《高等数学》模拟题二 第一题名词解释 1. 邻域 ; 以 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域，记作U(a) 设δ 是任一正数，则在开区间（a-δ，a+δ）就是点 a 的一个邻域，这个邻域称为点 a 的δ邻域，记作 U(a,δ )，即 U(a,δ )={x|a- δ 第二题 选择题 1、如果 f ( x)在[a, b]连续，在 (a,b)可导， c 为介于 a, b 之间的任一点， 那 么 在 (a, b) （ A ）找到两 点 x 2 , x 1 ， 使 f ( x 2 ) f ( x 1 ) ( x 2 x 1 ) f (c) 成立 . （A ）必能； （ B ）可能； （C ）不能； （ D ）无法确定能 . 2、下列结论正确的是（ D ） （A ） 初等函数必存在原函数； （B ） 每个不定积分都可以表示为初等函数； （C ） 初等函数的原函数必定是初等函数； （D ） A,B,C 都不对 . 1 x dx 的值是 （ 3、定积分 e D ） e e 1 D 2 . （A ） ； （B ） 1 ；（C ） 2 ；（） 2 4、由球面 x 2 y 2 z 2 9与旋转锥面 x 2 y 2 8z 2 之间包含 z 轴的部分的体积 V (B ) ； （A ）144 ；（B ） 36 ； （C ）72 ；（D ） 24 . 5 、设平面方程为 Bx Cz D 0，且 B,C ,D 0，则平面（ B ）. (A) 平行于 x 轴 ； (B) 平行于 y 轴 ； 数学试题 热工二班 温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种 似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。祝你成功！ 一、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 1、 求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、 曲线y=（2x-1）e x 1 的斜渐近线方程是（ ） 3、 计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =（ ） 4、 设y=x e x 1si n 1t an ，则'y =（ ） 5、 已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ，求( ) ()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分） ６、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →＝（ ） Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ ７、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤ （ ） Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数 Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数 Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数 ９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） Ａ．2 0()x f t dt ? Ｂ．2 0()x f t dt ? Ｃ[]0 ()()x t f t f t - -?dt Ｄ．[]0 ()()x t f t f t + -?dt １０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且 () f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分 别为()f x 在点0 x 处的增量与微分，若x ＞０，则（ ） Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dy Ｃ．y ＜dy ＜０ Ｄ．dy ＜ y ＜０ 三、计算，证明题（共６０分） １１、求下列极限和积分 （１）222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+（５分） （２）3 5 sin sin x xdx π -? （５分） （３）lim (cos 1cos x x x →∞ +-）（５分） １２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且 " (0)f （二阶）存在，(0) f 一 求下列极限 1 1 lim sin n n n →∞ 1sin ≤n Θ 01lim =∞→n n ∴ 0sin 1lim =∞→n n n 2 求 lim x x x → Θ1lim 0 -=- →x x x 1lim 0 =+ →x x x ∴0 lim x x x →不存在 3 求 1 lim x x e → Θ ,lim 10 +∞=+→x x e 0lim 10 =-→x x e ∴10 lim x x e →不存在 0sin 4 lim sin 5x x x x x →++ 原式=1 5sin 1sin 1lim 0=+ + →x x x x x 一 求下列极限 1 1 lim cos n n n →∞ Θ ,1cos ≤n 01lim =∞→n n ∴ 0cos 1lim =∞→n n n 2 求2 2lim 2x x x →-- Θ ,122 lim 22lim 22-=--=--++→→x x x x x x 122lim 2=--- →x x x ∴2 2lim 2x x x →--不存在 3 求10 lim 2 x x → Θ ,2 2lim 1lim 10 0+∞==+→+→x