第四章常微分方程数值解
[课时安排]6学时
[教学课型]理论课
[教学目的和要求]
了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。
[教学重点与难点]
重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。
难点：R—K方法，预估-校正公式。
[教学内容与过程]
4.1 引言
本章讨论常微分方程初值问题
(4.1.1)
的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中
f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有
(4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一.
假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点
上求的近似.通常取
，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步
推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截断误差，计算稳定性以及数值解的收敛性与整体误差等问题.
4.2 简单的单步法及基本概念
4.2.1 Euler法、后退Euler法与梯形法
求初值问题(4.1.1)的一种最简单方法是将节点的导数用差商
代替，于是(4.1.1)的方程可近似写成
(4.2.1)
从出发，由(4.2.1)求得再将
代入(4.2.1)右端，得到的近似，一般写成
(4.2.2) 称为解初值问题的Euler法.
Euler法的几何意义如图4-1所示.初值问题(4.1.1)的解曲线y=y(x)过点，从出发，以为斜率作一段直线，与直线交点于，显然有
，再从出发，以为斜率作直线推进到上一点，其余类推，这样得到解曲线的一条近似曲线，它就是折线.
Euler法也可利用的Taylor展开式得到，由
(4.2.3) 略去余项，以，就得到近似计算公式(4.2.2).
另外，还可对(4.1.1)的方程两端由到积分得
(4.2.4)
若右端积分用左矩形公式，用，，则得(4.2.2).
如果在(4.2.4)的积分中用右矩形公式，则得
(4.2.5)
称为后退(隐式)Euler法.若在(4.2.4)的积分中用梯形公式，则得
(4.2.6)
称为梯形方法.
上述三个公式(4.2.2)，(4.2.5)及(4.2.6)都是由计算，这种只用前一步即可算出的公式称为单步法，其中(4.2.2)可由逐次求出的值，称为显式方法，而(4.2.5)及(4.2.6)右端含有当f对y非线性时它不能直接求出，此时应把它看作一个方程，求解，这类方法称为稳式方法.此时可将(4.2.5)或(4.2.6)写成不动点形式的方程
这里对式(4.2.5)有，对(4.2.6)则，g与
无关，可构造迭代法
(4.2.7)
由于对y满足条件(4.1.2)，故有
当或，迭代法(4.2.4)收敛到，因此只要步长h足够小，就可保证迭代(4.2.4)收敛.对后退Euler法(4.2.5)，当时迭代收敛，对梯形法(4.2.6)，当
时迭代序列收敛.
例4.1用Euler法、隐式Euler法、梯形法解
取h=0.1，计算到x=0.5，并与精确解比较.
解本题可直接用给出公式计算.由于，Euler法的计算公式为
n=0时，.其余n=1,2,3,4的计算结果见表4-1.
对隐式Euler法，计算公式为
解出
当n=0时，.其余n=1,2,3,4的计算结果见表4-1.
表4-1 例4.1的三种方法及精确解的计算结果
对梯形法，计算公式为
解得
当n=0时，.其余n=1,2,3,4的计算结果见表4-1.
本题的精确解为，表4-1列出三种方法及精确解的计算结果.
4.2.2 单步法的局部截断误差
解初值问题(4.1.1)的单步法可表示为
(4.2.8)
其中与有关，称为增量函数，当含有时，是隐式单步法，如(4.2.5)及(4.2.6)均为隐式单步法，而当不含时，则为显式单步法，它表示为
(4.2.9)
如Euler法(4.2.2)，.为讨论方便，我们只对显式单步法(4.2.9)给出局部截断误差概念.
定义2.1设y(x)是初值问题(4.1.1)的精确解，记
(4.2.10)
称为显式单步法(4.2.9)在的局部截断误差.
之所以称为局部截断误差，可理解为用公式(4.2.9)计算时，前面各步都没有误差，即，只考虑由计算到这一步的误差，此时由(4.2.10)有
局部截断误差(4.2.10)实际上是将精确解代入(4.2.9)产生的公式误差，利用Taylor展开式可得到.例如对Euler法(4.2.2)有，故
它表明Euler法(4.2.2)的局部截断误差为，称
为局部截断误差主项.
定义2.2 设是初值问题(4.1.1)的精确解，若显式单步法(4.2.9)的局部截断误差
，是展开式的最大整数，称为单步法(4.2.9)的阶，含的项称为局部截断误差主项.
根据定义，Euler法(4.2.2)中的=1故此方法为一阶方法.
对隐式单步法(4.2.8)也可类似求其局部截断误差和阶，如对后退Euler法(4.2.5)有局部截断误差
故此方法的局部截断误差主项为，也是一阶方法.对梯形法(4.2.6)
同样有
它的局部误差主项为，方法是二阶的.
