一、数列的概念选择题
1.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列,如数列1,3,6,10,前后两项之差得到新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列,这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为( ) A .184
B .174
C .188
D .160
2.已知数列{}n a ,若(
)12*
N
n n n a a a n ++=+∈,则称数列{}n
a 为“凸数列”.已知数列{}
n
b 为“凸数列”,且11b =,22b =-,则数列{}n b 的前2020项和为( ) A .5
B .5-
C .0
D .1-
3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2
1n S n n =++,则{}n a 的通项公式是( )
A .2n a n =
B .3,1
2,2n n a n n =?=?
≥?
C .21n a n =+
D .3n a n =
4.数列{}n a 中,11a =,12n n a a n +=+,则n a =( ) A .2n n 1-+
B .21n +
C .2(1)1n -+
D .2n
5.数列{}n a 满足11
1n n
a a +=-,12a =,则2a 的值为( ) A .1
B .-1
C .
13
D .13
-
6.数列{}n a 满足 112a =,111n n
a a +=-,则2018a 等于( )
A .
1
2
B .-1
C .2
D .3
7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足1221,1n n a a S a +===-,则下列命题错误的是
A .21n n n a a a ++=+
B .13599100a a a a a ++++=
C .2499a a a a ++
+=
D .12398100100S S S S S +++
+=-
8.数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为( )
A .21n a n =-
B .()1(21)n
n a n =--
C .()
1
1(21)n n a n +=--
D .()
1
1(21)n n a n +=-+
9.已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=
+,n *∈N ,若11
02
a <<,则( )
A .8972a a a +<
B .91082a a a +>
C .6978a a a a +>+
D .71089a a a a +>+
10.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为( ) A .174
B .184
C .188
D .160
11.已知数列{}n a 满足2122
11
1,16,2
n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为( ) A .92
B .102
C .
81
82
D .112
12.设n a 表示421167n n +的个位数字,则数列{}n a 的第38项至第69项之和
383969a a a ++???+=( )
A .180
B .160
C .150
D .140
13.数列{}n a 满足12a =,111
1
n n n a a a ++-=+,则2019a =( ) A .3-
B .12-
C .
13
D .2
14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若*1
n S n N n =∈,,则2a =( ) A .12
-
B .16
-
C .
16
D .
12
15.已知数列2
65n a n n =-+则该数列中最小项的序号是( )
A .3
B .4
C .5
D .6
16.已知数列{}n a 满足11a =,12
2
n n a a n n
+=++,则10a =( ) A .
259
B .
145 C .
3111
D .
176
17.已知数列{}n a 满足:113a =,1(1)21n n n a na n ++-=+,*n N ∈,则下列说法正确的是( ) A .1n n a a +≥ B .1n n a a +≤
C .数列{}n a 的最小项为3a 和4a
D .数列{}n a 的最大项为3a 和4a
18.在数列{}n a 中,2
1
n n a n +=+,则{}n a ( ) A .是常数列
B .不是单调数列
C .是递增数列
D .是递减数列
19.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数,且满足3()(),(1)32
f x f x f -=-=,数列
{}n a 满足11a =,且
21n n
S a n n
=-,(n S 为{}n a 的前n 项和,*)n N ∈,则56()()f a f a +=( )
A .1
B .3
C .-3
D .0
20.若数列{}n a 满足:存在正整数T ,对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立,则称数列
{}n a 为周期数列,周期为T .
已知数列{}n a 满足()111,1
0,{1
,01n n n n n
a a a m m a a a +->=>=<≤ ,则下列结论错误的是( ) A .若34a =,则m 可以取3个不同的数; B
.若m =
,则数列{}n a 是周期为3的数列;
C .存在m Q ∈,且2m ≥,数列{}n a 是周期数列;
D .对任意T N *∈且2T ≥,存在1m >,使得{}n a 是周期为T 的数列.
二、多选题
21.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”,记S n 为数列{a n }的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .a 8=34 B .S 8=54 C .S 2020=a 2022-1 D .a 1+a 3+a 5+…+
a 2021=a 2022
22.已知数列0,2,0,2,0,2,
,则前六项适合的通项公式为( )
A .1(1)n
n a =+-
B .2cos
2
n n a π= C .(1)2sin
2
n n a π
+= D .1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--
23.已知数列{}n a 满足()
*11
1n n
a n N a +=-∈,且12a =,则( ) A .31a =- B .201912
a =
C .332
S =
D . 2 0192019
2
S =
24.若数列{}n a 满足112,02
121,1
2
n n n n n a a a a a +?
