人教版九年级数学上册第23章旋转综合训
练
一、选择题（本大题共10道小题）
1.
在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是( )
2. 若点A(－3，2)关于原点的对称点是点B，点B关于x轴的对称点是点C，则点C的坐标是()
A．(3，2) B．(－3，2)
C．(3，－2) D．(－2，3)
3.
如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B′的坐标是( )
A．(－1，2) B．(1，4)
C．(3，2) D．(－1，0)
4. 2019·长春德惠期末如图，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，下列结论中不一定成立的是()
A．∠ABC＝∠A′C′B′ B．OA＝OA′
C．BC＝B′C′ D．OC＝OC′
5. 若点P(－a，a－3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则a满足() A．a＞3 B．0＜a≤3
C．a＜0 D．a＜0或a＞3
6. 如图，将△ABC以点O为旋转中心旋转180°后得到△A′B′C′.ED是△ABC的中位线，经旋转后变为线段E′D′.已知BC＝4，则线段E′D′的长度为()
A．2 B．3 C．4 D．1.5
7. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AO B＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是()
A．(－1，2＋3) B．(－3，3)
C．(－3，2＋3) D．(－3，3)
8. 如图示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.P是半圆AC的中点，连接BP交AC于点D.若半圆所在圆的圆心为O，点D，E关于圆心O对称，则图两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是()
A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1＝S2D．不确定
9. 2019·河南 如图，在△OAB 中，顶点O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)，将△O
AB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为( )
A ．(10，3)
B ．(－3，10)
C ．(10，－3)
D ．(3，－1
0)
10. 2020·河北模拟
如图所示，A 1(1，3)，A 2(32，3
2)，A 3(2，3)，A 4(3，0)．作
折线OA 1A 2A 3A 4关于点A 4中心对称的图形，得折线A 8A 7A 6A 5A 4，再作折线A 8A 7A 6A 5A 4关于点A 8中心对称的图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P 从原点O 出发，沿着折线以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t 秒．当t ＝2020时，点P 的坐标为( )
A ．(1010，3)
B ．(2020，3
2)
C ．(2016，0)
D ．(1010，3
2)
二、填空题（本大题共7道小题）
11. 点P (1,2)关于原点的对称点P ′的坐标为__________．
12.
若点A (x ＋3，2y ＋1)与点A ′(y －5，1)关于原点对称，则点A 的坐标是________．
13.
如图所示，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2.若以AC 的中点O 为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B 落在点B ′处，则BB ′＝________．
14. 如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 5，BC＝5.将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB′C′，连接B′C，则B′C＝__ ______．
15. 已知?ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB 与x轴平行且AB＝2.若点A的坐标为(a，b)，则点D的坐标为________________．
16.
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．
17.
如图，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应
点B1落在直线y＝－
3 3
x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落
在直线y＝－
3 3
x上，依次进行下去……若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为________．
三、解答题（本大题共4道小题）
18.
如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为(－2，4)，(－2，0)，(－4，1)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
(2)平移△ABC，使点A移动到点A2(0，2)的位置，画出平移后的△A2B2C2，并写出点B2，C2的坐标；
(3)在△ABC，△A1B1C1中，△A2B2C2与________成中心对称，其对称中心的坐标为________.
19.
如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10.
(1)在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外部的点D1处转到其内部的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．
20. 2019·福建如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC 绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E.
(1)当点E恰好在AC上时，如图①，求∠ADE的度数；
(2)若α＝60°，F是边AC的中点，如图②，求证：四边形BEDF是平行四边形．
21.
将一副三角尺按图①摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与A C相交于点G，BC＝2 3.
(1)求GC的长；
(2)如图②，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE 与AC相交于点H，分别过点H，C作AB的垂线，垂足分别为M，N.通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想；
(3)在(2)的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过(1)中的点G时，请直接写出DD′的长度．
人教版 九年级数学上册 第23章 旋转 综合训
练-答案
一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】C
2. 【答案】A
3. 【答案】C
4. 【答案】A
5. 【答案】C
[解析] 点P (－a ，a －3)关于原点对称的点的坐标为(a ，3－a )．∵
点(a ，3－a )在第二象限内，∴???a<0，
3－a>0，解得a ＜0.
