力学（第二版）漆安慎习题解答
第十章波动
第十章
一、波动基本知识小结
⒈平面简谐波方程 )c o s ()(c o s kx t A t A y V x
ωω
==； v V T v k T λπλπω====,/1,2,2。
⒉弹性波的波速仅取决媒质性质：弹性体中横波的波速ρ/N V =，弹性体中纵波的波速ρ/Y V =，流体中纵波波速ρ/k V =，绳波波速ρ/T V =。
⒊波的平均能量密度 2221A ρωε=，波的平均能流密度 V A I 2221
ρω=。
⒋波由波密射向波疏媒质，在边界处，反射波与入射波相位相同；波由波疏射向波密媒质，在边界处，反射波比入射波相位落后π，相当损失半个波长；例如：在自由端无半波损失，在固定端有半波损失。
⒌振动方向相同、频率相同、位相差恒定的二列波叫相干波，相干波叠加叫波的干涉。
⒍振幅相同、传播方向相反的两列相干波叠加产生驻波现象；驻波方程
t x A y ωλπcos cos 22=；波节两边质元振动相位相反，两个波节之间质元振动相位相同；
相邻波节或相邻波腹间距离为λ/2，相邻波腹波节间距离为λ/4。
⒎多普勒公式：v v S V V V
V --=0'，在运用此公式时，以波速V 为正方向，从而确定V 0、V S 的
正负。
二、思考题解答
10.1 根据波长、频率、波速的关系式u λν=，有人认为频率高的波传播速度大，你认
为对否？
答：否。弹性波在连续介质中的传播速度取决于介质的性质和状态，如固体、液体的形变模量和密度以及气体的体变模量和气体的状态等。在给定的非色散介质中，弹性波相位的传播速度（即波速）是一定的，与频率无关。由u λν=可知，波的频率越高在
介质中的波长越短。
介质对于电磁波的传播不是必要的，介质中电磁波相位的传播速度与介质的介电常量ε和磁导率μ有关。当ε和μ为常数（非色散介质）时，相速度u 与频率无关，真空中电磁波的相位传播速度即为光速c 。比值
n u
c
=，n 为介质的折射率。
10.2 当波从一种介质透入另一介质时，波长、频率、波速、振幅各量中，哪些量会改
变？哪些量不会改变？
答:参照上题，简谐波在连续介质中传播时，介质中各质点振动的频率是由波源决定的。当简谐波从一种介质透射到另一种弹性介质时，波的频率不会改变。两种介质的性质不同，简谐波在其中传播的相速不同，由u λν=可知，在两种介质中的波长也是不
同。当波从一种介质透射到另一介质时，在它们的界面，伴随有波（能量）的反射。频
率一定时，波的能量正比于振幅的平方，所以透射波的振幅小于入射波的振幅。
10.3 波的传播是否是介质质点“随波逐流”？“长江后浪推前浪”这句话从物理上说，是
否有根据？
答：波的传播是介质中质点振动状态（相位）的传播过程，质点本身并不随波逐流，仅在各自的平衡位置附近振动。因此介质中的质点“随波逐流”的说法是错误。而“长江后浪推前浪”这句话，从波传播能量和波的形成来看随颇为形象，但本质上不具备“相位
的传播”和“质点本身并不随波移动”的特征，因此用这句话来描述波动也是不确切的。
10.4 （1）在波的传播过程中，每个质元的能量随时间而变，这是否违反能量守恒定律？（2）在波的传播过程中，动能密度与势能密度相等的结论，对非简谐波是否成立？为什么？
答：（1）否。波的传播过程是能量的传播过程，每个质元通过所含大量质量的以相位联系的振动来周期性地接受，放出波的能量，起传递能量的作用。这不违反能量守
恒定律。
（2）否。对简谐波而言，动能密度正比于单位体积介质内所有质点振动速度的平方，势能密度正比于介质的相对形变量的平方。非简谐波可以看作是若干个频率、振幅
不同的简谐波之和，即级数和，它对坐标x的变化率的平方
2
()
y
x
?
?以及对时间变化率的
平方
2
()
y
t
?
?都有非线性效应。所以，对非简谐波而言，介质内动能密度与势能密度相等
的结论，是不成立的。
10.5 两列简谐波叠加时，讨论下列各种情况：
(1)若两波的振动方向相同，初相位也相同，但频率不同，能不能发生干涉?
(2)若两列的频率相同，初相位方向也相同，但振动方向不同，能不能发生干涉？
(3)若两列的频率相同，振动方向也相同、初相位也相同，但振幅不同，能不能发生干涉？
答：两列简谐波在空间相遇时，都满足叠加原理，是否能发生干涉现象，则需根据相干条件判断。
（1）两列波的振动方向相同，初相位也相同，但频率不同时，介质中各质点的合振动仍为两个分振动的合成，两波仍满足叠加原理，但叠加后的合成波的空间不能形成稳定的加强和减弱分布；因此不会出现波的干涉现象。
（2）两波的频率相同，初相位也相同，但振动方向不同时，若将其中一个波的振动按另一个波的振动方向可分解为平行和垂直的两个分量，则两个平行振动的叠加可产生波的叠加现象，但干涉条纹的可见度因存在垂直的振动分量而下降。若两波的振动方向互相垂直，则不产生干涉。
（3）两列的频率相同，振动方向也相同，但两列在空间相遇处的振动相位差不能保持恒定时，对每个瞬时在相遇区域内各质点振动的叠加虽有确定的加强和减弱的分布，但在一段可观察的时间间隔内，因各质点的振动相位差时刻在变化，致使在两波相遇区域内各质点振动加强和减弱的分布也时刻在变化，得不到稳定的分布，因此就观察不到稳定的加强和减小的干涉现象。单一频率的自然光源较难实现干涉，原因就在于此。
（4）两波的频率相同，振动方向相同，初相位也相同，但振幅不同时，可以发生干涉现象，但因干涉减弱处的合振动不为零，将影响干涉条纹的可见度。
10.6 （1）为什么有人认为驻波是不是波？
（2）驻波中，两波节间各个质点均作用相位的简谐运动，那么，每个振动质点的能量是否保持不变？
答：（1）驻波可被看作是特殊形态的合成波，是由两列沿相反方向传播的相干波因叠加而形成的干涉现象。驻波与行波有共同的特征：各质点振动位移的分布形成波形曲线，波形随时间变化，具有时空周期性，驻波相对于行波的特殊处在于：驻波既不传播振动形态，也不传播能量，即驻而不行。所以有人认为驻波不是波，而是质量的一种集体振动状态。
（2）驻波中，两波节间各个质点以不同的恒定振幅作用相位的简谐振动，一波节两侧各个质点作简谐振动的相位相反，就单个质点而言振动能量是守恒的，但各质元在振动过程中能量不断变化，如：波节处质元的动能始终为零，其势能则随着两侧质元振动引起的相对形变的变化而不断变化；波腹处质元的动能不断变化，其势能则始终为零。各质元见不断交换能量，但总能量始终停留在驻波所在范围内，并不传播出去.
