离散数学习题解答-（)
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第七章图
7.1 图的基本知识
定义８.8设图G＝
(１）Ｇ－e表示对G作删除边e的运算，Ｇ－e =<Ｖ,E’，Ψ’>，其中E’＝Ｅ-｛ｅ｝,Ψ’= Ψ↑E’。
（2）G-v表示对G作删除顶点v的运算，G－ｖ=
（３）边e切割运算。设Ｇ中Ψ (e) =(u,v)，对G作边ｅ切割得G’＝<Ｖ’，E’，Ψ’>，其中，Ｖ’＝V?{v’｝,E’= (E-｛e}）?{e１,ｅ2}，Ψ’= （Ψ-{
(４)顶点v贯通运算。设Ｇ中顶点ｖ恰为边e1,ｅ２的端点,且Ψ (e1) ＝(u,v)，Ψ（e2) =（ｗ，v)。对G作顶点ｖ贯通得G’=
切割与贯通是互逆的,两者常被称为同胚运算。
定义8.９设G1＝
(u,v)∈Ｅ1当且仅当(ｆ（u),ｆ（v))∈E２
习题解答
练习7．1
1、想一想,一只昆虫是否可能从立方体的一个顶点出发，沿着棱爬行、它爬行过每条梭
一次且仅一次,并且最终回到原地?为什么？
解不可能。可将立方体的一个顶点看作图的一个顶点,把立方体的棱看作图的边,那么该图的四个顶点都是三度的，因此不可能从一个顶点出发,遍历所有的边一次且仅一次，并且最终回到原顶点。
2、请设想一张图，它的64个顶点表示国际象棋棋盘的64个方格,顶点间的边表示:在这
两个顶点表示的方格之间可以进行“马步”的行走。试指出其顶点有哪几类(依其度
分类),每类各有多少个顶点。
解其顶点有5类:二度顶点合计4个，三度顶点合计8个,四度顶点,合计20个,六度顶点，合计16个顶点，八度顶点, 合计1６个顶点。
2 3 4 4 4 4 3 2
3 4 6 6 6 6 4 3
4 6 8 ８8 8 ６4
4 6 8 8 8 8 6 4
４6 8 8 8 8 6 4
4 ６8 8 8 8 6 ４3 4 ６6 ６6 ４3 2 3 4 4 4 4 3 2
3、（ｌ)证明:ｎ个顶点的简单图中不会有多于
2)1
(-
n
n
条边。(2）n个顶点的有向完全图中恰有2n条边。
证(l）n个顶点的简单完全图的边数总和为
2)1
(
1
2
)2
(
)1
(-
=
+
+
+
-
+
-
n n
n
n
(２）n个顶点的有向完全图的边数总和为
2
n
n
n
n
n
n
n=
?
=
+
+
+
+
４、证明：在任何n （n≥２）个顶点的简单图G中，至少有两个顶点具有相同的度。
证如果Ｇ有两个孤立顶点，那么它们便是具有相同的度的两个顶点。
如果G恰有一个孤立顶点，那么我们可对有n –1 个顶点但没有孤立顶点的G’(它由G 删除孤立顶点后得到)作下列讨论。
不妨设G没有孤立顶点,那么G 的n个顶点的度数应是:1，2，3,…，n–１这n–１种
可能之一，因此必定有两个顶点具有相同的度。
５、图8．10是一个迷宫,其中数字表示通道、和死胡同(包括目标) 。请用一个图来表示这个迷宫(用结点表示通道、和死胡同(包括目标)),用边表示它们之间的可直接到达关系。
图8．10 解
6、在晚会上有n 个人,他们各自与自己相识的人握一次手。已知每人与别人握手的次数都是奇数，问n 是奇数还是偶数。为什么？
解 ｎ是偶数。用ｎ个顶点表示ｎ个人，顶点间的一条边表示一次握手，可构成一个无向图。若n 是奇数,那么该图的顶点度数之和为奇数（奇数个奇数的和）,这是不可能的，因此ｎ是偶数。
7、n 个城市间有m 条相互连接的直达公路。证明：当2
)
2)(1(-->
n n m 时，人们便能
通过这些公路在任何两个城市间旅行。
