工科硕士研究生入学考试复习参考题
概率论与数理统计部分
CH1 随机事件与概率
1．已知事件、A B 满足)()(B A P AB P ∩=且p A P =)(，求= )(B P 。
2．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则第二次取出的是次品的概率为 。
3．设10件产品中有4件是不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。
4．从数1，2，3，4中任取一数，记为X ，再从1~X 中任取一数，记为Y ，则 {2}P Y == 。
5．设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 。
6．设两两相互独立的三个事件满足条件：C B A ，，2/1)()()(<==C P B P A P ，φ=ABC ，且已知,则 16/9)(=C B A P ∪∪()P A =。
7．设两个相互独立的事件都不发生的概率为1/9，B A 和A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则 ()P A =。
8.设,A B 是两个事件, ,()0.4P A =()0.5P B =, (|)(|P A B P A B =,则()P AB = 。
9．设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，
则下列结论肯定正确的是【 】。 ()A A 与B 不相容 (B )A 与B 相容
(C ) (D ))()()(B P A P AB P =)()(A P B A P =?
10．对于任意二事件A 和B ，与A B B =∪不等价的是【 】。 （A ）B A ? （B ）A B ? （）C φ=B A （）D φ=B A
11．设和A B 为任意两个事件，且A B ?，P B ()>0，则必有【 】。
(A ) (()(|)P A P A B
P A P A B ()(|)>P A P A B ()(|)≥12．设,A B 为随机事件，且，则必有【 】
()0,(|)1P B P A B >=B P A >∪ （A ）)P A （()(B ）)P A （()(B P B >∪C ）P A ()()B P A =∪D )（）()(P A B P B =∪
13．对于任意二事件A 和B 【 】。
(A )若φ≠AB ，则A 、B 一定独立。 (B )若φ≠AB ，则A 、B 有可能独立。
()若C φ=AB ，则A 、B 一定独立。 ()若D φ=AB ，则A 、B 一定不独立。
14．设事件两两独立，则相互独立的充分必要条件是【 】。
A B C ，，A B C ，，（）A A 与独立 （BC B ）AB 与独立
C A ∪（C ）AB 与独立 （）与独立
AC D B A ∪C A ∪
15．将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出
现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件【 】。
1A 2A 3A 4A （）相互独立 （A 123,,A A A B ）相互独立
234,,A A A （C ）两两独立 （）两两独立
123,,A A A D 234,,A A A 16．设在电炉上安装了4个温控器，其显示温度误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示温度不低于临界温度电炉就断电。以0t E 表示事件“电炉断电”，而为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则123T T T T ≤≤≤（）（）（）（）
4E 等于【 】。 （） （A 10{}T t ≥（）B ） （20{}T t ≥（）C ） （）
30{}T t ≥（）D 40{}T t ≥（） 17．设M 件产品中有件次品，从中任取两件，已知所取两件中有一件不是次品，则另一件是次品的概率为【 】
n () A )1()(2??M M n M n (B )121???n M n (C )12?+n M n (D ))
1()12(???M M n M n 18．(占位问题）设有个人，每个人都以相同的概率n 1N 被分配到N n N (≤)间房中的每一间中，试求下列事件的概率：：某指定的间房中各有一个人；A n B ：恰有间房其中各有一个人；n C ：某指定的房中恰有个人（<）；：恰有两间房中有人。
m m n D 19．有两个盒子，第一个盒子装有2个红球，1个黑球，第二个盒子装有2个红球，2个黑球，现从这两个盒子中各任取一球放在一起，再从中任取一球，求（1）这个球是红球的概率；（2）若发现这个球是红球，问第一个盒中取出的球是红球概率。
