转化与化归思想
一．知识探究：
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
2．常见的转化方法
（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；
（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；
（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；
（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；
（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；
（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；
（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；
（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；
（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；
（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题
获得原问题的解决。
的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集A
C
U
3．化归与转化应遵循的基本原则：
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；
（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。 二．例题点评 题型1：集合问题
例1．设集合M x y x y x R y R {(,)||}221+=∈∈，，，
N x y x y x R y R =-=∈∈{(,)||}20，，，则集合M N 中元素的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
（2）设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A B I ??，则下列各式中错误的是（ ）
A C A
B I B
C A C B I C A C B
D C A C B C B
I I I I I I I .().()().().()() ====φ
解析：（1）将集合M N 中元素个数的符号语言转化为与之等价的文字语言：圆x y 221+=与抛物线
x y 20-=交点的个数。因此在同一坐标系内作出圆x y 221+=和抛物线y x =2的图象，观察可得选B ；
（2）将题设条件转化为图形语言，即构造图2，由图形逐一验证，得B 项不正确，故应选B 。
I
B
图2
A
点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。 题型2：函数问题
例2．关于x 的方程0cos sin 2=++a x x 在［0，π］内有解，求a 的取值范围。
解析：此题就直接解三角方程再确定a 的范围，简直难以下手，并且繁琐无比，但若转化为求
4
5
)21(cos 1cos cos 22--=--=x x x a 在]0[π，∈x 的取值范围，问题就简单易解，通过简单的计算，很快
得到了a 的取值范围是]14
5
[，-。 点评：构造函数解题是数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题目的。
题型3：不等式问题
例3．（1）已知a ，b ，m R ∈+，且a b <，求证：
a m
b m a
b ++>； （2）已知a >0，b >0，且a b +=1，求证：()()a a b b ++≥1125
4
。
解析：（1）
分析1：a b ，a m
b m
++的形式可以联想到两点连线的斜率，所以可构造斜率来解题。
图1
证法1：如图1，设A （b ，a ），B （-m ，-m ），其中m >0。因为0< k a b OA == b m AB == ++ 12<<<ααπ 所以tan tan αα21>，即 a m b m a b ++> 分析2：a b ，a m b m ++的形式与相似三角形中的对应线段成比例类似，所以可联想到构造相似三角形来 解题。 图2 证法2：如图2，在Rt ABC ?和Rt ADF ?，AB a =，AC b =，BD m =，作CE//BD 交DF 于E 。因为 ??ABC ADF ~，所以a b a m b CF a m b CE a m b m =++<++=++（斜边大于直角边） （2）令f x x x ()=+1 ，x ∈(,)01。 因为f x x '()=-11 2，当x ∈(,)01时，f x '()<0，所以f x ()在（0，1）上是减函数。 又021412<≤+= 4。 所以()()()a a b b ab ab b a a b ++=+ ++111 ≥ ++≥+?=+=17417421742254 ()b a a b b a a b 即原不等式成立。 点评：联想是由一事物联想到另一事物的思维方式和过程，这种联想通常是事物的形式、结构、范围、关系等因素作用的结果。由联想而引发的构造称之为联想构造。 题型4：三角问题 例4．（1）已知a b R ，∈，且a b 221+≤，求证：a ab b 2222+-≤； 证明：设a r b r ==cos sin θθ，，其中[)r ≤∈102，，θπ 则a ab b r r r 222222222+-=+-cos sin cos sin θθθθ =+=+? ? ?? ?≤r r r 222 222242 cos sin sin θθ θπ ∴+-≤a ab b 2222 原不等式得证。 点评：三角换元法：把代数形式转化为三角形式，利用三角函数的性质解决。 （2）若04 <<<+=+=αβπ ααββ，，sin cos sin cos a b ，则（ ） A ．a b < B ．a b > C ．ab <1 D ．ab >2 解析：若直接比较a 与b 的大小比较困难，若将a 与b 大小比较转化为a b 22与的大小比较就容易多了。 因为a b 221212=+=+sin sin αβ， 又因为0222 <<< αβπ 所以sin sin 22αβ<，所以a b 22< 又因为a b ，>0，所以a b < 故选（A ）。 点评：体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。 题型5：数列问题 例5．等差数列{}a n 的前n 项的和为S n ，且S 10100=，S 10010=，求S 110。 解析：显然公差d ≠0，所以S n 是n 的二次函数且无常数项。于是设S an bn n =+2，()a ≠0， 则a b a b ?+?=?+?=???10101001001001022，解得a b =-= ????? ??11100 11110。 所以S n n n =- +11100111102，从而S 110211********* 10 110110=-?+?=-。 点评：数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数。 如等差数列{}a n 的通项公式a a n =+1()()n d dn a d -=+-11，前n 项的和公式 S na n n d d n a d n n =+ -=+-1211222 ()()。当d ≠0时，可以看作自变量n 的一次和二次函数。因此利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识。 