一、选择题
1．5﹣x ，则x 的取值范围是（ ）
A ．为任意实数
B ．0≤x≤5
C ．x≥5
D ．x≤5 2．下列计算，正确的是（ ）
A ．=
B ．=
C ．0=
D ．10= 3．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A B C D 4．下列运算中，正确的是 ( )
A ． 3
B ．×=6
C ． 3
D ．
5．（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．
D -
6．下列各式一定成立的是（ ）
A 2a b =+
B 21a =+
C 21a =-
D ab = 7．下列各式计算正确的是（ ）
A =
B 6=
C ．3+=
D 2=-
8．化简二次根式 ）
A B C D
9．a 的值是（ ）
A ．2
B ．-1
C ．3
D ．-1或3
10．下列计算正确的是（ ）
A =
B ．2-=
C ．22=
D 3=
二、填空题
11．设4 a,小数部分为 b.则1a b -
= __________________________. 12．已知112a b +=，求535a ab b a ab b
++=-+_____．
13．1
4
+???=的解是______．
14．已知，n=1的值________．
15．对于任意实数a ，b ，定义一种运算“◇”如下：a ◇b ＝a(a －b)＋b(a ＋b)，如：
3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝13＝_____.
16．n 的最小值为___
17．
有意义，则x 的取值范围是____．
18．观察分析下列数据：0，，-3，的规律得到第10个数据应是__________．
19．
x 的取值范围是_____． 20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记
2
a b c p ++=，那么三角形的面积S =ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若4a =，5b =，7c =，则ABC 面积是_______． 三、解答题
21．先将2x -x 的值，代入后，求式子的值. 【答案】答案见解析.
【解析】
试题分析：
先把除式化为最简二次根式，再用二次根式的乘法法则化简，选取的x 的值需要使原式有意义.
试题解析：
原式==
2
x ==- 要使原式有意义,则x ＞2.
所以本题答案不唯一,如取x ＝4.则原式＝2
22．阅读下列材料，然后回答问题：
其进一步化简：
535
==3
3
333
?
?
；
2
2(31)2(31)
=31
3+1(3+1)(31)(3)1
?-?-
==-
--
.
以上这种化简过程叫做分母有理化.
3+1还可以用以下方法化简：
22
(3)1(3+1)(31)
=31
3+13+13+13+1
--
===-.
（1）请用其中一种方法化简
1511
-
；
（2）化简：++++
3+15+37+599+97
.
【答案】(1) 15＋11；(2) 311－1.
【分析】
(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为1511
－；
（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案.
【详解】
（1）原式==；
（2）原式
=+++…
=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1
=3﹣1
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.
23．计算
（1
11
325
28
+（2
25
169
4
y y y
+-
（331
)
a b
a b
÷（4）(23+5235
【答案】（1）3227
2
y334）7．
【分析】
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘除法则运算；
（4）利用平方差公式计算；
【详解】
（1+
22
=+
=；
（2
=
=；
（3÷
=
=；
（4）( (22
=- =7
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了平方差公式．
24．计算下列各题
（1）?
÷ ?
（2）2-
【答案】(1)1;(2)．
【分析】
(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可；
(2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可.
【详解】
(1)原式
=1；
(2)原式+2)
．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
25．先化简，再求值：24224x x x x x x ??÷- ?---??，其中2x =．
【答案】
22
x x +-，1 【分析】 先把分式化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子求值即可．
【详解】 原式(2)(2)22(2)2
x x x x x x x x +-+=?=---，
当2x =时，原式1
==. 【点睛】
本题考查了分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解题的关键．
26．计算：（1
（2|a ﹣1|，其中1＜a
【答案】（1）1；（2）1
【分析】
（1）根据二次根式的乘法法则计算；
（2）由二次根式的非负性，a 的取值范围进行化简．
【详解】
解：（1－1＝2－1＝1
（2）∵1＜a ，
a ﹣1＝2﹣a ＋a ﹣1＝1．
【点睛】
本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法法则，主要检验学生的计算能力．
27．计算：0(3)|1|π-+．
【答案】【分析】
根据二次根式的意义和性质以及零次幂的定义可以得到解答．
【详解】
解：原式11=+=
【点睛】
本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的运算和零次幂的意义是解题关键．
28．计算：（1）()2021
31)()2---+ （2
【答案】（1）12；（2）
【分析】
（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可．
【详解】
（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12
（2）
【点睛】
本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的性质得出5-x≥0，求出即可．
【详解】
|5|5x x ==-=-，
解得：x≤5，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0，当a≤0．2．C
解析：C
【分析】
A、B、C、根据合并同类二次根式的法则即可判定；
D、利用根式的运算法则计算即可判定．
【详解】
解：A、B、D不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；
C=，故选项正确．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查二次根式的运算，应熟练掌握各种运算法则，且准确计算．
3．A
解析：A
【分析】
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【详解】
A
B|a|，可以化简，故不是最简二次根式；
C=
=，可以化简，故不是最简二次根式；
D
2
故选：A．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
A、A选项错误；
B、×=12，所以B选项错误；
C、3，所以C选项正确；
D、，不能合并，所以D选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．
5．C
解析：C
【解析】
解：原式=故选C．
6．B
解析：B
【分析】
分别利用二次根式的性质化简求出即可．
【详解】
解；A2=|a+b|，故此选项错误；
B2+1，正确；
C，无法化简，故此选项错误；
D，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据
=对D进行判断．
a
【详解】
解：A不能合并，所以A选项错误；
B6
=，正确，所以B选项正确；
C、3不能合并，所以C选项错误；
D22
()，所以D选项错误．
=--=
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的加减计算法则．
8．B
解析：B
【分析】
首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可
【详解】 2202
a a
a a a +-
∴+<∴<
-
a ∴===故选B 【点睛】
本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
9．C
解析：C
【分析】
根据同类二次根式的性质即可求出答案．
【详解】
由题意可知：a 2-3=2a
∴解得：a=3或a=-1
当a=-1时，该二次根式无意义，
故a=3
故选C ．
【点睛】
本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念.