证 用n 个顶点表示n 个城市,顶点间的边表示直达公路，据题意需证这n 个城市的公路网络所构成的图G 是连通的。反设G 不连通,那么可设G 由两个不相关的子图(没有任何边关联分别在两个子图中的顶点)G1,Ｇ2组成，分别有n 1,n 2个顶点，从而,n = n 1+ｎ2,n 1 ≥1，n ２ ≥1。
由于各子图的边数不超过
2
)
1(-i i n n (见练习８．l 之3)，因此G 的边数m 满足： ))1()1((2
1
)1(2122111-+-=-≤∑=n n n n n n m k i i i
))1)(1()1)(1((2
1
21--+--=
n n n n )2)(1(2
1
)2)(1(2
1
21--=-+-=
n n n n n
2 1 18
3
17
4
5 20 21 16
与已知2
)
2)(1(-->
n n m 矛盾，故图G 是连通的。
（本题是定理8.8的特例，当然也可以应用这一定理和它的证明方法来解题。）
*8、(1）证明：序列(7，6,5，４,3,３， ２),（6,5,5，4,3，2，２）以及(6,6，５，4，3,3，1）都不是简单图的度序列。
（2）若自然数序列（d １,d ２,…,d n ）满足d 1>d 2>…＞ｄn ，那么当它为一简单图的度序列时必有 （a ）
∑=n
i i
d
1
为偶数;
(b)对任一k ，1≤k ≤ｎ ,
∑=k
i i
d
1
≤ k （k-1）＋
∑+=n
k i i
d k 1
),min(。
证(1)由于7个顶点的简单图中不可能有7度的顶点，因此序列（７，6，5,4，3,3， 2）不是简单图的度序列。序列(６,5，5,4，３，2，2)中有三个奇数,因此它不是简单图的度序列。序列(6,6,5，４,3，3，1）中有两个6,若它是简单图的度序列,那么应有两个顶点是6度顶点,于是它们都要与其它所有顶点邻接，该图就不会有一度的顶点,与序列中末尾的1冲突。故（6，6,5,4,３,3,１)也不是简单图的度序列。
证(２)
∑=n
i i
d
1
为偶数是显然的。
考虑图中的k 个顶点（ｋ=1,２,…,n)，这k 个顶点的生成子图的度数总和 ≤ k （k-１),而其余n –k 个顶点v ｋ+1,ｖk+2, …,v ｎ, 可使 v 1,v 2, …,ｖｋ增加的度数不会超过
∑+=n
k i i
d k 1
),min(
因此我们有
∑=k
i i
d
1
≤ ｋ（k －1)＋
∑+=n
k i i
d k 1
),min(。
9、画出图８．1１中图的补图及它的一个生成子图。
图８.11
解 补图 生成子图
1０、一个简单图,如果同构于它的补，则该图称为自补图。 (１）给出一个4个顶点的自补图。 (2)给出一个5个顶点的自补图。
(3）是否有3个顶点或６个顶点的自补图?
（４）证明一个自补图一定有4k 或4k ＋1个顶点（k 为正整数)。
解 (1)4个顶点的自补图： （2）５个顶点的自补图：
(3)没有。
（4)证 设Ｇ为自补图,有ｎ 个顶点。我们已知n 个顶点的完全图有 2
)
1(-n n 条边，因此Ｇ应恰有
4
)
1(-n n 条边。故或者n 是4的整数倍,或者n –１是４的整数倍，即图G 一定有４k 或4k+1个顶点（k 为正整数）。
1１、(l)证明图 ８.12中(a ）与（b ）同构。
(a ） (b) 图8.1２
(2)给出所有不同构的4个结点的简单图的图示。 (l ）证 在图（a)图(ｂ)间建立双射h
v A Ｂ D Ｉ J Ｃ E Ｇ H F ｈ(v)
α β δ ι η χ φ ?
