法 (1)描点法 (2)图象变换法 2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。 常见考法 本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。多考查函数的单调性、最值和图象等。 误区提醒 1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。 2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。 3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。 §1．3．2函数的奇偶性 一．教学目标 1．知识与技能： 理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性； 2．过程与方法： 通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想． 3．情态与价值： 通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力． 二．教学重点和难点： 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 三．学法与教学方法 学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念． 教学方法：师生合作探究 四．教学思路 （一）创设情景，揭示课题 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？ 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性． 2()f x x = ()||1f x x =- 21()x x = 通过讨论归纳：函数2 ()f x x =是定义域为全体实数的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线；函数2 1()f x x = 是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y 轴对称．观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？ 归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等． （二）研探新知 函数的奇偶性定义： 1．偶函数 一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就 函数的奇偶性与周期性 提高精讲 1. 函数f (x )＝0，x ∈R 既是奇函数又是偶函数 2.奇偶函数常用结论 3.周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时， 都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 4.周期函数常见结论： (1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a . (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a. (3)若f(x+a)=() x f 1 (a>0),则函数的周期为2a. (4)若f (x ＋a )＝－() x f 1，则函数的周期为2a. 5.对称函数（引申知识点） 如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称. 【考法一 奇偶性与不等式】 1. 若函数f (x )＝ 2x ＋1 2x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C (0,1) D ．(1，＋∞) 【考法二 求解析式】 1. 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －x B.1 2(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D 1 2(e x －e －x ) 2. 若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 3. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________． 4. 设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B {x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2} 【考法三 奇偶性与周期性综合】 1. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，则f (2014)等于( ) A 0 B ．3 C ．4 D ．6 2. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记a ＝f ? ???? 12，b ＝f (2)， c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A a >b ＝c B ．b >a ＝c C ．b >c >a D ．a >c >b 精品文档 函数的单调性和奇偶性 2+2｜x｜-x+3的图像，并指出函数的单调区间．例1 （1）画出函数y＝222-2x+3＝--x（x+1）当x＜0时，y＝解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x）+2x+3＝-（x-1+4；2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函 数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． 2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数（2）已知函数f（x）＝xa的取值范围．分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 22２．因为1-axa-1）＝+2，此二次函数的对称轴是a-1）x+2＝［x+（a-1）］-x解：f（x）＝（+2（在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x ＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．例2 判断下列函数的奇偶性： - ）＝（1）f（x．）f（x）＝（x-1）（2解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． . 精品文档 1. 函数f (x )＝0，x ∈R 既是奇函数又是偶函数 2.奇偶函数常用结论 3.周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时， 都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 4.周期函数常见结论： (1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a . (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a. (3)若f(x+a)=() x f 1 (a>0),则函数的周期为2a. (4)若f (x ＋a )＝－() x f 1，则函数的周期为2a. 5.对称函数（引申知识点） 如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2a b x += 对称. 【考法一 奇偶性与不等式】 1. 若函数f (x )＝2x ＋1 2x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C (0,1) D ．(1，＋∞) 【考法二 求解析式】 1. 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D 12(e x －e －x ) 2. 若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 3. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________． 4. 设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B {x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2} 【考法三 奇偶性与周期性综合】 1. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，则f (2014)等于( ) A 0 B ．3 C ．4 D ．6 2. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记a ＝f ? ?? ??12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A a >b ＝c B ．b >a ＝c C ．b >c >a D ．a >c >b 3. 设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (2)>1，f (2014)＝ 2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________． 【考法四 奇偶性、对称性、周期性】 1. 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则f (2013)＋f (2014)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D 1 2. 定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220) ＝( ) A －1 B.45 C ．1 D ．－45高一数学必修一函数的奇偶性
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