三、习题解答
10.2.1 频率在20至20000Hz 的弹性波能使人耳产生听到声音的感觉。0oC 时，空气中的声速为331.5m/s,求这两种频率声波的波长。
解：m v V v V v V 58.16/,/,20
5.33111≈=
==∴=λλλ
m v V 3221058.1620/5.331/-?≈==λ
10.2.2 一平面简谐声波的振幅A=0.001m ，频率为1483Hz ，在20oC 的水中传播，写出其波方程。
解：查表可知，波在20oC 的水中传播，其波速V=1483m/s.设o-x 轴沿波传播方向，x 表示各体元平衡位置坐标，y 表示各体元相对平衡位置的位移，并取原点处体元的初相为零，则：
)22966cos(001.0)(2cos x t t v A y V x
πππ-=-=
10.2.3 已知平面简谐波的振幅A=0.1cm,波长1m,周期为10-2s,写出波方程（最简形式）.又距波源9m 和10m 两波面上的相位差是多少？
解：取坐标原点处体元初相为零，o-x 轴沿波传播方向，则波方程的最简形式为
)
100(2cos 10)(2cos )(cos 3x t A t A y x
T t V x -=-=-=-ππωλ
πππ2)10100(2)9100(2=---=?Φt t
10.2.4 写出振幅为A,频率v =f ,波速为V=C,沿o-x 轴正向传播的平面简谐波方程.波源在原点o,且当t=0时，波源的振动状态是位移为零，速度沿o-x 轴正方向。
解：设波源振动方程为)cos(φω+=t A y . ∵t=0时，2,0sin ,0cos πφφωφ-=∴>-==
==A u A y dt
dy
∴波方程])(2cos[])(2cos[22ππππ--=--=C x
V x t f A t v A y
10.2.5 已知波源在原点（x=0）的平面简谐波方程为),cos(cx bt A y -=A,b,c 均为常量.试求：⑴振幅、频率、波速和波长；⑵写出在传播方向上距波源l 处一点的振动方程式，
此质点振动的初相位如何？
解：⑴将)cos(cx bt A y -=与标准形式)cos(kx t A y -=ω比较，ω=b,k=c,∴振幅为A,频率v =ω/2π=b/2π,波速V=ω/k=b/c,波长λ=V/v =2π/c.
⑵令x=l , 则)cos(cl bt A y -=，此质点振动初相为 – c l .
10.2.6 一平面简谐波逆x 轴传播，波方程为),3(2cos ++=V
x
t v A y π试利用改变计时起点的方法将波方程化为最简形式。
解：令t’=t+3,则)'(2cos x
t v A y +=π，即将计时起点提前3s,即可把方程化为如上的最简形式。
10.2.7 平面简谐波方程)(2cos 54x t y +=π，试用两种方法画出s t 53=时的波形图（SI ）。
解：由波方程可知：A=5, v=4, v =1, λ=v/v =4
s t 53=时，)(cos 5)(2cos 5512
2453+=+=x y x ππ
方法一：令512'+=x x ，先画出'cos 52x y π=的波形图，然后将y 轴右移512
即可。
方法二：找出x 、y 的对应点，根据余弦函数规律描出。
10.2.8 对于平面简谐波)(2cos λπx T
t r S -=中，r=0.01m,T=12s,λ=0.30m,画出x=0.20m 处体元的位移-时间曲线。画出t=3s,6s 时的波形图。
解：波方程)(2cos 01.0)(2cos 3.012x t x T t r S -=-=ππλ
⑴令x=0.20，)8(cos 01.0)(2cos 01.02.0-=-=t S t π
π；令t'=t-8,根据T=12s 及余弦
曲线的规律，先画出'cos 01.0't S π=的S’-t’曲线，再把S'轴向左移动8秒，即得S-t 曲
线。
⑵令t=3, )(2cos 01.0)(2cos 01.01233.03.0123-=-=x x S ππ=)(cos 01.0403320-x π.令403'-=x x ，
根据m 3
43.0?==λ及余弦曲线的规律，先画出'cos 01.0'20x S π=的S’-x’曲线，再把S’
轴向左移动3/40m ，即得S-x 曲线。
t=6s 时的波形图，可把t=3s 时的波形图左移m 40
312
3
63.0=
?-，即1个单位，就是t=6s
时的波形图（虚线所示）。
x(m)
10.2.9 两图分别表示向右和向左传的平面简谐波在某一瞬时的波形图，说明此时x 1,x 2,x 3以及ξ1,ξ2,ξ3各质元的位移和速度为正还是为负？它们的相位如何？（对于x 2和ξ2只要求说明其相位在第几像限）
解：根据)(sin ),(cos V x V x t A u t A y ωωω-==及波形图随时间t 的移动方向，可做
出如下判断：
10.2.10 图（a ）、（b ）分别表示t=0和t=2s 时的某一平面简谐波的波形图。试写出平面简谐波方程。
解：由波形图知：A=2m,λ=2m.由图（a ），原点处质元t=0时，
y=A,可判断其初相为零.比较 （a ）、（b ）两图,（b ）图可看作（a ）图向右移动0.5m 得到。
∴VΔt=0.5,V=0.5/2=0.25m/s. ω=2πV/λ=2π×0.25/2=0.25π
)
25.0(cos 2)(25.0cos 2)
(cos 225.0x t t t y x V x
-=-=-=∴ππω
10.3.1 有一圆形横截面的铜丝，受张力1.0N,横截面积为1.0mm 2.求其中传播纵波和横波时的波速各为多少？铜的密度为8.9×103kg/m 3,铜的杨氏模量为12×109N/m 2.
解：纵波波速 s m V Y
/1016.13103.810123
9
?≈=
=
??ρ
.
