第十一章 无穷级数
教学目的：
1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。
3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。
9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ：
1、级数的基本性质及收敛的必要条件。
2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；
3、交错级数的莱布尼茨判别法；
4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；
5、,sin ,cos x
e x x ，ln(1)x +和(1)a α
+的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点：
1、比较判别法的极限形式；
2、莱布尼茨判别法；
3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；
4、函数项级数的收敛域及和函数；
5、泰勒级数；
6、傅里叶级数的狄利克雷定理。
§11. 1 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 常数项级数: 给定一个数列 u 1, u 2, u 3, ? ? ?, u n , ? ? ?, 则由这数列构成的表达式 u 1 + u 2 + u 3 + ? ? ?+ u n + ? ? ?
叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为∑∞
=1
n n u ,
即 3211
???++???+++=∑∞
=n n n u u u u u , 其中第n 项u n 叫做级数的一般项.
级数的部分和: 作级数∑∞=1
n n u 的前n 项和n n i i n u u u u u s +???+++==∑= 3211
称为级数∑∞
=1
n n u 的部分和.
级数敛散性定义: 如果级数∑∞
=1
n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞
→lim ,
则称无穷级数∑∞
=1
n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和,
并写成
3211
???++???+++==∑∞
=n n n u u u u u s ;
如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞
=1
n n u 发散.
余项: 当级数∑∞=1
n n u 收敛时, 其部分和s n 是级数∑∞=1
n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值
r n =s -s n =u n +1+u n +2+ ? ? ?叫做级数∑∞
=1
n n u 的余项.
例1 讨论等比级数(几何级数)
20???++???+++=∑∞
=n n n aq aq aq a aq
的敛散性, 其中a ≠0, q 叫做级数的公比. 解 如果q ≠1, 则部分和 q
aq q a q aq a aq
aq aq a s n n n n ---=--=+???+++=-111 1
2
. 当|q |<1时, 因为q a s n n -=∞
→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞
=0
收敛, 其和为q a
-1.
当|q |>1时, 因为∞=∞
→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞
=0
发散.
如果|q |=1, 则当q =1时, s n =na →∞, 因此级数n n aq ∑∞
=0
发散;
当q =-1时, 级数n n aq ∑∞
=0
成为
a -a +a -a + ? ? ?,
时|q |=1时, 因为s n 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零, 所以s n 的极限不存在, 从而这时级数n n aq ∑∞
=0也发散.
综上所述, 如果|q |<1, 则级数n
n aq ∑∞
=0收敛, 其和为q a
-1; 如果|q |≥1, 则级数n n aq ∑∞
=0
发散.
仅当|q |<1时, 几何级数n n aq ∑∞
=0
a ≠0)收敛, 其和为
q
a
-1.
例2 证明级数 1+2+3+? ? ?+n +? ? ? 是发散的. 证 此级数的部分和为 2
)1( 321+=
+???+++=n n n s n .
显然, ∞=∞
→n n s lim , 因此所给级数是发散的.
例3 判别无穷级数 )
1(1 431321211???+++???+?+?+?n n 的收敛性. 解 由于 1
11)1(1+-=+=n n n n u n ,
因此 )
1(1 431321211++???+?+?+?=
n n s n 1
1
1)111( )3121()21
1(+-
=+-+???+-+-=n n n 从而
1)1
1
1(lim lim =+-
=∞
→∞
→n s n n n , 所以这级数收敛, 它的和是1. 二、收敛级数的基本性质
性质1 如果级数∑∞=1
n n u 收敛于和s , 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数∑∞=1
n n ku 也收
敛, 且其和为ks . (如果级数∑∞=1
n n u 收敛于和s , 则级数∑∞=1
n n ku 也收敛, 且其和为ks . )
这是因为, 设∑∞=1
n n u 与∑∞=1
n n ku 的部分和分别为s n 与σn , 则
) (lim lim 21n n n n ku ku ku ???++=∞
→∞
→σks s k u u u k n n n n ==???++=∞
→∞
→lim ) (lim 21.