6. 【答案】A
[解析] ∵ED 是△ABC 的中位线，BC ＝4，∴ED ＝2.又∵△A ′B ′
C ′和△ABC 关于点O 中心对称，∴E ′
D ′＝ED ＝2.
7. 【答案】
B
8. 【答案】C
[解析] ∵P 是半圆AC 的中点，∴半圆关于直线OP 对称，且点D ，
E 关于圆心O 对称，因而S 1，S 2在直径AC 上面的部分面积相等．∵OD ＝OE ，∴CD ＝AE .∵△CDB 的底边CD 与△AEB 的底边AE 相等，高相同，∴它们的面积相等，∴S 1＝S 2.
9. 【答案】D
10. 【答案】A
二、填空题（本大题共7道小题）
11. 【答案】(－1，－2)
?????x ＝3，
y ＝－1.
解得
???
??x ＋3＝－（y －5），
2y ＋1＝－1，
[解析]
依题意，得
(6，－1)【答案】12. ∴点A 的坐标为(6，－1)．
ABC 绕AC 的中点O 旋转了180°，
∵△[解析] 52 【答案】13. ∴OB ＝OB′，∴BB′＝2OB.
AC ＝1，BC ＝2，
1
2
OC ＝OA ＝∵又 ，
5＝12＋22＝OC2＋BC2在Rt △OBC 中，OB ＝∴ .
5BB′＝2OB ＝2
∴
AB2＋BC2
[解析] 由勾股定理，得AC ＝ 5【
答
案
】
14.
.又AB′＝
5AE ＝BC ＝∴AB′于点E ，则四边形ABCE 是矩形，⊥＝5.过点C 作CE B′C ＝AC ＝5.
∴CE 垂直平分AB′，∴，5AE ＝EB′＝∴，5AB ＝2
15. 【答案】(－2－a ，－b )或(2－a ，－b )
[解析] 如图①，∵点A 的坐标为(a ，b )，AB 与x 轴平行，∴B (2＋a ，b )．
∵点D 与点B 关于原点对称，∴D (－2－a ，－b )．
如图②，∵B (a －2，b )，且点D 与点B 关于原点对称，∴D (2－a ，－b )．
16.
【
答
案
】
18 [解析]
如图．∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠B ＋∠ADC ＝180°.又∵AB ＝AD ，∴将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后点B 与点D 重合，点C 的对应点E 落在CD 的延长线上×6×6＝18.
12AC·AE ＝12＝△ACE ＝S 四边形ABCD S ∴CAE ＝90°，∠AE ＝AC ＝6，∴，
.
3解得x ＝－x ，3
3[解析] 将y ＝1代入y ＝－
39＋3 【答案】17. x 与x 轴所夹的锐角是30°
.
3
3，OA ＝2，且直线y ＝－
3AB ＝∴ 10
O 8＝O 8O 6＝O 6O 4＝O 4O 2＝O 2由图可知，在旋转过程中每3次一循环，其中OO .3＋1＝3＋3＝2＋12O 10＝O .3)＝18＋6 3＝6×(3＋12OO ∴ .
3＝9＋3 12OO 1
2
的纵坐标＝12点O ∴
三、解答题（本大题共4道小题）
18. 【答案】
如图所示．
1C 1B 1解：(1)△ABC 关于原点O 对称的△A 的坐标为(－
2的坐标为(0，－2)，点C 2如图所示，其中点B 2C 2B 2(2)平移后的△A 2，－1)．
(1，－1)
1C 1B 1(3)△A
19. 【答案】
解：(1)①当A ，D ，M 三点在同一直线上时，AM ＝AD ＋DM ＝40或AM ＝AD －
DM ＝20.
②当A ，D ，M 三点为同一直角三角形的顶点时，显然∠MAD 不能为直角．
AM>0，
∵＝800，2－102＝302－DM 2＝AD 2AMD 为直角时，AM ∠当 .
2＝20 AM ∴ AM>0，
∵＝1000，2＋102＝302＋DM 2＝AD 2ADM ＝90°时，AM ∠当 .
