导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题
含参数导数问题的分类讨论问题
1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★已知函数ax x a x x f 2)2(2
131)(23++-=（a>0）,求函数的单调区间
)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a x
a
x x f ln )2(2)(+--
=（a>0）求函数的单调区间 2
2
2)
)(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-=' ★★★例3已知函数()()22
21
1
ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()
2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()()
2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。
（Ⅱ）由于0a ≠，所以()()
1
2)1(222+-+='x x a x f ,由
()'0f x =，得121
,x x a a
=-=。这两个实根都在定
()()()()()()
2
2
'
2222
122122111a x a x a x x ax a a f x x x ?
?--+ ?+--+??==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。 (1)当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ?
?
-∞-
???
，(),a +∞内为减函数， 在区间1,a a ??
-
???
为增函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值
21f a a ??
-=- ???
； 函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。
（1） 当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1
(+∞-a
内为增函数，在区间
)1,(a a -为减函数。故函数()f x 在11
x a
=-处取得极小值
21f a a ??
-=- ???
；函数
()f x 在
2x a =处取得极大值()1f a =。
以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点
的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。
★★★(区间确定零点不确定的典例)
例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）
的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为（12-x ）2
万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）.
解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2
,x ∈［9,11］.
(2)L ′(x)=(12-x)2
-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x).
令L ′=0得x=6+32
a 或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a ≤5,∴8≤6+3
2a ≤
3
28. 在x=6+3
2
a 两侧L ′的值由正变负.
所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a ＜2
9
时，
L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)2
=9(6-a). ②当9≤6+3
2a ≤
328即2
9
≤a ≤5时， L max =L(6+32a)=(6+32a-3-a)［12-(6+32a)］2=4(3-31a)3.所以Q(a)=???
?
??
?
≤≤-<
≤-.52
9
,
)313(4,2
9
3),6(93a a a a
答 若3≤a ＜2
9，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a)（万元）；若2
9≤a ≤5，则当每件售价为(6+3
2a)元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q(a)=4（3-3
1a ）3
(万元).
★★★★（导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例）
例2、已知()()2,ln 2
3
+-+==x ax x x g x x x f
(Ⅰ).求函数()x f 的单调区间;
(Ⅱ).求函数()x f 在[]()02,>+t t t 上的最小值;
(Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围. 解：(Ⅰ)(),10,0,1ln )('
'
e
x x f
x x f <<<+=解得令 ();1,0??
?
?
?∴e x f 的单调递减区间是
(),1
,0'e x x f >>解得令），，
的单调递增是（∞+e x f )(