4.2.3 改进Euler法
上述三种简单的单步法中，梯形法(4.2.6)为二阶方法，且局部截断误差最小，但方法是隐式的，计算要用迭代法.为避免迭代，可先用Euler法计算出的近似，将(4.2.6)改为
(4.2.11)
称为改进Euler法，它实际上是显式方法.即
(4.2.12)
右端已不含.可以证明，=2,故方法仍为二阶的，与梯形法一样，但用(4.2.11)计算不用迭代.
例4.2用改进Euler法求例4.1的初值问题并与Euler法和梯形法比较误差的大小.
解将改进Euler法用于例4.1的计算公式
当n=0时，.其余结果见表4-2.
表4-2 改进Euler法及三种方法的误差比较
从表4-2中看到改进Euler法的误差数量级与梯形法大致相同，而比Euler法小得多，它优于Euler法.
讲解：
求初值问题（4.1.1）的数值解就是在假定初值问题解存在唯一的前提下在给定区间
上的一组离散点上求解析解的一组近似
为此先要建立求数值解的计算公式，通常称为差分公式，简单的单步法就是由计算下一步，构造差分公式有三种方法，一是用均差（即差商）近似，二是用等价的积分方程（4.2.4）用数值积分方法，三是用函数的Taylor展开，其中Taylor展开最有普遍性，可以得到任何数值解的计算公式及其局部截断误差。计算公式是微分方程
的一种近似，局部截断误差的概念就是刻划这种逼迫的好坏。
当为微分方程的解，即，而用
，定义局部截断误差，它表示用精确解代入计算公式（4.2.9）产生的公式误差为越大表明公式逼近微分方程的精度越高，因此就定义为公式的阶，通常的公式才能用于计算初值问题（4.1.1）的数值解。利用Taylor展开时，只要将的表达式在处展开成Taylor公式就可得到不同公式的局部截断误差。如4.2.2所给出的Euler法。
后退Euler法和梯形法，它们只需用一元函数的Taylor展开，与后面4.5节的多步法完全一致，而通常单步法（4.2.9）的一般情况则需要用二元函数的Taylor展开，才能得到公式的具体形式和局部截断误差。例如对改进Euler法，其局部截断误差由（4.2.12）可得
要求出它的结果就要用到二元函数的Taylor展开，将在4.3节再作介绍。
4.3 Runge-Kutta方法
4.3.1 显式 Runge-Kutta法的一般形式
上节已给出与初值问题(4.1.1)等价的积分形式
(4.3.1)
只要对右端积分用不同的数值求积公式近似就可得到不同的求解初值问题(4.1.1)的
数值方法，若用显式单步法
(4.3.2)
当，即数值求积用左矩形公式，它就是Euler法(4.2.2)，方法只有一阶，若取
(4.3.3)
就是改进Euler法，这时数值求积公式是梯形公式的一种近似，计算时要用二个右端函数f的值，但方法是二阶的.若要得到更高阶的公式，则求积分时必须用更多的f值，根据数值积分公式，可将(4.3.1)右端积分表示为
注意，右端f中还不能直接得到，需要像改进Euler法(4.2.11)一样，用前面已算得的f值表示为(4.3.3)，一般情况可将(4.3.2)的表示为
(4.3.4)
其中
这里均为待定常数，公式(4.3.2)，(4.3.4)称为r级的显式Runge-Kutta法，简称R-K方法.它每步计算r个f值(即)，而ki 由前面(i-1)个已算出的表示，故公式是显式的.例如当r=2时，公式可表示为
(4.3.5)
其中.改进Euler法(4.2.11)就是一个二级显式R-K方法.参数取不同的值，可得到不同公式.
4.3.2 二、三级显式R-K方法
对r=2的显式R-K方法(4.3.5)，要求选择参数，使公式的阶p尽量高，由局部截断误差定义
(4.3.6)
令，对(4.3.6)式在处按Taylor公式展开，由于
将上述结果代入(4.3.6)得
要使公式(4.3.5)具有的阶p=2,即，必须
(4.3.4)
即
由此三式求的解不唯一.因r=2，故，于是有解
(4.3.8)
它表明使(4.3.5)具有二阶的方法很多，只要都可得到二阶R-K方法.若取，则，则得改进Euler法(4.2.11)，若取，则得
，此时(4.3.5)为
(4.3.9)
其中
称为中点公式.后退Euler法(4.2.11)及中点公式(4.3.9)是两个常用的二级R-K方法，注意二级R-K方法只能达到二阶，而不可能达到三阶.因为r=2只有4个参数，要达到p=3则在(4.3.6)的展开式中要增加3项，即增加三个方程.加上(4.3.4)的三个方程求4个待定
参数是无解的.当然r=2,p=2的R-K方法(4.3.5)当取其他数时，也可得到其他公式，但系数较复杂，一般不再给出.