10AM ＝10 ∴ .
10或10 2综上所述，满足条件的AM 的长为20 ，
1(2)如图，连接CD
＝30，
2＝AD 1＝90°，AD 2AD 1D ∠由题意得， .
2＝30 2D 1＝45°，D 1D 2AD ∴∠ C ＝135°，
2AD ∵∠ ＝90°，
1D 2AD ∠C －2AD ∠＝1D 2CD ∴∠ .
6＝30 （30 2）2＋602＝1CD ∴ ＝90°，
2AD 1D ∠BAC ＝∵∠ ，
2CAD ∠－2AD 1D ∠＝2CAD ∠BAC －∴∠ .
1CAD ∠＝2BAD ∴∠ ，1＝AD 2AB ＝AC ，AD ∵又 (SAS)，
1CAD ≌△2BAD ∴△ .
6＝30 1＝CD 2BD ∴
20. 【答案】
解：(1)∵△ABC 绕点C 顺时针旋转角α得到△DEC ，点E 恰好在AC 上， ∴CA ＝CD ，∠ECD ＝∠BCA ＝30°，∠DEC ＝∠ABC ＝90°. ∵CA ＝CD ，
∴∠CAD ＝∠CDA ＝1
2(180°－30°)＝75°， ∴∠ADE ＝90°－75°＝15°. (2)证明：连接AD .
∵F 是边AC 的中点，∠ABC ＝90°， ∴BF ＝12AC . ∵∠ACB ＝30°， ∴AB ＝1
2AC ， ∴BF ＝AB .
∵△ABC 绕点C 顺时针旋转60°得到△DEC ，
∴∠BCE ＝∠ACD ＝60°，BC ＝CE ，CD ＝CA ，DE ＝AB ， ∴DE ＝BF ，△ACD 和△BCE 均为等边三角形，
∴BE ＝CB .
∵F 为△ACD 的边AC 的中点， ∴DF ⊥AC ，
易证得△CFD ≌△ABC ， ∴DF ＝BC ， ∴DF ＝BE . 又∵BF ＝DE ，
∴四边形BEDF 是平行四边形．
21. 【答案】
13解：(1)在Rt △ABC 中， ，
3B ＝60°，BC ＝2
∵∠ ，AC ＝6.
3AB ＝4∴ .
3AD ＝2
∴DF 垂直平分AB ，∵ 又∵∠DAG ＝30°， ∴DG ＝2，AG ＝4，
∴GC ＝AC －AG ＝6－4＝2.
(2)MD ＝ND.
证明：∵D 是AB 的中点，∠ACB ＝90°，
∴CD ＝DB ＝AD.
又∵∠B ＝60°，∴△CDB 是等边三角形，
∴∠CDB ＝60°.
DB.
1
2
ND ＝∴DB ，⊥CN ∵ ∵∠EDF ＝90°，
∴∠EDA ＝180°－∠EDF －∠CDB ＝30°.
又∵∠A ＝30°，
∴∠A ＝∠EDA ，∴HA ＝HD. AD.12
MD ＝∴AD ，⊥HM ∵ 又∵AD ＝DB ，∴MD ＝ND. (3)连接DG ，则DG ⊥AD′. 由(2)知∠A ＝∠EDA ，
由平移知∠E′D′A＝∠EDA，
∴∠A＝∠E′D′A.
∵D′E′恰好经过(1)中的点G(此时点D′与点B重合)，
∴D′G＝AG，∴DD′＝AD＝2 3.