x x x 02 2lim 1 lim 10 0==-→-→x x x x ∴ 10 lim 2 x x →不存在 02sin 4 lim 3sin x x x x x →++求 原式=43sin 3 1sin 21lim 0=++→x x x x x 一 求下列极限 1 1 lim n tgn n →∞ 不存在 2 求lim x a x a x a →-- Θ ,1lim lim =--=--+ + →→a x a x a x a x a x a x ,1lim lim -=--=----→→a x x a a x a x a x a x ∴lim x a x a x a →--不存在 3 求120lim x x e → Θ ,lim 210 +∞=+→x x e 0lim 21 0=- →x x e ∴ 120 lim x x e →不存在 山东大学《数学分析III 》期末复习参考题 一、选择题（共 5 小题，20 分） 1、若曲线x t y t z t ===cos ,sin ,22在对应于t =π 2 点处的一个切向量与oz 轴正方向成钝角，则此向量与yz 平面夹角的正弦值为（ ） （A ） 112 +π （B ）- +112 π （C ） ππ 12 + （D ）- +ππ 12 2、设L 是圆周 x 2+y 2=a 2 (a >0)负向，则 ( ) 3、设u y x =arctan ，则????2222 u x u y +＝（ ） (A) 4222 xy x y ()+ (B) -+4222 xy x y () (C) 0 (D) 2222 xy x y ()+ 4、曲面x y z xyz x z 2 2 2 2426-+--+=在点(,,)012处的切平面方程为（ ） （A ）31223110()()x y z -+--+= （B ）3234x y z +-= （C ） x y z 312230+-+--= （D ）x y z 31223 =-=-- 5、设u f r =(),而r x y z = ++222，f r ()具有二阶连续导数，则 ??????222222 u x u y u z ++ =（ ） (A)f r r f r " '()()+ 1 (B)f r r f r "'()()+ 2 (C) 112r f r r f r "'()()+ (D) 122r f r r f r "' ()()+ 二、填空题（共 10 小题，40 分） 1、函数f x y e x y x (,)sin()=+-2在点（0，π 4 ）处沿y 轴负向的方向导数是 。 2、曲面xe y e z e e y z x ++= +2 2332 1在点(,,)210-处的法线方程为 。 3、设u x y =2，则???2u x y = 。 4、设f (x ,y )在 具有连续的二阶偏导数，L 是椭圆周 的顺时针方 向，则 的值等于 ________________. 5、设u x y z =?? ? ? ? 1/，则 ??u z (,,) 111= 。 6、曲面arctan y xz 14 +=π 在点(,,)-210处的切平面方程是 。 7、设L 为xoy 面上有质量的曲线，在曲线L 上的点(x ,y )处的质量线密度为ρ(x ,y )。则这条曲线L 的质量的计算表达式为_______________. 8、设 是M (1，3)沿圆(x －2)2+(y －2)2=2到点N (3，1)的半圆，则积 分 . 9、设 是由A (－2，3)沿y =x 2－1到点M (1，0)，再沿y =2(x －1)到B (2，2)的路 径，则 ________. 10、设 ，根据二重积分的几何意义， 三、计算题（共 3 小题，30 分） 1、设y y x =()由方程arctan()xy y -=20所确定，求d d y x 。 2、计算曲线积分 其中r 是从点O (0，0，0) 到A (1，2，3)的直线段。 3、求函数u x y z = ++22223在点（1,1,4）处沿曲线?? ? ??+===1332t z t y t x 在该点切线方向的 方向导数。 四、证明题（10 分） 设z x y =arctan ，其中x u v y u v =+=-,，求证 ????z u z v u v u v +=-+22. 《高等数学》模拟题三 第一题 名词解释 1．区间：在数学里，区间通常是指这样的一类实数集合：如果x 和y 是两个在集合里的数，那么，任何x 和y 之间的数也属于该集合。例如，由符合0 ≤ x ≤ 1的实数所构成的集合，便是一个区间，它包含了0、1，还有0和1之间的全体实数。其他例子包括：实数集，负实数组成的集合等。 2. 函数的单调性：函数的单调性（monotonicity ）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f (x ) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。 3. 导数： 4. 最大值与最小值定理： 5. 定积分的几何意义： 第二题选择题 1、函数 x x f 2 cos 1)(π +=的最小正周期是（ A ） (A)2 π；(B)π；(C) 4 ；(D)2 1. 2、如果 )(x f =（ B ） ，那么0)(='x f . (A) x x arccos 2arcsin + ； （B ） x x 2 2 tan sec +； (C) )1(cos sin 22x x -+(D)+x arctan arc x cot . 3、已知 )(x f 在],[b a 可导， 且方程f(x)=0在),(b a 有两个不同的根α 与 β ，那么在),(b a （ D ）0)(='x f . (A) 必有；(B) 可能有；(C) 没有； (D) 无法确定. 4、 )(x f 在某区间内具备了条件（ C ）就可保证它的 原函数一定存在 （A ） 有极限存在；（B ）连续； （B ） 有界； （D ）有有限个间断点 5、 3 20 sin lim x dt t x x ?→=( A ) （A ）0； （B ）； 1（C ）3 1； （D ）∞ . 