对r=3的情形，要计算三个k值，即
其中
将按二元函数在处按Taylor公式展开，然后代入局部截断误差表达式，可得
可得三阶方法，其系数应满足方程
4.3.10)
这是8个未知数6个方程的方程组，解也是不唯一的，通常.一种常见的三级三阶R-K方法是下面的Kutta三阶方法：
(4.3.11)
4.3.3 四阶R-K方法及步长的自动选择
利用二元函数Taylor展开式可以确定(4.3.4)中r=4,p=4的R-K方法，经典的四阶R-K 方法是：
(4.3.12)
它的局部截断误差，故p=4,这是最常用的四阶R-K方法，数学库中都有
用此方法求解初值问题的软件.这种方法的优点是精度较高，缺点是每步要算4个右端函数值，计算量较大.
例4.3用经典四阶R-K方法解例4.1的初值问题，仍取
h=0.1，计算到，并与改进Euler法、梯形法在处比较其误差大小.
解用四阶R-K方法公式(4.3.12)，此处，于是当n=0时
于是，按公式(4.3.12)可算出
此方法误差：
改进Euler法误差：
梯形法误差：
可见四阶R-K方法的精度比二阶方法高得多.
用四阶R-K方法求解初值问题(4.1.1)精度较高，但要从理论上给出误差的估计式则比较困难.那么应如何判断计算结果的精度以及如何选择合适的步长h?通常是通过
不同步长在计算机上的计算结果近似估计.设在处的值,当
时，的近似为，于是由四阶R-K方法有
若以为步长，计算两步到，则有
于是得
即
或
(4.3.13)
它给出了误差的近似估计.如果(ε为给定精度)，则认为以为步长的计算结果满足精度要求，若，则还可放大步长.因此(4.3.13)提供了自动选择步长的方法.
讲解：
求初值问题（4.1.1）的单步法主要是指Runge-Kutta法，本节主要讨论显式R－K方法，建立具体的计算公式使用的是Taylor展开，形如（4.3.4）的显式R－K方法，当r＝1时就是Euler法，因此只要讨论的计算公式，在r确定后如何推导公式都是一样的，只是r越大计算越复杂，为了掌握了解公式来源，只要以r＝2为例推导计算公式即可。因此本节重点就是用Taylor展开求出r＝2的显式R-K方法的计算公式，由于方法的局部截断
误差为（4.3.6），的右端有的项，要对它做Taylor展开，就要用到二元函数的Taylor展开，按照二元函数Taylor级数
（4.3.14）
将它用到（4.3.6）的的展开式中，即可得到按升幂整理出的结果，对r＝2的公式只能得到＝2阶的公式，即，于是2级R-K方法（4.3.5）的系数
必须满足（4.3.4）给出的方程，它的解由（4.3.8）给出，只要，求出的公式都是r=2的2阶R-K方法。而常用的就是得到的改进Euler法（4.2.11）和得到的中点公式（4.3.9）。
4.4 单步法的收敛性与绝对稳定性
4.4.1 单步法的收敛性
定义4.1 设y(x)是初值问题(4.1.1)的精确解，是单步法(4.3.2)在处产生的近似解，若
则称方法(4.3.2)产生的数值解收敛于.
实际上，定义中是一固定点，当h→0时n→∞，n不是固定的.因显然
方法收敛，则在固定点处的整体误差，当p≥1时.
下面定理给出方法(4.3.2)收敛的条件.
定理4.1设初值问题(4.1.1)的单步法(4.3.2)是p阶方法(p≥1)，且函数对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0,使对,均有
则方法(4.3.2)收敛，且.
定理证明略.可见［3］.
4.4.2 绝对稳定性
用单步法(4.3.2)求数值解，由于原始数据及计算过程舍入误差影响，实际得到的不是而是，其中是误差，再计算下一步得到
以Euler法为例，若令,则
(4.4.1)
如果，则从计算到误差不增长，它是稳定的.但如果条件不满足就不稳定.
例4.4y′=-100y,y(0)=1,精确解为，用Euler法求解得
若取h=0.025，则,当，而，显然计算是不稳定的.
如果用后退Euler法(4.2.5)解此例，仍取h=0.025,则
,即
显然当，计算是稳定的.