κ
γ
可逐一验证 （不赘)
(u,v)∈E （a)当且仅当 (h(u),h （v))∈E(b)
（2)所有不同构的4个结点的简单图的图示有如下１１个：
A α β
D C B
7.2 路径、回路及连通性
习题解答
练习7．2
1、证明定理8．５。
证设n个顶点的图G中,有从v到v的闭路径,表示为
(ｖ,v1,v2,…,v k,v)
如果ｖ,ｖ1,v2,…,ｖk中没有相同顶点(因而不多于n个),那么它便是一条从v到v的长度不大于ｎ的回路。如果v,v1，ｖ2，…,v k中有相同顶点v i＝v j，例如
(v,v1，…，vｉ,…, v j, v j＋1，…,v k,ｖ)
那么删除ｖi到ｖｊ的闭路径,得到
（v,v1,…, vｉ, ｖj＋1,…,ｖk,ｖ）
仍然为从v到v的闭路径。
如此不断删除闭路径内相同顶点构成的闭路径,最终必可得到一条从ｖ到v的长度不大
于n的回路。
2、证明:在简单无向图G中，从结点u到结点v,如果既有奇数长度的通路又有偶数长
度的通路，那么Ｇ中必有一奇数长度的回路。
证设G中,从结点u到结点v的奇数长度的通路为O ,偶数长度的通路为E。对O和
E的除结点u和v的相交结点的数目归纳ｋ。
k＝０,那么Ｏ和E恰好构成G的奇数长度的回路。
设奇数长度的通路与偶数长度的通路的相交结点的数目少于k时，命题成立。
设图Ｇ中，从结点u到结点v的奇数长度的通路与偶数长度的通路有k个相交结点，如
图所示:
u 1
2 …k
考虑结点u到结点ｋ,如果从结点u到结点ｋ,既有奇数长度的通路又有偶数长度的通路，那么据归纳假设,其中有一奇数长度的回路,因而G中必有一奇数长度的回路。如果从结点u
到结点k的两条通路均为偶数长度，或均为奇数长度，那么结点ｋ到结点v必然既有奇数长
度的通路又有偶数长度的通路，因而构成一奇数长度的回路。
3、证明：若简单无向图G是不连通的,那么Gˉ必定是连通的。
证设简单无向图G是不连通的,那么G由两个不相关的子图(没有任何边关联分别在
两个子图中的顶点)G1,G2组成，分别有顶点，u1，u２，…,ｕｋ和v1，v2,…,v l。由于边
（u i ,v j ）均不在Ｇ中(i=１，2,…,ｋ, j ＝1,2,…，ｌ)
因此（u i ,ｖj )全部在G ˉ中,从而G ˉ是连通的。
4、有向图可用于表示关系，图８.18表示的二元关系是传递的吗?说说如何由有向图判定关系的传递性。求图8.18表示的二元关系的传递闭包,说说构作有向图传递闭包的方法。
图8.１8
解 图8.18表示的二元关系不是传递的。有向图表示的关系是传递的,当且仅当对图中任意两个结点u,v,如果有从u 到ｖ的路径，则必有从ｕ到v 的边。 图8.18表示的二元关系的传递闭包如图8．１8（b)所示。构作有向图传递闭包的方法是：对图中任意两个结点ｕ，v,如果有从u 到v 的路径,则添加从u 到ｖ的边。
5、给出图8.19中有向图的强分图,单向分图和弱分图，作出它的凝聚图。
图８.19
解 图8.１9中有向图的强分图有: <{ｖ1,v 2}，{
<{v 3,v 4,ｖ5},{
＜{ｖ7，ｖ8,v ９｝,{
图8.19中有向图的单向分图有：
＜{v １，v 2,v ３，v 4，v 5,v 6｝,｛<ｖ1,v 2＞,<ｖ2,ｖ1>,
＞,＜v 4,v 5>，<ｖ5，v 4>，
<{v 7,v 8,ｖ9，v １0},{<ｖ7,v ８>,
v 1 v 2
v 7 v
10
a
a
{v 1,v 2}
{v 3,v 4,v 5} {v 7,v 8,v 9}
6、有7人ａ,b ，c,ｄ，e ，f,g 分别精通下列语言,问他们7人是否可以自由交谈(必要时借助他人作翻译)。 a 精通英语。
ｂ 精通汉语和英语。
c 精通英语、俄语和意大利语。
d 精通日语和英语。
e 精通德语和意大利语。
f 精通法语、日语和俄语。
g 精通法语和德语。
解 下图中7个顶点表示7个人，关联两个顶点的边表示两个人同时精通某一种语言:
由于该图是连通的，因此他们7人是可以自由交谈(必要时借助他人作翻译）。
7、证明:一个有向图是单向连通的,当且仅当它有一条经过每一结点的路径。 证 充分性是显然的。
必要性:设有向图G 是单向连通的,Ｐ是Ｇ中的一条路径,起点为u 1,终点为u ｋ。如下延长这一路径:
考虑路径外的任意顶点w ，若
（1)有顶点ｗ到u 1的路径,则我们如愿。
（2）有顶点u k 到ｗ的路径,则我们如愿。否则,由于有向图是单向连通的,
（3）有顶点w 到ｕk 的路径,和顶点u k-１到w 的路径， 则我们如愿。否则，由于有向图是单向连通的，
（4)有顶点ｗ到u k 的路径,和顶点ｕk-2到ｗ的路径， 则我们如愿。否则， （5)如此等等…,有顶点ｗ到ｕk 的路径,和顶点u 1到w 的路径, 则我们如愿。
a
b
d
u w
w
u
1 u k-
2 u
k-1 u k
…
如上不断延长这一路径，直至产生一条经过每一结点的路径。
８、称ｄ(u,v ）为图G=<Ｖ, Ｅ， Ψ>中结点u,ｖ间的距离：
??