1、旋转：将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O叫做旋转中心，转动的角度叫做 旋转角。 2、旋转性质: ①旋转后的图形与原图形全等 ②对应线段与O形成的角叫做旋转角 ③各旋转角都相等 3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。 其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。 4、平移性质 ①平移后的图形与原图形全等 ②两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离） ③各组对应线段平行且相等 5、中心对称与中心对称图形 ①中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中，点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 ②中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。其中，这个点叫做该图形的对称中心。 6、轴对称与轴对称图形 (1)、轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其中，这条轴叫做对称轴。 注：轴对称的性质：①两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分 （2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。 7、点的对称变换 （1）关于原点对称的点的特征:坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P＇（-x，-y）（2）关于x轴对称的点的特征:x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P＇（x，-y）（3）关于y轴对称的点的特征:y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P＇（-x，y）（4）关于直线y＝x对称:横坐标与纵坐标与之前对换，即：P（x，y）关于直线y＝x对称点为P＇（y，x）（5）两个点关于直线y＝-x对称时:横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P（x，y）关于直线y＝x的对称点为P＇（-y，-x） 注：y＝x的直线是过一三象限的角平分线，y＝-x的直线是过二四象限的角平分线。
2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章 二次根式 一、二次根式 1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式， “ ” 表 示二次根号。 2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3．化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5．代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6．二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a
（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) （4）)0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1．二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做 直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元
拔高专题：旋转变化中的压轴题 一、基本模型构建 探究点一：以三角形为基础的图形的旋转变换 例1：（2015?盘锦中考）如图1，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B 在线段AE 上，点C 在线段AD 上． （1）请直接写出线段BE 与线段CD 的关系： BE=CD ； （2）如图2，将图1中的△ABC 绕点A 顺时针旋转角α（0＜α＜360°）， ①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； ②当AC= 1 2 ED 时，探究在△ABC 旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC ，AE=AD ， ∴AE-AB=AD-AC ，∴BE=CD ； （2）①∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC ，AE=AD ， 由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD ，在△BAE 与△CAD 中，AB AC BAE CAD AE AD ? ∠?? ∠??＝＝＝， ∴△BAE ≌△CAD （SAS ），∴BE=CD ；
②∵以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC= 1 2 ED ，∴AC=CD ，∴∠CAD=45°，或360°-90°-45°=225°， ∴角α的度数是45°或225°． 等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强 【变式训练】1. 如图①，在Rt △ABC 和Rt △EDC 中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC ，AB 与EC 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ． （1）求证：CF=CH ； （2）如图②，Rt △ABC 不动，将Rt △EDC 绕点C 旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM 的形状，并证明你的结论． （1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE ，∴∠1=∠2=90°-∠BCE ，∠A=∠B=∠D=∠E=45°， 在△ACF 和△DCH 中，12A D AC CD ∠∠∠??∠? ?? ＝＝＝，∴△ACF ≌△DCH ，∴CF=CH ； （2）四边形ACDM 是菱形，证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=90°-45°=45°， ∵∠A=∠D=45°，∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°，同理∠D+∠ACD=180°，∴AM ∥DC ，AC ∥DM ， ∴四边形ACDM 是平行四边形，∵AC=CD ，∴四边形ACDM 是菱形． 【教师总结】三角形从一个位置旋转到另一个位置，除去对应线段和对应角相等外，里面也存在着相等的角，和全等三角形，在解决问题过程要善于将“基本图形”分离出来分析。 探究点二 以四边形为基础的图形的旋转变换