由此看到稳定性与方法有关，也与有关，在此例中.在研究方法的稳定性时，通常不必对一般的f(x,y)进行讨论，而只针对模型方程
(4.4.2)
这里可能为复数.规定是因为时微分方程(4.4.2)本身是不稳定的，而讨论数值方法(4.3.2)的稳定性，必须在微分方程本身稳定的前提下进行.另一方面，对初值问题(4.1.1)，若将f(x,y)在处线性展开，可得
于是方程(4.1.1)可近似表示为
它表明用模型方程(4.4.2)是合理的，至于模型方程(4.4.2)中所以用复数λ是因为初值问题(4.1.1)如果是方程组，即，则是(m×m)阶矩阵，其特征值可能是复数.当然对单个方程，λ就是实数，此时只要规定＜0即可.
用单步法(4.3.2)解模型方程(4.4.2)可得到
(4.4.3)
其中依赖所选方法，如用Euler法则
(4.4.4)
此时由(4.4.1)看到误差方程也为，与(4.4.4)是一样的.因此对一般单步法(4.3.2)误差方程也与(4.4.3)一致.下面再考虑二阶R-K方法有
对四阶R-K方法，可得
定义4.2 将单步法(4.3.2)用于解模型方程(4.4.2)，若得到(4.4.3)中的
则称方法是绝对稳定的.在复平面上复变量满足的区域，称为方法(4.3.2)
的绝对稳定域，它与实轴的交点称为绝对稳定区间.
例如对Euler法，在复平面上是以(-1，0)为圆心，以1为半径的单位圆域内部，当为实数时，则得绝对稳定区间为，因＜0，故有
在例4.4中时方法稳定，而例中取h=0.025故不稳定.
.
对后退Euler法(4.2.5)，
因＜0，故，其绝对稳定域是以(1，0)为圆心的单位圆外部，绝对稳定区
间为，即对任何h＞0方法都是绝对稳定的.
二阶R-K方法的绝对稳定区间为.
三阶R-K方法的绝对稳定区间为.
四阶R-K方法的绝对稳定区间为.
例4.5用经典四阶R-K方法计算初值问题
步长取h=0.1及0.2,给出计算误差并分析其稳定性.
解本题直接按R-K方法(4.3.12)的公式计算.因精确解为，其计算误差
如表所示.
从计算结果看到，h=0.2时误差很大，这是由于在λ=-20,h=0.2时λh=-4，而四阶R-K方法的绝对稳定区间为［-2.485,0］,故h=0.2时计算不稳定，误差很大.而h=0.1时=-2，其值在绝对稳定区间［-2.485,0］内，计算稳定，故结果是可靠的.
讲解：
由于微分方程初值问题数值解公式求出的解是一个逐次递推的过程，因此原始数据误差及计算过程舍入误差对解的影响就是数值方法绝对稳定性研究的问题，如果由计算误差不增长，方法就是绝对稳定的。为使问题得到简化通常就是将方法用于解模型方程（4.4.2），对于单步法得到的差分方程为，由于模型方程的
，代入Euler法，得
，对二阶R-K方法，例如，用改进Euler法
第十章：微分方程总结姓名：刘桥 学号：40905237 班级：工商49班 小组：第八小组 组长：刘洪材
一、 微分方程的基本概念 1. 微分方程及其阶的定义 微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 分类1：常微分方程（未知函数为一元函数的微分方程） ()() ,dy axy a dx dy p x y Q x dx =+=为常数 偏微分方程（未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程） () 22,2224 2 u u f x y x y u u y x ??+=????=?? 微分方程的阶.：微分方程中出现的未知函数导数或微分的最高阶数. 分类2：一阶微分方程 (,,)0,(,);F x y y y f x y ''== 高阶(n )微分方程 ()(,,,,)0,n F x y y y '= ()(1)(,,, ,).n n y f x y y y -'= 分类3：线性与非线性微分方程. ()(),y P x y Q x '+=2()20;x y yy x ''-+= 分类4：单个微分方程与微分方程组. 32,2,dy y z dx dz y z dx ?=-??? ?=-?? 2. 微风方程的解 微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 微分方程解的分类：通解（微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与 微分方程的阶数相同.）
,y y '=例;x y ce =通解 0,y y ''+=12sin cos ;y c x c x =+通解 特解（ 确定了通解中任意常数以后的解.） 初始条件：用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 积分曲线：微分方程的任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积分曲线 二、 一阶微分方程 1. 可分离变量的方程 可分离变量的微分方程：形如： ()()g y dy f x dx =的一阶微分方程. 例题回味：求方程()290y dy x dy ye ++ =的通解 分离变量得，21 9 y ye dy dx x = + 两边同时积分得， 2 1 9y ye dy dx x =- +?? 于是得到通解为，()11arctan 33 y x y e c -=+ 2. 齐次方程 如果一阶微分方程可化为()dy y f dx x =形如的方程，那么久称之为齐次方程. 解法：作变量代换,y u x = ,y xu =或 两边分求微分得， ,dy udx xdu =+ 代入原式得，(),du u x f u dx +=().du x f u u dx =-即 ()0,f u u -≠若则对上式分离变量得， ()du dx f u u x =-. 两边分别积分得， ()du dx f u u x =-? ? 求出积分后，将y u x = 代入，就求得了原微分方程的通解. 例题回味：求解微分方程(cos )cos 0.y y x y dx x dy x x -+=
摘要.................................................... 错误!未定义书签。 1.何谓奇解.............................................. 错误!未定义书签。 2.奇解的产生............................................ 错误!未定义书签。 3.包络跟奇解的关系...................................... 错误!未定义书签。 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法................. 错误!未定义书签。 克莱罗微分方程 ..................................... 错误!未定义书签。 5.奇解的基本性质........................................ 错误!未定义书签。 定理１ ............................................. 错误!未定义书签。 定理２ ............................................. 错误!未定义书签。 定理３ ............................................. 错误!未定义书签。 6.小结.................................................. 错误!未定义书签。参考文献：.............................................. 错误!未定义书签。
信号与系统课程总结 The final edition was revised on December 14th, 2020.
