第五章相交线与平行线 1、两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角， 互为 _____________。 2、两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线， 具有这种关系的两个角，互为__________ 。对顶角的性质：___________________________________ 。3、两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______.垂线的性质：⑴过一点_____________________________ 一条直线与已知直线垂直。 ⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_____________________________________ 。 4、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做_______________________________________ 。 5、两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线 的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________ 。 6、在同一平面内，不相交的两条直线互相___________。 同一平面内的两条直线的位置关系只有________与 _________两种。 7、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线________________ 。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_______________________________ 。 8、平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成： ____________________________________ 。 ⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成： _________________________________________ 。 ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成： ________________________________________ 。 9、在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_________________ 。 10、平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成： __________________________________ 。⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________________________________ 。⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：____________________________________ 。
线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
平行线与相交线（1） 、知识概述 （一）从台球桌面上的角，弓I出有关角的概念1、两角互余、互补的概念及性质 （1）定义： 如果两个角的和是180° 那么这两个角互为补角.（如图）简称互补. 如果两个角的和是90°,那么这两个角互为余角.（如图）简称互余. 说明：①互余、互补是指两个角的关系 ②互补或互余的两个角，只与它们的和有关，而与其位置无关③用数学语言表述为: 若/a+ /3=180 °，则/a与互补；反之，若/a与互补，则/a+/B =180°. 若/a+/B =90。，则/a与/B互余；反之若/a与/B互余，则/a+ /3 =90 °. （2）性质: ①同角或等角的补角相等 ②同角或等角的余角相等2、对顶角的概念 （1）如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角 / 1和/ 3,/ 2和/ 4是对顶角. .如图中的
由对顶角的位置特点也可将其描述为: ①两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角叫做对顶角②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角 说明：只有两条直线相交时，才能产生对顶角，对顶角是成对出现的 ③对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线 （2）对顶角的性质：对顶角相等. （二）探索直线平行的条件 1、两条直线相交构成四个有公共顶点的角.一条直线与两条直线相交得八个角，简称“三线八角”，则 不共顶点的角的位置关系有同位角、内错角、同旁内角 如图所示，直线AB、CD被直线EF所截, 形成了 （1）同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角如/ 1 和/ 5,/ 3 和/ 7,/ 4 和/ 8,/ 2 和/ 6. （2）内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角例如/ 3和/ 5,/ 4和/ 6. （3）同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同旁内角.例如/ 4和/ 5,/ 3和/ 6. 2、两条直线平行的条件: 两条直线被第三条直线所截，如果 （1）同位角相等，两直线平行.（2）内错角相等，两直线平行.（3）同旁内角互补，两直线平行 二、重难点知识剖析 1、互为补角和互为邻补角的关系.互为补角是两个角的和为 它们的和为180。有关，又与位置有关，不要混淆. 180°,与它们的位置无关. 而互为邻补角既与 2、灵活运用互余、互补等知识点以及对顶角的性质列方程求解, 即学会用代数法解几何题的方法 3、证明两直线平行时，必须弄清所用条件中的同位角、内错角、同旁内角是哪两条直线被哪一条直线所截而
一、本章共分4大节共14个课时；（2.16～3.7第1、4周） 二、本章有四个数学基本事实 1.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 2.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直； 3.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行； 4.两直线平行，同位角相等. 三、本章共有19个概念 1.对顶角 2.邻补角 3.垂直 4.垂线 5.垂足 6. 垂线段7.点到直线的距离8.同位角9.内错角 10.同旁内角11.平行12.数学基本事实13.平行公理14.命题15.真命题16.假命题 17.定理18.证明19.平移 四、转化的数学思想 遇到新问题时，常常把它转化为已知（或已解决）的问题.P14 五、平移 1.找规律 2.转化求面积 3.作图 （2009年安徽中考）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加d cm ，如图所示．已知每个菱形图案的边长，其一个内角为60°． （1）若d ＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L ； 【解】 （2）当d ＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？ 【解】 第19题图