这表明级数∑∞
=1
n n ku 收敛, 且和为ks .
性质2 如果级数∑∞=1
n n u 、∑∞=1
n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1
n n n v u ±∑∞
=也收敛, 且其和为
s ±σ.
这是因为, 如果∑∞
=1
n n u 、∑∞
=1
n n v 、)(1
n n n v u ±∑∞
=的部分和分别为s n 、σn 、τn , 则
)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+???+±+±=∞
→∞
→τ
)] () [(lim 2121n n n v v v u u u +???++±+???++=∞
→
σσ±=±=∞
→s s n n n )(lim .
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数
)
1(1 431321211???+++???+?+?+?n n 是收敛的, 级数 )
1(1
43132121110000???+++???+?+?+?+
n n 也是收敛的, 级数
)
1(1
541431???+++???+?+?n n 也是收敛的. 性质4 如果级数∑∞
=1
n n u 收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不
变.
应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数
(1-1)+(1-1) +? ? ?收敛于零, 但级数1-1+1-1+? ? ?却是发散的. 推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 级数收敛的必要条件:
性质5 如果∑∞
=1
n n u 收敛, 则它的一般项u n 趋于零, 即0lim 0
=→n n u .
（性质5的等价命题：若0
lim 0n n u →≠，则级数∑∞
=1
n n u 发散 ）
证 设级数∑∞
=1
n n u 的部分和为s n , 且s s n n =∞
→lim , 则
0lim lim )(lim lim 110
=-=-=-=-∞
→∞
→-∞
→→s s s s s s u n n n n n n n n n .
应注意的问题: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例4 证明调和级数 1
3121111???++???+++=∑
∞
=n n
n 是发散的.
证 假若级数∑
∞
=1
1
n n 收敛且其和为s , s n 是它的部分和. 显然有s s n n =∞
→lim 及s s n n =∞
→2lim . 于是0)(lim 2=-∞
→n n n s s .
但另一方面, 2
121 212121 21112=+???++>+???++++=
-n n n n n n s s n n , 故0)(lim 2≠-∞
→n n n s s , 矛盾. 这矛盾说明级数∑
∞
=1
1
n n 必定发散.
§11. 2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法
正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数.
定理1 正项级数∑∞
=1
n n u 收敛的充分必要条件它的部分和数列{s n }有界.
定理2(比较审敛法)设∑∞=1
n n u 和∑∞=1
n n v 都是正项级数, 且u n ≤v n (n =1, 2, ? ? ? ). 若级数∑∞=1
n n v 收
敛, 则级数∑∞=1
n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞=1
n n u 发散, 则级数∑∞=1
n n v 发散.
证 设级数∑∞=1
n n v 收敛于和σ, 则级数∑∞
=1
n n u 的部分和
s n =u 1+u 2+ ? ? ? +u n ≤v 1+ v 2+ ? ? ? +v n ≤σ (n =1, 2, ? ? ?),
即部分和数列{s n }有界, 由定理1知级数∑∞
=1
n n u 收敛.
反之, 设级数∑∞=1
n n u 发散, 则级数∑∞=1
n n v 必发散. 因为若级数
∑∞=1
n n v 收敛, 由上已证明的结论, 将有级数∑∞=1
n n u 也收敛, 与假设矛盾.
推论 设∑∞=1
n n u 和∑∞=1
n n v 都是正项级数, 如果级数∑∞=1
n n v 收敛, 且存在自然数N , 使当n ≥N 时
有u n ≤kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1
n n u 收敛; 如果级数∑∞=1
n n v 发散, 且当n ≥N 时有u n ≥kv n (k >0)成立,
则级数∑∞
=1
n n u 发散.
例1 讨论p -级数
1 413121111
???++???++++=∑
∞
=p p p p p n n
n
的收敛性, 其中常数p >0.
解 设p ≤1. 这时n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n 发散, 由比较审敛法知, 当p ≤1时级数p
n n 11∑∞
=发散.