信号与系统总结 一信号与系统的基本概念 1信号的概念 信号是物质运动的表现形式；在通信系统中，信号是传送各种消息的工具。 2信号的分类 ①确定信号与随机信号 取决于该信号是否能够由确定的数学函数表达 ②周期信号与非周期信号 取决于该信号是否按某一固定周期重复出现 ③连续信号与离散信号 取决于该信号是否在所有连续的时间值上都有定义 ④因果信号与非因果信号 取决于该信号是否为有始信号（即当时间t小于0时，信号f(t)为零，大于0时，才有定义） 3系统的概念 即由若干相互联系，相互作用的单元组成的具有一定功能的有机整体 4系统的分类 无记忆系统：即输出只与同时刻的激励有关 记忆系统：输出不仅与同时刻的激励有关，而且与它过去的工作状态有关 5信号与系统的关系 相互依存，缺一不可 二连续系统的时域分析 1零输入响应与零状态响应 零输入响应：仅有该时刻系统本身具有的起始状态引起的响应 零状态响应：在起始状态为0的条件下，系统由外加激励信号引起的响应 注：系统的全响应等于系统的零输入响应加上零状态响应 2冲激响应与阶跃响应 单位冲激响应：LTI系统在零状态条件下，由单位冲激响应信号所引起的响应
单位阶跃响应：LTI系统在零状态条件下，由单位阶跃响应信号所引起的响应 三傅里叶变换的性质与应用 1线性性质 2脉冲展缩与频带变化 时域压缩，则频域扩展 时域扩展，则频域压缩 3信号的延时与相位移动 当信号通过系统后仅有时间延迟而波形保持不变，则系统将使信号的所有频率分量相位滞后 四拉普拉斯变换 1傅里叶变换存在的条件：满足绝对可积条件 注：增长的信号不存在傅里叶变换，例如指数函数 2卷积定理 表明：两个时域函数卷积对应的拉氏变换为相应两象函数的乘积 五系统函数与零、极点分析 1系统稳定性相关结论 ①稳定：若H(s)的全部极点位于s的左半平面，则系统是稳定的； ②临界稳定：若H(s)在虚轴上有s=0的单极点或有一对共轭单极点，其余极点全在s的左半平面，则系统是临界稳定的； ③不稳定：H(s)只要有一个极点位于s的右半平面，或者虚轴上有二阶或者二阶以上的重极点，则系统是不稳定的。 六离散系统的时域分析 1常用的离散信号 ①单位序列②单位阶跃序列③矩阵序列④正弦序列⑤指数序列 七离散系统的Z域分析 1典型Z变换 ①单位序列②阶跃序列③指数序列④单边正弦和余弦序列 2Z变化的主要性质 ①线性性质②移位性质③尺度变换④卷和定理 八连续和离散系统的状态变量分析 1状态方程
页脚内容1 第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、xy dx dy = 解：当0≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(11212 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(1212 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M ) ()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x
页脚内容2 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如)(x y g dx dy = 解法：令x y u = ，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、02211 =b a b a ，转化为)(by ax G dx dy +=，下同①； 02、0221 1 ≠b a b a ，???=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u
§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3
总结一阶微分方程奇解的求法 摘要：利用有关奇解的存在定理，总结出求一阶微分方程奇解的几种方法，并通过一些具体的例题说明这几种方法的应用 Using relevant theorems to develop several methods of finding singular solution of ordinary differential equation. In addition, illustrate the application of these methods through the concrete examples. 关键词：常微分方程 奇解 c-判别式 p-判别式 方法一：利用c-判别式求奇解 设一阶微分方程0, ,=?? ? ?? dx dy y x F ① 可求出方程①的通解为()0,,=c y x φ ② 如果()()???==0 ,,0,,' c y x c y x c φφ ③ 是微分方程①的解，且对③式满足：()()02 '2 '≠+y x φφ ④ 则③是微分方程①的奇解，且是通解②的包络。 例1：方程() 2 2 2 x x y dy dx dy dx + -= 的奇解 解：首先，本具题意求出该微分方程的通解为2 2 2 c cx y x ++= 与4 2 x y = 其中c 为任意常数 当时2 2 2 c cx y x ++= ， ()y c cx x c y x -++= 2 2 2 ,,φ 其相应的c -判别式为 ? ??=+=-++02022x 2 c x y c cx 易得到： ? ??=-=2 2c y c x
代入原微分方程，可知? ??=-=2 2c y c x 不是原微分方程的解； 当4 2 x y = 时，易求出2 ,1''x y x ==φφ，则有()()02 '2 '≠+y x φφ 故4 2 x y = 为原微分方程的奇解 例2：试求微分方程() () y y dy dx 9 42 2 1= -的奇解 解：首先，根据题意求出微分方程的通解为：()()0322=---y y c x 其中c 为任意常数 再由相应的c-判别式： ()()()? ??=--=---020 322c x y y c x 易求出：? ??==0y c x 或 ???==3y c x 当???==0y c x 时，代入原微分方程成立； 所以? ??==0y c x 为原微分方程的解 且有()02'=--=c x x φ；()()93232 '-=---=y y y y φ 满足(Φ‘ x )2 +(Φ‘ y )2≠0 易验证???==3y c x 不是原微分方程的解 故x=c, y=0 是元微分方程的奇解。 方法二：利用p-判别法求奇解 在微分方程①中，设y ′=p,则此方程的p-判别式为： ()()?????==0,,0 ,,' p y x F p y x F p ⑤ 消去p 之后得到的函数y=?(x)是微分方程①身为解，
常微分学习心得 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