?
??∞==否则间最短路径长度不可达到当当v u v u v u v u d ,0
),(
d 称为图G 的直径，如果d ＝ma ｘ｛d(u,v) | u,v ∈V}。试求图8.20中图的直径，χ(G) ,λ（G ） ,δ(G),并指出一个点割集和一个边割集。
图8．20
解 d ＝3 ,χ(G)=３ ,λ(G)=３ ，δ(G)=3 。
9、顶点ｖ是简单连通图G 的割点，当且仅当G 中存在两个顶点v1，v2,使v1到v2的通路都经过顶点v 。试证明之。
证充分性是显然的。
必要性:设顶点v 是简单连通图Ｇ的割点，如果不存在两个顶点ｖ1，ｖ2,使v1到v2的通路都经过顶点v,那么对任意两个顶点v1，ｖ2，都有一条通路不经过顶点ｖ,因而删除顶点v 不能使G 不连通,与ｖ是简单连通图G 的割点矛盾。故G 中必存在两个顶点v1，v2，使v1到v2的通路都经过顶点ｖ 。
10、边e 是简单连通图G 的割边，当且仅当e 不在G 的任一回路上。试证明之。
证 设e 是简单连通图G 的割边，其端点为ｕ,v 。删除边e 后，u,ｖ应在两个不同的连通分支中。若e 在Ｇ的一条回路上，那么删除边e 后，u,v 应仍在一条通路上,矛盾。故e 不在Ｇ的任一回路上。
反之，设e 不在G 的任一回路上,而e 不是简单连通图Ｇ的割边。那么G －{ｅ}仍是连通的,故还有u 到v 的一条通路,从而这条通路连同边e 构成G 中的一条回路，矛盾。因此边ｅ是简单连通图G 的割边
11、试用有向图描述下列问题的解：
某人m 带一条狗d,一只猫c 和一只兔子r 过河。m 每次游过河时只能带一只动物，而没人管理时，狗与兔子不能共处,猫和兔子也不能共处。问ｍ怎样把三个动物带过河去？
w
u 1 u k-2 u
k-1
u k
…
(提示：用结点代表状态，状态用序偶
解 描述上述问题的有向图如下：
12、有向图可以刻划一个系统的状态转换，例如用图8．21中的有向图可以描述识别01０*10序列的状态转换系统。其中Ｓ为初始状态,在此读入序列，然后依序列中符号转入后续状态(读到0进入Ｓ１，读到１进入S2,如此等等)。S ４表示读完序列010*１0应进入的最后状态，Ｓ5表示读完一个非01０*10序列应进入的最后状态。
试自行构作识别序列0１(10)*１0的有向图刻划的状态转换系统。 （上文中w *表示空字或重复任意多次w 所得的字。)
图8.2１
解 识别序列01（１０)*1０的有向图刻划的状态转换系统如下:
7．3欧拉图与哈密顿图为一。
S 0 S1 1 S2
1 S3 0 S4
<{d,r} , {m,c}>
<{c},{m,d,r}>< {m,c,r},{d} ><{r},{m,c,d}>
S3
0 1
S S1 S2
习题解答
练习7. 3
1、试作出四个图的图示,使第一个既为欧拉图又为哈密顿图；第二个是欧拉图而非哈密顿图；第三个是哈密顿图却非欧拉图；第四个既非欧拉图也非哈密顿图。
解（a）既为欧拉图又为哈密顿图；（b）是欧拉图而非哈密顿图;(c）是哈密顿图却非欧拉图;(d）既非欧拉图也非哈密顿图。
2、像第一题要求的那样对欧拉路径和哈密顿通路作出四个图。
解(ａ）既有欧拉路径又有哈密顿通路;（b)有欧拉路径而无哈密顿通路;(c)有哈密顿通路却无欧拉路径;（d)既无欧拉路径也无哈密顿通路。
3、问n为何种数值时,K n既是欧拉图又是哈密顿图。问k为何值时,k-正则图既是欧拉图又是哈密顿图。
解n为奇数时,Ｋn既是欧拉图又是哈密顿图。k为大于或等于ｎ/２的偶数时，k－正则图既是欧拉图又是哈密顿图。