设p >1. 此时有
]1
)1(1[111111111-------=≤=??p p n n p n n p p n
n p dx x dx n n (n =2, 3, ? ? ?). 对于级数]1
)1(1[
1
12
--∞
=--∑p p n n
n , 其部分和 1
11
11
1
)
1(1
1])1(11[ ]3
1
21[]211[------+-=+-
+???+-
+-
=p p p p p p n n n n s . 因为1])
1(1
1[lim lim 1
=+-
=-∞
→∞
→p n n n n s . 所以级数]1)1(1[1
12--∞
=--∑p p n n n 收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数p n n
1
1∑∞
=当p >1时收敛.
综上所述, p -级数p n n 1
1
∑
∞
=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散. 例2 证明级数∑
∞
=+1
)
1(1
n n n 是发散的.
证 因为
1
1
)1(1)
1(12
+=
+>
+n n n n , 而级数 1
1 3121111
???+++???++=+∑
∞
=n n n 是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.
定理3 (比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1
n n u 和∑∞=1
n n v 都是正项级数,
(1)如果l v u n n n =∞
→lim
(0≤l <+∞), 且级数∑∞=1
n n v 收敛, 则级数∑∞=1
n n u 收敛;
(2)如果+∞=>=∞
→∞
→n
n n n
n n v u l v u lim
0lim
或, 且级数∑∞=1
n n v 发散, 则级数∑∞=1
n n u 发散.
例3 判别级数∑∞
=1
1sin n n
的收敛性.
解 因为111
sin
lim
=∞
→n
n n , 而级数∑∞
=11n n
发散,
根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞
=1
1
sin
n n
发散. 例4 判别级数∑∞
=+
1
2
)1
1ln(n n 的收敛性. 解 因为11)11ln(lim
22
=+
∞
→n
n n , 而级数211n
n ∑∞=收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞
=+
1
2
)1
1ln(n n 收敛. 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)设∑∞
=1
n n u 为正项级数, 如果
ρ=+∞
→n
n n u u 1lim
,
则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞
→n
n n u u 1lim
)时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发
散.
例5 证明级数 )
1( 3211
3211211111???+-?????+???+??+?++n 是收敛的. 解 因为101
lim
321)1( 321lim
lim
1<==?????-?????=∞
→∞
→+∞
→n
n
n u u n n n
n n , 根据比值审敛法可知所给级数收敛.
例6 判别级数 10
!
10
32110
2110
132???++???+??+?+n
n 的收敛性. 解 因为∞=+=?+=∞→+∞→+∞
→101
lim ! 1010
)!1(lim lim
1
1n n n u u n n n n n
n n , 根据比值审敛法可知所给级数发散. 例7 判别级数∑
∞
∞
→?-n n n 2)12(1
的收敛性.
解 1)
22()12(2)12(lim
lim
1=+?+?-=∞→+∞
→n n n
n u u n n
n n .
这时ρ=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.
因为212)12(1n n n
n
n ∑∞
=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 定理5 (根值审敛法, 柯西判别法)
设∑∞
=1n n u 是正项级数, 如果它的一般项u n 的n 次根的极限等于ρ:
ρ=∞
→n
n n u lim
,
则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞
→n
n n u lim
)时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也
可能发散. 例8 证明级数 1
3121132???++???+++
n n
是收敛的.
并估计以级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差. 解 因为01lim 1lim
lim
===∞→∞
→∞
→n
n u n n
n n n
n n , 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.
以这级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差为 )
3(1
)2(1)1(1||3
21???++++++=+++n n n n n n n r )1(1
)1(1)1(1321???++++++<+++n n n n n n +
n
n n )1(1
+=
.
例6判定级数∑
∞
=-+1
2)1(2n n
n
的收敛性.
解 因为 21
)1(22
1lim
lim
=-+=∞→∞
→n n n n
n n u ,
所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛.
