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三角形的初步知识
一、三角形的基本概念:
1、三角形的概念:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 三角形ABC 记作:△ABC 。
2、相关概念: 三角形的边、三角形的内角
3、三角形的分类:
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?????等边三角形一般等腰三角形
等腰三角形不等腰三角形按边分:三角形)1( ??
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?钝角三角形等腰直角三角形一般直角三角形直角三角形锐角三角形
按角分:三角形)2(
二、三角形三边关系:
1、三角形任何两边的和大于第三边。(运用)
几何语言:若a 、b 、c 为△ABC 的三边,则a+b>c,a+c>b, b+c>a. 2、三边关系也可表述为:三角形任何两边的差都小于第三边。
三、三角形的内角和定理:(定理、图形、数学语言、证明)
三角形三个内角的和等于1800
。(证明方法) 三角形的外角定理以及证明方法
四、三角形的三线: 问题1、如何作三角形的高线、角平分线、中线?
问题2、三角形的高线、角平分线、中线各有多少条,它们的交点在什么位置?
问题3、三角形的中线有什么应用?
问题4、高有什么应用?(等面积法)
五、三角形的稳定性 C
B
A
例题与练习
例1、如图,在△ABC 中,D 、E 是BC 、AC 上的两点,连接BE 、AD 交于点F 。 问:(1)、图中有多少个三角形?把它们表示出来。 (2)、△AEF 的三条边是什么?三个角是什么?
练习:1右图中有几个三角形
2.对下面每个三角形,过顶点A 画出中线,角平分线和高.
例2、已知线段a b c 满足a+b+c=24cm, a:b=3:4, b+2a=2c ,问能否以a 、b 、 c 为三边组成三角形,如果能,试求出这三边,如果不能,请说明理由。 练习
1、四组线段的长度分别为2,3,4;3,4,7; 2,6,4;7,10,2。其中能摆成三角形的有( ) A .一组 B .二组 C .三组 D .四组
2、已知三角形两条边长分别为13厘米和6厘米,那么第三边长应是多少厘米?
3、已知三角形两条边长分别为19厘米和8厘米,第三边与其中一边相等,那么第三边长应是多少厘米?
4.等腰三角形两边长分别为3,7,则它的周长为( )
A 、13
B 、17
C 、13或17
D 、不能确定
5.长为11,8,6,4的四根木条,选其中三根组成三角形有 种选法,它们分别是
6.已知a,b,c 是三角形的三边长,化简|a-b+c|+|a-b-c|.
例3、在△ABC 中,∠A :∠B :∠C=1:2:3,求三角形各角的度数,并判断它是什么三角形。 (1)C B A
C B A (2)C
B
A (3)
练习:
1、在△ABC 中,若∠A -∠B=∠C ,则此三角形是( )
A 、钝角三角形
B 、直角三角形
C 、锐角三角形
D 、无法确定
2、如图,在锐角△ABC 中,CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高,且CD 、BE 相交于一点P ,若∠A=50°,则∠BPC=( )
A 、150°
B 、100°
C 、120°
D 、130°
3、在△ABC 中,如果∠A ∶∠B ∶∠C=2∶2∶4,则这个三角形中最大的角_______度;按角分,这是一个_________三角形;按边分,这是一个_________三角形;
4.已知△ABC 中,∠A=200
,∠B=∠C ,那么三角形△ABC 是( )
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、正三角形 例4、如图,A
E 、AH 分别为△ABC 的角平分线和高,∠B=∠BAC , ∠C=360
。 求∠BAE 和∠HAE 的度数。
练习:
1、如图,在△ABC 中,∠BAC=600,∠C=400
,AD 是△ABC 的一条角平分线,求∠ADC 的度数。
2、如图,AC 为BC 的垂线,CD 为AB 的垂线,DE 为BC 的垂线,D 、E 分别在△ABC 的边AB 和BC 上,则下列说法中 ①△ABC 中,AC 是BC 边上的高;②△BCD 中,DE 是BC 边上的高。 ③△DBE 中,DE 是BE 边上的高;④△ACD 中,AD 是CD 边上的高。 其中正确的为 。
2.如图,在△ABC 中,D,E 分别是BC ,AD 的中点,ABC S ?=42
cm ,求ABE S ?.
3.如图,在△ABC 中,∠B, ∠C 的平分线交于点O. (1)若∠A=500
,求∠BOC 的度数.