6、曲线,cos 3θa x =θ3sin a y =所围图形的面积 S=（ B ） ； （A ） 232 3a π； （B ）283a π；（C ）221a ； （D ）2161a π. 7、=±→→ 2)(βα（ B ） （A ）2 2 →→±β α ； （B ）2 2 2→→ →→+±β βαα ； （C ） 2 2 →→ →→+±β βαα； （D ）2 2 2→→ →→+±ββαα. 8、=+→→2 2) (lim 22 y x y x y x ( D ). (A) 0 ； (B) 1 ；(C) 2 ； (D) e . 高等数学模拟卷 1 一 求下列极限 1 1lim sin n n n →∞ =0 2 求0lim x x x → = 1 ，x →+0 -1 ,x →-0 3 求10lim x x e → =∞ 0sin 4 lim sin5x x x x x →++ =1/3 二 a 取什么值，0()0x e x f x a x x ?<=?+≥?连续 解：)i 0x <，0x >时，()f x 均连续 )ii 0x =时，(0)f a = (00)1f -= (00)f a += 所以1a =时(0)(0)1f f ±==， ()f x 在0x =处连续 综上所述，a=1时()f x 连续 三 计算下列各题 1 已知2sin ln y x x =? 求,y 解：y ’=2cosx.lnx+2sinx.(1/x) 2 (),()x f x y f e e y =?已知，求 解：y ’ =f ’(e x ).e x .e f(x)+f(e x ).e f(x).f(x) 2 3x xe dx ?求 解：原式=1/2∫e x2d(x 2) =1/2(e x2+C) 四、若202tan()sec x y x x y tdt ---= ?，求dy dx 解： 两边对x 求导，其中y 是x 的函数 2'2'2sec ()(1)sec ()(1)x y y x y y --?-=-?- 2'2sec ()(1)2x y y -?-= '21(1)sec ()y x y -= - 所以'221cos ()sin ()y x y x y =--=- 五 求y x =，2y x =和2y x =所围平面图形的面积 解： 12 201223(2)(2)121101 2318141233 76 A x x dx x x dx x x x =-+-??=+- ???=+--+=?? 山东大学网络高起专高等数学试题及答案 高等数学模拟卷 1 一 求下列极限 1 1 lim sin n n n →∞=0（有界量乘无穷小量） 2 求0lim x x x →=1lim 1lim {00x -=-=-+ →→x x x x x 3 求10 lim x x e →=0 lim lim { 1010=∞ =- + →→x x x x e e sin 4 lim sin 5x x x x x →++ = 31616155sin 5sin lim 55sin 5lim 5sin sin lim sin lim 0000=+=+++=+++→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （第一个重要极限） 二 a 取什么值，0 ()0 x e x f x a x x ?<=?+≥?连续 答：根据函数在一点处连续的定义，)(lim )(lim 0 x f a x f x x -+→→==，而 )(lim 0 x f x -→=x x e -→0 lim =1 所以 a=1 三 计算下列各题 1 已 知 2sin ln y x x =? 求 , y 答： y ’=2(sinx ·lnx)’=2[(sinx)’(lnx)+(sinx)(lnx)’] =2cosxlnx+2x sinx 2 (),()x f x y f e e y =?已知，求 答：由链式法则，()()() ()dx dy e e f e e e f dx x f x x f x x +?=dy 所以()() () ()x f x x f x x e e f e e f y -=+1' 高等数学模拟卷3 一 求下列极限 1 1lim n tgn n →∞ =0 2 求lim x a x a x a →-- = 1 ，x →-a -1 , x →a 3 求120lim x x e → =∞ 0sin 4 lim sin x mx nx → =m/n 20()0 x x f x x x >?=?≤?二已知，讨论f （x ）在0x =处的导数。 解：当x ＞0时，f(0+0)=0 当x ＜0时，f(0-0)=0 当x=0时，f(0)=0 所以，f(0+0)= f(0-0)= f(0)=0，即f （x ）在0x =处的导数为0. 三 计算下列各题 1、3, tan (ln )y x y =已知求 解：y ’=3tan 2 (ln x).sec 2 (ln x).(1/x) 2、2, ()y f x y =已知，求 解：y ’=f ’(x 2).2x 四 232 001()()2a a x f x dx xf x dx =??证明 ，(0)a >，其中()f x 在讨论的区间连续。 证明： 对于320()a x f x dx ? 令2x t =，则2xdxd dt = 且x a =时2t a =，0x =时0t = 2 2 3200 ()1()21()2a a a x f x dx tf t dt xf x dx ===???左边 = 右边 证毕。 五 计算反常积分2d ;1x x +∞ -∞+? []2d arctan ;221+x x x πππ+∞+∞-∞-∞??===--= ????解 原式 六 求2(1)(arctan )y dx y x dy +=-的通解 解：方程化为22 11arctan 11dx x y dy y y +=++ 此方程为倒线性微分方程 22111121(arctan )1dy dy y y x e ye dy c y -++??