常微分学习心得 常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。满足微分方程的函数叫做微分方程的解，含有独立的任意常数的解称为微分方程的通解。确定通解中任意常数后所得的解称为该方程的特解。 例如：求解方程dy dx =y x +tan y x 解：令μ=y x ，及dy dx =x ｄμｄｘ +μ代入，则原方程变为 x ｄμｄｘ +μ=μ+tan μ，即ｄμｄｘ =tan μx 将上式变量分离即有cot μd μ=dx x ， 两边积分得㏑｜sin μ｜=㏑｜x ｜+c 这里c 为任意常数 整理后得：sin μ=±e c ，令±e c =c 得到sin μ=c x 此外，方程还有解tan μ=0，sin μ=0. 如果在sin μ=c x 中允许c=0，则sin μ=0也就包括在sin μ=c x 中，这就是方程ｄμｄｘ =tan μx 的通解为sin μ=c x 代回原方程得通解sin y x =c x 。
一阶微分方程的初等解法中把微分方程的求解问题化为了积分问题，这类初等解法是，与我们生活中的实际问题密切相关的值得我们好好探讨。 在高阶微分方程中我们学习的线性微分方程，作为研究线性微分方程的基础，它在物理力学和工程技术，自然科学中时存在广泛运用的，对于一般的线性微分方程，我们又学习了常系数线性微分变量的方程，其中涉及到复值与复值函数问题，相对来说是比较复杂难懂的。 至于后面的非线性微分方程，其中包含的稳定性，定性基本理论和分支，混沌问题及哈密顿方程，非线性方程绝大部分的不可解不可积现象导致了我们只能通过从方程的结构来判断其解的性态问题，在这一章节中，出现的许多概念和方法是我们从未涉及的，章节与章节中环环相扣，步步深入，由简单到复杂，其难易程度可见一斑。 由此，常微分方程整体就是由求通解引出以后的知识点，以求解为基础不断拓展，我们所要学习的就是基础题解技巧，培养自己机制与灵活性，多反面思考问题的能力，敏锐的判断力也是不可缺少的。、
二阶常微分方程解
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第七节 二阶常系数线性微分方程 的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 ?? 22 dx y d +p dx dy ＋ｑy=０ (7.1) 其中p 、q 是常数,由上节定理二知,要求方程(7．1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,ｙ2就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解, 从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，dx dy ,y 各乘以 常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数ｙ,其
22dx y d ，dx dy ，ｙ之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(７.1)的特解,在初等函数中,指数函数e rx ,符合上述要求，于是我们令 y=e r ｘ (其中r 为待定常数）来试解 将y ＝e rx ,dx dy =re r ｘ,22dx y d ＝r ２e r ｘ 代入方程(7.1) 得 r 2e ｒx ＋ｐre rx ＋ｑｅrx ＝０ 或 e r ｘ(r ２+pr+q ）＝0 因为e rx ≠０,故得 ? r 2 +pr ＋q=0 由此可见，若r 是二次方程 ?? r 2＋pr ＋q=０ (7．2) 的根，那么e r ｘ就是方程(7.１)的特解,于是方程（７.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2）的根问题。称（7.2)式为微分方程(７.１)的特征方程。 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r 1，r 2，称为特征根,由代数知识，特征根r １，r 2有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程（7．2）有两个不相等的实根r 1， r 2，此时e r １ｘ ,e r2x 是方程（７.1)的两个特解。
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程：
①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得 到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程， 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(2 221 11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：0 1、 02 2 11=b a b a ，转化为 )(by ax G dx dy +=，下同①； 02、 022 1 1≠b a b a ，???=++=++00 222111 c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=0 0y y v x x u 得到，)()( )(221 12211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()( 以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、 2 5--+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u u dx du 7 1+= - ，有dx udu 7-= 所以)(72 2 为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72 22 为常数） （C C x y x =+--。 例2.2、 1 212+-+-=y x y x dx dy 解：由???=+-=+-012012y x y x 得到?????=-=3131y x ，令?? ???-=+=3131y v x u ，有???==du dx dv dy ，代入得到