相交线与平行线知识点 5.1相交线 1、邻补角与对顶角 ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角. ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2、垂线 ⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 符号语言记作： 如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. 3、垂线的画法： ⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线. 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线； ②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上. 画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上， ⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上， A B C D O
浅谈电路（下）（代总复习） 第8章 相量法 1 复数的4种表示形式 2 复数的加减运算和乘除运算 3 正弦量的三要素：振幅（或有效值）、角频率（或频率或周期）、初相位。 4 正弦量的幅值表示了正弦量在整个振荡过程中的最大值，正弦量的相 位表示了正弦量随时间变化时所在的角度，正弦量的角频率表示了正弦量的相位随时间变化的角速度，正 弦量的初相角表示了正弦量在t=0时刻的相位。 5 角频率、频率和周期的关系。角频率、频率和周期的单位。最大 值和有效值的关系 6 正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同频正弦量的代数和等 运算，其结果仍然是一个同频率正弦量。 7 工程中使用的交流电气设备铭牌上标出的额定电流、额定电压的 数值，交流电压表、交流电流表显示的数字都是有效值。 8 相位差表示了两个同频正弦量之间的相位关系。同频正弦量的相 位差等于它们的初相之差，相位差是一个与时间无关的常数。 9 根据相位差的大小，两个同频正弦量之间有超前、滞后、同相、 反相、正交关系。 设有两个正弦量 当＞0时称为i超前于u 当＜0时称为i滞后于u 当＝0时称为i和u同相 当＝时称为i和u正交 当＝时称为i和u彼此反相 10 正弦量有四种表示方式：数学式两种 三角函数式、相量式 图形式两种 波形图、相量图 其中 用相量表示，对于正弦交流电路的分析与运算最为简便 11 只有同频率、同符号、同函数形式的两个正弦量才能求得相位 差。 12 相量法是分析研究正弦交流电路稳定状态的一种简单易行的方 法。
13 在稳定的正弦交流电路中，各处的电流电压都是同一频率的正弦 交流量，同频率的正弦量之间只存在振幅（或有效值）、初相位的差异和联系。 14 设有正弦量的瞬时表达式 其相量表示为（有效值相量） 或 （最大值相量） 15 稳定的正弦交流电路中，各正弦量都是同一频率的正弦量。正弦 量可以用复数表示，复数的模表示正弦量的有效值或最大值，复数的幅角表示正弦量的初相角。但是，正弦量不是复数，因为正弦量还有一个频率要素，在复数表示正弦量时没有表示正弦量的频率，所以用复数表示的正弦量称为正弦量的相量。 16 正弦量的相量有两种表示形式：用正弦量的振幅表示相量的模 时，称为正弦量的振幅相量；用正弦量的有效值表示相量的模时，称为正弦量的有效值相量。 17 在线性时不变正弦交流稳态电路中，可得到电路定律的相量形 式： KCL的相量形式为 Σ＝0 KVL的相量形式为 Σ＝0 电阻的VCR相量形式 ＝R 表示u、i 同相 电感的VCR相量形式 ＝jωL 表示u超前于i 电容的VCR相量形式 ＝表示u滞后于i 18 正弦交流电路相量法应用实例（P216例） 19 计算： （1） 正弦量时域形式与相量形式互换 （2） 由正弦量的时域形式求正弦量的三要素，由正弦量的相量形式求正弦量的最大值（有效值）和初相角 （3） 求两个同频正弦量的相位差 （4） 画简单电路的相量图 （5） 求串联、并联或串并联电路电压表的有效值，正弦量的相量和瞬时表达式（P218题10、14、15为例）
第一章平行线知识点整理 一、平行线 1、平行线的概念： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作________． 2、两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴______；⑵_______。 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们______；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线） 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线______； ②无公共点，则两直线______； ③两个或两个以上公共点，则两直线______（理由：________________） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，___且_____一条直线与这条直线平行 4、*平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相_______ 二、同位角、内错角和同旁内角 5、三线八角 两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了_______、________与__________。 如图，直线b a,被直线l所截 ①同位角（位置相同）有_____对， 分别是： ②内错角（位置在内且居截线两侧）有______对， 分别是： ③叫做同旁内角（位置在内且居截线同旁）有______对， 分别是： ④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“F”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。 6、如何判别三线八角 判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，也可用模型（FZU型）判断。 【例】1.∠1与∠B是直线____和直线____被直线_____所截而成的_________角; 2.∠2与∠A是直线____和直线____被直线_____所截而成的_________角; 3.∠3与∠B是直线____和直线____被直线_____所截而成的_________角; 思考：∠2与∠B是同位角、内错角还是同旁内角？为什么？【练】1．如右图，按各角的位置，下列判断错误的是（）（A）∠1与∠2是同旁内角（B）∠3与∠4是内错角 （C）∠5与∠6是同旁内角（D）∠5与∠8是同位角 2.下列4个图中，∠1与∠2不是同位角的是（） （B）（C ）（D） (A) 三、平行线的判定与性质 7、平行线的判定与性质 平行线的性质与判定是互逆的关系： 两直线平行 同位角相等； 两直线平行 内错角相等； 两直线平行同旁内角互补。 