1、在△ABC中，∠CAB=700，在同一平面内，?△将ABC试点A旋试到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,试∠BAB′=（） A. 300 B. 350 C. 400 D. 500 2、△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合，如果AP=3，那么线段PP'的长等于_________________________． 3、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为___ 4、已知∠AOB=90°，点A绕点0顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3…，依此作法，则∠AA n A n+1等于_____度．(用含n的代数式表示，n为正整数) 5、已知△ABC是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△ABC绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是_____________________. 6、如图，P点是正方形ABCD内一点，△ABP经旋转后与△CBP'重合，旋转中心是点_____________,旋转了 ____________度，若PB=3，则△PBP/ 面积是_______________. 7、如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC，若AB=√5，BC=1，则线段BE的长为_____________. 8、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度后得到△EDC，此时点D在AB 边上，斜边DE交AC边于点F．则DC的长____________;旋转的角度_______________；图中阴影部分的面积 ________________.． 9、将边长为√3的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为______ 10、如图是由三个叶片组成的，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为????cm2． 如图，已知P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将△ABP沿顺时针方 向旋转，使点A与点C重合，这时P点旋转到G点． （1）请画出旋转后的图形，并说明此时△ABP以点B为旋转中心旋转了多少度？ （2）求出PG的长度； （3）请你猜想△PGC的形状，并说明理由． 答案（找作业答案--->>上魔方格） 解：（1）旋转后的△BCG如图所示，旋转角为∠ABC=90°； （2）连接PG，由旋转的性质可知BP=BG，∠PBG=∠ABC=90°，
初中数学九年级旋转知识点总结 1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。 如下图所示： 2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。 3.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 4.中心对称图形与中心对称： 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能 与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。 中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
5．中心对称和中心对称图形的区别 区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。6.中心对称图形的判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 7.中心对称的性质： 关于中心对称的两个图形是全等形。 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。 8.坐标系中对称点的特征 （1）关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） （2）关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y） （3）关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方
根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号 右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公式中a,b,c 的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，
23.1.2 图形的旋转 知识点 1.图形旋转的性质是：(1)旋转前后的图形；(2)对应点到旋转中心的距离； (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 2.简单的旋转作图---旋转作图的步骤 （1）确定旋转； （2）找出图形的关键点； （3）将图形的关键点与旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个角，得到此关键点的对应点； (4)按图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形。 一、选择题 1．在图形旋转中，下列说法错误的是（） A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等 B．图形上每一点移动的角度相同 C．图形上可能存在不动的点 D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等 2．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（） 3.如图所示的图案绕旋转中心旋转后能够与自身重合，那么它的旋转角可能是（）。 °°°° 4．如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（? ） A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可 B．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转45° C．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转180 D．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转90° 5 △ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，?则旋转角等于（） A．50° B．210° C．50°或210° D．130° 二、填空题 6．图形的平移、旋转、轴对称中，其相同的性质是_________. 7．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD
D B 旋转 1、旋转的定义：把一个平面图形绕平面内 转动 就叫做图形的旋转。 旋转的三要素：旋转 ；旋转 ；旋转 旋转的基本性质： （1）对应点到 的距离相等。 （2）每一组对应点与旋转中心所连线段的夹角相等都等于 （3）旋转前后的两个图形是 2、 旋转作图基本步骤： ○ 1明确旋转三要素：______________、______________、_______________ ○ 2找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置。 ○ 3按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形。 3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转?180，如果它能够与 重合， 那么就说 关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。 性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心 。 （2）中心对称的两个图形是 图形。 4、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转?180，如果旋转后的图形能够与 完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 中心对称、中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别又有联系。 区别：中心对称是针对 图形而言的，而中心对称图形指是 图形。 联系：把中心对称的两个图形看成一个“整体”，则成为 。把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则它们 。 5、 利用尺规作关于中心对称的图形： ○ 1明确对称中心的位置 ○ 2利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，分别找出原图形中各个关键点的对应点 ○ 3按原图形中各点的次序，将各对应点连接起来 6、点（x ，y ）关于x 轴对称后是（ , ）
点（ , ）关于y 轴对称后是（-x ，y ） 点（x ，y ）关于原点对称后是（ ， ） 第二部分：例题剖析 例题1、如图，根据要求画图． （1）把△ABC 向右平移5个方格，画出平移的图形． （2）以点B 为旋转中心，把△ABC 顺时针方向旋转90 度，画出旋转后的图形． 例题2、如图，已知P 是正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2， PC=3，以点B 为旋转中心，将△ABP 沿顺时针方向旋转， 使点A 与点C 重合，这时P 点旋转到G 点． （1）请画出旋转后的图形，并说明此时△ABP 以点B 为旋转中心旋转了多少度？ （2）求出PG 的长度； （3）请你猜想△PGC 的形状，并说明理由． 第三部分：典型例题 例题1、如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点均 在格点上． （1）填空：△ABC 是 ________三角形，它的面积等于_______平方单 位； （2）将△ACB 绕点B 顺时针方向旋转90°，在方格图中用直尺画出旋转 后对应的△A′C′B ，则A′点的坐标是（， ），C′点的坐标是（ ， ）． 【变式练习】 1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，-1）、 B （-1，1）、 C （0，-2）． （1）点B 关于坐标原点O 对称的点的坐标为_______ （2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A 1B 1C ； （3）求过点B 1的反比例函数的解析式． 2、如图，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的 三角形，即111A B C △和222A B C △． （1）请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将111A B C △重 合到222A B C △上； （2）在方格纸中将111A B C △经过怎样的变换后可以与222A B C △成 中心对称图形？画出变换后的三角形并标出对称中心． 例题2、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 在BC 的延长线上，且BD=AB ，过点B 作BE ⊥AC ，
人教版九年级上册数学知识点总结 一元二次方程 易错点： a≠0 和a=0 方程两个根的取舍 知识点一:一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二:一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三:一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 降次——解一元二次方程 配方法 / 知识点一:直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二:配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）） （4）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （5）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 公式法 知识点一:公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为 x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的过程。
图形的旋转 唐娟 一、教学目标 （1）了解生活中旋转现象的广泛存在； （2）掌握旋转的有关概念，理解旋转变换也是图形的一种基本变换；（3）会找出旋转前后图形中的对应点、对应线段、对应角、旋转中心、旋转角； （4）理解图形的旋转变换是由旋转中心、旋转角和旋转方向所决定的，探索和发现旋转后图形上的每一点都绕着旋转中心转动了相同的角度，但图形的形状和大小都没有变化； 二、重点与难点 本节课的重点是旋转的有关概念及性质。 难点是概念的形成过程与性质的探究过程。 三．教学过程 （一）创设情景，引入新知 现代教学认为,在正式进行发现过程前要让学生对探索的目标,意义认识得十分明确,并从内心产生巨大的动力,做好探索的物质和精神准备. 情景创设:(用课件显示现实生活中部分物体的旋转现象) 通过这些画面的展示 (1)切身感受到我们身边除了平移、轴对称变换之外,生活中还广泛存在着转动现象，从而产生对这种变换进一步探究的强烈欲望； (2)为本节课探究问题作好铺垫。情景问题:这些情景中的转动现象,有什么共同特征?
（二）探索新知，形成概念 1.建立旋转的概念 (1)试一试,请同学们尝试用自己的语言来描述以下旋转. 观察了上面图形的运动后，引导学生进入本课第一个学习目标：图形旋转的概念； (本环节学生先独立尝试，再同学之间讨论交流、总结，在此过程中以培养学生的抽象概括能力，同时让学生体会到合作交流的必要性，随后，给出旋转的定义：) 像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转（rotation）.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 重点突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度。 2．应用旋转的概念解决问题： (本环节教学中，教师及时观察学生的学习情况和学习进度，碰到学生中的普遍性问题，在进行适当的探讨后，利用谈话讨论的形式进行解决。)（三）实践操作，再探新知 做一做： 如图，在硬纸板上，挖出一个三角形A’B’C’，再挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸。先在纸上描出这个挖掉的三角形图案 （△A’B’C’），然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形 （△ABC），移开硬纸板。 问题：请指出旋转中心和各对应点，哪一个角是旋转角？ 1．从我们看到的旋转现象以及你所完成的实验中，你认为旋转主要因素是什么？ 2．在图形的旋转过程中，哪些发生了改变？哪些没有发生改变？量一量线段OA与线段OA’的关系怎样，线段OB和OB’，OC和OC’呢？AB与A’B’呢？