定理6 (极限审敛法) 设∑∞
=1n n u 为正项级数,
(1)如果)lim (0lim +∞=>=∞
→∞
→n n n n nu l nu 或, 则级数∑∞
=1n n u 发散;
(2)如果p >1, 而)0( lim +∞<≤=∞
→l l u n n p n , 则级数∑∞
=1
n n u 收敛.
例7 判定级数∑∞
=+
1
2)1
1ln(n n
的收敛性. 解 因为)(1~)11ln(2
2∞→+
n n n , 故 11lim )11ln(lim lim 22222=?=+
=∞→∞
→∞
→n
n n n u n n n n n ,
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
例8 判定级数)cos
1(11
n
n n π
-+∑∞
=的收敛性.
解 因为 2
22
2
3232
1)(211lim )cos
1(1lim
lim
πππ=?+=-+=∞
→∞
→∞
→n n n n n
n n u
n n n n
n , 根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
二、交错级数及其审敛法
交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为∑∞
=--11)1(n n n u , 其中0>n u .
例如, 1)
1(1
1
∑∞
=--n n n 是交错级数, 但 cos 1)1(1
1
∑∞
=---n n n n π
不是交错级数. 定理6（莱布尼茨定理）
如果交错级数∑∞
=--11)1(n n n u 满足条件:
(1)u n ≥u n +1 (n =1, 2, 3, ? ? ?); (2)0lim =∞
→n n u ,
则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1. 简要证明: 设前n 项部分和为s n .
由s 2n =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)+ ? ? ? +(u 2n 1-u 2n ), 及 s 2n =u 1-(u 2-u 3)+(u 4-u 5)+ ? ? ? +(u 2n -2-u 2n -1)-u 2n 看出数列{s 2n }单调增加且有界(s 2n
设s 2n →s (n →∞), 则也有s 2n +1=s 2n +u 2n +1→s (n →∞), 所以s n →s (n →∞). 从而级数是收敛的, 且s n
因为 |r n |=u n +1-u n +2+? ? ?也是收敛的交错级数, 所以|r n |≤u n +1. 例9 证明级数 1
)1(11∑∞
=--n n n
收敛, 并估计和及余项.
证 这是一个交错级数. 因为此级数满足
(1)11
11+=+>=n n u n n
u (n =1, 2,? ? ?), (2)01lim lim ==∞
→∞
→n
u n n n ,
由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s
1||1+=≤+n u r n n .
三、绝对收敛与条件收敛: 绝对收敛与条件收敛:
若级数∑∞=1
||n n u 收敛, 则称级数∑∞=1
n n u 绝对收敛; 若级数∑∞=1
n n u
收敛, 而级数∑∞=1
||n n u 发散, 则称级∑∞=1
n n u 条件收敛.
例10 级数∑∞
=--1
2
1
1)
1(n n n 是绝对收敛的, 而级数∑∞
=--1
11)1(n n n 是条件收敛的. 定理7 如果级数∑∞=1
n n u 绝对收敛, 则级数∑∞=1
n n u 必定收敛. 值得注意的问题:
如果级数∑∞=1
||n n u 发散, 我们不能断定级数∑∞=1
n n u 也发散.
但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数∑∞
=1
||n n u 发散,
则我们可以断定级数∑∞
=1
n n u 必定发散.
这是因为, 此时|u n |不趋向于零, 从而u n 也不趋向于零, 因此级数∑∞
=1
n n u 也是发散的.
例11 判别级数∑
∞
=1
2
sin n n na
的收敛性.
解 因为|221
|sin n n na ≤, 而级数211n n ∑∞
=是收敛的,
所以级数∑∞=12|sin |n n na 也收敛, 从而级数∑∞
=12
sin n n
na
绝对收敛. 例12 判别级数∑∞
=+-1
2
)11(21)1(n n n n n
的收敛性.
解: 由2
)11(21||n n n n
u +=, 有12
1
)11(lim 21||lim
>=+=
∞→∞
→e n u n n n
n n , 可知0lim ≠∞
→n n u , 因此级数∑∞
=+-1
2
)11(2
1)1(n n n
n
n 发散.