≤≤??=??-<?,135a =,则数列{}n a 中的项的值可能为
( ) A .
1
5
B .
25
C .
45
D .
65
25.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为(){}
F n ,则(){}
F n 的通项公式为( )
A .(1)1()2
n n F n -+=
B .()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==
C .(
)1122n n
F n ????+-?=- ?????? D .(
)n n F n ???=+??????
26.无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若a 1>0,d <0,则下列结论正确的是( ) A .数列{}n a 单调递减 B .数列{}n a 有最大值 C .数列{}n S 单调递减
D .数列{}n S 有最大值
27.已知等差数列{}n a 的公差不为0,其前n 项和为n S ,且12a 、8S 、9S 成等差数列,则下列四个选项中正确的有( ) A .59823a a S +=
B .27S S =
C .5S 最小
D .50a =
28.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==,则( ) A .25n a n =-
B .310n
a n
C .2
28n S n n =- D .2
4n S n n =-
29.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =
C .95S S >
D .6S 与7S 均为n S 的最大值
30.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项和,且56678,S S S S S <=>,则下列结论正确的是( ) A .0d < B .70a =
C .95S S >
D .67n S S S 与均为的最大值
31.已知数列{}n a 为等差数列,则下列说法正确的是( ) A .1n n a a d +=+(d 为常数) B .数列{}n a -是等差数列 C .数列1n a ??
?
???
是等差数列 D .1n a +是n a 与2n a +的等差中项
32.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 2
5,n S n n =-则下列说法正确的是( )
A .{}n a 为等差数列
B .0n a >
C .n S 最小值为214
-
D .{}n a 为单调递增数列
33.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d .已知312a =,120S >,70a <则( ) A .60a >
B .数列1n a ??
????
是递增数列
C .0n S <时,n 的最小值为13
D .数列n n S a ??
????
中最小项为第7项
34.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题,其中的真命题为( ). A .数列{}n a 是递增数列 B .数列{}n na 是递增数列 C .数列{
}n
a n
是递增数列 D .数列{}3n a nd +是递增数列
35.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1718S S =,则下列各式的值为0的是( ) A .17a
B .35S
C .1719a a -
D .1916S S -
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一、数列的概念选择题 1.B 解析:B 【分析】
根据高阶等差数列的知识,结合累加法求得数列的通项公式,由此求得19a . 【详解】
3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,
6,
所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=, 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+
()()1213n n =-+-+
++()()()1111332
2
n n n n -+?--=
+=+.
所以191918
31742
a ?=+=. 故选:B 【点睛】
本小题主要考查数列新定义,考查累加法,属于基础题.
2.B
解析:B 【分析】
根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6,即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】
()*21N n n n b b b n ++=-∈,且11b =,22b =-, ∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-===
∴{}n b 是以6为周期的周期数列,且60S =, ∴20203366412345S S b b b b ?+==+++=-,
故选:B. 【点睛】
本题考查数列的新定义、数列求和,考查运算求解能力,求解时注意通过计算数列的前6项,得到数列的周期.
3.B
解析:B 【分析】
根据11,1
,2n n
S n a S S n -=?=?-≥?计算可得;
【详解】
解:因为2
1n S n n =++①,
当1n =时,2
11113S =++=,即13a =
当2n ≥时,()()2
1111n S n n -=-+-+②,
①减②得,()()2
2
11112n n n n n n a ??++--+-+=?
=?
所以3,12,2n n a n n =?=?≥?
故选:B 【点睛】
本题考查利用定义法求数列的通项公式,属于基础题.
4.A
解析:A 【分析】
由题意,根据累加法,即可求出结果. 【详解】
因为12n n a a n +=+,所以12n n a a n +-=,
因此212a a -=,324a a -=,436a a -=,…,()121n n a a n --=-, 以上各式相加得:()()()21246.1221..212
n n n a a n n n ??-+-??
-=
+++==+--,
又11a =,所以2
1n a n n =-+.