20．若(|)(|)P A B P A B =，证明事件A B 与事件相互独立。
21．设，且0()10()1P A P B <<<，<(|)(|)1P A B P A B +=，则相互独立。
A B 、22．设A 、B 是任意二事件，其中的概率不等于0和1，证明，A (|)(|)P B A P B A =是事件A 与B 独立的充分必要条件。
23．考虑一元二次方程，其中分别是将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率20x Bx C ++=B C 、p 和有重根的概率根的概率。
q 24．有来自三个地区的各10名、15名、和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，求：(1)先抽到的一份是女生表的概率p ；(2)已知后抽到的是男生表，求先抽到的是女生表的概率。
q 25．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的。若甲船的停泊时间是1小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少（假定这一昼夜没有别的轮船停靠在该码头上）。
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．随机地向半圆0y <<（为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与a x 轴的夹角小于/4π的概率为 。
CH2随机变量及其分布
1．若2~(2)r vX N σ?，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <= 。
2．设ξ在(0,5)上服从均匀分布，方程2442x x ξξ0+++=有实根的概率为 。
3．设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ（0σ>）且二次方程无实根的概率为1/2，则24y y X ++=0=μ 。
4．设随机变量X 的概率分布为01()0Ax x f x <
，，其它，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件{出现的次数，则1/2X ≤}P Y {}=2= 。
5．设随机变量X 服从参数为(的二项分布，随机变量)2，p Y 服从参数为的二项分布。若(3，p )P X {}≥=159，则P Y {}≥=1 。
6．一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第个零件是不合格品的概率i 11
i p i =+（i =1，2，3），以X 表示3个零件中合格品个数，则==}2{X P 。 7．设随机变量X 的概率密度为 ， 若使得1/3,[0,1]()2/9,[3,6]0,x f x x ∈??=???
若若其它∈k 3/2}{=≥k X P ，则的取值范围是 k 。
8．X 是[0，
1]上的连续型随机变量，且{0.3}0.8P X ≤=，若1Y X =?，且，则= {}0.P Y k ≤=2k 。
9．设随机变量X 服从正态分布，对给定的(0,1)N (01)αα<<，数u α满足{}P X u αα>=，若{}P X x α<=，则等于【 】。
x （A ） . （/2u αB ） . （） . （）
1/2u α?C 2/)1(α?u D α?1u 10．设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且
1{||1}{||1},P X P Y 2μμ?<>?<则 【 】。
（A ）.12σσ< （B ）1 2.σσ> （）.C 12μμ<
（）.D 12μμ> 11．设与分别为)(1x F )(2x F r v ?1X 和的分布函数，为使2X b x aF x F ?=)()(1)(2x F 是某一r v
?的分布函数，则下列给定的各组数值中应取【 】。
(A ) (3/5,2/5a b ==?B ) (2/3,2/3a b ==C )1/2,3/2a b =?= (D )
1/2,3/2a b ==?12．设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为和)(1x f 2()f x ,分布函数分别为和,则 【 】。
1()F x 2()F x （）+必为某一的概率密度。 （A )(1x f )(2x f r v ?B ）1()f x 2()f x 必为某一的概率密度。 r v ?