§ 11. 3 幂级数
一、函数项级数的概念
函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x )+ ? ? ? 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞
=1)(n n x u .
收敛点与发散点:
对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞
=10)(n n x u 收敛, 则称
点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞
=1
0)(n n x u 发散, 则称
点x 0是级数∑∞
=1
)(n n x u 的发散点.
收敛域与发散域:
函数项级数∑∞
=1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所
有发散点的全体称为它的发散域. 和函数:
在收敛域上, 函数项级数∑∞
=1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ),
s (x )称为函数项级数∑∞=1
)(n n x u 的和函数, 并写成∑∞
==1
)()(n n x u x s .
∑u n (x )是∑∞
=1
)(n n x u 的简便记法, 以下不再重述.
在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和:
函数项级数∑∞
=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ),
函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x ).
在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞
→或s n (x )→s (x )(n →∞) .
余项:
函数项级数∑∞
=1)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差
r n (x )=s (x )-s n (x )叫做函数项级数∑∞
=1
)(n n x u 的余项.
函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ). 在收敛域上有0)(lim =∞
→x r n n .
二、幂级数及其收敛性 幂级数:
函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a 0+a 1x +a 2x 2+ ? ? ? +a n x n + ? ? ? , 其中常数a 0, a 1, a 2, ? ? ? , a n , ? ? ?叫做幂级数的系数.
幂级数的例子:
1+x +x 2+x 3+ ? ? ? +x n + ? ? ? , !
1
!2112???++???++
+n x n x x . 注: 幂级数的一般形式是
a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ ? ? ? +a n (x -x 0)n + ? ? ? , 经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ ? ? ? +a n t n + ? ? ? . 幂级数
1+x +x 2+x 3+ ? ? ? +x n + ? ? ?
可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |≥1时, 它是发散的. 因此它的收敛
域为(-1, 1), 在收敛域内有
111
32???++???++++=-n x x x x x
. 定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞
=0
n n n x a 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式
|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞
=0
n n n x a 当
x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散.
证 先设x 0是幂级数∑∞
=0
n n
n x a 的收敛点, 即级数∑∞
=0
n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件,
有0lim 0=∞→n
n n x a , 于是存在一个常数M , 使 | a n x 0n
|≤M (n =0, 1, 2, ? ? ?). 这样级数
∑∞
=0
n n n x a 的的一般项的绝对值
n n n
n n
n n
n n n x x M x x x a x x x a x a ||||||||||0000
0?≤?=?
=. 因为当|x |<|x 0|时, 等比级数n n x x M ||00
?∑∞
=收敛, 所以级数∑∞=0||n n
n x a 收敛, 也就是级数∑∞
=0n n n x a 绝
对收敛.
定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x =x 0时发散而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x =x 0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证. 推论 如果级数∑∞
=0n n n x a 不是仅在点x =0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有
一个完全确定的正数R 存在, 使得 当|x |
当x =R 与x =-R 时, 幂级数可能收敛也可能发散. 收敛半径与收敛区间: 正数R 通常叫做幂级数∑∞
=0
n n n x a 的收敛半径. 开区间(-R , R )叫做
幂级数
∑∞
=0
n n n x a 的收敛区间. 再由幂级数在x =±R 处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数
∑∞
=0
n n n x a 的收敛域是(-R , R )(或[-R , R )、(-R , R ]、[-R , R ]之一.
规定: 若幂级数∑∞
=0
n n
n x a 只在x =0收敛, 则规定收敛半径R =0 , 若幂级数∑∞
=0
n n n x a 对一切x
都收敛, 则规定收敛半径R =+∞, 这时收敛域为(-∞, +∞). 定理2 如果ρ=+∞
→||
lim 1n
n n a a , 其中a n 、a n +1是幂级数∑∞
=0
n n n x a 的相邻两项的系数, 则这幂级数的收
敛半径
???????+∞
=≠=∞+=ρρρρ 00 1
0 R . 简要证明: || ||||
lim ||
lim 111x x a a x a x a n
n n n
n n n n ρ=?=+∞
→++∞
→.