故选:A. 【点睛】
本题主要考查累加法求数列的通项,属于基础题型.
5.B
解析:B 【分析】
根据数列的递推公式,代入计算可得选项. 【详解】 因为11
1n n a a +=-,12a =,所以2
1111112
a a ===---, 故选:B. 【点睛】
本题考查由数列递推式求数列中的项,属于基础题.
6.B
解析:B 【分析】
先通过列举找到数列的周期,再求2018a . 【详解】
n=1时,234511
121,1(1)2,1,121,22
a a a a =-=-=--==-
==-=- 所以数列的周期是3,所以2018(36722)21a a a ?+===-. 故选:B
本题主要考查数列的递推公式和数列的周期,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
7.C
解析:C 【分析】
21n n S a +=-,则111n n S a -+=-,两式相减得到A 正确;由A 选项得到
13599a a a a +++?+=1123459798a a a a a a a a ++++++?++=981001S a +=进而得到B
正确;同理可得到C 错误;由21n n S a +=-得到
12398S S S S +++?+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进
而D 正确. 【详解】
已知21n n S a +=-,则111n n S a -+=-,两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-?=+,故A 正确;根据A 选项得到
13599a a a a +++?+=1123459798a a a a a a a a ++++++?++=981001S a +=,故B 正
确;
24698a a a a +++?+=2234569697a a a a a a a a ++++++?++=
1234569697a a a a a a a a ++++++?++=97991S a =-,故C 不正确;根据2123981n n S a S S S S +=-+++?+=
,123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -
故D 正确. 故答案为C. 【点睛】
这个题目考查了数列的应用,根据题干中所给的条件进行推广,属于中档题,这类题目不是常规的等差或者等比数列,要善于发现题干中所给的条件,应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.
8.C
解析:C 【分析】
分别观察各项的符号、绝对值即可得出. 【详解】
数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式()()112n
n a n =--. 故选C . 【点睛】
本题考查了球数列的通项公式的方法,属于基础题.
9.C
【分析】 由递推公式1221n n n a a a ++=
+得出25445n n n a a a ++=+,计算出25,24a ??∈ ???
,利用递推公式推导得出()0,1n a ∈(n 为正奇数),1n a >(n 为正偶数),利用定义判断出数列
{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性,进而可得出结论.
【详解】
()()
113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++,110,2a ??∈ ???,25,24a ??∴∈ ???, ()()
12
1259245221545944221454544452121
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++?++,
且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++,()
2
1212
2121
n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=
++. 110,2a ??∈ ???
,则101a <<,则()()3
590,14445n a a =-∈+, 如此继续可得知()(
)210,1n a n N *
-∈∈,则(
)2
21
21212141=
045
n n n n a a
a a -+---->+,
所以,数列{}()21n a n N *
-∈单调递增;
同理可知,()21n
a n N *
>∈,数列{}()2n
a n N *
∈单调递减.
对于A 选项,78a a <且79a a <,8972a a a ∴+>,A 选项错误; 对于B 选项,89a a >且108a a <,则91082a a a +<,B 选项错误; 对于C 选项,68a a >,97a a >,则6978a a a a +>+,C 选项正确; 对于D 选项,79a a <,108a a <,则71098a a a a +<+,D 选项错误. 故选:C. 【点睛】
本题考查数列不等式的判断,涉及数列递推公式的应用,解题的关键就是推导出数列
{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性,考查推理能力,属于难题.
10.A
解析:A 【分析】
根据已知条件求得11n n n a a -=--,利用累加法求得19a .
依题意:
3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,
6,
所以11n n n a a -=--(2n ≥),且13a =, 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+
()()12213n n =-+-+
+++
()()()1111332
2
n n n n -+--=+=+.
所以191918
31742
a ?=+=. 故选:A 【点睛】
本小题主要考查累加法,属于中档题.
11.B
解析:B 【分析】
本题先根据递推公式进行转化得到21
112n n n n a a a a +++=.然后令1n n n
a b a +=,可得出数列{}n b 是等比数列.即11322n
n n a a +??
= ???