(2)设∠A=n 0(n 为已知数),求∠BOC 的度数.
4.如图,在直角三角形ABC 中,∠ACB=90°,CD 是AB 边上的高,AB=13cm ,BC=12cm ,AC=5cm ,求:(1)B A
C
E
H
A C D E
A B C _ D
_ B
_ C
A
B O
(3)作出△ABC的边AC上的中线BE,并求出△ABE的面积;
(4)作出△BCD的边BC边上的高DF,当BD=11cm 时,试求出DF的长。
5.在△ABC中,已知∠ABC=66°,∠ACB=54°,BE是AC上的高,CF是AB上的高,H是BE和CF的交
点,求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数.
6.如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,∠BAD=40°,并且∠ADE=?∠AED,?求∠CDE的度数.
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE是△ABC的角平分线,AD、CE交于F点.当∠BAC=80°,∠B=40°时,求∠ACB、
∠AEC、∠AFE的度数.
例五:如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的
度数为( )
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
练习1、已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4,则它的最大内角的度数( ).
A. 90°
B. 110°
C. 100°
D. 120°
2.某零件如图所示,图纸要求∠A=90°,∠B=32°,∠C=21°,当检验员量得∠BDC=145°,就断定这个零
件不合格,你能说出其中的道理吗?
A B
C
D
E
D C B A
3.图1-4-27,已知在△ABC 中,AB=AC ,∠A=40°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于D.求:∠ADB 和∠CDB 的度数.
4.已知:如图5—130,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD 为高,CE 平分∠BCD ,且∠ACD :∠BCD =1:2,那么CE 是AB 边上的中线对吗?说明理由.
5.已知:如图5—131,在△ABC 中有D 、E 两点,求证:BD +DE +EC <AB +AC .
强化提升题:
1、判断下列长度的三条线段能否组成三角形,并说明理由。(单位:cm )
k+1; k+2 2k+2 (k >2)
2、若abc 为三角形的三条边长,化简b a c b c a c b a ----++--=
3、已知三角形的三条边长分别为3,x ,9,化简____________32
1
43-
3=-+x x 4、如图,AD 是△ABC 的中线E 是AD 的中点,则图中面积相等的三角形
共有 对。
5、已知:如图,在△ABC ,∠BAC=80°,AD ⊥BC 于D ,AE 平分∠DAC ,∠B=60°, 求∠AEC 的度数
6、如图(1)如图(1),在△ABC 中,OB 、OC 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线.若∠A 为x °, 则∠
则∠BOC 为多少?(3)如图(3),BO 、CO 为△ABC 一内角∠ABC 与外角∠ACD 的平分线,若∠A 为x °,则∠BOC 为多少?
1.如图13.3-1所示,已知AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线,那么CE =______;BD =______;AF =______.
2.如图1
3.3-2所示,△ABC 中BE 是角平分线,∠ABE =30°,求∠ABC 的度数. 3.如图13.3-3所示,在△ABC 中,指出AB 边上的高线.
4.如图13.3-4所示,在△ABC 中,AD 、AE 分别是角平分线、中线,∠AFB =90°,则BE =2
1
______;∠BAC =2∠_____2∠______;AF 是______边上的高. 5.判断下列说法是否正确
(1)经过三角形任意一个顶点和对边中点的直线叫做三角形的中线.( ) (2)三角形一个内角的平分线叫做三角形的角平分线.( )
(4)三角形的三条角平分线必相交与三角形内同一个点.( )
6.三角形的三条高所在的直线相交与一点,这个点的位置在( )
A.三角形内
B.三角形外
C.三角形的边上
D.要根据三角形形状确定
点击思维←温故知新查漏补缺→
1.三角形的中线是直线、射线还是线段?三角形的三条中线相交于一点吗?
2.三角形的角平分线和角的平分线是一回事吗?
3.指出图13.3-5中的高.
4.三角形的中线、角平分线、高的相同之处是什么?