注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其 “数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。 (2)请同学们注意书写的顺序以及前因后果：平行线的判定是由角相等（互补），然后得出平行；平行线的判定是写 角相等（互补），然后写平行。 【例】在下面的解题过程的横线上填空，并在括号内注明理由． 如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE． 解：∵∠A=∠F（已知） ∴____∥_____（） ∴∠D=∠___（） 又∵∠C=∠D（已知） ∴∠____=∠C（） ∴BD∥CE（） 练习题 1.已知两个角的两边分别平行，其中一个角为52°，则另一个角为_______. 2．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（） A.同位角 B.同旁内角 C.内错角 D. 同位角或内错角 3.如右图，如果AB∥DE，∠B=30°，∠D=25°，则∠BCD的度数为( )． A.45° B.50° C. 55° D. 60° a b l 1 2 3 4 5 6 7 8 B E 1 2 3 4 5 67 8 第3题 第1页共2页
数电课程各章重点 第一、二章 逻辑代数基础知识要点 各种进制间的转换，逻辑函数的化简。 一、二进制、十进制、十六进制数之间的转换；二进制数的原码、反码和补码 .8421码 二、逻辑代数的三种基本运算以及5种复合运算的图形符号、表达式和真值表：与、或、非 三、逻辑代数的基本公式和常用公式、基本规则 逻辑代数的基本公式 逻辑代数常用公式： 吸收律：A AB A =+ 消去律：B A B A A +=+ A B A AB =+ 多余项定律：C A AB BC C A AB +=++ 反演定律：B A AB += B A B A ?=+ 基本规则：反演规则和对偶规则，例1-5 四、逻辑函数的三种表示方法及其互相转换 逻辑函数的三种表示方法为：真值表、函数式、逻辑图 会从这三种中任一种推出其它二种，详见例1-7 五、逻辑函数的最小项表示法：最小项的性质；例1-8 六、逻辑函数的化简：要求按步骤解答 1、 利用公式法对逻辑函数进行化简 2、 利用卡诺图对逻辑函数化简 3、 具有约束条件的逻辑函数化简 例1.1 利用公式法化简 BD C D A B A C B A ABCD F ++++=)( 解：BD C D A B A C B A ABCD F ++++=)( 例 利用卡诺图化简逻辑函数 ∑=)107653()(、、、、 m ABCD Y 约束条件为 ∑8)4210(、、、、 m 解：函数Y 的卡诺图如下：
第三章 门电路知识要点 各种门的符号，逻辑功能。 一、三极管开、关状态 1、饱和、截止条件：截止：T be V V <， 饱和：β CS BS B I I i => 2、反相器饱和、截止判断 二、基本门电路及其逻辑符号 与门、或非门、非门、与非门、OC 门、三态门、异或； 传输门、OC/OD 门及三态门的应用 三、门电路的外特性 1、输入端电阻特性：对TTL 门电路而言，输入端通过电阻接地或低电平时，由于输入电流流过该电阻，会在电阻上产生压降，当电阻大于开门电阻时，相当于逻辑高电平。 习题2-7 5、输出低电平负载电流I OL 6、扇出系数N O 一个门电路驱动同类门的最大数目 第四章 组合逻辑电路知识要点 组合逻辑电路的分析、设计，利用集成芯片实现逻辑函数。 （74138, 74151等） 一、组合逻辑电路：任意时刻的输出仅仅取决于该时刻的输入，与电路原来的状态无关 二、 组合逻辑电路的分析方法（按步骤解题） 三、 若干常用组合逻辑电路 译码器（74LS138） 全加器（真值表分析） 数据选择器（74151和74153） 四、 组合逻辑电路设计方法（按步骤解题） 1、 用门电路设计 2、 用译码器、数据选择器实现 例3.1 试设计一个三位多数表决电路
线性代数知识点总结 第二章 矩阵及其运算 第一节 矩阵 定义 由m n ?个数()1,2, ,;1,2, ,ij a i m j n ==排成的m 行n 列的数表 11121212221 2 n n m m mn a a a a a a a a a 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作111212122 211 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? ，简记为() ()m n ij ij m n A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。 说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 扩展 几种特殊的矩阵： 方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。 单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可 表示为E )（课本P29—P31） 注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。 第二节 矩阵的运算 矩阵的加法 设有两个m n ?矩阵()() ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +， 规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ? +++ ? += ? ? +++?? 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33） 矩阵加法的运算规律 ()1A B B A +=+； ()()()2A B C A B C ++=++
初一相交线与平行线所有知识点总结和常考题提高难题压轴题 练习(含答案解析) 知识点： 1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。 2、三线八角：对顶角（相等），邻补角（互补），同位角，内错角，同旁内角。 3、两条直线被第三条直线所截： 同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧） 内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧） 同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧） 4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。 5、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足 6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 7、垂线段最短。 8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 9、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c 10、平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。③同旁内角互补，两直线平行。 11、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 12、平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。 13、平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________ 14、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。