.然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式,根据通项公式及二
次函数的知识可得数列{}n a 的最大项. 【详解】
解:由题意,可知: 21
112n n n n
a a a a +++=. 令1n n n a
b a +=,则11
2
n n b b +=. 2
11
16a b a =
=, ∴数列{}n b 是以16为首项,
1
2
为公比的等比数列. 1
11163222n n
n b -??
??
∴== ?
???
??
.
∴11322n
n n a a +??
= ???
.
∴1
211322a
a ??
= ???
, 2
3
21322a a ??
= ???
,
1
11322n n n a a --??
= ???
.
各项相乘,可得: 1
2
1
11
111(32)222n n n
a a --??????=? ? ? ???????
.
(1)
2
511()22n n n --??
= ?
?? 21
15(1)
22
1122n n n
---????= ? ?????
211
5522
12n n n --+??= ???
21
(1110)
2
12n n -+??= ???
.
令2()1110f n n n =-+,
则,根据二次函数的知识,可知:当5n =或6n =时,()f n 取得最小值. ()2551151020f =-?+=-,()2661161020f =-?+=-,
()f n ∴的最小值为20-. ∴2
11
(1110)(20)10
2
2
101112222n n -+?--??????=== ? ? ???
??
??
.
∴数列{}n a 的最大项为102.
故选:B . 【点睛】
本题主要考查根据递推公式得出通项公式,构造新数列的方法,累乘法通项公式的应用,以及利用二次函数思想求最值;
12.B
解析:B 【分析】
根据题意可得n a 为421167n n +的个位数为27n n +的个位数,而2n 的个位是以2,4,8,6为
周期,7n 的个位数是以7,9,3,1为周期,即可求和. 【详解】
由n a 为421167n n +的个位数, 可得n a 为27n n +的个位数, 而2n 的个位是以2,4,8,6为周期,
7n 的个位数是以7,9,3,1为周期,
所以27n n +的个位数是以9,3,1,7为周期, 即421167n n +的个位数是以9,3,1,7为周期, 第38项至第69项共32项,共8个周期, 所以383969a a a ++???+=8(9317)160?+++=. 故选:B
13.B
解析:B 【分析】
由递推关系,可求出{}n a 的前5项,从而可得出该数列的周期性,进而求出2019a 即可. 【详解】 由1111
n n n a a a ++-=
+,可得111n
n n a a a ++=-,
由12a =,可得23a =-,312
a =-
,41
3a =,52a =,
由15a a =,可知数列{}n a 是周期数列,周期为4, 所以201931
2
a a ==-. 故选:B.
14.A
解析:A 【分析】
令1n =得11a =,令2n =得2121
2
S a a =+=可解得2a . 【详解】 因为1n S n =
,所以111
11
a S ===, 因为21212S a a =+=,所以211
122
a =-=-. 故选:A
15.A
解析:A
【分析】
首先将n a 化简为()2
34n a n =--,即可得到答案。 【详解】
因为()
()2
2
69434n a n n n =-+-=--
当3n =时,n a 取得最小值。 故选:A
16.B
解析:B 【分析】 由122n n a a n n +=++转化为11
121n n a a n n +??-=- ?+??
,利用叠加法,求得23n
a n =-,即可求解. 【详解】 由12
2n n a a n n +=+
+,可得121
12(1)1n n a a n n n n +??-==- ?++??
, 所以()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+
11111
111222*********n n n n n n ????????
=-+-+-+
+-+ ? ? ? ?-----??????
??
122113n n ??
=-+=- ???
,
所以102143105
a =-=. 故选:B. 【点睛】
数列的通项公式的常见求法:
1、对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +-=的数列,通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式;
2、对于递推关系式可转化为
1
()n n
a f n a +=的数列,并且容易求数列{()}f n 前n 项积时,通常采用累乘法求其通项公式; 3、对于递推关系式形如1
n n a pa q +=+的数列,可采用构造法求解数列的通项公式.
17.C
解析:C 【分析】
令n n b na =,由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2
+12n b n =,从而可得
12
+n a n n
=,作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-,从而可得12345>>n a a a a a a =<<
<,
由此可得选项. 【详解】
令n n b na =,则121n n b b n +-=+,又113a =,所以113b =,213b b -=,325b b -=, ,121n n b b n --=-, 所以累加得()()213+2113+
+122
n
n n b n --==,所以2+1212+n n
b n a
n n n n
===, 所以()()()()+13+41212+1+
++1+1n n n n a a n n n n n n -??-=-= ???,
所以当3n <时,+1n n a a <,当3n =时,+1n n a a =,即34a a =,当>3n 时,+1>n n a a , 即12345>>n a a a a a a =<<<,所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ,
故选:C. 【点睛】
本题考查构造新数列,运用累加法求数列的通项,以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性,属于中档题.
