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直线与双曲线的位置关系
作者：冯赟
来源：《高中生学习·高二版》2016年第03期
直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何中的重要内容，其中直线与双曲线的位置关系尤其复杂，同学们难以处理，本文针对直线与双曲线的位置关系的常规题型进行了如下的研究.
[过已知点的直线与双曲线的位置关系]
在平面直角坐标系中找出已知点的位置，然后再分析过已知点的直线中满足题意的情况，特别要注意几个特殊位置，与坐标轴垂直、与渐近线平行或垂直、倾斜角小于渐近线的倾斜角、倾斜角大于渐近线的倾斜角.
例1 过点[P（7，5）]与双曲线[x27-y225=1]有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程.
解法一若直线的斜率不存在时，则[x=7]，此时仅有一个交点[（7，0）]，满足条件；
若直线的斜率存在时，设直线的方程为[y-5=k（x-7）]，则[y=kx+5-k7]，
联立[y=kx+5-k7x27-y225=1]
[?（25-7k2）x2-14k（5-k7）x-7×（5-k7）2-175=0，]
当[k=577]时方程无解，不满足条件；
当[k=-577]时方程有一解，满足条件；
当[k≠±577]时，令[Δ=0]，解得[k]无解.
∴满足条件的直线有两条：[x=7]和[y=-577x-10].
解法二 P点在双曲线的渐近线上，过P点与双曲线只有一个公共点的直线有两条，一条是x轴的垂线，一条是平行于渐近线的直线，再根据相关条件解答（过程略，下同）.
例2 过点P（1，1）与双曲线[x29-y216=1]只有一个公共点的直线共有条.
解法一若直线的斜率不存在，直线的方程为：[x=1]，与双曲线无公共点，舍去；
若直线的斜率存在，设直线的方程为：[y-1=k（x-1）]，