题型6：立体几何问题 例6．（1）如果，三棱锥P —ABC 中，已知PA⊥BC，PA=BC=l ，PA ，BC 的公垂线ED=h ．求证三棱锥P —ABC 的体积21 6V l h =。 分析：如视P 为顶点，△A BC 为底面，则无论是S △ABC 以及高h 都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体 积公式，则可走出困境． 解析：如图，连结EB ，EC ，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E ，可得PA⊥面ECD ．这样，截面ECD 将原三棱锥切割成两个分别以ECD 为底面，以PE 、AE 为高的 小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l ，所以 V P －ABC =V P －ECD +V A －ECD =13S △ECD ?AE+13S △ECD ?PE=1 3 S △ECD ?PA =13?12BC·ED·PA=21 6 V l h =。 点评：辅助截面ECD 的添设使问题转化为已知问题迎刃而解。 （2）如图，在三棱锥S-ABC 中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上，M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成角等于∠NSC 。求证：SC 垂直于截面MAB 。（83年全国高考） 分析：由三垂线定理容易证明SC ⊥AB ，再在平面SDNC 中利用平面几何知识证明SC ⊥DM 。 证明：由已知可得：SN ⊥底面ABC ，AB ⊥CD ，CD 是斜线SC 在底面AB 的射影， ∴ AB⊥SC。 ∵ AB⊥SC、AB⊥CD ∴ AB⊥平面SDNC ∴∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角 由已知得∠MDC＝∠NSC 又∵∠DCM＝∠SCN ∴△DCM≌△SCM ∴∠DMC＝∠SNC＝Rt∠ 即 SC⊥DM 所以SC⊥截面MAB。 点评：立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。 题型7：解析几何问题 例7．（1）设x、y∈R且3x2＋2y2＝6x，求x2＋y2的范围。 分析：设k＝x2＋y2，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。 解析：由6x－3x2＝2y2≥0得0≤x≤2。 设k＝x2＋y2，则y2＝k－x2，代入已知等式得：x2－6x＋2k＝0 ， 即k＝－1 2 x2＋3x，其对称轴为x＝3。 由0≤x≤2得k∈[0,4]。 所以x2＋y2的范围是：0≤x2＋y2≤4。 另解：数形结合法（转化为解析几何问题）： 由3x2＋2y2＝6x得(x－1)2＋y2 3 2 ＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x2＋y2的范围 就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭 圆相切的切点。设圆方程为x 2＋y 2＝k ，代入椭圆中消y 得x 2－6x ＋2k ＝0。由判别式△＝36－8k ＝0得k ＝4,所以x 2＋y 2的范围是：0≤x 2＋y 2≤4。 再解：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）： 由3x 2＋2y 2＝6x 得(x －1)2＋y 2 32 ＝1，设x y -== ??? ??162cos sin αα，则 x 2＋y 2＝1＋2cos α＋cos 2α＋32sin 2 α＝1＋32＋2cos α－12 cos 2α ＝－12cos 2α＋2cos α＋5 2∈[0,4] 所以x 2＋y 2的范围是：0≤x 2＋y 2≤4。 点评：题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维 能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。 （2）（2005全国卷Ⅰ（理）第15题）：?ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，＝m （OA ＋OB ＋OC ），则实数m ＝＿＿＿＿ 分析：如果用一般的三角形解决本题较难，不妨设?ABC 是以∠A 为直角的直角三角形，则O 为斜边BC 上的中点，H 与A 重合，＋＋＝＝，于是得出m ＝1。 点评：这种通过特殊值确定一般性结果的思路还有很多，如归纳、猜想、证明的方法，过定点问题，定值问题也可以用这样的思路。 题型8：具体、抽象问题 例8．（2004浙江卷（理）第12题）：若f （x ）和g （x ）都是定义在实数集R 上的函数，且方程x －f ［g （x ）］＝0有实数解，则g ［f （x ）］不可能是（ ） （A ）x 2＋x －5 1 （B ） x 2＋x ＋5 1 （C ）x 2－5 1 （D ）x 2＋5 1 分析：本题直接解不容易，不妨令f （x ）＝x ，则f ［g （x ）］＝g （x ），g ［f （x ）］＝g （x ），x －f ［g （x ）］＝0有实数解即x －g （x ）＝0有实数解。这样很明显得出结论，B 使x －g （x ）＝0没有实数解， 选B 这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式还有一次函数型f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ）＋m ，对数函数型f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），幂函数型f （xy ）＝f （x ）f （y ）。 点评：把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归。 题型9：正难则反转化问题 例9．（2005全国卷Ⅱ第15题）：在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有＿＿＿＿个。 分析：不能被5整除的数要分类讨论，情况较多，这时我们不妨换一个角度，从反面入手考虑。注意到不能被5整除实质上是末位数字不是0，也不是5。用间接法。 所有四位数有15A ?35A ＝300个， 末位为0时有35A ＝60个， 末位为5时有14A ?24A ＝48个， ∴满足题意的数共有300－60－48＝192个。 点评：一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”。“正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。 题型10：实际应用问题 例10．把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是P ，怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积。 分析：这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。 解析：如图，设矩形的一边长为x,则半圆的周长为2 x π 矩形的另一边长为)2(21x x P AB π--==4 )2(2x P +-π 设零件的面积为S ，则 S=?21?+x x 24π4)2(2x P +-π=x P x 2 842++-π ∵a ＜0 ∴当422+=-=πP a b x 时，S 有最大值，这时AB=4 +πP 。 ∴当矩形的两邻边AB 与BC 之比为1︰2时，S max =π 282 +P 。 点评：实际问题转化为数学问题，用数学结果解释最终的实际问题。 三．总结 1．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。 2．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。 3．注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性 化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素。因此，化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法，而设计目标是问题的关键。设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法以及在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题化归为成规律问题（即问题的规范化）。化归能不能如期完成，与化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。因此，在解题过程中，必须始终紧紧盯住化归的目标，即应该始终考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的。在这个大前提下实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。 4．注意化归的等价性，确保逻辑上的正确 化归包括等价化归和非等价化归，等价化归后的新问题与原问题实质是一样的，不等价化归则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。高中数学中的化归大多要求等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。如果在解题过程中没有注意化归的等价性，就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误。例如在解应用题时要注意原题中数量的实际意义，在经过数学变换后，应将所得的结果按实际意义检验；解方程或不等式时应注意变换的同解性是否仍然保持。 数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，没有一个统一的模式可以遵循，而是在多方领悟、反复应用的基础上形成的，化归也不例外。学生在解题过程中，必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透，要善于反思解题过程，倒摄解题思维，回味解题中所使用的思想，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法。正如笛卡尔所说的：走过两遍的路就是方法。 四．巩固练习 1 已知两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0，其中a ∈R ，当这两条直线的夹角在(0, 2 π )内变动时，a 的取值范围是( ) A （0，1） B （ 3 3 ，3） C （ 3 3 ，1）∪（1，3） D （1，3） 2 等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示，若 534+= n n T S n n ，则n n n b a ∞→lim 的值为( ) A 34 B 1 C 3 6 D 94 3 某房间有4个人，那么至少有2（列式表示） 4 函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是 5 已知f (x )=lg(x +1),g (x )=2lg(2x +t ),(t ∈R 是参数） (1)当t =–1时，解不等式f (x )≤g (x ); (2)如果x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立，求参数t 的取值范围 6 已知函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，n ∈N *且a 1、a 2、a 3、……、a n 构成一个数列{a n }，满足f (1)=n 2 （1）求数列{a n }的通项公式，并求1 lim +∞→n n n a a ； （2）证明0＜f (3 1 )＜1 7 设A 、B 是双曲线x 2 –2 2 y =1上的两点，点N （1，2）是线段AB 的中点 （1）求直线AB 的方程； （2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？ 8 直线y =a 与函数y =x 3–3x 的图象有相异三个交点，求a 的取值范围 参考答案 1 解析 分析直线l 2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应该有两个范围即得解 答案 C 2 解析 化和的比为项的比 ∵n n n n n b n T a n a a n S )12(;)12(2 )12(121 2112-=-=+-=--- ∴ 2 64 85)12(3)12(41212+-= +--==--n n n n T S b a n n n n ,取极限易得 答案 A 3 解析 转化为先求对立事件的概率 即四人生日各不相同的概率 答案 4412 12 A 1- 4 解析 转化为f ′(x )=3x 2–3b 在（0，1）内与x 轴有两交点 只须f ′(0)<0且f ′(1)>0 答案 0 5 解 (1)原不等式等价于?????>-> ?? ???-≤+>->+0 542 1)12(10120122x x x x x x x 即 即??? ????≥≤>45 021x x x 或 ∴x ≥45 ∴原不等式的解集为{x |x ≥ 4 5 } (2)x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立 ∴x ∈［0,1］时??? ??+≤+>+>+2)2()1(020 1t x x t x x 恒成立 即?????++-≥->>+1 2201x x t x t x 恒成立即x ∈［0,1］时，t ≥–2x +1 +x 恒成立， 于是转化为求–2x +x +1,x ∈［0,1］的最大值问题 令μ=1+x ,则x =μ2–1,则μ∈［1,2］ ∴2x +1+x =–2(μ– 41)28 当μ=1即x =0时，–2x +1+x 有最大值1 ∴t 的取值范围是t ≥1 6 (1)解 {a n }的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n =f (1)=n 2, 由a n =S n –S n –1=n 2–(n –1)2=2n –1(n ≥2),又a 1=S 1=1满足a n =2n –1 故{a n }通项公式为a n =2n –1(n ∈N *) ∴1121 2lim lim 1 =+-=∞→+∞→n n a a n n n n (2)证明 ∵f (31)=1·3 1+3·91+…+(2n –1)n 31 ① ∴31f (31)=1·91+3·271+…+(2n –3)n 31+(2n –1)131+n ② ①–②得 32f (31)=1·31+2·91+2·271+…+2·n 31 –(2n –1)·13 1+n ∴f (31)=21+31+91+271+…+131-n –(2n –1)131+n =1n n 3 1+∵n n n n n n +>+>+?+?+=+=1212C 2C 1)21(32 21 (n ∈N *) ∴0< n n 31+<1,∴0<1–n