（）+必为某一的分布函数。 （C 1()F x 2()F x r v ?D ）必为某一的分布函数。
1()F x 2()F x r v ? 13．一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等。以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求X 的概率分布及(1/(1))E X +。
14．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗,假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的,且概率都是2/5。设X 表示途中遇到红灯的次数,求X 的分布律、分布函数和数学期望。
15．一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10，0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的概率分布、数学期望、方差。
16．设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需要进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂，现该厂新生产仪器台（假定各台仪器生产过程相互独立），求：（1）全部能出厂的概率)2(≥n n α；（2）其中恰好有两台不能出厂的概率β；（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ。
17．假设测量的随机误差，试求100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率)100(~2，N X α，并利用泊松分布求α的近似值。
18．在电源电压不超过200、200~240和超过240伏三种情况下，某种电子元件埙坏的概
率分别为0.1、0.001和0.2，假定电源电压，试求：（1）该电子元件被埙坏的概率2~(22025)X N ，
α；（2）电子元件被埙坏时，电源电压在200~240伏内的概率β。
19．假设一大型设备在任何长为的时间内发生故障的次数服从参数为t )(t N λt 的泊松分布，求：（1）相继两次故障之间间隔时间T 的概率分布；（2）在设备已经无故障工作8小时的情况下，再无故障工作8小时的概率θ。
20．假设随机变量X 的绝对值不大于1，{1}1/P X 8=?=，；在事件出现的条件下，{1}1/P X ==4{11}X ?< p 21．设X 服从参数为2的指数分布，证明 在(0,1)上服从均匀分布。 21X Y e ?=?22．设随机变量~()X f x ，求2Y X =的分布密度。 23．设X 服从(0，2)上的均匀分布，求2Y X =在(0，4)内的分布密度。 )(y f Y 24．假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX ）为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数。 )(y F 25．设随机变量X 的概率密度为[1,8],1/();0, x f x ?∈?=???若其他()F x 是X 的分布函数。求随 机变量的分布函数。 ()Y F X =CH3 多维随机及其分布 1．已知,且~(11)~(31)X N Y N ?，，，X 与Y 相互独立， 设r v ?2Z X Y 7=?+，则Z ~ 。 2．设二维随机变量（X ，）的概率分布为Y ()f x y =，22 22121211exp{(22x y πσσσσ?+ )(,?∞<<+∞x y ，则随机变量Z =X -Y 的概率分布为f z ()= 。 3．设X 与相互独立，都服从[0，2]上的均匀分布，则Y {}P X Y ≤= 。 4．设随机向量(的概率密度),Y X 6,01,(,)0, x x y f x y ≤≤≤?=??其他,则 {1P X Y +≤=} 。 5．设随机向量（X ，Y ）服从二维正态分布：(,， 则)~(0,0;1,1;0)X Y N (/0)P X Y <= 。 6．设随机变量X 与相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则Y {}max{,}1P X Y ≤= 。 7．设r v ?X 与r v ?Y 相互独立且同分布：{1}{1}1/P X P Y 2=?==?=，，则下列各式中成立的是【 】 。 {1}{1}1/P X P Y ====2 (){}1/2A P X Y ==(){}1B P X Y == (){0}1/4C P X Y +==(){1}1/4D P XY == 8．设两个相互独立随机变量X 和Y 分别服从正态分布和则 【 】 。 (0,1)N (1,1)N () (A {0}1P X Y +≤=/2B ){1}1P X Y /2+≤= (C ) (D ){0}1P X Y ?≤=/2/2{1}1P X Y ?≤= 9．设101~1/41/21/4i X ?????1,2i =?? （1）,且12{0}P X X ==，则等于【 】。 12{P X X =} （） 0 （A B ） 1/4 （C ） 1/2 （） 1 D 10．假设随机变量X 服从指数分布，则随机变量min{,2}Y X =的分布函数【 】。 （）是连续函数； （A B ）至少有两个间断点； （C ）是阶梯函数； （）恰有一个间断点。 D 11.设二维随机变量()X Y ，的概率分布如下,已知随机事件{0X }=与{相互独立，则【 】。 1}X Y += 0 1 Y X 0 0.4 a 1 b 0.1 （） （A 0.2,0.3a b ==B ） 0.4,0.1a b == （C ） （） 0.3,0.2a b ==D 0.1,0.4a b == 12．设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为0(,)0y e x f x y ??y <<=??，，其它 ,求 （1）随机变量X 的密度函数()X f x ；（2）概率{1P X Y }+≤。 13．设随机变量具有概率密度，求： )(Y X ，()0,0(,)0x y Ce x y f x y ?+?≥≥=??，， 其他（1）常数C ；（2）分布函数;（3）概率(,)F x y {1P X Y }+≤。 14．设某班车起点站上客人数X 服从参数为)0(>λλ的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为，且中途下车与否相互独立。以Y 表示中途下车的人数，求：（1）在 发车时有个乘客的条件下，中途有人下车的概率；（2）二维随机变量)10(< 15．设G 为由抛物线和y x =2x y =所围成区域，()X Y ，在区域G 上服从均匀分布，试求的联合概率密度及边缘概率密度，并验证X Y 、X 与是否独立。 Y 16．设在上服从均匀分布，求条件分布密度。 X Y （，）122≤+y x )|(|y x f Y X 17．设X 在区间上服从均匀分布，在)1,0((01)X x x =<<的条件下，Y 在区间(0,)x 上服从均匀分布，求：(1) 随机变量X 和的联合概率密度；（2） 的概率密度； (3) 概率。 Y Y {1P X Y +>} 18．设X Y 、独立同分布，且{0}{1}1/P X P X 2====，则 max{,}Z X Y =的概率分布为 。 19．设ξ与η独立同分布，已知ξ的概率分布为{}1/3(123)P i i ξ===，，，又设max{}X ξη=，，min{}Y ξη=，。（1）写出()X Y ，的概率分布；（2）求EX 。 20．设r v ?1234X X X X ，，，独立同分布，且{0}0.6i P X ==，，，求行列式{1}0.4i P X ==()i =1234，，，X X X X X =1 34 2的概率分布。 21．设X 与Y 独立且分别服从参数为12λλ、的泊松分布，求Z X Y =+的分布律。 22．假设一电路装有三个同种电子元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为λ>0的指数分布，当三个电子元件都无故障时电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T 的概率分布。 23．设的分布密度为，求（1）关于的边缘分布密度，并判断是否独立；（2）），（Y X (2),0(,)0, x y Ae x y f x y ?+?>>=??，其他0Y X ，Y X ，Y X Z 2+=的概率分布。 24.设二维随机变量的概率密度为,求： )(Y X ，? ??<<<<=其他,020,10,1),(x y x y x f （1）()X Y ，的边缘概率密度()X f x ，()Y f y ；（2）2z X Y =?的概率密度； )(z f Z （3）{1/2|1/2}P Y X ≤≤。 25．设二维随机变量(X ，Y )在矩形区域{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布。试求边长为X Y 和的矩形面积的概率密度。 S )(s f 26．设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X ，Y )联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。 27．已知12X X 和的概率分布1101~1/41/21/4X ??????? ，?1201~1/2 1/2X ?????，而且。求：（1）随机变量12{0}P X X ==1X 和2X 的联合分布； （2）问1X 和2X 是否独立？为什么？ 28．设X 和Y 的联合分布是正方形{(,):13,13}G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，试求随机变量U X Y ?=的概率密度。 )(u p 29．设随机变量X 与独立，其中X 的概率分布为 ，而Y 的概率密度为，求随机变量U X 的概率密度。 Y 12~0.3 0.7X ?????? )(y f Y =+)(u g CH4 随机变量的数字特征 1．设r v ?X 的概率密度为221()x x f x ?+?=，则EX = ， DX = 。 2．设r v ?X 的概率密度为，则?? ???≤ 3．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，若每次命中目标的概率为0.4，则=2EX 。 4．设X 服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X ??=，则λ= 。 5. 设随机变量X 和的相关系数为0.9, 若Y 0.4Z X =?