10．C
解析：C
【分析】
根据立方根、二次根式的加减乘除运算法则计算．
【详解】
A 、非同类二次根式，不能合并，故错误；
B 、=
C 、22=，正确；
D
故选C ．
【点睛】
本题考查二次根式、立方根的运算法则，熟练掌握基本法则是关键．
二、填空题
11．【分析】
根据实数的估算求出a,b ，再代入即可求解.
【详解】
∵1＜＜2，
∴-2＜-＜-1，
∴2＜＜3
∴整数部分a=2,小数部分为-2=2-，
∴==
故填：.
【点睛】
此题主要考查无理
解析：12-
【分析】
根据实数的估算求出a,b ，再代入1a b -
即可求解. 【详解】
∵1＜2，
∴-2＜＜-1，
∴2＜43
∴整数部分a=2,小数部分为4，
∴1a
b -=2222=-=12-
故填：12-
. 【点睛】
此题主要考查无理数的估算，分母有理化等，解题的关键熟知实数的性质.
12．13
【解析】
【分析】
由得a+b=2ab，然后再变形，最后代入求解即可.
【详解】
解：∵
∴a+b=2ab
∴
故答案为13.
【点睛】
本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找解析：13
【解析】
【分析】
由11
2
a b
+=得a+b=2ab，然后再变形
535
a a
b b
a a
b b
++
-+
，最后代入求解即可.
【详解】
解：∵11
2 a b
+=
∴a+b=2ab
∴
()
53
53510ab3
===13
2ab
a b ab
a a
b b ab
a a
b b a b ab ab
++
+++
-++--
故答案为13.
【点睛】
本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找到等式和代数式的联系. 13．9
【解析】
【分析】
设y=，由可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.
【详解】
设y=，则原方程变形为
，
∴，
即，
∴4y+36-4y=y(y+9)，
即y2+9y-36=0，
∴
解析：9
【解析】
【分析】
设()11111
y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案. 【详解】
设则原方程变形为
()()()()()1111112894y y y y y y ++=+++++， ∴1111111112894
y y y y y y -+-++-=+++++， 即11194
y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)，
即y 2+9y-36=0，
∴y=-12或y=3， ∵
， ∴
，
∴x=9，
故答案为：9.
【点睛】
本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()11111
y y y y =-++的应用. 14．【解析】
根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得====． 故答案是：．
【解析】
根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得
．
15．5
【解析】
◇==5.
故本题应填5.
点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a 对应，b 对应，
即将a=，b=，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则
解析：5
【解析】
32==5. 故本题应填5.
点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a ，b ，即
将，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则进行计算，注意最终的结果一定要化为最简二次根式.
16．5
【分析】
因为是整数，且，则5n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为5．
【详解】
∵，且是整数，
∴是整数，即5n 是完全平方数；
∴n 的最小正整数值为5．
故答案为5．
【点睛】
主要考查了
解析：5
【分析】
，则5n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为5．
【详解】
∴是整数，即5n 是完全平方数；
∴n 的最小正整数值为5．
故答案为5．
【点睛】
主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．
17．x≥0．
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【详解】
∵有意义，∴x≥0，
故答案为x≥0．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 解析：x≥0．
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【详解】
有意义，∴x≥0， 故答案为x≥0．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
18．6
【分析】
通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，…，可以得到第13个的答案．
【详解】
解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，，…，
∴第13个答案为：．
故答案为6．
解析：6
【分析】 通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，可以得到第13个的答案．
【详解】 解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：11(1)30，21(1)31，
31(1)32…1(1)3(1)n n ，
∴第13个答案为：131(1)3(131)
6．
故答案为6．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的运算以及学生的分析、总结、归纳的能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． 19．x ＞4
【分析】
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答
案．
【详解】
解：由题意得，x ﹣4＞0，
解得，x ＞4，
故答案为：x ＞4．
【点睛】
本题主要考查的是二次根
解析：x ＞4
【分析】
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】
解：由题意得，x ﹣4＞0，
解得，x ＞4，
故答案为：x ＞4．
【点睛】
本题主要考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．
20．【分析】
根据a ，b ，c 的值求得p ＝，然后将其代入三角形的面积S ＝求值即可．
【详解】
解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝＝＝8．
所以三角形的面积S ＝＝＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主
解析：
【分析】
根据a ，b ，c 的值求得p ＝2
a b c ++，然后将其代入三角形的面积S ＝
【详解】
解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝
2a b c ++＝4572++＝8．
所以三角形的面积S ．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无