人教版九年级上册数学 旋转几何综合中考真题汇编[解析版] 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点 E 关于AB 的对称点，连接A F 、BF ． （1）求AF 和BE 的长； （2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ?<
人教版九年级数学上册 旋转几何综合中考真题汇编[解析版] 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角 00)90(θ??<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy 规定：过点P 作y 轴的平行线，交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点B ， 若点A 在x 轴对应的实数为a ，点B 在y 轴对应的实数为b ，则称有序实数对(),a b 为点 P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系xOy 中，已知60θ?=，点P 的斜坐标是()3,6，点C 的斜坐标是()0,6. （1）连接OP ，求线段OP 的长； （2）将线段OP 绕点O 顺时针旋转60?到OQ （点Q 与点P 对应），求点Q 的斜坐标； （3）若点D 是直线OP 上一动点，在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心，DC 长为半径作 D ，当⊙D 与x 轴相切时，求点D 的斜坐标， 【答案】（1）37OP =2）点Q 的斜坐标为（9，3-）；（3）点D 的斜坐标为： （ 3 2 ，3）或（6，12）． 【解析】 【分析】 （1）过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，由平行线的性质，得∠PAC=60θ=?，由AP=6，则 AC=3，33PC =OP 的长度； （2）根据题意，过点Q 作QE ∥OC ，QF ∥OB ，连接BQ ，由旋转的性质，得到OP=OQ ，∠COP=∠BOQ ，则△COP ≌△BOQ ，则BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ 是等边三角形，则BE=EQ=BQ=3，则OE=9，OF=3，即可得到点Q 的斜坐标； （3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时，此时点D 是对角线的交点，求出点D 的坐标即可；②取OJ=JN=CJ ，构造直角三角
人教版九年级上册数学 旋转几何综合单元测试卷附答案 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角 00)90(θ??<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy 规定：过点P 作y 轴的平行线，交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点B ， 若点A 在x 轴对应的实数为a ，点B 在y 轴对应的实数为b ，则称有序实数对(),a b 为点 P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系xOy 中，已知60θ?=，点P 的斜坐标是()3,6，点C 的斜坐标是()0,6. （1）连接OP ，求线段OP 的长； （2）将线段OP 绕点O 顺时针旋转60?到OQ （点Q 与点P 对应），求点Q 的斜坐标； （3）若点D 是直线OP 上一动点，在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心，DC 长为半径作 D ，当⊙D 与x 轴相切时，求点D 的斜坐标， 【答案】（1）37OP =2）点Q 的斜坐标为（9，3-）；（3）点D 的斜坐标为： （ 3 2 ，3）或（6，12）． 【解析】 【分析】 （1）过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，由平行线的性质，得∠PAC=60θ=?，由AP=6，则 AC=3，33PC =OP 的长度； （2）根据题意，过点Q 作QE ∥OC ，QF ∥OB ，连接BQ ，由旋转的性质，得到OP=OQ ，∠COP=∠BOQ ，则△COP ≌△BOQ ，则BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ 是等边三角形，则BE=EQ=BQ=3，则OE=9，OF=3，即可得到点Q 的斜坐标； （3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时，此时点D 是对角线的交点，求出点D 的坐标即可；②取OJ=JN=CJ ，构造直角三角
旋转的概念（基础） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.下列现象：①时钟的摆动；②摩天轮的转动；③地下水位逐年下降；④传送带上的机器人．其中，属于旋转的是( ) A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 答案：A 解题思路： 解题要点：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转． 故①②属于旋转． 试题难度：三颗星知识点：略 2.下列各图中，即可以经过平移，又可以经过旋转，由图形①得到图形②的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：由旋转定义可知，上述四个图形均可由旋转完成；而只有D选项可以由平移得到． 试题难度：三颗星知识点：略 3.将数字6旋转180°，得到数字9；将数字9旋转180°，得到数字6．现将数字69旋转180°，得到的数字是( ) A.96 B.69 C.66 D.99
答案：B 解题思路：略 试题难度：三颗星知识点：略 4.在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现出现一小方格体正向下运动，你必须进行以下( )操作，才能拼成一个完整图案，使所有图案消失． A.顺时针旋转90°，向右平移 B.逆时针旋转90°，向右平移 C.顺时针旋转90°，向下平移 D.逆时针旋转90°，向下平移 答案：A 解题思路：略 试题难度：三颗星知识点：略 5.如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向是( ) A.顺时针 B.逆时针 C.顺时针或逆时针 D.不能确定 答案：B 解题思路：由旋转性质，当齿轮A以逆时针方向旋转时，齿轮B以顺时针方向旋转，则齿轮C以逆时针方向旋转……以此类推，齿轮E旋转方向是逆时针． 试题难度：三颗星知识点：略 6.如图，小明坐在秋千上，秋千旋转了76°，小明的位置也从点A运动到点A′，则∠OAA′的度数为( )
《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥02=a（a≥0（a≥0）． （3（a≥0，b≥0； a≥0，b>0a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1a≥0a≥0）2＝a（a≥0）； （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）