，则Y 与Z 的相关系数为 。 6. 设随机变量X 和的相关系数为0.5,Y 0EX EY ==,,则= 222EX EY ==2(E X Y +) 。 7．设r.v X 和Y 的联合概率分布如下，则2X 和的协方差2Y 22Cov(,)X Y = 。 X -1 0 1 Y 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.3 2 0.20 8．设X 在区间[-1，2]上服从均匀分布，则方差1,0,0, 0,1,0,X Y X X >??==??? 9.设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{P X >= 。 10．设X 与独立同分布，记U X Y Y =?，V X Y =+，则U 必然【 】。 V 、 (A )不独立 (B )独立 (C )相关系数不为零 (D )相关系数为零 11．设相互独立随机变量X 与Y 的方差分别为4和2，则(D 32)X Y ?=【 】。 (A ) 8 (B ) 16 (C ) 28 (D ) 44 12.设随机变量X 和的方差存在且不等于0， 则Y ()D X Y DX DY +=+是X 和Y 【 】。 （）不相关的充分条件，但不是必要条件； （A C ）不相关的充分必要条件； （B ）独立的充分条件，但不是必要条件； （）独立的充分必要条件。 D 13．设二维随机变量（X ，Y ）服从二维正态分布，则随机变量X Y ξ=+与X Y η=?不相关的充分必要条件为【 】。 （）A EX EY = （B ） 222()()EX EX EY EY ?=?2 （C ） （） 2EX EY =22D 222()()EX EX EY EY +=+14．设随机变量X 和都服从正态分布，且它们不相关，则【 】。 Y （）A X 和一定独立。 （Y B ）（X ，Y ）服从二维正态分布。 （C ）X 和未必独立。 （）Y D X +Y 服从一维正态分布。 15．将一枚硬币重复掷次，以n X 和Y 分别表示正、反面朝上的次数，则X 和Y 的相关系数等于【 】。 （A ） -1 （B ） 0 （） 1/2 （） 1 C D 16．设独立同分布，且其方差为。令12,,,(1n X X X n > )02 >σ11n i i Y ，则【 】。 X n ==∑（A ）Cov(21,).X Y n σ= （B ）21(,)Cov X Y σ= （）C 212()n D X Y n σ++= （）D 211()n D X Y n σ+?=。 17．设二维随机变量（,X Y ）的概率分布如下，其中为常数，且,,a b c X 的数学期望，，记0.2EX =?{0,0}0.P X Y ≤≤=5Z X Y =+。求： （1）的值；（2）,,a b c Z 的概率分布；（3）{}P X Z =。 18．设,A B 为二随机事件；随机变量， ，试证明随机变量1,,1,,A X A ?=???若出现若不出现1,,1,, B Y B ?=???若出现若不出现X 和不相关的充分必要条件是Y A 与B 相互独立。 19．设某流水生产线上每个产品不合格的概率为p )10(< DX 20．设二维随机变量(X ， Y )在矩形区域{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布。记，。求： ???>≤=Y X Y X U 若若,1,0???>≤=Y X Y X V 2,,120若若（1）U 的联合分布；（2）U 的相关系数。 V 和V 和21．已知，且2~(13)X N ，、2~(04)Y N ，X 与Y 的相关系数2/1?=XY ρ，设/3/2Z X Y =+， 求：（1）数学期望EZ ，方差；（2）DZ X 与Z 的相关系数XZ ρ。 22．随机变量X 的概率密度为1/2,10()1/4, 020,X x f x x ?< ，令2Y X =，为二维随机变量（(,)F x y ,X Y ） 的分布函数。求：（1）Y 的概率密度()Y f y ；（2）；（3）ov(,)C X Y (1/2,4)F ?。 23．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为121(,)[(,)(,)]2 f x y x y x y ??=+，其中1(,)x y ?和2(,)x y ?都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为1/3和 -1/3，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0，方差都是1。（1）求随机变量X 和的概率密度和，及Y )(1x f )(2f y X 和Y 的相关系数ρ（可以直接利用二维正态密度的性质）。（2）问X 和Y 是否独立？为什么？ 24. 设两个随机变量X 和Y 相互独立且都服从均值为0、方差为1/2的正态分布，求随机变量X Y ?的方差。 25．设随机变量X 的概率密度为1cos ,0()220, x x f x π?≤≤?=???其它,对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3/π的次数，求的数学期望。 2Y 26．设r v ?X 和Y 独立，都在区间[1 , 3]上服从均匀分布，引进事件A X a =≤{}和 B Y a =>{}，（1）已知，求常数a ；（2）求。 P A B ()/∪=79)/1(X E 27．