（1） 概念 微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。如： 一阶： 2dy x dx = 二阶：220.4d s dt =- 三阶：3 2 2 43x y x y xy x ''''''+-= 四阶：() 4410125sin 2y y y y y x ''''''-+-+= 一般n 阶微分方程的形式：() ( ),,,,0n F x y y y '=L 。这里的()n y 是必须出现。 （2）微分方程的解 设函数()y x ?=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上， ()()()(),,0n F x x x x ?????'≡???? L 则()y x ?=称为微分方程()() ,,,,0n F x y y y '=L 的解。 注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。 函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。 导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。 导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。 函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()0 0lim x x f x f x →=则 称函数()f x 在点0x 连续。 左连续：()() ()0 00lim x x f x f x f x - - →== 左极限存在且等于该点的函数值。 右连续：()() ()0 00lim x x f x f x f x + + →== 右极限存在且等于该点的函数值。 在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。如果是闭区间，包括端点，是 指函数在右端点左连续，在左端点右连续。 函数在0x 点连续?()()()()0 0lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+ →→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0 lim x x f x →极限存在
摘要 (2) 1.何谓奇解 (2) 2.奇解的产生 (3) 3.包络跟奇解的关系 (4) 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (5) 4.1 克莱罗微分方程 (9) 5.奇解的基本性质 (12) 5.1 定理１ (12) 5.2 定理２ (14) 5.3 定理３ (14) 6.小结 (14) 参考文献： (15)
一阶常微分方程的奇解 摘要 在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。 关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式 1.何谓奇解 设一阶隐式方程),,(,y y x F =0有一特解
)(:x y ψ=Γ，j x ∈ 如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解 定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解 2.奇解的产生 先看一个例子，求方程 033=-?? ? ??y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dx dy = 的解。 经分离变量后，可得（1）的通解 3)(27 1c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。由图我们看到，在解y=0上的每一 点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0 称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇 解，这就是奇解的产生。 我们现在给出曲线族包络的定义 某些微分方程，存在一些特殊的积分 曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并 不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。
第八章 常微分方程 【教学要求】 一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题，线性微分方程。 二、熟练掌握一阶可分离变量微分方程的解法。 三、熟练掌握一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+' 的解法——常数变易法和公式法。 四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。 五、熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的解法——特征根法。 会根据特征根的三种情况，熟练地写出方程的通解，并根据定解的条件写出方程特解。 六、熟练掌握二阶线性常系数非齐次微分方程qy y p y +'+'' )(x f =，当自由项f (x )为某些特殊情况时的解法——待定系数法。 所谓f (x )为某些特殊情况是指f (x )为多项式函数，指数函数 或它们的和或乘积形式、三角函数x x x ββαsin cos ,e 。 关键是依据f (x )的形式及特征根的情况，设出特解y *,代入原方程，定出y *的系数。 【教学重点】 一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。 【典型例题】 。的阶数是微分方程例)(e )(12x y y y =-'+'' 2.1.B A 4. 3.D C 解：B 。的特解形式是微分方程例)( e 232x x y y y +=+'-'' x x x b ax B b ax A e )(.e ).(++ x x c b ax D cx b ax C e ).(e ).(++++ 解：C 是一阶线性微分方程。下列方程中例)( ,3 x x y y x B y A y x cos sin 1.e .2=+'='+ y x y D y y x y C ='=+'+''.0 . 解：B ???=='++1)1(0)1(4y y x y y 求解初值问题例 ??-=+x x y y y d )1(d 解：由变量可分离法得 c x y y ln ln 1ln +-=+∴ 代入上式得通解为由21ln ln 1)1(=?=c y x y y 211=+ 的特解。满足求解微分方程例1)0(e 252==-'y x y y x 解：由公式法得 ]d e e 2[e d 12d 1c x x y x x x +???=---?