九年级数学上册旋转几何综合专题练习（word 版 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．已知抛物线y=ax 2+bx-3a-5经过点A(2，5) （1）求出a 和b 之间的数量关系． （2）已知抛物线的顶点为D 点，直线AD 与y 轴交于(0，-7) ①求出此时抛物线的解析式； ②点B 为y 轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BC ，连接AB 、AC ，将AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH ．截取BC 的中点F 和DH 的中点G ．当点D 、点H 、点C 三点共线时，分别求出点F 和点G 的坐标． 【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x 2+4x-11，②G 1(478，91-8 +)， F 1(- 8，33-4+)，G 2(8，-8 )，F 2(218，-4) 【解析】 【分析】 （1）把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系； （2）①求出直线AD 的解析式，与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a ，b ，即可求出解析式； ②作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ），根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标，应含t 式子表示直线AD 的解析式，根据D 、H 、C 三点共线，把点C 坐标代入求出 131t - 4+=，2t -4 =，分两类讨论，分别求出G 、F 坐标。 【详解】 解：（1）把A （2,5）代入y=ax 2+bx-3a-5得4a+2b-3a-5=5 ∴a+2b=10 ∴a 和b 之间的数量关系是a+2b=10 （2）①设直线AD 的解析式为y=kx+c ∵直线AD 与y 轴交于（0，-7），A （2,5） ∴2k c 5{c -7+==解得k 6 {c -7 ==即直线AD 的解析式为y=6x-7 联立抛物线y=ax 2+bx-3a-5与直线AD ：y=6x-7 得2 y ax +bx-3a-5 {y 6x-7 == 消去y 得ax 2+（b-6）x-3a+2=0 ∵抛物线与直线AD 有两个交点 ∴由韦达定理可得：x A +x D =b-6- a =2a 2a +，x A x D =-3a 2 a +
第二十一章 二次根式 1、一个正数有两个平方根；在实数范围内，负数没有平方根。 2、一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 3、a （a ≥0）是一个非负数.当a 为带分数是，要把a 改写成假分数，即53 22要写成 53 8 4、二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0）， 2 a =a （a ≥0） 5、用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 6、二次根式的乘法规定：a ×b =ab （a ≥0,b ≥0） 7、二次根式的除法规定：b a =b a （a ≥0, b ＞0） 8、最简二次根式条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 9、二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 10、同类二次根式即指被开方数相同的最简二次根式 11、平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2 12、二次根式除法没有分配率，任何非零数的零次幂都是1，（ab ）m =a m b m 第二十二章 一元二次方程 1、 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2、 一元二次方程的一般形式：ax 2 +bx+c=0(a ≠0),其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 3、 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 4、 解一元二次方程的方法： （1） 直接开方法：如果方程能化成x 2 =p 或（mx+n ）2 =p(p ≥0)的形式，那么可得x=p ± 或mx+n=p ± （2） 配方法：步骤：第一步，把方程化成一般形式（二次项系数是1）；第二步，把常 数项移到方程的右边；第三步，配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式，即（x-k ）2 =h(h ≥0)；第五步，用直接开平方法解方程。 （3） 公式法：Δ=b 2-4ac 叫做方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)根的判别式。当Δ＞0时，方程 ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个相
数学九年级上册 旋转几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点 E 关于AB 的对称点，连接A F 、BF ． （1）求AF 和BE 的长； （2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ?<
第二十三章旋转 23.1 图形的旋转（1） 教学内容 1．什么叫旋转？旋转中心？旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 教学目标 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题． 1．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用． 2．难点与关键：从活生生的数学中抽出概念． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面各题． 1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′． 3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？ （口述）老师点评并总结： （1）平移的有关概念及性质． （2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）?的对称图形并口述它既有的一些性质． （3）什么叫轴对称图形？ 二、探索新知 我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究． 1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？?从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？ （口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．?如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度． 2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？（老师点评略）3．第1、2两题有什么共同特点呢？ 共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度． 像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