设由自动生产线加工的某种零件内径X （毫米）服从正态分布(1)N μ，，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品，销售合格品获利，销售不合格品亏损，已知销售利润 T （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系：110201012512x T x ?? ，，，，问平均内径取何值 时销售一个零件的平均利润最大。 28．设、A B 为随机事件，且()1/4,(|B )1/3P A P A ==，(|)1/2P A B =,令 1,,0,,A X A ?=?? 发生不发生1,,0,,B Y B ?=??发生不发生求：（1）随机向量(,X Y )的概率分布；（2）X 和Y 的相关系数XY ρ。(3) 22Z X Y =+的概率分布. 29．设随机变量U 在区间[-2，2]上服从均匀分布，随机变量 111111U U X Y U U ?≤????==??>?>??，若，若；，若，若11 ≤ 试求（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）)(Y X D +。 30．（01数学四）设随机变量X 和Y 的联合分布在以点（0，1），（1，0），（1，1）为三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量U X Y =+的方差。 31．设灯管使用寿命X 服从指数分布，已知其平均使用寿命为3000小时，现有10只这样的灯管（并联）每天工作4小时，求150天内这10只灯管（1）需要换管的概率；（2）平均有几只需要更换；（3）需要更换灯管数的方差。 32．游客乘电梯从低层到电视塔顶层观光，电梯每个整点的第5分钟、25分钟、55分钟从低层起行。假设一游客在早八点的第X 分钟到达低层候梯处，且X 在[0，60]上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。 33．两台同样自动记录仪，每台无故障工作时间服从参数为5的指数分布；首先开动一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率分布、数学期望和方差。 )(t f 34．设某种商品每周的需求量X 是服从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每售出一单位商品可的利500元；若供大于求则削价处理,每处理一单位商品亏损100元；若供不应求,则可从外部调剂供应，此时每单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不小于9280元，试确定最小进货量。 35．一商店经销某种商品，每周进货的数量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布，商店每售出一单位商品可的利润1000元；若需求量超过进货量，商店可从其它商店调剂供应，这时每单位商品获利润500元，试计算 此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。 36．已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 37．对于任意二事件A 和B ，， 0()1,0()P A P B <<<<1 ρ= 称为事件A 和B 的相关系数。 （1）证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零； （2）利用随机变量相关系数的基本性质，证明1ρ≤。 CH5 大数定律与中心极限定理 1．设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计{P X EX ?≥2}≤ 。 2．设.r v X 和Y 的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式有{6P X Y +≥≤} 。 3．设总体X 服从参数为2的指数分布，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，则 当时，∞→n 21 1n n i i X n ==∑Y 依概率收敛于 。 4. 设为独立同分布的随叫随随机变量序列,且均服从 ,21n X X X ，， ，)1(>λλ的指数分布，记为标准正态分布函数，则【 】。 )(x Φ（A ）lim ()n i n X n P x x λ→∞??????≤=Φ?????? ∑ （B ）)(lim 1x x n n X P n i i n Φ=??????????????≤?∑=∞→λλ （） C lim ()n i n X n P x x λ→∞??????≤=Φ??????∑ D （） )(lim 1x x n X P n i i n Φ=??????????????≤?∑=∞→λλ 5．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，S X 12n n X X =+++ 则根据列维—林徳伯格中心 极限定理，当充分大时，近似服从正态分布，只要n n S 12,,,n X X X 【 】。 （A ）有相同的期望。 （B ）有相同的方差。 （）服从同一指数分布。 （）服从同一离散型分布 C D 6．