铜丝的线密度m kg s /109.8100.1109.8'363--?=???==ρρ，铜丝中传播的横波是绳波，横波波速s m V T
/6.103
109.81
'
≈=
=-?ρ
10.3.2 已知某种温度下水中声速为1.45×103m/s,求水的体变模量。 解：∵水中声波速度∴=
ρk
V 水的体变模量
a P V k 923321010.2)1045.1(100.1?≈???==ρ
10.4.1 在直径为14cm 管中传播的平面简谐波，平均能流密度为9erg/s.cm 2，v =300Hz ，V=300m/s.⑴求最大能量密度和平均能量密度，⑵求相邻同相位波面间的总能量。
解：平均能流密度 23
2221./10
9m s J V A I -?==ρω ⑴ ∵能量密度)(sin 222V
x
t A -=ωρωε，∴ 最大能量密度 35300
1092222m ax /1063
m J A V
I
-???==
=
=-ρωε. 平均能量密度
35m ax 21
2221/10
3m J A -?===ερωε ⑵管的横截面积 2
222
101421054.1)(14.32
m R s -??=?==-π，∵相邻同相位波面间的距离为m v V 1300
300
===λ，∴其间总能量为J s E 725106.41054.11103---?≈????==λε
10.4.3 面向街道的窗口面积约40m 2,街道上的噪声在窗口的声强级为60dB,问有多少声功率传入室内？（即单位时间进入多少声能）
解：据声强级定义：0610,6lg ,60lg 1000I I Il I I I I ====，所以传入室内的声功率
W IS W 5126100.4401010--?=??==
10.4.4 距一点声源10m 的地方，声音的声强级为20dB ，求：⑴距声源5m 处的声强级；⑵距声源多远就听不见1000Hz 的声音了？
解：⑴设r=r 1=5m 时,声强为I 1,声强级为IL 1；r=r 2=10m 时，声强为I 2,声强级为IL 2 2
212
222
11)(,441
2r r I I r I r I =∴=ππ ，用声强级表示：2
)lg(10lg 10lg
10lg
10120
22
102220
1r r I I r I r I I I +== 即dB IL IL r r 02.2602.6204lg 1020)lg(102
211
2=+=+=+= ⑵设r=r 3时听不到声音，即对应的声强级IL 3=0
2
3210,2lg ,020lg 10lg 10lg 103
232030232==∴-=-=-=I I I I I I I I I I IL IL m r r r I r I I I r r I I 1001010,)(,442
322
3322232
322
3=?====ππ
10.5.1 声音干涉仪用于显示声波的干涉，见图。薄膜S 在电磁铁的作用下振动，D 为声音检测器，SBD 长度可变，SAD 长度固定，声音干涉仪内充满空气。当B 处于某一位置时，在D 处听到的声强为100单位的最小声音，将B 移动则声音加大，当B 移动1.65cm 时听到强度为900单位的最强音。求：⑴声波的频率；⑵到达D 处二声波振幅之比，已知声速为342.4m/s.
解：⑴D 处听到的声强是由SAD 和SBD 传过来的两列
相干波叠加结果；声强最小，说明两列相干波在D 处的相位相反，合振幅为两个分振幅之差；声强最大，说明两列相干波在D 处相位相同，合振幅为两个分振幅之和；两列
波在D 处的相位差由相反变为相同，相位差改变为π，因此两列波传播距离的改变为λ/2，有：
Hz v m V
5188,106.6,1065.122
106.64.342222
≈=
=
?=??=-?--λ
λλ
⑵3/1900/100//,//21212
22
121====I I A A A A I I
r
A
10.5.2 两个波源发出横波，振动方向与纸面垂直，两波源具有相同的相位，波长0.34m.⑴至少求出三个x 数值使得在P 点合振动最强，⑵求出三个x 数值使得在P 点的合振动最弱。
解：由于两个波源的相位相同，
因而二波在P 点引起的两个分振动的 相位差
λ
λ
π
πx
x l l 22)
(==
?--
⑴当2,1,0(22==n n x
ππλ
…）时，
合振动最强。取n=0,1,2, 得x 1=0, x 2=λ=0.34m, x 3=2λ=0.68m
⑵当2,1,0()12(2=+=n n x
ππ
λ…）时，合振动最弱。取n=0,1,2, 得 x 1=λ/2=0.17m,
x 2=3λ/2=0.51m, x 3=5λ/2=0.85m
10.5.3 试证明两列频率相同，振动方向相同、传播方向相反而振幅大小不同的平面简谐波相叠加可形成一驻波与一行波的叠加。
证明；设满足要求的两列平面简谐波的波方程为： t
kx A kx t A A kx t kx t A kx t A A kx t A kx t A A A kx t A kx t A y A A kx t A y kx t A y ωωωωωωωωωωωcos cos 2)cos()()]cos()[cos()cos()()
cos()cos()()
cos()cos(),cos(),cos(221221222121212211+--=-+++--=++-+-=++-=>+=-= （应用三角函数公式：22cos cos 2cos cos β
αβαβα-+=+）
显然，前一项表示一行波，后一项为一驻波
10.5.4 入射波)](2000cos[101034
4x
t y -?=-π在固定端反射，坐标原点与固定端相距0.51m,写出反射波方程.无振幅损失.(SI)
解：反射波的振幅、频率、波速均与入射波相同；反射波传播方向与入射波传播方向相反；入射波在原点处振动初相为零，设反射波在坐标原点处振动初相为φ，固定端反射有半波损失，所以πππφππφλλ
61
)1()1(,201000/3451
.0442-=+-=+-=+=
-???
.综合以上考虑，反射波方程为 ]61)(2000cos[101034
4ππ-+?=-x
t y ])(2000cos[101034
4ππ-+?=-x
t
10.5.5 入射波方程为)(2cos λπx
T
t A y +=，在x=0处的自由端反射，求反射波的波方程。无振幅损失。
解：反射波的振幅、周期、波长与入射波相同；反射波传播方向与入射波相反；由于在x=0处的自由端反射，无半波损失，反射波与入射波在原点的初相相同。综合以上
考虑，反射波方程为)(2cos λπx T
t A y -=
10.5.6 10.5.7 图表示某一瞬时入射波的波形图，分别画出在固定端反射和在自由端反射时，反射波的波形图，无振幅损失。
解：
方法：可先把界面后边的入射波补画上去，如图1；固定端反射时，损失半个波长，可把界面后边的波形去掉半个波长，然后把剩余波形映射过去即可，如图2；自由端反射，无半波损失，直接把界面后边的波形映射过去即可，如图3。
10.5.8 一平面简谐波自左向右传播，在波射线上某质元A 的振动曲线如图示。后来此波在前进方向上遇一障碍物而反射，并与该入射平面简谐波叠加而成驻波，相邻波节波腹距离为3m,以质元A 的平衡位置为o-y 轴原点，写出该入射波波方程。 解：∵相邻波节波腹间距离是
λ/4=3,∴λ=12m,k=2π/λ=π/6；
从A 点振动曲线可知：A=0.2m,T=2s,ω=2π/T=π； 设A 点振动方程为),(cos 2.0?π+=t x ∵t=0.5s 时，x= - 0.2,∴- 0.2=0.2cos()2?π+
2
2
,ππ?π?=
=+.综合以上考虑，入射波波方程应为
)cos(2.0)cos(2.026π
ππ?ω+-=+-=y t ky t x
10.5.9 同一媒质中有两个平面简谐波波源作同频率、同方向、同振幅的振动。两波相对传播，波长8m.波射线上A 、B 两点相距20m.一波在A 处为波峰时，另一波在B 处相位为-π/2.求AB 连线上因干涉而静止的各点的位置.
解：以A 点为坐标原点，建立图示坐标系，x 表示各质元的平衡位置，y 表示各质元 的振动位移。
设：)cos(),cos(
2221?ωωλπλπ++=-=x t A y x t A y ，据题意，波1使A 处(x=0)质元
位移最大时，波2使B 处(x=20)质元的振动相位为-π/2,即t=0时，
π??π
ππλ
π
5.5,20840222-=--=∴-=+?