(1)如果0<ρ<+∞, 则只当ρ|x |<1时幂级数收敛, 故ρ
1
=R .
(2)如果ρ=0, 则幂级数总是收敛的, 故R =+∞. (3)如果ρ=+∞, 则只当x =0时幂级数收敛, 故R =0.
例1 求幂级数
)1( 32)
1(1321
1
???+-+???-+-=--∞
=-∑n
x x x x n x n
n n n n 的收敛半径与收敛域.
解 因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→n
n a a
n n
n n ρ,
所以收敛半径为11
==
ρ
R .
当x =1时, 幂级数成为∑∞
=--11
1
)1(n n n
, 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞
=-1
)1
(n n , 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].
例2 求幂级数∑∞
=0
!1n n
x n !
1
!31!21132???++???+++
+n x n x x x 的收敛域.
解 因为0)!1(!
lim !
1)!1(1
lim
||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n
n n ρ, 所以收敛半径为R =+∞, 从而收敛域为(-∞, +∞). 例3 求幂级数∑∞
=0!n n x n 的收敛半径.
解 因为
+∞=+==∞
→+∞
→!
)!1(lim
||
lim 1n n a a n n
n n ρ,
所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛. 例4 求幂级数∑
∞
=022
!)
()!
2(n n x n n 的收敛半径.
解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径: 幂级数的一般项记为n n x n n x u 22
)
!()!2()(=
.
因为 21||4 |)
()(|
lim x x u x u n n n =+∞
→,
当4|x |2
<1即21||<
x 时级数收敛; 当4|x |2
>1即21||>x 时级数发散, 所以收敛半径为21=R . 提示:
22
22
)
1(221)
1()
12)(22()!()!2(])!1[()]!
1(2[)
()
(x n n n x n n x n n x u x u n n n n +++=
++=++.
例5 求幂级数∑
∞
=-1
2)1(n n
n n
x 的收敛域. 解 令t =x -1, 上述级数变为∑
∞
=12n n
n
n
t . 因为 2
1)1(22 ||
lim 11=+??==++∞
→n n a a n n n
n n ρ, 所以收敛半径R =2.
当t =2时, 级数成为∑∞
=11
n n , 此级数发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1
)1(n n , 此级数收敛. 因此
级数∑∞
=12n n n
n
t 的收敛域为-2≤t <2. 因为-2≤x -1<2, 即-1≤x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3).
三、幂级数的运算 设幂级数∑∞
=0n n
n x a 及
∑∞
=0
n n n x b 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')
中较小的区间内有 加法: ∑∑∑∞
=∞
=∞
=+=+000)(n n n n n n
n n n
n x b a x b x a ,
减法:
∑∑∑∞
=∞
=∞
=-=-0
)(n n n n n n
n n n
n x b a x b x a ,
设幂级数∑a n x n 及∑b n x n 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较
小的区间内有
加法: ∑a n x n +∑b n x n =∑(a n +b n )x n , 减法: ∑a n x n -∑b n x n =∑(a n -b n )x n .
乘法: )()(0
∑∑∞
=∞
=?n n n n n
n x b x a =a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x +(a 0b 2+a 1b 1+a 2b 0)x 2+ ? ? ?
+(a 0b n +a 1b n -1+ ? ? ? +a n b 0)x n + ? ? ?
性质1 幂级数∑∞
=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.
如果幂级数在x =R (或x =-R )也收敛, 则和函数s (x )在(-R , R ](或[-R , R ))连续. 性质2 幂级数∑∞
=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式
∑
∑??∑?∞
=+∞
=∞
=+==
=010
00
1
)()(n n n
n x
n
n x
n n
n x
x n a dx x a dx x a dx x s (x ∈I ),
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.