４、证明：恰有两个奇数度顶点ｕ，v的无向图G是连通的，当且仅当在Ｇ上添加边（ｕ,v)后所得的图Ｇ*是连通的。
证必要性是显然的。
设G＊是恰有两个奇数度顶点ｕ，v的无向图G添加边（u，ｖ）后所得，且是连通的,那么图G*是一个欧拉图（每一个顶点都是偶数度的连通图),因此G*中删除边（ｕ,v)后所得的图G仍是连通的。
5、参阅练习8.１第2题。问马可否从某处出发完成所有可能的跳步一次且仅一次后回到原地。
解练习8.1第２题中的图不是欧拉图(它有三个3度的顶点），因此马不可能从某处出发完成所有可能的跳步一次且仅一次后回到原地。
6、参阅练习８．1第2题。问马可否从某处出发跳遍棋盘的所有方格一次且仅一次后回到原地。
解马可以从某处出发跳遍棋盘的所有方格一次且仅一次后回到原地。具体跳步如下图所示：
幻方中数字n表示第n个跳步的起点。下图则表示跳步的图示。
５26 35
23 62 51 １
2 25 3
４
1
５
3
８
1 36 2
７
6１22 9 52 33 ２
8
39 １
6
48 ７60 1 20 41 ５
4
29
5９4 45 8 ５
３
32 １
7
4
２
6 ４
７2 ５
7
44 19 ３
５
5
3 58 ５46 ３
1 ５
6
４
3
１
8
幻方
ｏｏo ｏｏo o ｏ
ｏo o ｏo o o ｏ
ｏｏo ｏｏｏo ｏ
ｏｏo ｏｏo ｏo
o o o ｏｏｏｏo
o ｏo ｏｏo o ｏ
o o o o o ｏｏo
o ｏo ｏo ｏo o
7、试计算K n(n≥３）中不同的哈密顿回路共有多少条。
解不同的哈密顿回路共有
2
)! 1
(-
n
条。可以用依次选取每一条边来生成哈密顿回路。因为组成回路的第一条边的选择可能是n 种，组成回路的第二条边的选择可能是ｎ–１种，…，组成回路的第n–1条边的选择可能是２种,组成回路的第n 条边的选择可
能是１种，而每一哈密顿回路由此生成两次，因此不同的哈密顿回路共有
2
)! 1
(-
n
条。
8、十一个学生在一张圆桌旁共进晚餐,要求在每次晚餐上每个学生的邻座都与其它各次晚餐的邻座不同。问这样共进晚餐能安排多少次。
解每次晚餐上每个学生的邻座都与其它各次晚餐的邻座不同的安排方式有
21
-
n
种(根
据定理8.1５。)
９、判别图8.3１中各图是否为哈密顿图,若不是,请说明理由,并回答它是否有哈密顿通路。
图8.３１
解(a)，（ｂ) 是为哈密顿图。（ｃ) 不是哈密顿图，也没有哈密顿通路。在图(c)中增加顶点ｋ ，并对其顶点做二着色，构成图（d)(如下）。图(d) 不是哈密顿图，也没有哈密顿通路。因为图中白色顶点比黑色顶点多两个。故(c) 不是哈密顿图，也没有哈密顿通路。否则它的哈密顿回路或哈密顿通路必定经过顶点k(ｋ在两个二度顶点之间的边上）,从而图(d) 也是哈密顿图,也有哈密顿通路，矛盾。
10、证明:对哈密顿图G =
证 设G1是Ｇ中的哈密顿回路，显然在Ｇ１中删除Ｓ(?V ）中的所有顶点后,所得图G 1’的连通分支数k1,不小于在G 中删除S （?V ）中的所有顶点后，所得图G ’的连通分支数k,即ｋ≤k1。
由于G １是一条回路，在Ｇ1中删除S(?V)中的所有顶点后,所得图G 1’的连通分支数k1不大于| Ｓ |是显然的,即k １≤| S |。因此
k ≤k1≤| Ｓ |
11、设G 为(ｎ,m ）图。证明：如果22
1+≥-n C m ，那么G 为哈密顿图（提示:运用定理
8.14）。
证 设G 中有两个顶点ｖ1和v2的度数之和不大于ｎ – １ ,那么以v １和v ２为端点的边不多于n – １条。而其余顶点之间的边的数目不多于