18.D
解析:D 【分析】
由21
111
n n a n n +=
=+++,利用反比例函数的性质判断即可. 【详解】
在数列{}n a 中,21
111
n n a n n +=
=+++, 由反比例函数的性质得:{}n a 是*n N ∈时单调递减数列, 故选:D
19.C
解析:C 【分析】
判断出()f x 的周期,求得{}n a 的通项公式,由此求得56()()f a f a +. 【详解】
依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数,且满足3
()()2
f x f x -=, 所以()333332222f x f x f x f
x ?????
??
?+=---=--=-+ ? ? ?
???????
??
()()()32f x f x f x ??
=---=--= ???
,所以()f x 是周期为3的周期函数.
由
21n n S a n n
=-得2n n S a n =-①, 当1n =时,11a =,
当2n ≥时,()1121n n S a n --=--②,
①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+(2n ≥),
所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=,
652163a a =+=.
所以
56()()f a f a +=
()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=?++?=+=--=-
故选:C 【点睛】
如果一个函数既是奇函数,图象又关于()0x a a =≠对称,则这个函数是周期函数,且周期为4a .
20.C
解析:C 【解析】
试题分析:A:当01m <≤时,由34a =得1;125m m =
<≤时,由34a =得5
4
m =; 2m >时,()2311,,24a m a m =-∈+∞=-= 得6m = ;正确 .
B:
234111,11,1,m a a a =>∴==
==> 所以3T =,正
确.
C :命题较难证明,先考察命题
D .
D :命题的否定为“对任意的T N *∈,且2T ≥,不存在1m >,使得{}n a 是周期为T 的数列”,而由B 显然这个命题是错误的,因此D 正确,从而只有C 是错误. 考点:命题的真假判断与应用.
【名师点睛】本题主要考查周期数列的推导和应用,考查学生的推理能力.此题首先要理解新定义“周期为T 的数列”,然后对A 、B 、C 、D 四个命题一一验证,A 、B 两个命题按照数列的递推公式进行计算即可,命题C 较难证明,但出现在选择题中,考虑到数学选择题中必有一个选项正确,因此我们先研究D 命题,并且在命题D 本身也很难的情况下,采取“正难则反”的方法,考虑命题D 的否定,命题D 的否定由命题B 很容易得出是错误的,从而命题D 是正确的.
二、多选题 21.BCD 【分析】
由题意可得数列满足递推关系,依次判断四个选项,即可得正确答案. 【详解】
对于A ,可知数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21,故A 错误; 对于B ,,故B 正确; 对于C ,可
解析:BCD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥,依次判断四个选项,即可得正确答案. 【详解】
对于A ,可知数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21,故A 错误; 对于B ,81+1+2+3+5+8+13+2154S ==,故B 正确; 对于C ,可得()112n n n a a a n +-=-≥, 则()()()()1234131425311++++
++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----
即212++1n n n n S a a a a ++=-=-,∴202020221S a =-,故C 正确; 对于D ,由()112n n n a a a n +-=-≥可得,
()()()135202124264202220202022+++
+++++a a a a a a a a a a a a =---=,故D 正确.
故选:BCD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,解题的关键是得出数列的递推关系,()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥,能根据数列性质利用累加法求解.
22.AC 【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项,看是否满足题意,得出答案. 【详解】
对于选项A ,取前六项得:,满足条件; 对于选项B ,取前六项得:,不满足条件; 对于选项C ,取前六项得:,
解析:AC 【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项,看是否满足题意,得出答案.