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 … 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； — 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy =
解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程， 得到)(0 ),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(2 221 11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= ） 解法：01、 02 2 11=b a b a ，转化为 )(by ax G dx dy +=，下同①； 02、 022 1 1≠b a b a ，???=++=++00 222111 c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u 得到，)()( )(221 12211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()( xy v xy f dx dy x ==),(2 22),(x y w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++ 以上都可以化为变量可分离方程。 例、 2 5 --+-=y x y x dx dy . 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u u dx du 71+=- ，有dx udu 7-= 所以)(72 2 为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72 22 为常数） （C C x y x =+--。 例、 1 212+-+-=y x y x dx dy
摘要 (4) 1.何谓奇解 (5) 2.奇解的产生 (5) 3.包络跟奇解的关系 (6) 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (7) 4.1 克莱罗微分方程 (11) 5.奇解的基本性质 (14) 5.1 定理１ (14) 5.2 定理２ (16) 5.3 定理３ (16) 6.小结 (17) 参考文献： (17)
一阶常微分方程的奇解 摘要 在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。 关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式
1.何谓奇解 设一阶隐式方程) x F=0有一特解 y , , (,y
)(:x y ψ=Γ，j x ∈ 如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域内，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解 定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域内都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解 2.奇解的产生 先看一个例子，求方程 033=-?? ? ??y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dx dy = 的解。 经分离变量后，可得（1）的通解 3)(27 1c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。由图我们看到，在解y=0上的每一 点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0 称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇 解，这就是奇解的产生。 我们现在给出曲线族包络的定义 某些微分方程，存在一些特殊的积分 曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并 不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。
试论常微分方程的奇解 摘要: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求奇解的方法. 关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法. Discussing Singular Solution about First Order Differential Equation ZHU Yong-wang (Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Professor LI Jian-min Abstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has special solution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment method．While whether the two judgments can be applied to get every singular solution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examples． Key words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-P elimination method, The supplement method, Natural method. 1．引言 一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]
第四章 奇解习题4-11．求解下列微分方程：（通解）特解）（特解）解：221222)(222222222 2)(2101.(42202..0)1)(2(0)2()2(2222);(,242).1(C Cx y x x C x y C x p b x x x x y x p x p a x p x p x p x x p p p x px y p x px p y x C x dx dp dx dp dx dp dx dp dx dp dx dp p dx dy ++-=?++-+=?+-=?-=?=+-=+-=?-=?=+=++?=+++?+++=++= =++=+-224ln 4ln 2ln 22ln 2ln 2ln 222ln )(ln 0x .)]([ln 2ln 02ln ..0))(2(ln 22)1(ln ln );(,)(ln ).2(222C x C y x x x y p p x b y x x x y p xp x xp x a p x xp x p x xp x p x x p p xp x px y x C x C x C dx dp x x x x x x x x x dx dp dx dp dx dp dx dy +=?+=?=?=+-=+-=?-+-=?-=?-=?=+=++?++++==+=（特解）解：dy dq q y q y y dy dq q y dy dx p y p p y q y q y q x q y x y p y xp 3222222cos 2)sin (cos 222cos 12cos 123sec tan ,tan ,,tan .cos tan 22).3(-++=+===+=+=-令解：y y y y x q q y b y C x y C q y q y q a y y q y q y q y y q y y y y t y y y y y q y C dy dq dy dq q y dy dq dy dq q y dy dq dy dq q y q y y dy dq 32323232sin 2cos 231313322323232 2sin sin sin tan 0tan .sin cos tan 0tan .0 )(tan tan (0)tan ()tan (tan 0tan tan 23212cos sin cos sin cos sin cos 3cos 21cos cos cos sin cos 2=+=+=?=?=?=-+=?=?-=?=+=-+?=+-+?=-++?-（通解） 2．用参数法求解下列微分方程：、接口不严等问题，合电气设备进行调试工作案。高中资料试卷保护装置调