2
)
3)(2(--n n 条。故G 的总边数
m 满足
1
1)2)(1(21
)43(21
)6522(21
)
3)(2(21
12122+=+--=+-=+-+-=--+-≤-n C n n n n n n n n n n m 与22
1+≥-n C m 矛盾,故G 中任意两个顶点的度数之和大于n 。根据定理８.14，G 为哈密顿
图。
12、设有ｎ个围成一圈跳舞的孩子，每个孩子都至少与其中
2
n
个是朋友。试证明,总 可安排得使每个孩子的两边都是他的朋友。
证 设n 个孩子为n 个顶点，用边表示顶点间的朋友关系构成一个图G 。由于每个孩子都
至少与其中
2n 个是朋友，因此G 的每一顶点的度数至少是2
n
，从而G 的任何两个顶点的度数之和至少是n 。根据定理８.14,G 为哈密顿图。即G 有哈密顿回路，这表明,总可安排n 个
孩子围成一圈跳舞，使每个孩子的两边都是他的朋
7.４图的矩阵表示
习题解答
练习７.4
1、对图8．35给出的无向图Ｇ： （1）计算其关联矩阵A （Ｇ)。
(2）计算A(G)的秩,验证定理8．17。
解 （1)其关联矩阵A （G)为???
??
?
?
?
?
??????
????10001000011000110101
5
432
14
321v v v v v e e e e (２）由于子行列式????
?
??100011001非零,因此，Ａ（Ｇ）的秩为3 ＝ n – k = 5 – 2 。
v 1
e 1 v 4
e 3
２、对图８.36给出的有向图G:
(１)计算它的邻接矩阵A 及A 2,A 3,A 4，说出从v 1到v 4的长度为l ，2,3,４的拟路径各有多少条。
(2)计算A ○Ａι，A ι ○A,说出它们中第2,3分量及第4，4分量的意义。 (３）计算它的路径矩阵Ｂ及可达性矩阵Ｐ，并从P 说出G 的各强分图。
解（１） 它的邻接矩阵Ａ=???
??
?
?
?
?
?010101000000000
01100
01010 v 1到ｖ4的长度为1的拟路径各有1
条。
A 2=???
??
?
??
??111000101000000
1000011100
ｖ１到v 4的长度为２的拟路径各有1条。
A ３
＝???
??
?
??
??110101110000000
010******* v 1到v 4的长度为3的拟路径各有1条。
A 4=?????
??
? ?
?1
21101101000000
1110012110 ｖ1到ｖ4的长度为４的拟路径各有2条。 v 1 v 2
v
3
(2) A ○A ι＝???
?
??
??
??010101000000000
01100
01010???
???
??
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101201000000001002120012 A ι ○Ａ＝???
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A ○A ι中第２,3分量为0，表明没有两条边以v 2 ，v 3为起点而终止于同一终点;第4，4分
量为1,是v ４的出度。
A ι○Ａ中第2，3分量为0，表明没有两条边起始于同一顶点而以v 2 ,v 3为终点;第4，4分量为3,是v 4的入度。
（3）它的路径矩阵B=???????
? ??111101111000000
11110
11110 可达性矩阵P ＝???????
? ?