∴)5.5cos(
22πωλπ-+=x t A y . 合振动位移为零（即静止）的条件是：两波在这些点引起的分振动的相位差
πωπωλπλπ)12()()5.5(22+=---+=?Φn x t x t ，
将λ=8代入并整理，可得 x = 4n+13, n = 0, ±1, ±2, ±3…. 由于 0≤x≤20,∴取n = -3, -2, -1, 0, 1, 对应的 x = 1, 5, 9, 13, 17m.
x
10.5.10 一提琴弦长50cm,两端固定，不用手指按时，发出的声音是A 调：440Hz ，若欲发出C 调：528Hz ，手指应按在何处？
解：基频决定音调，取n=1，,','
211211ρ
ρ
T
l T
l
v v ==
所以，
cm cm l v v l l l v v 67.4150528
440'',''1111=?===，即手按在41.67cm 可发出C 调音
10.5.11 张紧的提琴弦能发出某一种音调，若欲使它发生的频率比原来提高一倍，问弦内张力应增加多少倍？ 解：T T T T v v
v v v T T T
l
42)(',,22
'''
212
2====
∴=
ρ ，即弦内张力应增加3倍。
10.7.1火车以速率v 驶过一个在车站上静止的观察者，火车发出的汽笛声频率为f.求观察者听到的声音的频率的变化。设声速是v 0.
解：根据多普勒公式，当火车驶进车站时，观察者听到的频率
f
v V
V V -=
001；当火车驶出车站时，观察者听到的频率f
v V
V V +=
002。
10.7.2 两个观察者A 和B 携带频率均为1000Hz 声源。如果A 静止，而B 以10m/s 的速率向A 运动，那么A 和B 听到的拍是多少？设声速为340m/s.
解：A 听到的拍频v A =v 2’- v 1’
其中：v 1’=v =1000Hz, s V V V v -='2v
Hz 1030100010
340340
=?=
-，∴v A =1030-1000=30Hz.
B 听到的拍频v B =v 1’-v 2’. 其中：v 2’=1000Hz,
v v V V V 0
'1+=
Hz v Hz B 2910001029,1029100034010
340=-=∴=?=
+.
10.7.3 一音叉以v s =2.5m/s 速率接近墙壁，观察者在音叉后面听到拍音频率v =3Hz,求音叉振动频率。声速340m/s.
解：设音叉振动频率为f.人从音叉
直接听到的频率
f f f v s V 9927.0'340
1==
=
人听到的从墙反射回来的频率（即墙接受到的频率）f f f v s V 0074.1'3402==
=.
v v v =-''12 ,即3)9927.00074.1(==-v f Hz f 204)9927.00074.1/(3=-=∴
第二章 质点运动学（习题） 2.1.1质点的运动学方程为 j ?)1t 4(i ?)t 32(r ).2(,j ?5i ?)t 23(r ).1(-+-=++= 求质点轨迹并用图表示。 解，①.,5y ,t 23x =+=轨迹方程为y=5 ②???-=-=1t 4y t 32x 消去时间参量t 得：05x 4y 3=-+ 2.1.2质点运动学方程为 k ?2j ?e i ?e r t 2t 2++=- ，（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=-1至t=1质点的位移。 解，①?????===-2z e y e x t 2t 2消去t 得轨迹：xy=1,z=2 ②k ?2j ?e i ?e r 221++=-- ,k ?2j ?e i ?e r 221 ++=-+ , j ?)e e (i ?)e e (r r r 222211---+-+-=-=? 2.1.3质点运动学方程为j t i t r ?)32(?42++= ，（1）. 求质点的轨迹；（2）. 求自t=0至t=1质点的位移。
解，①. ,3t 2y ,t 4x 2+==消去t 得轨迹方程 2)3y (x -= ②j ?2i ?4r r r ,j ?5i ?4r ,j ?3r 011 0+=-=?+== 2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为 0117.33,m 4100R =θ=，0.75s 后测得 21022R ,R ,3.29,m 4240R =θ=均在铅直平面内。求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）。 解， )cos(R R 2R R R 21212221θ-θ-+=? 代入数值得： )m (385.3494.4cos 42404100242404100R 0 22≈??-+=? )s /m (8.46575 .0385.349t R v ==??≈ 利用正弦定理可解出089.34-=α 2.2.2一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为
力学（第二版）漆安慎习题解答 第七章刚体力学
第七章 刚体力学 一、基本知识小结 ⒈刚体的质心 定义：∑??==dm dm r r m r m r c i i c //ρ ρρ ρ 求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。 ⒉刚体对轴的转动惯量 定义：∑?==dm r I r m I i i 22 平行轴定理 I o = I c +md 2 正交轴定理 I z = I x +I y. 常见刚体的转动惯量： （略） ⒊刚体的动量和质心运动定理 ∑==c c a m F v m p ρ ρρρ ⒋刚体对轴的角动量和转动定理 ∑==βτω I I L ⒌刚体的转动动能和重力势能 c p k mgy E I E ==221ω ⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动 动力学方程：∑∑==c c c c I a m F βτρ ρ（不必考虑惯性力矩） 动能：2 21 2 21c c c k I mv E ω+= ⒎刚体的平衡方程 ∑=0F ρ ， 对任意轴 ∑=0τ
二、思考题解答 火车在拐弯时所作的运动是不是平动？ 答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）始终彼此平行。若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。但当火车拐弯时，车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。 对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动？ 答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体的同一点。所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩不一定为零。由刚体的转动定律可知，刚体将发生转动。比如，置于光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。 如果刚体转动的角速度很大，那么（1）作用在它上面的力是否一定很大？（2）作用在它上面的力矩是否一定很大？ 答：由刚体的定轴转动定律可知，刚体受对轴的合外力矩正比于绕定轴转动角速度的时间变化率。因此，刚体转动的角速度很大，并不意味这转动角速度的时间变化率也很大，所以， （1）刚体定轴转动的角速度很大，与其受力没有直接关系。对于刚体的一般运动，所受合外力使刚体的质心产生加速度，即改变刚体的平动状态。 （2）刚体定轴转动的角速度很大，与其受到对定轴的力矩的大小也没有直接关系。合外力矩使刚体产生角加速度，改变刚体的转动状态。 为什么在研究刚体转动时，要研究力矩作用？力矩和哪些因素有关？ 答：一个静止的刚体能够获得平动的加速度而运动起来的原因是，相对它的质心而言，所受的合外力不为零。一个静止的刚体相对某一转动，能够获得角加速度而转动起来的原因是，刚体所受到的外力对转轴的合外力矩不为零。因此，刚体的转动是与其受到的相对转轴的合外力矩密切相关的。取轴为刚体转动的固定轴时，对转动有贡献的合外力矩是，其中，是作用在刚体上的第个外力在转动平面内的分量，而是由转轴（轴）到的作用点的距离，是和间由右手定则决定的夹角。所以，对轴的力矩不但与各外力在转动平面内分量的大小有关，还与的作用线与轴的垂直距离（力臂）的值有关。 试证：匀质细棒在光滑平面上受到一对大小相等、方向相反的作用力作用时，不管力作用在哪里，它的质心加速度总是零。 答：匀质刚性细棒可以看作在运动中保持相对位置不变的质点系，其质心遵守运动定律 .当该棒受大小相等方向相反的作用力时，质心所受合力与各个力的作用点无关，加速度总为零。