七年级数学下册第五章《三角形》知识点总结 考点一、三角形 1、三角形的三边关系定理及推论 (1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。 推论:三角形的两边之差小于第三边。 2、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°。 推论: ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。 4、三角形的面积 三角形的面积=21 ×底×高 考点二、全等三角形 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理: (1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS ”) (2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA ”) (3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS ”)。 (4)角角边定理:有两角和一边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS ”)。
直角三角形全等的判定: 对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”) 3、全等变换 只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种: (1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 (2)对称变换:将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。 (3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。 考点三、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的性质定理及推论: 定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角) 推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。 2、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 (1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。 (2)要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用: 位置关系:可以证明两条直线平行。 数量关系:可以证明线段的倍分关系。 常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有: 结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。 结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法:最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ,则第三边的取值范围是 两边之差<第三边<两边之和 例:下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例:已知三角形的两边分别是7和12,则第三边长得取值范围为( ) 考点二:5、三角形具有 性,四边形具有 性 例:下列图形具有稳定性的是( ) A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三: 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线,垂足为D , 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注:三角形面积=底×底边上的高 例:AD 是△ABC 的高,∠ADB=∠ADC= 例:AD 是△ABC 的高,AD=3,BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D , 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言: AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注:三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形
D 例:AD 是△ABC 的中线 ,BD=3,则CD= ,BC= , 若△ABC 的面积是18,则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ,那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言: AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例:AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=70度,则∠BAD= ,∠CAD= 考点四:三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言:∠A+∠B+∠C= 例:在△ABC 中,∠B=45度,∠C=55度,则∠A= 考点五:三角形的外角 1、定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言: ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例:如图,已知∠ACD=120度,∠B=50度,则∠A= 考点六:n 边形的内角和公式等于 例:计算五边形的内角和是 例:一个多边形的内角和是720度,则这个多边形的边数是 考点七:多边形的外角和等于 例:十二边形的外角和等于 例:正多边形的每个外角的度数都是40度,则这个正多边形的边数是
人教版八年级上册数学《全等三角形》知识点定义 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。(注:全等三角形是相似三角形中相似比为1:1的特殊情况) 当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。 由此,可以得出:全等三角形的对应边相等,对应角相等。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的,公共边一定是对应边; (4)有公共角的,角一定是对应角; (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角; 表示:全等用“≌”表示,读作“全等于”。 判定公理 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。由3可推到 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意:在全等的判定中,没有AAA角角角和SSA(特例:直角三角形为HL,属于SSA)边边角,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。A是英文角的缩写(angle),S是英文边的缩写(side)。 H是英文斜边的缩写(Hypotenuse),L是英文直角边的缩写(leg)。 6.三条中线(或高、角分线)分别对应相等的两个三角形全等。 性质 三角形全等的条件: 1、全等三角形的对应角相等。 2、全等三角形的对应边相等 3、全等三角形的对应顶点相等。 4、全等三角形的对应边上的高对应相等。 5、全等三角形的对应角平分线相等。 6、全等三角形的对应中线相等。 7、全等三角形面积相等。 8、全等三角形周长相等。 9、全等三角形可以完全重合。 三角形全等的方法: 1、三边对应相等的两个三角形全等。(SSS) 2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA) 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)推论 要验证全等三角形,不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定,是由三个对应的部分组成,即全等三角形可透过以下定义来判定:
三角形的定义 三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接,这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边,三个角,三个顶点。 三角形中的主要线段 三角形中的主要线段有:三角形的角平分线、中线和高线。 这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点: (1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线。 (2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。 (3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形的按边分类 三角形的三条边,有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等。所以三角形按的相等关系分类如下: 等边三角形是等腰三角形的一种特例。 判定三条边能否构成三角形的依据 △ABC的三边长分别是a、b、c,根据公理“连接两点的所有线中,线段最短”。可知: △③a+b>c,①a+c>b,②b+c>a △定理:三角形任意两边的和大于第三边。 △由②、③得b―a<c,且b―a>―c △故|a―b|<c,同理可得|b―c|<a,|a―c|<b。 从而得到推论: 三角形任意两边的差小于第三边。 上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法,定理包含了推论,推论也可以代替定理。另外,定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如:三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形,而三条线段的长度分别是5、3、1,就不能构成三角形。 判定三条边能否构成三角形 对于某一条边来说,如一边a,只要满足|b-c|<a<b+c,则可构成三角形。这是因为|b-c|<a,即b-c<a,且b-c>-a.也就是a+c>b且a+b>c,再加上b+c>a,便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来,只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件,则一定有|b-c|<a<b+c。 在特殊情况下,如果已知线段a最大,只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小,只要满足|b-c|<a,就能判定三条线段a、b、c构成三角形。 证明三角形的内角和定理 除了课本上给出的证明方法外还有多种证法,这里再介绍两种证法的思路: 方法1 如图,过顶点A作DE‖BC,