性质3 幂级数∑∞
=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导, 并且有逐项求导公式
∑∑∑∞
=-∞
=∞
=='=
'='1
10
)()()(n n n n n
n n n
n x na x a x a x s (|x | 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例6 求幂级数∑ ∞ =+01 1 n n x n 的和函数. 解 求得幂级数的收敛域为[-1, 1). 设和函数为s (x ), 即∑ ∞ =+=01 1 )(n n x n x s , x ∈[-1, 1). 显然s (0)=1. 在∑ ∞ =++= 1 11)(n n x n x xs 的两边求导得 x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞ =∞ =+11)11(])([0 01 . 对上式从0到x 积分, 得 )1l n (11 )(0x dx x x xs x --=-=? . 《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。 7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。 关于优质公开课大班数学教案随笔 使幼儿在玩中学、乐中悟，感受生活中处处有数学，这样设计使本节课的教学效果很好。接下来在这里给大家带来最新优质公开课大班数学教案随笔，希望对你有所帮助! 优质公开课大班数学教案随笔1 大班数学活动铺垫子(面积守恒)教案反思主要包含了活动目标，活动准备，活动过程，活动延伸，活动反思等内容，通过数方格的方法，比较面积的大小，初步体验面积的守恒，在操作过程中能积极尝试，主动学习，适合幼儿园老师们上大班数学活动课，快来看看铺垫子(面积守恒)教案吧。 活动目标： 1、通过数方格的方法，比较面积的大小，初步体验面积的守恒。 2、在操作过程中能积极尝试，主动学习。 3、培养幼儿比较和判断的能力。 4、引导幼儿积极与材料互动，体验数学活动的乐趣。 5、发展幼儿逻辑思维能力。 活动准备： 小长方形每人5个三角形若干记录纸笔 活动过程： 一、设疑(教师出示两个形状不同，但面积相同的纸) 师：小朋友，老师这儿有两张纸，你们觉得它们一样大吗?为什么?你能有什么办法证明谁大，谁小? 小结：这两张纸到底谁大?谁小?这问题可好难?怎么办?如果我给你们一些小长方形，你们能利用小长方形来解决谁大，谁小的问题吗? 二、利用小长方形，形成初步的面积守恒概念 师：谁来用小长方形试一下?这张纸你用几个小长方形铺满的?再试一下另外一张纸，需要几个小长方形? 小结：这两张纸都用了5个小长方形，说明它们是一样大的。 三、幼儿操作，巩固概念。 师：请小朋友每人拿5块小长方形，拼出一个图案，并把你的图案的形状记录下来。 小结：我们一起来看看小朋友们都拼出了那些图案。你们拼出的图形都用了几块小长方形。我们都用了5块，说明这些图形都是一样大的。 四、幼儿操作，提出问题，解决问题。 师“现在，你们看，老师手中有什么?这三角形有多大吗?请你们看一下，这两个图形是不是一样大?为什么? 现在，也请你们用三角形和小长方形拼出一个图形，并把图形的形状和你使用了几块长方形几块三角形记录下来。 小结：我们一起来看一下这些图形，你觉得哪些图形是一样大小的? 活动延伸： 师：在小朋友的操作纸上，有一些图形，请你们看一看，哪些图形是一样大小的。请你用一定的标记把它标出来。 活动反思： 数学****与现实，存在于现实，并且应用与现实，数学过程应该是帮助幼儿把现实问题转化为数学问题的过程。教育活动的内容选择应既贴近幼儿的生活来选择幼儿感兴趣的事物和问题，有助于拓展幼儿的经验和视野。 优质公开课大班数学教案随笔2 百以内数的认识（16课时） 教学内容： 实用数学十一册19页2、写数、读数④。 学情分析： 本班学生10人，张快脑瘫、行动不便，基本没有学习能力；王好癫痫，有简单的模仿能力，跟读能力较强，写字较困难；余佳佳唐氏综合症，高度近视，能跟读、写简单的数字；韩韦婷、杜凌华、田浩然三人有多动症，需要在老师的引导下完成一些简单的学习任务；漆维伊、田香玲、唐正家、张佳佳四人生活自理能力较强，有一定的学习能力，能完成一些基本的学习任务。 