第三章基本知识小结 ⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。 矢量式：22dt r d m dt v d m a m F === 分量式： （弧坐标）（直角坐标） ρ τττ2 ,,,v m ma F dt dv m ma F ma F ma F ma F n n z z y y x x ======= ⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。 导数形式：dt p d F = 微分形式：p d dt F = 积分形式：p dt F I ?==? )( （注意分量式的运用） ⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即 ∑==恒矢量。 则，若外p F 0 （注意分量式的运用） ⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。 在直线加速参考系中：0*a m f -= 在转动参考系中：ωω ?=='2, *2* mv f r m f k c ⒌质心和质心运动定理 ⑴∑∑∑=== i i c i i c i i c a m a m v m v m r m r m ⑵∑=c a m F （注意分量式的运用）
3.4.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力 而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+== , j i a m F ?12?24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/?===arctg F arctgF x y α 3.4.2 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程 为：j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F 2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 3.4.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？ 解：以地为参考系，设谷物的质量为m ，所受到的最大静摩擦力为 mg f o μ =，谷物能获得的最大加速度为 2 /92.38.94.0/s m g m f a o =?===μ ∴筛面水平方向的加速 度至少等于3.92米/秒2，才能使谷物与筛面发生相对运动。 μ1 μ2 3.4.3 题图 3.4.4题图 3.4.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m 1 ,m 2,如图所示，m 2 和桌面间的摩擦系数为μ2，m 1和m 2间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。 解：以地为参考系，隔离m 1、m 2，其受力与运动情况如图所示， 其中，N 1'=N 1,f 1'=f 1=μ1N 1,f 2=μ2N 2，选图示坐标系o-xy ，对m 1,m 2 分别应用牛顿二定律，有 02122 22211111 111=--=--=-=g m N N a m N N F g m N a m N μμμ 解方程 组，得 ()2221211211/m g m g m g m F a g a μμμμ---== 要把木板从下面抽出来，必须满足12a a >，即 g m g m g m g m F 12221211μμμμ>---()()g m m F 212 1++>∴μ μ m 2 m 1 F m 1g f 1 N 1 a 1 a 2 N 2 N 1' m 2g F f 1' f 2 x y
力学（第二版）漆安慎习题解答第八章弹性体的应力和应变
第八章 一、基本知识小结 1?弹性体力学研究力与形变的规律；弹性体的基本形变有拉伸压缩形变和剪切形变，弯曲形变是由程度不同的拉伸压缩形变组成，扭转形变是由程度不同的剪切形变组成。 2?应力就是单位面积上作用的内力；如果内力与面元垂直就叫正应力，用c表示; 如果内力方向在面元内，就叫切应力，用T表示。 3?应变就是相对形变；在拉压形变中的应变就是线应变，如果10表示原长，A l表示绝对伸长或绝对压缩，则线应变c =A l/l o;在剪切形变中的应变就是切应变，用切变角书表示。 4.力与形变的基本规律是胡克定律，即应力与应变成正比。 在拉压形变中表示为c = Y c Y是由材料性质决定的杨氏模量，在剪切形变中表示为T = N书，N 是由材料性质决定的切变模量。 5.发生形变的弹性体具有形变势能： 拉压形变的形变势能密度E p0弓Y 2， 剪切形变的形变势能密度E p01N 2 6?梁弯曲的曲率与力偶矩的关系12 Ybh3 7?杆的扭转角与力偶矩的关系NR4 21
、思考题解答 8.1作用于物体内某无穷小面元上的应力是面元两侧的相互作用力，其单位为N.这句话 对不对？ 答：不对，应力为作用于该无穷小面元两侧单位面积上的相互作用内力，其单位为或。其面元法向分量称正应力，切向分量称切应力。 8.2（8.1.1）式关于应力的定义当弹性体作加速运动时是否仍然适用？ 答：适用，（8.1.1）式中的是面元两侧的相互作用内力，它与作用于物体上的外力和物体的运动状态有关。 8.3牛顿第二定律指出：物体所受合力不为零，则必有加速度。是否合力不为零，必产生变形，你能否举出一个合力不为零但无形变的例子？ 答：不一定，物体是否发生形变应看物体内应力是否为零，应力为零，则不形变。自由落体运动，物体受重力作用，但物体内部应力为零，则不发生形变。 8. 4胡克定律是否可叙述为：当物体受到外力而发生拉伸（压缩）形变时，外力与物体的伸长（压缩）成正比，对于一定的材料，比例系数是常数，称作该材料的杨氏模量？ 答：不对。首先形变应在弹性限度内，其次杨氏模量只与材料的形状有关，而比例系数不但与材料性质有关，还与材料的形状（横截面）有关，即与材料的横截面有关，对一定性质的材料，随截面的不同而变，两者是不同的。 8. 5如果长方体体元的各表面上不仅受到剪切应力而且受到正应力，剪切应力互等定律是否还成立？ 答：正应力不改变未施加前各面的力矩，剪切应力互等定律仍然成立。 8. 6是否一空心圆管比同样直径的实心圆棒的抗弯能力要好？ 答：不是，一个实心管可视为由许多半径不同的空心管组成的，对于相同材料、同样直径的空心管和实心管的抗弯能力显然实心圆管比同样直径的空心圆棒的抗弯能力要好。 8. 7为什么自行车辐条要互相交叉？为什么有些汽车车轮很粗的辐条不必交叉？ 答：自行车辐条很细且很长，它不能依靠垂直辐条提供很大的抗扭曲力矩和瓦圈的抗形变能力，交叉后的辐条利用了拉伸、压缩车轮的抗扭能力和瓦圈的抗变形能力，而车轮的辐条很粗，则完全可以提供足够的抗弯力矩 8.8为什么自行车轮钢圈横截面常取（a）（b）形状而不采取（c）的形状？ (a) 15文档来源为:从网络收集整理.word 第三章基本知识小结 ⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。 矢量式：22 dt r d m dt v d m a m F === 分量式： （弧坐标） （直角坐标） ρ τττ2 ,,,v m ma F dt dv m ma F ma F ma F ma F n n z z y y x x ======= ⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。 导数形式：dt p d F = 微分形式：p d dt F = 积分形式：p dt F I ?==?)( （注意分量式的运用） ⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即 （注意分量式的运用） ⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。 在直线加速参考系中：0*a m f -= 在转动参考系中：ωω ?=='2, *2* mv f r m f k c ⒌质心和质心运动定理 ⑴∑∑∑=== i i c i i c i i c a m a m v m v m r m r m ⑵∑=c a m F （注意分量式的运用） 3.4.