?1
1
1
101111000100
11110
11111 由P 看出各强分图的顶点集合分别是｛ｖ１}，{v 3｝，{v 2,v ４，ｖ5}
3、 如何利用邻接矩阵来识别它们对应的无向图是欧拉图？
解 利用邻接矩阵判断各顶点的度数是否为偶数。同时,利用邻接矩阵求出路径矩阵,用各矩阵分量是否均为1来判断无向图是否连通。
4、 ｎ个顶点的有向图G 是强连通的，说出G 的路径矩阵、可达性矩阵的特点。 解 G 的路径矩阵与可达性矩阵相同,它们的所有分量均为1。
5、设Ａ为不含环和平行边的有向图G 的邻接矩阵。证明：A 3的对角线元素)
3(ii a 表示经过顶点v i 的“三角形”的个数，即以v i 为一个顶点的G 的子图K 3的个数。
证 因为A 3的对角线元素)
3(ii a ,表示顶点ｖi 到顶点v i 长度为3的拟路径的条数,并且有向
a也是经过顶点ｖi的“三角形”的个数，即以v i为一个顶点的图G不含环和平行边,因此)3(
ii
Ｇ的子图Ｋ3的个数。
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ． 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 1．解：设P ：今天是天晴； 则 P ． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， 则 PQ ． 3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q ． 4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， 则 P Q ． 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作，
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能
数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、 数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型(除单项选择题外) 安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1 .命题公式P (Q P)的真值是T或1 ______ . 2?设P:他生病了，Q:他出差了. R:我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P V Q)-R 3. ____________________________________________________________ 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P Q的主析取范式是__________________ _(P Q R) (P Q R)_ 4. 设P(x): x是人，Q(x): x去上课，则命题“有人去上课.” 可符号化为— x(P(x) Q(x))_ 5. 设个体域D = {a, b},那么谓词公式xA(x) yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b))_ 6 .设个体域D = {1,2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(x)A(x)的真值为F 或0 ________________ . 7.谓词命题公式(x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为 ________ . 8 .谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x，y))中的约束变元为x _______ . 三、公式翻译题 1 .请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式
《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )
(1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的）
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________; (A)-(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是 _______________________________________,其中双射的是 __________________________. 4.已知命题公式G＝(PQ)∧R，则G的主析取范式是 _______________________________ __________________________________________________________. 6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB＝ _________________________;AB＝_________________________;A－B＝_____________________. 7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是 ______________________,________________________,__________________ _____________. 8.设命题公式G＝(P(QR))，则使公式G为真的解释有 __________________________， _____________________________,__________________________. 9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系 R 1={(1,4),(2,3),(3,2)},R 2 ={(2,1),(3,2),(4,3)},则
第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法： 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每
一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。 真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解：该公式的真值表如下： 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故
G恒真。 方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解：由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1，以及 ? (Q→P) ∧ P= ?（?Q∨ P）∧ P = Q∧? P∧ P=0 知，((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0，故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={
1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设
作业参考答案——10-特殊图 1.(a)(c)(d)是欧拉图，(a)(b)(c)(d)(e)可以一笔画，(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)是 哈密顿图。 2.根据给定条件建立一个无向图G=
数至少为2，而V2中的每个结点度数至多为2，从而它满足t条件t=1，因此存在从V1到V2的匹配，故可分配。 5.此平面图具有五个面，如下图所示。 a b c d e f g r1r2 r3 r4 r5 ?r1，边界为abca，D(r1)=3; ?r2，边界为acga，D(r2)=3; ?r3，边界为cegc，D(r3)=3; ?r4，边界为cdec，D(r4)=3; ?r5，边界为abcdefega，D(r5)=8;无限面 6.设该连通简单平面图的面数为r，由欧拉公式可得，6?12+r=2，所以 r=8，其8个面分别设为r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8。因是简单图，故每个面至少由3条边围成。只要有一个面是由多于3条边所围成的，那就有所有面的次数之和 8∑ i=1 D(r i)>3×8=24。但是，已知所有面的次数之和等于边数的两倍，即2×12=24。因此每个面只能由3条边围成。 2
《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________， _____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试
3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P
离散数学练习题 第一章 一．填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01；10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题，q, s 为假命题，则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01；10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式，B为重言式，则B A∨的类型为重言式 5．设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解：) ? ?，其中p: 7是无理数；或p，其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：其中 ?p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难，才能战胜困难。 解：p →，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 q? 或q →，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：) → ?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人，r: 困难解决了 p (q r→ 或：q ?) (，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：q p?，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5， q：旧金山是美国的首都， r：在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解：p, q 为假命题，r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r
国开放大学离散数学本离 散数学作业答案 The pony was revised in January 2021
离散数学集合论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业． 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、填空题
1．设集合{1,2,3},{1,2} ==，则P(A)-P(B )= {{1,2}，{2,3}，{1,3}， A B {1,2,3}} ，A B= {< 1,1>，<1,2>，<2，1>，<2，2>，<3，1>，<3， 2> } ． 2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ． 3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为 {< 2,2>，<2,3>，<>，<> } ．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} y x y x∈ ∈ < > = A , , 2 , y {B x 那么R－1＝ {< 6，3>，<8，4> } ． 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={