数学分析（2）期末试题
课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业
一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）
1、 下列级数中条件收敛的是（ ）．
A ．1(1)n
n ∞
=-∑ B ． 1n n ∞
= C ． 21(1)n n n
∞
=-∑ D ． 11(1)n
n n ∞=+∑
2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数在
它的间断点x 处 （ ）．
A ．收敛于()f x
B ．收敛于1
((0)(0))2
f x f x -++
C ． 发散
D ．可能收敛也可能发散 3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）．
A ．有界
B ．连续
C ．单调
D ．存在原
函数
4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ）
A ． 1x
B ．ln x x
C ． 21
x
- D ． x e
5、已知反常积分2
0 (0)1dx
k kx +∞>+?收敛于1，则k =（ ）
A ． 2
π
B ．22π
C ． 2
D ． 24π
6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+收敛，则（ ）
A ． x e <
B ．x e >
C ． x 为任意实数
D ． 1e x e -<< 二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）
1、已知幂级数1n n n a x ∞
=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为 ．
2、若数项级数1
n n u ∞
=∑的第n 个部分和21
n n
S n =
+，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1
y x
=
与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为 ． 4、已知由定积分的换元积分法可得，1
()()b
x x a
e f e dx f x dx =??，则a = ，b = ．
5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n
n n n ?
?
-=??+?
?
的聚点为 ． 6、函数2
()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为 ．
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三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）
1、 (1)dx
x x +?． 2、2ln x x dx ?．
3、 0
(0)dx a >?
． 4、 2 0
cos lim
sin x
x t dt x
→?
．
5、dx ?
．
四、解答题（第1小题6分，第2、3 小题各8分，共22分）
1、讨论函数项级数21
sin n nx
n ∞
=∑在区间(,)-∞+∞上的一致收敛性．
2、求幂级数1n
n x n
∞
=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．
3、设()f x x =, 将f 在(,)ππ-上展为傅里叶（Fourier ）级数． 五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）
1、已知级数1
n n a ∞=∑与1
n n c ∞
=∑都收敛，且
证明：级数1
n n b ∞
=∑也收敛．
2、证明：
22 0
sin cos n
n x dx x dx π
π
=??．
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试题参考答案与评分标准
课程名称 数学分析(Ⅱ) 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业
一、 单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）
⒈ B ⒉ B ⒊ A ⒋ C ⒌ D ⒍ D 二、 填空题（每小题3分，3×6＝18分）
⒈ 2 ⒉ 2
, =2(1)
n u S n n =
+ ⒊ ln 2
⒋ 1, a b e == ⒌ 1± ⒍
20
1, (,)!n
n x x n ∞
=∈-∞+∞∑ 三、 计算题（每小题6分，6×5＝30分）
1. 解
1
(1)
dx x x ∴+?
（3分）
ln ln 1.x x C =-++ （3分）
2. 解 由分部积分公式得
3311
ln ln 33x x x d x =-? （3分） 3311
ln 39
x x x C =-+ （3分） 3. 解 令sin , [0, ]2
x a t t π
=∈ 由定积分的换元积分公式，得
2
220
cos a
tdt π
=?
（3分）
67
68
2
.4
a π=
（3分）
4. 解 由洛必达(L ＇Hospital)法则得
20cos lim cos x x x
→= （4分） 1= （2分）
5. 解
= （2分）
420
4
(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx π
π
π=-+-?? （2分）
2.= （2分）
四、 解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）
1. 解 (, ), x n ?∈-∞∞?+（正整数）
22
sin 1
nx n n ≤ （3分） 而级数211
n n ∞
=∑收敛，故由M 判别法知，
2
1
sin n nx
n ∞
=∑在区间(,)-∞+∞上一致收敛． （3分）
2. 解 幂级数1n
n x n
∞
=∑
的收敛半径1R =
=，
收敛区间为(1,1)-． （2分）
易知1
n
n x n ∞
=∑在1x =-处收敛，而在1x =发散，
故1n
n x n
∞
=∑的收敛域为[1,1)-． （2分）
1
, (1, 1)1n n x x x ∞
==∈--∑ （2分） 逐项求积分可得
0001, (1,1)1x
x n
n dt t dt x t ∞==∈--∑??． 即101ln(1), (1,1).1n n
n n x x x x n n
+∞
∞
==--==∈-+∑∑ （2分） 3. 解 函数f 及其周期延拓后的图形如下
函数f 显然是按段光滑的，
故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。 （2分）
由于()f x 在(,)ππ-为奇函数， 故 0, 0, 1, 2, n a n ==…， 而
1(1)2
n n
+-?= （4分）
所以在区间(,)ππ-上，
11
sin ()2(1).n n nx
f x x n ∞
+===-∑ （2分）
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五、 证明题（每小题5分，5×2＝10分）
1. 证明 由1
n n a ∞=∑与1
n n c ∞
=∑都收敛知，
级数
1
()n
n n c
a ∞
=-∑也收敛。 （1分）
又由 , 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=，
可知， 0, 1,2,3,
n n n n b a c a n ≤-≤-
=
从而由正项级数的比较判别法知
1
()n
n n b
a ∞
=-∑收敛， （2分）
于是由 (), 1,2,3,n n n n b b a a n =-+
=
知级数
1
n
n b
∞
=∑收敛． （2分）
2. 证明 令2
x t π
=
-，则2
t x π
=
-. （1分）
由定积分的换元积分公式，得
202
sin sin ()2n n xdx t dt π
ππ
=-??－ （2分） 20
cos n xdx π
=? （2分）