已知随机变量X 的概率分布为 X 1 2 3 0.2 0.3 0.5 P 试利用切比雪夫不等式估计事件(({(的概率。 ) 1.5}X E X ?< 7．设12n X X ，，，X 是来自总体X 的简单抽样，已知k k EX α=(,,,k )=1234，证明:当充 分大时，随机变量n 21 1n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布，并指出其分布参数。 8．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。（977.0)2(=Φ，其中()x Φ是标准正态分布函数） CH6 数理统计初步 1．设12n X X ，，，X 来自2~()X N μσ，，其中未知，记μσ，211n i i X X n ==∑、221()n i i Q X X ==?∑， 则假设0:0H μ=的检验使用统计量为= t t 。 2．设由来自总体~(1)X N μ，的容量为100的样本测得样本均值5X =，则μ的置信度近似等于0.95的置信区间为 。 3．已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 。 4．在天平上重复称一重为a 的物品，设各次称量结果相互独立且同服从正态分布。若以2(,0.2)N a n X 表示次称量结果的算术平均值，则为使n {0.1}0.95n P X a ?<≥，n 的最小值应不小于自然数 。 5．1234X X X X ，，，是来自总体的简单随机样本，N (022，))221234(2)(34X a X X b X X =?+?。则当 a =，b =时，统计量X 服从分布，其自由度为 χ2。 6．设总体X 的概率密度为(),(;)0, x e x f x x θθθθ???≥=? 11n i i X n =?∑ 7．设X 和Y 独立同分布N ()032，，129X X X ，，，和分别是来自12Y Y Y ，，，9X 和Y 的 简单抽样，则统计量U =服从 分布，参数为 。 8.设总体X 服从正态分布，而是来自总体)2,0(2N 1521,,,X X X X 的简单随机样本，则随机变量)(2215211210 21X X X X Y ++++= 服从 分布，参数为 。 9.设总体X 服从正态分布21(,)N μσ, 总体服从正态分布Y 22(,)N μσ,112,,n X X X 和 分别是来自总体212,,n Y Y Y X 和Y 的简单随机样本, 则 12 2 21211{[(()())]/(2)}n n i j i j E X X Y Y n n ==?+?+?∑∑= 。 10设总体X 的概率密度为()1,()2 x f x e x ?=?∞<<+∞，12,,,n x x x 为来自总体的简单随机样本，其样本方差，则2S 2ES =_____ _____。 11．设随机变量2~()(1),1/X t n n Y X >=，则【 】。 （） （A 2~(Y χ)n B ）2~(1Y n χ)? （C ） （~(,1)Y F n D ） ~(1,)Y F n 12．设为来自总体的简单随机样本，则【 】。 12(2n X X X n ≥ ，， ，)(0,1)N （）A ~nX (0,1)N （B ） 22~(nS n χ) （） C (1)~(1)n X t n S ?? （D ） 2122(1)~(1,1)n i i n X F n X =??∑ 13．设随机变量X 和Y 【 】。 （）A X +服从正态分布。 （Y B ）2X +服从2Y 2χ分布。 （C ）2X 和都服从2Y 2χ分布。 （D ）2X /服从分布 2Y F 14．已知一批零件的长度X 服从，其中均未知，从中随机地抽取16个零件，测得样本均值),(2σμN 2,σμ20x =(cm)，样本标准差1=S ，则μ的置信度为0.90的置信区间是【 】 （）A 0.050.0511(20(16),20(16))44t t ? + （B ） ))16(4120),16(4120(1.01.0t t +? （）C ))15(4 120),15(4120(05.005.0t t +? （D ） 0.10.111(20(15),20(15))44t t ?+ 15．设总体X 服从),(2σμN )0(>σ，从总体中抽取简单随机样本， 其样本均值为n X X X 221,,, )2(>n 2112n i i X X n ==∑，求统计量21 )2(X X X Y n i i n i ?+=∑=+的数学期望EY 。 16．设为来自总体的简单随机样本，其样本均值为12(2n X X X n > ，，，)),0(2σN X ，记 i i Y X X =?， .（1）求的方差，n i ,,2,1 =i Y i DY n i ,,2,1 =；（2）求与的协方差Cov(,)； 1Y n Y 1Y n Y （3）若是的无偏估计量，求常数。 1()n c Y Y +2σc 17．设129X X ，，，X 是来自正态总体X 的简单随机样本， )(6 1611X X Y ++= ， 27891()3 Y X X X =++,∑=?=97222)(21i i Y X S ,12)Y Y Z S ?=,证明统计量Z 服从自由度为2的分布。 t 18．设12n X X X ，，，为X 的一个样本,X ~(1)0()01x x f x θθ?+<<=??，， 其它，其中θ>?1为未知 参数，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量。 19．