相交线与平行线知识点总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
相交线与平行线 一：相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交 （4）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．∠1和∠3， ∠2和∠4是对顶角. （5）邻补角：只有一条公共边，它们的 另一边互为反向延长线，具有这种关系 的两个角，互为邻补角． 如图：∠1和∠2，∠2和∠3是邻补角. （6）对顶角的性质：对顶角相等．（如图∠1＝∠3，∠2＝∠4） （7）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（如图∠1＋∠2＝180°） （8）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的。 二、垂线 （1）、垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 它们的交点叫做垂足． 如图，OD⊥AB，垂足为O （2）、垂线的性质 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以。 （3）、垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （4）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外 一点到这条直线所作的垂线段最短．它 是相对于这点与直线上其他各点的连线 而言． （如图，PA,PB,PC等线段中，PO最短） （4）、点到直线的距离（如图，PO的长） （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的 长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形， 也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或 求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 三、平行线 1、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行 和相交． （1）平行线的定义:在同一平面内,不相 交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b；读作：直线a平行于直线 b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相 交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． （3）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线 与这条直线平行． 如图，过点P只有直线a 与直线 b 平行 （4）平行公理中要准确理解“有且只 有”的含义．从作图的角度说，它是“能 但只能画出一条”的意思． （5）平行公理的推论：如果两条直线 都与第三条直线平行，那么这两条直线 也互相平行． 如图，如果a∥c，b∥c，那么a∥c 2、同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角 中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线 （截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 例如∠1和∠5，∠3和∠7，∠4和∠8，∠2和 ∠6. （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角 中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线 （截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．例如∠3 和∠5，∠4和∠6. （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角 中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线 （截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角。例如 ∠4和∠5，∠3和∠6. （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或 同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决 定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入 手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直 线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所 在的直线即为被截的线． 3、平行线的判定 （1）定理1：同位角相等，两直线平行． ∵∠1=∠2，∴a∥b（同位角相等，两直线平行） （2）定理2：内错角相等，两直线平行． ∵∠2=∠3，∴a∥b（内错角相等，两直 线平行） （3 ）定理3：同旁内角互补，两直线平 行． ∵∠2＋∠4=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两 直线平行） （4）定理4：两条直线都和第三条直线 平行，那么这两条直线平行． 如图，如果a∥c，b∥c，那么a∥c （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直 于同一条直线，那么这两条直线平行． 如图，如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b 4、平行线的性质 （1）、平行线性质定理 定理1：两直线平行，同位角相等． ∵ a∥b，∴∠1=∠2（两直线平行，同 位角相等） 定理2：简单说成：两直线平行，同旁内 角互补． ∵ a∥b，∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等） 定理3：简单说成：两直线平行，内错角相等．
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