对于选项A ,1(1)n
n a =+-取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件;
对于选项B ,2cos 2
n n a π
=取前六项得:0,2,0,2,0,2--,不满足条件; 对于选项C ,(1)2sin
2
n n a π
+=取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件; 对于选项D ,1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得:0,2,2,8,12,22,不满足条件; 故选:AC
23.ACD 【分析】
先计算出数列的前几项,判断AC ,然后再寻找规律判断BD . 【详解】
由题意,,A 正确,,C 正确; ,∴数列是周期数列,周期为3. ,B 错; ,D 正确. 故选:ACD . 【点睛】 本
解析:ACD 【分析】
先计算出数列的前几项,判断AC ,然后再寻找规律判断BD . 【详解】
由题意211122a =-=,31
1112a =-=-,A 正确,313
2122
S =+-=,C 正确;
41
121
a =-
=-,∴数列{}n a 是周期数列,周期为3. 2019367331a a a ?===-,B 错;
201932019
67322
S =?=,D 正确.
故选:ACD . 【点睛】
本题考查由数列的递推式求数列的项与和,解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质:周期性,然后利用周期函数的定义求解.
24.ABC
利用数列满足的递推关系及,依次取代入计算,能得到数列是周期为4的周期数列,得项的所有可能值,判断选项即得结果. 【详解】
数列满足,,依次取代入计算得, ,,,,因此继续下去会循环
解析:ABC 【分析】
利用数列{}n a 满足的递推关系及13
5
a =
,依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ,能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列,得项的所有可能值,判断选项即得结果. 【详解】
数列{}n a 满足112,02
121,1
2n n n n n a a a a a +?
≤≤??=??-<?,135a =,依次取1,2,3,4,...n =代入计算得,
211215a a =-=
,32225a a ==,43425a a ==,5413
215
a a a =-==,因此继续下去会循环,数列{}n a 是周期为4的周期数列,所有可能取值为:1234
,,,5555
. 故选:ABC. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列,属于基础题.
25.BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可; 【详解】
解:斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……, 显然,,,,,所以且,即B 满足条件; 由, 所以 所以数列
解析:BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可; 【详解】
解:斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,
显然()()11,21F F ==,()()()3122F F F =+=,()()()4233F F F =+=,
,
()()()11,2F n F n F n n +=+-≥,所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==,即B 满足条件;
由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥, 所以(
)(
)(
)()11F n n F n n ?+-
=--???
所以数列(
)()1F n n ????+??????
是以12+
为首项,12+为公比的等比数列, 所以(
)(
)1n
F n n +-=??
11515()n F F n n -
+=++, 令
1
n
n n F b
-=
??
,则11n n b +=
+,
所以1
n n b b +=-
, 所以n
b ??
????
?
的等比数列,
所以1
n n b -
+, 所以
()11
15n n n n
F n --?
???
+??=+=- ? ?????????
??????
??
; 即C 满足条件; 故选:BC 【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式,数列递推公式的应用,本题运算量较大,难度较大,要求由较高的逻辑思维能力,属于中档题.
26.ABD 【分析】
由可判断AB ,再由a1>0,d <0,可知等差数列数列先正后负,可判断CD. 【详解】
根据等差数列定义可得,所以数列单调递减,A 正确; 由数列单调递减,可知数列有最大值a1,故B 正
解析:ABD 【分析】
由10n n a a d +-=<可判断AB ,再由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,可判断CD. 【详解】
根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<,所以数列{}n a 单调递减,A 正确; 由数列{}n a 单调递减,可知数列{}n a 有最大值a 1,故B 正确;
由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,所以数列{}n S 先增再减,有最大值,C 不正确,D 正确. 故选:ABD.
27.BD 【分析】
设等差数列的公差为,根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系,可得出、的表达式,进而可判断各选项的正误. 【详解】
设等差数列的公差为,则,, 因为、、成等差数列,则,即, 解得,,
解析:BD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ,根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系,可得出n a 、n S 的表达式,进而可判断各选项的正误. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,则81187
88282
S a d a d ?=+
=+,91198
99362
S a d a d ?=+
=+, 因为12a 、8S 、9S 成等差数列,则81922S a S =+,即11116562936a d a a d +=++,
解得14a d =-,()()115n a a n d n d ∴=+-=-,()()21
9122
n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项,59233412a a d d +=?=,()2
8
88942
d S d -?=
=-,A 选项错误; 对于B 选项,()2
2
29272
d S
d -?=
=-,()2
7
79772
d S
d -?=
=-,B 选项正确;