设12n X X X ，，，为X 的一个样本，X ~?? ???=??01)(/)(θθu x e x f x u ≥其它，其中θ>0，θ、未知，求u θ、u 的矩估计和极大似然估计。 20．设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2(;)0 x e x f x x θθθθ???>=?≤?，，，其中0>θ为未知参数。又设12n x x x ，，，是X 的一组样本观察值，求：（1）θ的最大似然估计值；（2） 总体X 的分布函数；（3）统计量的分布函数；（4）如果用作为()F x θ?? ()F x θθ?θ的估计量，它是否具有无偏性。 21．设总体X 的概率密度为()01,110x f X x θθθ2< 其它，其中， ()01θθ<<是未知参数n 12,,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记为样本值N 12,,,n x x x 中小于1的个数，求： （1）θ的矩估计；（2）θ的最大似然估计。 22．设总体X 的概率密度为3 6()0()0x x x f x θθθ??< ，，其他，12n X X ，，，X 是取自总体X 的简单随机样本。（1）求θ的矩估计量；（2）求的方差。 θ?θ?)?(θD 23．设总体X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 2θ)1(2θθ? 2θθ21? 其中)2 10(<<θθ是未知参数，利用总体X 的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值。 24．设随机变量X 的分布函数为()1/,(,,)0x x F x x βαααβα??>?=?≤??，，， 其中参数0,1αβ>>。设12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本,求:(1) 当1α=时, 求未知参数的矩估计量；(2) 当β1α=时,,求未知参数的最大似然估计量;（3） 当β2=β时, 求未知参数的最大似然估计量。 α25．假设0.50，1.25，0.80，2.00是来自总体X 的简单随机样本值。已知Y 服从正态分布x ln =(,1)N μ。（1）求X 的数学期望EX （记EX 为）； b （2）求μ的置信度为0.95的置信区间； （3）利用上述结果求的置信度为0.95的置信区间。 b 26．从正态总体中抽取容量为的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4， 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量至少应取多大？（附表略） 2(3.46)N ，n n 27．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。 28．已知钢筋强度X 服从正态分布，且52EX =，今改变炼钢的配方，利用新配方炼了7炉钢，从所生产的钢筋中分别各抽取一根，测的强度为52.45，48.51，56.02，51.53，49.02，53.38，54.04，问用新配方炼钢所生产的钢筋强度的均值是否有明显的提高？(.)α=005 2007考研真题 (9) （数一、三、四）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p (0 (A ) (2)1(3p p ?B ) (C ) (D ) 2)1(6p p ?22)1(3p p ?22)1(6p p ?(10) （数一、三、四）设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x 、()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件分布密度为 【 】 )|(|f X y x Y (A ) ()(x f X B ) (C ) (D ) )(y f Y )()(y f x f Y X ) ()(y f x f Y X (16) （数一、三、四）在区间(0，1)中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于1/的概率为____ ___。 2(23) (数一、三、四，本题满分11分) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 2,01,0(,)0,x y x y f x y ??<<< 其它.1,}求：（1）；（2）{Y X P 2>Z X Y =+的概率密度。 )(z f Z (24) (数一、三) 设总体X 的概率密度为 1,021(,),1,2(1)0,.x f x x ,θθθθθ?< 其中参数θ(0<θ<1)未知, 是来自总体n X X X 21,X 的简单随机样本, X 是样本均值，(1) 求 参数θ的矩估计量；(2) 判断θ?24X 是否为的无偏估计量,并说明理由。 2θ (数学四) 设随机变量X 与Y 独立分布, 且X 的概率分布为122/31/3X P 记{}{}max ,,min ,U X Y V X ==Y 。求：(1) 的概率分布；(2) 的协方差。 (,)U V (,)U V (,)Cov U V 2007．10
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