=++? arctan arctan 21(arctan )1y y e ye dy c y -=++? arctan arctan (arctan )y y e yde c -=+? arctan arctan arctan (arctan )y y y e ye e c -=-+ 所以方程通解为arctan arctan 1y x ce y -=+- 高等数学模拟卷 1 一 求下列极限 1 1 lim sin n n n →∞=0（有界量乘无穷小量） 2 求0lim x x x →=1lim 1lim {00x -=-=-+ →→x x x x x 3 求10 lim x x e →=0 lim lim { 1010=∞ =- + →→x x x x e e sin 4 lim sin 5x x x x x →++ = 31616155sin 5sin lim 55sin 5lim 5sin sin lim sin lim 0000=+=+++=+++→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （第一个重要极限） 二 a 取什么值，0 ()0 x e x f x a x x ?<=?+≥?连续 答：根据函数在一点处连续的定义，)(lim )(lim 0 x f a x f x x -+→→==，而 )(lim 0 x f x -→=x x e -→0 lim =1 所以 a=1 三 计算下列各题 1 已 知 2sin ln y x x =? 求 , y 答： y ’=2(sinx ·lnx)’=2[(sinx)’(lnx)+(sinx)(lnx)’] =2cosxlnx+2x sinx 2 (),()x f x y f e e y =?已知，求 答：由链式法则，()()() ()dx dy e e f e e e f dx x f x x f x x +?=dy 所以()() () ()x f x x f x x e e f e e f y -=+1' 1 / 5 高等数学模拟卷 1 一 求下列极限 1 1 lim sin n n n →∞=0（有界量乘无穷小量） 2 求0lim x x x →=1lim 1lim {00x -=-=-+ →→x x x x x 3 求10 lim x x e →=0 lim lim { 1010=∞ =- + →→x x x x e e sin 4 lim sin 5x x x x x →++ = 31616155sin 5sin lim 55sin 5lim 5sin sin lim sin lim 0000=+=+++=+++→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （第一个重要极限） 二 a 取什么值，0 ()0 x e x f x a x x ?<=?+≥?连续 答：根据函数在一点处连续的定义，)(lim )(lim 0 x f a x f x x -+→→==，而 )(lim 0 x f x -→=x x e -→0 lim =1 所以 a=1 三 计算下列各题 1 已 知 2sin ln y x x =? 求 , y 答： y ’=2(sin x ·lnx )’=2[(sinx)’(lnx )+(sinx)(lnx)’] =2cosxlnx+2 x sinx 2 () ,()x f x y f e e y =?已知，求 答：由链式法则，()()() ()dx dy e e f e e e f dx x f x x f x x +?=dy 所以()() () ()x f x x f x x e e f e e f y -=+1' 高等数学模拟卷 1 一 求下列极限 1 1 lim sin n n n →∞ =0（有界量乘无穷小量） 2 求0lim x x x →=1 lim 1lim {00x -=-=-+→→x x x x x 3 求1 0lim x x e →=0 lim lim {1010=∞=-+→→x x x x e e sin 4lim sin 5x x x x x →++ =3 1616155sin 5sin lim 55sin 5lim 5sin sin lim sin lim 0000=+=+ ++=+++→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （第一个重要极限） 二 a 取什么值，0()0x e x f x a x x ?<=?+≥?连续 解：)i 0x <，0x >时，()f x 均连续 )ii 0x =时，(0)f a = (00)1f -= (00)f a += 所以1a =时(0)(0)1f f ±==， ()f x 在0x =处连续 综上所述，a=1时()f x 连续 三 计算下列各题 1 已知2sin ln y x x =? 求 ,y 答：y ’=2(sin x ·lnx )’=2[(sinx)’(lnx )+(sinx)(lnx)’] =2cosxlnx+2x sinx 2 (),()x f x y f e e y =?已知，求 答：由链式法则， ()()()()dx dy e e f e e e f dx x f x x f x x +?=dy 所以()()()()x f x x f x x e e f e e f y -=+1' 23x xe dx ?求 答： c e dx e x d e x x x +=== ??2222121222原式 四、若202tan()sec x y x x y tdt ---= ?，求d y d x 解： 两边对x 求导，其中y 是x 的函数 2'2' 2sec ()(1)sec ()(1)x y y x y y --?-=-?- 2'2sec ()(1)2x y y -?-= '21 (1)sec () y x y -=- 所以'22 1cos ()sin ()y x y x y =--=- 五 求y x =，2y x =和2y x =所围平面图形的面积 解：大一上微积分试题(山东大学)
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