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力 而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+== , j i a m F ?12?24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： 3.4.2 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程 为：j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F 2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 3.4.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？ 解：以地为参考系，设谷物的质量为m ，所受到的最大静摩擦力为 mg f o μ =，谷物能获得的最大加速度为 2/92.38.94.0/s m g m f a o =?===μ ∴筛面水平方向的加速 度至少等于3.92米/秒2，才能使谷物与筛面发生相对运动。 2.1.1质点运动学方程为：j i t r ?5?)23(++=?⑴ j t i t r ?)14(?)32(-+-=ρ⑵,求质点轨迹并用图表示. 解：⑴,5,23=+=y t x 轨迹方程为5=y 的直线. ⑵14,32-=-=t y t x ，消去参数t 得轨迹方程0534=-+y x 2.1.2 质点运动学方程为k j e i e r t t ?2??22++=-?.⑴求质点轨迹；⑵求自t= -1到t=1质点的位移。 解：⑴由运动学方程可知：1,2,,22====-xy z e y e x t t ，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运 动。 ⑵j e e i e e r r r ?)(?)()1()1(2222---+-=--=?? ?? j i ?2537.7?2537.7+-=。所以，位移大小： ? ==??=? ==??=? =-=??==+-=?+?=?900arccos | |arccos z 45)22 arccos(||arccos y 135)22 arccos(||arccos x ,22537.72537.7)2537.7()()(||2222r z r y r x y x r ???? γβα轴夹角与轴夹角与轴夹角与 2.1.3质点运动学方程为j t i t r ?)32(?42++=? . ⑴求质点轨迹；⑵求质点自t=0至t=1的位移. 解：⑴32,42 +==t y t x ，消去参数t 得：2 )3(-=y x ⑵j i j j i r r r ?2?4?3?5?4)0()1(+=-+=-=?ρ ρρ 2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为?==7.33,410011θm R x x 5/ 第八章 一、基本知识小结 ⒈弹性体力学研究力与形变的规律；弹性体的基本形变有拉伸压缩形变和剪切形变，弯曲形变是由程度不同的拉伸压缩形变组成，扭转形变是由程度不同的剪切形变组成。 ⒉应力就是单位面积上作用的内力；如果内力与面元垂直就叫正应力，用σ表示；如果内力方向在面元内，就叫切应力，用τ表示。 ⒊应变就是相对形变；在拉压形变中的应变就是线应变，如果l 0表示原长，Δl 表示绝对伸长或绝对压缩，则线应变ε= Δl /l 0；在剪切形变中的应变就是切应变，用切变角ψ表示。 ⒋力与形变的基本规律是胡克定律，即应力与应变成正比。 在拉压形变中表示为 σ= Y ε，Y 是由材料性质决定的杨氏模量，在剪切形变中表示为 τ= N ψ，N 是由材料性质决定的切变模量。 ⒌发生形变的弹性体具有形变势能： 拉压形变的形变势能密度 2 210 εY E p =， 剪切形变的形变势能密度 2 210 ψ N E p =。 ⒍梁弯曲的曲率与力偶矩的关系 3 12Ybh k τ = ⒎杆的扭转角与力偶矩的关系 l NR C C 2, 4 π?τ= = 二、思考题解答 8．1作用于物体内某无穷小面元上的应力是面元两侧的相互作 用力，其单位为N.这句话对不对？ 答：不对，应力为作用于该无穷小面元两侧单位面积上的相互作用内力，其单位为 或 。其面元法向分量称正应力，切向分量 称切应力。 8．2（8.1.1）式关于应力的定义当弹性体作加速运动时是否仍然适用？ 答：适用，（8.1.1）式中的 是面元两侧的相互作用内力，它与作用于物体上的外力和物体的运动状态有关。 8．3牛顿第二定律指出：物体所受合力不为零，则必有加速度。是否合力不为零，必产生变形，你能否举出一个合力不为零但无形变的例子？ 答：不一定，物体是否发生形变应看物体内应力是否为零，应力为零，则不形变。自由落体运动，物体受重力作用，但物体内部应力为零，则不发生形变。 8．4胡克定律是否可叙述为：当物体受到外力而发生拉伸（压缩）形变时，外力与物体的伸长（压缩）成正比，对于一定的材料，比例系数是常数，称作该材料的杨氏模量？ 答：不对。首先形变应在弹性限度内，其次杨氏模量只与材料的形状有关，而比例系数不但与材料性质有关，还与材料的形状（横截面）有关，即与材料的横截面有关，对一定性质的材料，随截面的不同而变，两者是不同的。 8．5如果长方体体元的各表面上不仅受到剪切应力而且受到正应力，剪切应力互等定律是否还成立？ 答：正应力不改变未施加前各面的力矩，剪切应力互等定律仍然成立。 8．6是否一空心圆管比同样直径的实心圆棒的抗弯能力要好？ 答：不是，一个实心管可视为由许多半径不同的空心管组成的，对于相同材料、同样直径的空心管和实心管的抗弯能力显然实心圆管比同样直径的空心圆棒的抗弯能力要好。 8．7为什么自行车辐条要互相交叉？为什么有些汽车车轮很粗 第十一章流体力学基本知识小结 ⒈理想流体就是不可压缩、无粘性的流体；稳定流动（或称定常流动）就是空间各点流速不变的流动。 ⒉静止流体内的压强分布 相对地球静止：gh p p gdy dp ρρ=--=21,（h 两点间高度） 相对非惯性系静止：先找出等压面，再采用与惯性系相同的方法分析。 ⒊连续性方程：当不可压缩流体做稳定流动时，沿一流管，流量守恒，即 =?=?=2211s v s v Q 恒量 ⒋伯努力方程：当理想流体稳定流动时，沿一流线， =++2 21v gh p ρρ恒量 ⒌粘性定律：流体内面元两侧相互作用的粘性力与面元的面积、速度梯度成正比，即ηη.s f dy dv ?=为粘性系数，与物质、温度、 压强有关。 ⒍雷诺数及其应用 l vl R e ,η ρ= 为物体某一特征长度 ⑴层流、湍流的判据：，湍流，层流；临临e e e e R R R R >< ⑵流体相似律：若两种流体边界条件相似，雷诺数相同，则两种流体具有相同的动力学特征。 ⒎泊肃叶公式：粘性流体在水平圆管中分层流动时，距管轴r 处的流速 )(4)(22 21r R l p p r v --= η 若被测容器A 内水的压强比大气压大很多时，可用图中的水银 压强计。⑴此压强计的优点是什么⑵如何读出压强设 h 1=50cm,h 2=45cm,h 3=60cm,h 4=30cm ，求容器内的压强是多少大气压 解：⑴优点：可以测很高的压强，而压强计的高度不用很大 ⑵设界面处压强由右向左分别为p 0, p 1,p 2,p 3，水和水银的密度分别用ρ,ρ' 表示，据压强公式，有： 4 3323221101,', ,'gh p p gh p p gh p p gh p p A ρρρρ=-=-=-=- 3124012341 23423434)(')(''''p h h g h h g p gh gh gh gh p gh gh gh p gh gh p gh p A +++-=++-+=+-+=++=+=∴ρρρρρρρρρρρρ 用大气压表示： atm h h h h p A 43.276 6050766.134530176766.1313124≈++?-+=++?-+ = A,B 两容器内的压强都很大，现欲测它们之间的压强差，可用图中装置，Δh=50cm ，求A,B 内的压强差是多少厘米水银柱高这个压强计的优点是什么 解：由压强公式： 11gh p p A ρ=- ) (, '2221h h g p p h g p p B +?=-?=-ρρ h g h g h h h g p p h g gh p gh p p p B A ?-?=?--+-?