一相交线与平行线 1.相交线 ?关键词：邻补角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角 ?性质：对顶角相等。 2.垂线 ?关键词：垂直、垂足、 ?定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。 ?性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短.该垂线段的长度称为点到直线的距离。 3.平行线 ?定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“//”表示。如图一，直线AB与CD是平行线，记作“AB//CD”，读作“AB平行于CD”．在同一个平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行． 图一 ?判定：1）同位角相等，两直线平行。 2）内错角相等，两直线平行。 3) 同旁内角互补，两直线平行。 4) 平行于同一直线的两直线平行。 5）垂直于同一直线的两直线平行。 ?性质：1)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 4.命题 ?定义：判断一件事情的语句，叫做命题． ?一般形态：1)“如果……，那么……．”
2)“若……，则……．” 3)“倘若……，那么……．” ?分类：1）正确的命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题． 2）如果题设成立，不能保证结论总是成立的命题． 5. 数学名词 ?定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理，如“内错角相等，两直线平行”、“两直线平行，内错角相等”等等． ?公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理，如“同位角相等，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”等． ?证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明． 二平面直角坐标系 1. 有序数对 ?定义：有顺序的两个数a与b组成的数对（a，b）叫做有序数对。 ?应用：找出平面上点的坐标。 2. 平面直角坐标系 ?平面直角坐标系：由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成。水平的数轴称为 X轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴。 ?用坐标表示地理位置： ?用坐标表示平移：1)一般地，在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右（或左）平移a
相交线与平行线知识点整理 摘要：注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果αβ∠∠与是对顶角，那么一 定有αβ∠=∠；反之如果αβ∠=∠，那么αβ∠∠与不一定是对顶角，⑶如果αβ∠∠与互为邻补角，则一定有180αβ∠+∠=?；反之如果180αβ∠+∠=?，则αβ∠∠与不一定是邻补角。⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 5.1相交线 1、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。 ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 2、垂线 ⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号语言记作： 如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 3、垂线的画法： ⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。 A B C D O
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
相交线和平行线知识点总结 在平面不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系：相交与平行。在初中，我们会更加深入地研究角度的关系。角度的关系和直线的位置关系密切相关。
相交线 一、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
相关测试： （1）若三条直线交于一点，则共有对顶角(平角除外)( ) A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 （2）下列各图中，1∠与2∠是对顶角的是( ) （3）直线AB 、CD 相交于点O ， ⑴如果100AOC BOD ∠+∠=o ，那么____AOD ∠=o ； ⑵如果BOC AOC ∠∠比 的2倍大30o ，那么___AOC ∠=o
两线垂直 ⑴定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号语言记作： 如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O ⑵垂线性质1：在同一平面，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) A B C D O
⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 相关测试： （1）如图，点O 是直线CD 上一点，AO OB ⊥，2AOD BOC ∠=∠，求BOC ∠的度数． （2）三角形ABC 中，90C ∠=o ，6AC =cm ,8BC =cm,10AB =cm.那么点B 到直线 AC 的距离是___________，A 、B 两点的距离是________. 如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别 ⑴垂线与垂线段
1、邻补角与对顶角 个角的位置关系有： （2）∠α与∠β是对顶角，那么一定有 ；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有 ；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。 ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有 个，而对顶角只有 个。 (4) 两直线相交形成的四个角中，共有 组邻补角， 组对顶角。 2、垂线 ⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号语言记作： 如图所示：记作： 垂足为 ⑵垂线性质1： ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称： 3、垂线的画法： ⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线。 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线； 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离。 5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别 ⑴垂线与垂线段 区别： 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。 ⑵两点间距离与点到直线的距离 区别： 联系：都是线段的长度； A B C D O