(Ⅱ)(ⅰ)0 e 1，t 无解； (ⅱ)0 1 时，e e f x f 1)1()(min -==； )(x L y x 12 9 )(x L ' X=12 3218a x += (ⅲ) e 12+<≤t t ，即e t 1 ≥时，单调递增在]2,[)(+t t x f ，tlnt )t ()(min ==f x f ……9分 e t e t x f 1 10tlnt e 1-)(min ≥< (Ⅲ)由题意:2123ln 22 +-+≤ax x x x 在()+∞∈,0x 上恒成立,即123ln 22++≤ax x x x 可得x x x a 2123ln -- ≥（分离参数）,设()x x x x h 21 23ln - -=, 则()()()2 2' 213121231x x x x x x h +-- =+-=……12分 令()0'=x h ,得3 1 ,1-==x x (舍) 当10< ∴当1=x 时,()x h 取得最大值, ()x h max =-2……13分.2-≥∴a . 二．求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。(用导数解决函数问题若求导后研究函数的导数问题时能 转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数大于零、等于零、小于零分类；再按在二次项的系数不等于零时对判别式按△＞0、△=0、△＜0；在△＞0时，求导函数的零点再根据零点是否在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。) ★1 已知函数 x a x x a x f )1(2 13 )(23-+-=，求函数的单调区间 )1)(1()1()(2a ax x a x ax x f +--=-+-=' ★★例2 已知函数2 2 ln )1()(x a x a x f ++=（a>0）,求函数的单调区间 x a ax x x a x ax x f ) 1)(1()1()(2+--= -+-= ' ★★★例3 已知a 是实数，函数( ))f x x a =- （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。 （i ）写出()g a 的表达式； （ii ）求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-。 解：（Ⅰ）函数的定义域为[)0,+∞，( ))' 30a x f x x ? ?- ? ===>，由'()0f x = 得3 a x = 。考虑3a 是否落在导函数'()f x 的定义域()0,+∞内，需对参数a 的取值分0a ≤及0a >两 种情况进行讨论。 （1） 当0a ≤时，则' ()0f x >在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为[)0,+∞。 （2） 当0a >时，由' ()0f x >，得3a x > ；由' ()0f x <，得03 a x <<。 因此，当0a >时，()f x 的单调递减区间为0,3a ??????，()f x 的单调递增区间为,3 a ??+∞???? 。 （Ⅱ）（i ）由第（Ⅰ）问的结论可知： （1） 当0a ≤时，()f x 在[)0,+∞上单调递增，从而()f x 在[]0,2上单调递增，所以 ()()00g a f ==。 （2） 当0a >时，()f x 在0,3a ??????上单调递减，在,3a ??+∞???? 上单调递增，所以： ② 当 ()0,23a ∈，即06a <<时，()f x 在0,3a ??????上单调递减，在,23a ?? ???? 上单调递增， 所以( )3a g a f ?? == ? ?? 932a a -=。 ③ 当 [)2,3 a ∈+∞，即6a ≥时，()f x 在[]0,2上单调递减，所以()( ))22g a f a =-。 综上所述，( ))0,06 2,~6a g a a a a ?≤? ?=< ，由62-≤≤-解得36a ≤<； ④ 若6a ≥ ，由)622a -≤-≤- 解得62a ≤≤+。 综上所述，a 的取值范围为32a ≤≤+ 三.求导后，因导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式）不确定，而引起的讨论。 ★例1已知函数x ax x f +=22 1)( 求函数的单调区间 1)(+='ax x f ★★例2已知函数ax x x f -=ln )(求函数的单调区间 a x x f -= '1 )( x ax x f 1)(+-=' ★★★例3 设k R ∈ ，函数1 ,11(),()(),1x x f x F x f x kx x R x ? -==-∈??≥? ， 试讨论函数()F x 的单调性。 解：∵1 ,11(),()(),1x x f x F x f x kx x R x ? -==-∈??≥? ()( )2 2 11,11,1,11()(),'(),11k x x kx x x x F x f x kx F x kx x x ?--?? 。 考虑导函数'()0F x =是否有实根，从而需要对参数k 的取值进行讨论。 （一）若1x <，则() () 2 2 11'()1k x F x x --= -。由于当0k ≤时，'()0F x =无实根，而当0k >时， '()0F x =有实根， 因此，对参数k 分0k ≤和0k >两种情况讨论。 （1） 当0k ≤时，'()0F x ≥在(,1)-∞上恒成立，所以函数()F x 在(,1)-∞上为增函数； （2） 当0k >时，() ( ) () 2 2 21111'()11k x x k x F x x x ??????---+???? --??????= =--。 由'()0F x = ，得121,1x x ?? == ? ? ，因为0k >，所以121x x <<。 由'()0F x > ，得11x <<；由'()0F x < ，得1x <-。 因此，当0k >时，函数()F x 在(,1-∞ 上为减函数，在(1上为增函数。 （二）若1x > ，则'()F x =。由于当0k ≥时，'()0F x =无实根，而当0k <时， '()0F x =有实根，因此，对参数k 分0k ≥和0k <两种情况讨论。 （1） 当0k ≥时，'()0F x <在[)1,+∞上恒成立，所以函数()F x 在[)1,+∞上为减函数； （2） 当0k < 时，1'()k F x ?-?==。 由'()0F x >，得2114x k >+ ；由'()0 F x <，得2 1 114x k <<+。 因此，当0k <时，函数()F x 在211,14k ? ?+????上为减函数，在211,4k ?? ++∞???? 上为增函数。 综上所述： （1） 当0k >时，函数()F x 在(,1-∞ 上为减函数，在(1上为增函数，在[)1,+∞上为减函数。 （2） 当0k =时，函数()F x 在(,1)-∞上为增函数，在[)1,+∞上为减函数。 （3） 当0k <时，函数()F x 在(,1)-∞上为增函数，在211,14k ??+ ????上为减函数，在211,4k ?? ++∞???? 上为增函数。 ★★★★ 19．设a ＞0,讨论函数f （x ）=lnx+a （1-a ）x 2 -2（1-a ）x 的单调性。 解：函数()f x 的定义域为(0,).+∞22(1)2(1)1(),a a x a x f x x ---+'= 当2 12(1)10a a x ≠--+=时,方程2a(1-a)x 的判别式112(1).3a a ???=-- ??? ①当1 0,0,()3 a f x '<< ?>时有两个零点， 1211 0,22x x a a ≠ ->=+ （1） 且当12120,()0,()(0,)(,)x x x x f x f x x x '<<>>+∞或时在与内为增函数； 当1212,()0,()(,)x x x f x f x x x '<<<时在内为减函数； ②当 1 1,0,()0,()(0,)3 a f x f x '≤ ③当1 1,()0(0),()(0,)a f x x f x x '==>>+∞时在内为增函数； ④当 1>a 时0>?，)1(2)1)(13(211a a a a a x ----= ) 1(2)1)(13(211a a a a a x ---+= 由2222 2 )1(4)1)(13(41)1(2)13)(1(21a a a a a a a a a a ----=??? ? ??----??? ??)1(4134122a a a a --+=)1(41312a a a a --+-=0)1(422<-=a a a )1(2)1)(13(211a a a a a x ----= >0 ) 1(2)1)(13(211a a a a a x ---+=<0 所以在定义域(0，+∞)内有唯一零点1x ， 且当110,()0,()(0,)x x f x f x x '<<>时在内为增函数；当1x x >时，1()0,()(,)f x f x x '<+∞在内为减函数。 ()f x 的单调区间如下表： （ 其 中 1211 22x x a a = =+ ） 因函数的零点的个数不确定而引起的讨论。 例．已知函数f(x)=1n x ，g(x)= a x +2 2 1(a 为常数)，若直线l 与y=f(x)和y=g(x)的图象都相切，且l 与y=f(x)的图象相切于定点P （1，f （1））． （1）求直线l 的方程及a 的值； （2）当k∈R 时，讨论关于x 的方程f(x 2 +1)-g(x)=k 的实数解的个数． 解：（1）∵f′(x)= x 1 ，∴f（1）=1 ∴k 1=1,又切点为P （1，f （1），即（1，0）∴l 的解析式为y=x-1， y=x-1 ∵l 与y=g(x)相切， 由 y= a x +2 2 1,消去y 得x 2-2x+2a+2=0,∴△=（-2）2-4（2a+2）=0，得a=-21 （2）令h （x ）=f(x 22 +1)2 1212+-x 1 03a << 113 a ≤≤ 1a > 1(0,)x 12(,)x x 2(,)x +∞ (0,)+∞ 1(0,)x 1(,)x +∞ ∵h′(x)= 212x x +-x=-2 1) 1)(1(x x x x ++-，则 ) (101x h ，x x '<<-<时或-1＜x ＜0或x ＞1时， 故x=±1时，h （x ）取极大值1n2， x=0时，h （x ）取极小值 2 1 。 因此当 k∈（1n2，+∞），原方程一解；当k=1n2时，原方程有两解；当2 1 ＜k ＜1n2时，原方程有四解；当k= 21时，原方程有三解；当k ＜2 1 时，原方程有两解 5.求参数的范围时由于不能分离出参数而引起的对参数进行的讨论 例1：（此为不能分离出参数a 的例题）已知322 ()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）．当0a > 时，若对 []0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 解：因为f(x)=x 3-6ax 2+9a 2x ，x 3-6ax 2+9a 2x-4≤0 所以f'(x)=3x 2-12ax+9a 2 =（3x-3a ）(x －3a), 在()a ,∞-上()x f '>0()x f 是增函数，在()a a 3,上()x f '<0()x f 是减函数，在()+∞,3a 上()x f '>0()x f 是增 函数。所以函数在x=a 时，()()a f x f =极大，所以函数在x=a 时，()()a f x f 3=极小 因对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立， 求实数a 的取值范围.极值点 指定区间端点位置关系不确定引起讨论。讨论如下： ∵a>0 ①当两个极值点都在指定区间[]3,0内时。即0<3a ≤3，也就是0 在()a ,0上()x f '>0()x f 是增函数，在()a a 3,上()x f '<0()x f 是减函数，在(),3a 上()x f '>0()x f 是增函数。所以函数在x=a 时，()()a f x f =极大，所以函数在x=a 时，()()a f x f 3=极小 ()()(){} 3,max max f a f x f = ()()(){}a f f x f 3,0min min = []0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立， 等价于()()?????≤-≤-≤<0430410f a f a ? ?? ??≤-+-≤-+-≤<0427542704961 02333a a a a a a 解得??? ? ????? +≤≤-≤≤<93219321110a a a 即0 ②当两个极值点有一个在指定区间[]3,0内时。即03时，也就是10时为什么分为0 在()a ,0上()x f '>0()x f 是增函数，在](3,a 上()x f '<0()x f 是减函数， 所以函数在x=a 时，()()a f x f =极大， ()()a f x f =max ()()(){}3,0min min f f x f = []0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，等价于()?? ?≤-≤<0 431a f a 解得93