正（侧）视图 第6题图
天津市静海县六校联考2017-2018学年高一数学下学期期中试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
（1）已知直线2+60x my -=在两个坐标轴上的截距之和为5，则实数m 的值为
（A ）2
（B ）3
（C ）4 （D ）5
（2）已知点(31)，A ，(15)，B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是
（A ）240x y -+= （B ）210x y --= （C ）+280x y -=
（D ）2+70x y -=
（3）已知(22)(0)(0)，，，，，A B a C b (0)ab ≠三点共线，则
11
a b
+= （A ）
1
2
（B ）2 （C ）
1
4
（D ）4
（4）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为扇形，扇形圆心角为120°，则圆锥的表面积
为
（A ）π （B ）2π （C ）3π （D ）4π （5）已知三棱柱111ABC A B C -中，⊥1AA 底面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，
15AA =，则该三棱柱的表面积是
（A ）15 （B ）30 （C ）60 （D ）72
（6）一个四棱锥正视图和侧视图为两个完全相同的等腰直角三角形，其腰长为1，则该四棱
锥的体积为 （A
（B ）
13 （C
）
6
（D ）
16
（7）三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA =2，AB=BC =1，则其外接球的表面积为
（A ）6π （B ）5π
（C ）4π （D ）3π
（8）已知a ，b ，c 分别为ABC ?三个内角A ，B ，C 的对边，60B =o ，4a =
，b =，则60
C = （A ）30o （B ）90o （C ）30o 或90o （
D ）150o
（9）在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2
2
()3c a b =+-，60C =，则A B C
?的面积是
（A
）
2
（B
（C
）2 （D
）4
（10）αβ，是两个不同的平面，m n ，是两条不同的直线，有下列四个命题：
①如果m n m α⊥⊥，，∥n β，那么αβ⊥； ②如果m m αβ⊥⊥，，那么αβ∥； ③如果∥αβ，,m αβα?，那么m β∥；
④如果α内有不共线的三个点到αβ⊥的距离
相等，那么αβ∥.其中正确命题的序号为 （A ）②③
（B ）①④ （C ）①②③ （D ）①②④
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. （11）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为
27
4
，底面是边长为3的正三角形.若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为________. （12）已知直线40ax y +-=与3
+(+
)202
x a y +=平行，则实数a =________. （13）如图，在山底测得山顶仰角45CAB ∠=o
，沿倾斜角
为30o
的斜坡走300米至D 点，又测得山顶仰角为75o
， 则山高BC =________米.
（14）正四面体A-BCD 中，E 为BC 中点，F 为AD 中点，则AE 与CF 所成角的余弦值为________. （15）已知动直线l 1: x ＋my －1＝0过定点A ，动直线l 2: mx －y －2m ＋1＝0过定点B ，直线
l 1与l 2交于点P ，则|PA |2+|PB |2=_______．
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分12分）
已知a ，b ，c 分别为ABC ?三个内角A ，B ，C 的对边，且满足2,5
4
cos ==b B . （I ）若π
4
A =
，求a 的值； （II ）若ABC ?的面积为3，求证ABC ?为等腰三角形.
A B
C D E
第13题图
D
P B
C
E
F A
第17题图
（17）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠BAD =90°，1
2
PA AB BC AD ===
，E ，F 分别为AB ，PC 的中点. （I ）若四棱锥P-ABCD 的体积为4，求PA 的长； （II ）求证：PE ⊥BC ；
（III ）求PC 与平面PAD 所成角的正切值.
（18）（本小题满分12分）
已知ABC ?的顶点()3,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为210x y --=，B ∠的角平分线BN 所在直线方程为20x y -=．
（I ）求顶点B 的坐标； （II ）求直线BC 的方程．
（19）（本小题满分12分）
已知a ，b
，c 分别为ABC ?三个内角A ，B ，C cos b c
C C a
++=．
（I ）求A 的大小；
（II ）若ABC ?为锐角三角形，且a =b c +的取值范围．
（20）（本小题满分12分）
已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11A ACC 为菱形，且1=60A AC ∠，平面11A ACC ⊥平面ABC ，M ，N 分别是AB ，1CC 的中点.
（I ）求证：CM ∥平面1A BN ；
（II ）求证：1A C BN ⊥；
（III ）求BA 1与平面11A ACC 所成角的大小．
C 1
N
C B 1
M
B
A 1
A 第20题图
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
BAADD CABDA
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
（11）π4 （12）12 （13）300 （14）2
3
（15）2
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分12分）
解：（I ）因为53sin ,54
cos =∴=B B ，所以5
3
sin ,54cos =
∴=B B . ……………………2分 由正弦定理得
2
πsin sin 4
a B =
23
52
=. ……………………… 4分
解得a =
…………………………6分 （II ）由题意得，53sin ,sin 21==B B ac S =3，即
10,3103==∴ac ac ，所以10,310
3
==∴ac ac . ………………8分 由余弦定理B ac c a b cos 22
2
2
-+=， ………………9分 得4=165
8
2222-+=-
+c a ac c a ,即2022=+c a . ………………10分 那么222
()20a c a c ac -=+-=，由此得a c =
所以ABC ?为等腰三角形. …………………12分 （17）（本小题满分12分）
解：（I ）设PA =a ，由题意知
2,4222313
=∴==??+?=-a a a a a a V ABCD
P
解得=2a ，所以PA=2 ………………2分 （II ）因为PA ⊥平面AB CD ，BC ?平面ABCD
所以PA BC ⊥ …………………………………………………4分 又∠ABC =90° 所以AB BC ⊥
因为PA ?平面PAB , AB ?平面PAB , PA
AB A =
D
P
B
E
F
A
G