⑶线段与距离 区别 6、平行线的概念： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 。 7、两条直线的位置关系 ，两条直线的位置关系只有两种： 8、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过 一点， 一条直线与这条直线平行 9、平行公理的推论： 如果 那么这两条直线也互相平行 如左图所示，∵b ∥a ，c ∥a ∴b ∥c 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线 都平行。 10、三线八角 两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。 如图，直线b a ,被直线l 所截，沿被截线线方向看去 ①∠1与∠5在截线l 的 ，同在被截直线 b a ,的 叫做同位角（位置相同） ②∠5与∠3在截线l 的 ，在被截直线b a ,之间（内），叫做内错角； ③∠5与∠4在截线l 的 ，在被截直线b a ,之间（内），叫做同旁内角。 ④三线八角也可以从模型中看出。同位角是“ ”型；内错角是“ ”型；同旁内角是“ ”型。 11、如何找截线和被截线？ 通常，截线就是2个角的 ，被截线就是2个角 。 12.两直线平行的判定方法 方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称： 方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称： 方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称： a b c a b l 1 2 3 4 5 6 7 8
4 2 3 1 A B 《相交线与平行线》知识点总结 一：相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交 （4）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．∠1和∠3，∠2和∠4是对顶角. （5）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图：∠1和∠2，∠2和∠3是邻补角. （6）对顶角的性质：对顶角相等．（如图∠1＝∠3，∠2＝∠4） （7）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （如图∠1＋∠2＝180°） （8）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的。 二、垂线 （1）、垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 如图，OD ⊥AB ，垂足为O （2）、垂线的性质 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以。 （3）、垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （4）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （如图，PA,PB,PC 等线段中，PO 最短） （4）、点到直线的距离（如图，PO 的长） （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一 个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线 段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 三、平行线 1、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交． （1）平行线的定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线． 记作：a ∥b ； 读作：直线a 平行于直线b ． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． （3）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 如图，过点P 只有直线a 与直线 b 平行 （4）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （5）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 如图，如果a ∥c ，b ∥c ，那么a ∥c 2、同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 例如∠1和∠5，∠3和∠7，∠4和 ∠8，∠2和∠6. （2）内错角：两条直线被第三条直线所 截形成的角中，若两个角都在两直线的之 间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．例如∠3和∠5，∠4和∠6. （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角。 例如∠4和∠5，∠3和∠6. （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线． 3、平行线的判定 （1）定理1：同位角相等，两直线平行． ∵ ∠1=∠2， ∴a ∥b （同位角相等，两直线平行） （2）定理2：内错角相等，两直线平行． ∵ ∠2=∠3，∴a ∥b （内错角相等，两直线平行） （3 ）定理3：同旁内角互补，两直线平行． ∵ ∠2＋∠4=180°，∴a ∥b （同旁内角互补，两直线平行） （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 如图，如果a ∥c ，b ∥c ，那么a ∥c （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 如图，如果a ⊥c ，b ⊥c ，那么a ∥b 4、 平行线的性质 （1）、平行线性质定理 定理1：两直线平行，同位角相等． ∵ a ∥b ，∴ ∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） 定理2：简单说成：两直线平行，同旁内角互补． ∵ a ∥b ，∴ ∠2=∠3（两直线平行，内错角相等） 定理3：简单说成：两直线平行，内错角相等． ∵ a ∥b ，∴ ∠2＋∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补） （2）、两条平行线之间的距离处处相等 （3）、平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）、平行线之间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 四、平移 1、 平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动， 这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2、 平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一 致，并且移动的距离相等． 3、 确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的 方向和距离 4、平移的性质 （1）平移的条件： 平移的方向、平移的距离 （2）平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。 ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。 A B O C A B C D