++-+=-ρρρρρρ')()() ()(21212211 B h h 力学基础知识总结 （漆安慎力学第二版） 第二章 ⒈基本概念 2 2)(dt r d dt v d a dt r d v t r r )()()(t a t v t r （向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件： 000,,v v r r t t ） ⒉直角坐标系 ,,???222z y x r k z j y i x r r 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 r z r y r x /,/, /. v v v v v k v j v i v v z y x z y x ,,???222 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 v v v v v v z y x /,/,/. a a a a a k a j a i a a z y x z y x ,,???222 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 ./,/,/a a a a a a z y x 2 2 2222,,,,dt z d dt dv a dt y d dt dv a dt x d dt dv a dt dz v dt dy v dt dx v z z y y x x z y x ),,(),,(),,(z y x z y x a a a v v v z y x ⒊自然坐标系 ||,,?);( v v dt ds v v v s r r 2222 2,,,??v a dt s d dt dv a a a a n a a a n n n )()()(t a t v t s ⒋极坐标系 22,??,? v v v v r v v r r r r r dt d r v dt dr v r , ⒌相对运动 对于两个相对平动的参考系 ',0't t r r r （时空变换） 0'v v v （速度变换） 0'a a a （加速度变换） 若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有： z z y y x x z z y y x x a a a a a a v v v v V v v t t z z y y Vt x x ',','',','',',',' 第三章 ⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。 矢量式：22dt r d m dt v d m a m F 分量式： （弧坐标） （直角坐标） 2 ,,,v m ma F dt dv m ma F ma F ma F ma F n n z z y y x x ⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。 导数形式：dt p d F 微分形式：p d dt F 积分形式：p dt F I )( （注意分量式的运用） ⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即 恒矢量。 则，若外p F 0 （注意分量式的运用） ⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。 第5章角动量.关于对称性 第5章角动量.关于对称性 二、思考题解答 5.1下面的叙述是否正确，试作分析，并把错误的叙述改正过来： (1) 、一定质量的质点在运动中某时刻的加速度一经确定，则质点 所受的合力就可以确定了，同时作用于质点的力矩也就确定了。 (2) 、质点作圆周运动必定受到力矩的作用；质点作直线运动必定 不受力矩的作用。 (3) 、力E 与z 轴平行，所以力矩为零；力耳与z 轴垂直，所以力 矩不为零。 (4) 、小球与放置在光滑水平面上的轻杆一端连结，轻杆另一端固 定在铅直轴上。 垂直于杆用力推小球，小球受到该力力矩作用，由 静止而绕铅直轴转动，产生了角动量。所以，力矩是产生角动量的 原因，而且力矩的方向与角动量方向相同。 (5) 、作匀速圆周运动的质点，其质量 m ,速率v 及圆周半径r 都 是常量。虽然其速度方向时时在改变，但却总与半径垂直，所以， 其角动量守恒。 答：(1)不正确.因为计算力矩，必须明确对哪个参考点.否则没有 意义.作用于质点的合力可以由加速度确定 .但没有明确参考点时， 谈力矩是没有意义的. (2) 不正确.质点作圆周运动时，有两种情况：一种是匀速圆周运动 它所受合力通过圆心；另一种是变速圆周运动，它所受的合力一般 不通过圆心.若对圆心求力矩，则前者为零，后者不为零.质点作直 线运动，作用于质点的合力必沿直线 .若对直线上一点求力矩，必为 零；对线外一点求力矩则不为零。 (3) 不正确.该题应首先明确是对轴的力矩还是对点的力矩 .力与 轴平行，力对轴上某点的力矩一般不为零 ，对轴的力矩则必为零.力 与轴垂直，一般力对轴的力矩不 为零，但力的作用线与轴相交，对 轴力矩应为零 (4) 不正确.因为一个物体在不 受力的情况下 ，保持静止或匀速直 第五章 一、基本知识小结 1?力矩 力对点的力矩 。 r F 力对轴的力矩 z k? r F 2.角动量 质点对点的角动量 L ° r p 质点对轴的角动量 L z k? r p 3?角动量定理适用于惯性系、质点、质点系 ⑴质点或质点系对某点的角动量对时间的变化率等于作用于质 点或质点系的外力对该点的力矩之和 dL o 外 dt ⑵质点或质点系对某轴的角动量对时间的变化率等于作用于质 点或质点系的外力对该轴的力矩之和 dt 4.角动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系 ⑴若作用于质点或质点系的外力对某点的力矩之和始终为零, 则质点或质点系对该点的角动量保持不变 ⑵若作用于质点或质点系的外力对某轴的力矩之和始终为零, 则质点或质点系对该轴的角动量保持不变 5.对质心参考系可直接应用角动量定理及其守恒定律，而不必 考虑惯性力矩。 力学（第二版）漆安慎习题解答第三章动量定理及其守恒定律 第三章 动量定理及其守恒定律 一、基本知识小结 1、牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。 矢量式：22dt r d m dt v d m a m F === 分量式： （弧坐标） （直角坐标） ρ τττ2 ,,,v m ma F dt dv m ma F ma F ma F ma F n n z z y y x x ======= 2、动量定理适用于惯性系、质点、质点系。 导数形式：dt p d F =；微分形式：p d dt F =； 积分形式：p dt F I ?==?)(（注意分量式的运用） 3、动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即 ∑==恒矢量。则，若外p F 0（注意分量式的运用） 4、在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。 在直线加速参考系中：0*a m f -= 在转动参考系中：ωω ?=='2, *2* mv f r m f k c 5、质心和质心运动定理 ⑴∑∑∑===i i c i i c i i c a m a m v m v m r m r m ⑵∑=c a m F （注意分量式的运用） 二、思考题解答 3.1试表述质量的操作型定义。 解答， kg v v m m 0 0 ??= 式中kg 1m 0=（标准物体质量）;0v ?：为m 与m 0碰撞m 0的速度改变;v ?：为m 与m 0 碰撞m 的速度改变,这样定义的质量，其大小反映了质点在相互作用的过程中速度改变的难易程度，或者说，其量值反映了质量惯性的大小。这样定义的质量为操作型定义。 3.2如何从动量守恒得出牛顿第二、第三定律，何种情况下牛顿第三定律不成立？ 解答，由动量守恒 )p p (p p ,p p p p 22 112121 -'-=-'+='+' ,p p 21 ?-=?t p t p 21??-=?? ，取极限dt p d dt p d 21 -= 动量瞬时变化率是两质点间的相互作用力。 , a m )v m (dt d dt p d F 111111 === ,a m )v m (dt d dt p d F 222222 ===21F F -= 对于运动电荷之间的电磁作用力，一般来说第三定律不成立。（参见P 68第二、三自然段） 3.3在磅秤上称物体重量，磅秤读数给出物体的“视重”或“表现重量”。现在电梯中测视重，何时视重小于重量（称作失重）？何时视重大于重量（称作超重）？在电梯中，视重可能等于零吗？能否指出另一种情况使视重等于零？ 解答，①电梯加速下降视重小于重量； ②电梯加速上升视重大于重量； ③当电梯下降的加速度为重力加速度g 时，视重为零； ④飞行员在铅直平面内的圆形轨道飞行，飞机飞到最高点时， gR v ,0mg R v m N ,N mg R v m 2 2==-=+=飞行员的视重为零 3.4一物体静止于固定斜面上。 （1）可将物体所受重力分解为沿斜面的下滑力和作用于斜面的正压力。 （2）因物体静止，故下滑力mg sinα与静摩擦力N 0μ相等。α表示斜面倾角，N 为作用于斜面的正压力，0μ为静摩擦系数。以上两段话确切否？ 解答，不确切。 （1）重力可以分解为沿斜面向下的和与斜面垂直的两个力。但不能说分解为沿斜面的下滑力和作用于斜面的正压力。 （2）应该说，因物体静止，物体所受的力在斜面方向的分力的代数和为零。 第五章基本知识小结 ⒈力矩 力对点的力矩 F r o ?=τ 力对轴的力矩 ⊥⊥?=F r k z ?τ ⒉角动量 质点对点的角动量 p r L o ?= 质点对轴的角动量 ⊥ ⊥?=p r k L z ? ⒊角动量定理适用于惯性系、质点、质点系 ⑴质点或质点系对某点的角动量对时间的变化率等于作用于质点或质点系的外力对该点的力矩之和 ∑=dt L d 0 外τ ⑵质点或质点系对某轴的角动量对时间的变化率等于作用于质 点或质点系的外力对该轴的力矩之和 ∑=dt dL z z τ ⒋角动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系 ⑴若作用于质点或质点系的外力对某点的力矩之和始终为零，则质点或质点系对该点的角动量保持不变 ⑵若作用于质点或质点系的外力对某轴的力矩之和始终为零， 则质点或质点系对该轴的角动量保持不变 ⒌对质心参考系可直接应用角动量定理及其守恒定律，而不必考虑惯性力矩。 5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d 近=439km,远地点高度d 远=2384km,地球半径R 地=6370km,求卫星在近地点和远地点的速度之比。 解：卫星在绕地球转动过程中，只受地球引力（有心力）的作用，力心即为地心，引力对地心的力矩为零，所以卫星对地心的角动量守恒 m 月v 近（d 近+R 地）=m 月v 远（d 远+R 地） v 近/v 远=（d 远+R 地）/（d 近+R 地） =（2384+6370）/（439+6370）≈1.29 5.1.2 一个质量为m 的质点沿着j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= 的空 间曲线运动，其中a 、b 及ω皆为常数。求此质点所受的对原点的力 矩。 解： )?sin ?cos (?sin ?cos /?cos ?sin /222222=?-=?=-==-=+-=--==+-==r r m F r r m a m F r j t b i t a j t b i t a dt v d a j t b i t a dt r d v ωτωωωωωωωωωωωωω 力学精华公式归纳 引言 所谓力学力学，在于一个力字，最关键最首要的核心就在于看物体的受力怎么样。受力确定了，根据相关定律，物体的运动状态也确定了.最后回归本质，力就是描述物体与物体之间的相互作用的. 定义、定理、定律、公理的区分 定义(definition)：定义是通过列出一个事物或者一个物体的基本属性来描写或者规范一个词或者一个概念的意义.其定义的事物或者物体叫做被定义项，其定义叫做定义项. 定理(theorem)：定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述.一般来说，在数学中，只有重要或者有趣的陈述才叫定理.证明定理是数学的中心活动.定理一般都有条件和结论. 定律(law)：定律是对客观事实的一种表达形式，通过大量具体的客观事实归纳而成的结论.定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确. 公理(axiom)：是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题. 定理，定律，公理的区别是：定理是建立在公理和假设基础上，经过严格的推理和证明得到的.定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确.而公理是经过长期实践后公认为正确的命题. 过程量与状态量的区分 一般说来，若系统从某一状态变化为另一个状态，如果经历不同的物理过程，虽然初始状态可能保持相同，但过程不一定相同. 过程量：描述某些物理过程.是物体经过一段时间所能完成的物理量. 状态量：描述某些特定的物理状态.是物体在某一时刻的表现量. 二者的关系：过程是动态量，状态是静态量.状态量通过过程量不断更新状态，获得新的状态量. eg:22011 22 A mv mv = - 功是过程量，动能是状态量 典型的过程量：路程、功、热量等 典型的状态量：位置、能量、体积、密度、速度、加速度、温度、熵等 三个重要物理量的理解 加速度的本质：速度对时间的变化率 力的本质：动量对时间的变化率 力矩的本质：角动量对时间的变化 第三章基本知识小结 ⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。 矢量式：22dt r d m dt v d m a m F 分量式： （弧坐标）（直角坐标） 2 ,,,v m ma F dt dv m ma F ma F ma F ma F n n z z y y x x ⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。 导数形式：dt p d F 微分形式：p d dt F 积分形式：p dt F I )( （注意分量式的运用） ⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即 恒矢量。 则，若外p F 0 （注意分量式的运用） ⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。 在直线加速参考系中：0*a m f 在转动参考系中： '2, *2* mv f r m f k c ⒌质心和质心运动定理 ⑴ i i c i i c i i c a m a m v m v m r m r m ⑵ c a m F （注意分量式的运用） 3.4.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22 （单位：米，秒）， 求证质点受恒力 而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22 , j i a m F ?12?24 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242 +122)1/2 =125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/ arctg F arctgF x y 3.4.2 质量为m 的质点在o-xy 平面运动，质点的运动学方程 为：j t b i t a r ?sin ?cos ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ r m a m F 2 , ∴作用于质点的合力总指向原点。 3.4.3 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？ 解：以地为参考系，设谷物的质量为m ，所受到的最大静摩擦力为 mg f o ，谷物能获得的最大加速度为 2/92.38.94.0/s m g m f a o ∴筛面水平方向的加速 度至少等于3.92米/秒2 ，才能使谷物与筛面发生相对运动。 3.4.3 题图 3.4.4题图 3.4.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m 1 ,m 2,如图所示，m 2 和桌面间的摩擦系数为μ2 ，m 1和m 2间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。 解：以地为参考系，隔离m 1、m 2，其受力与运动情况如图所示， 其中，N 1'=N 1,f 1'=f 1=μ1N 1,f 2=μ2N 2，选图示坐标系o-xy ，对m 1,m 2 分别应用牛顿二定律，有 02122 22211111 111 g m N N a m N N F g m N a m N 解方程 组，得 2221211211/m g m g m g m F a g a 要把木板从下面抽出来，必须满足12a a ，即 g m g m g m g m F 12221211 m 1g f 1 N 1 a 1 a 2 x y漆安慎力学习题解答完整版03
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