教学目标： 1、让学生学会写100以内的数。 2、培养学生数数的兴趣及合作能力。 教学重点： 1、让学生学会写100以内的数。 教学难点： 1、培养学生数数的兴趣和及合作能力。 教学方法： 讲授法、演示法、练习法、启发法。 教学准备： 电子课件、图片、练习本。 教学过程： 一、讲授新知。 二、巩固练习。 三、练一练。 四、课堂小结。 今天我们学习了写百以内的数，同学们都学得很认真。 五、课后作业。 课本20页1—3题。 教学反思： 通过本课的学习，班上少数学生会写一百以内的数。能认识计数单位“百”，了解几十几数是由几个十和几个一组成，知道个位、十位、百位以及这三个数位的顺序。但是大多数学生还需要多次练习，加强对知识的巩固。 百以内数的认识（17课时） 教学内容： 实用数学十一册20—21页2、写数、读数⑤。 学情分析： 本班学生10人，张快脑瘫、行动不便，基本没有学习能力；王好癫痫，有简单的模仿能力，跟读能力较强，写字较困难；余佳佳唐氏综合症，高度近视，能跟读、写简单的数字；韩韦婷、杜凌华、田浩然三人有多动症，需要在老师的引导下完成一些简单的学习任务；漆维伊、田香玲、唐正家、张佳佳四人生活自理能力较强，有一定的学习能力，能完成一些基本的学习任务。 教学目标： 1、让学生学会写100以内的数。 2、培养学生数数的兴趣及合作能力。 教学重点： 1、让学生学会写100以内的数。 教学难点： 1、培养学生数数的兴趣和及合作能力。 教学方法： 讲授法、演示法、练习法、启发法。 教学准备： 电子课件、图片、练习本。 教学过程： 一、讲授新知。 第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4 2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么 a a a 0= 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ， 使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用 a 和 b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行 四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ， 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 xx优秀数学教案模板 在日常教学工作中，撰写活动设计是备课的重要环节。教案写得好，目标明确、条理清晰、层次分明，那么在教案的实施过程即上课时就能得心应手、有条不紊、中心明确。下面就是我给大家带来的幼儿园优秀数学教案模板，希望能帮助到大家！ xx数学教案一：梯形在哪里 设计意图 中班的幼儿已经学习了关于图形的有关知识，并且也非常的喜欢图形，梯形是只有一组对边平行的四边形，是幼儿所要认识的平面图形中最难理解的一种，尤其是梯形的概念。因此，中班幼儿认识梯形，只要理解梯形的特征，能找出相应的图形即可，不必要求幼儿用语言描述梯形的特征。《认识梯形》这个活动有一定的挑战性;既符合幼儿的现实需要，又有利于其长远发展;既贴近幼儿生活来选择幼儿感兴趣的事物和问题，又有助于拓展幼儿的经验和视野。 活动目标 1、感知梯形的基本特征，发现环境中与梯形相似的物体。 2、具有初步的观察力、想象力。 3、能按活动规则独立进行操作，愿意讲述操作结果。 活动准备 1、经验准备： 幼儿已认识长方形，知道长方形的基本特征。 2、物质准备 教具：房子图一张;生活中含有梯形元素的图片若干。 学具：给图形宝宝涂色一组、正方形、长方形白纸若干、剪刀若干、蜡笔一盒、不同形状的卡片若干、铅笔若干，印尼2份、操作单若干、夹子每人一个。 重点：初步了解梯形的特征。 难点：认识不同的梯形。 活动过程 1.有趣的房子。 (1)巩固认识长方形。 教师出示房子图：这是什么?房子的墙是什么形状的? (2)认识梯形。 ①教师：房顶是什么形状的?这个图形和长方形一样吗? 引导幼儿观察、比较后回答。 ②引导幼儿比较梯形和长方形的外形特征，说出两个图形的异同：它们都有四条边、四个角，都有两条边是平平的;长方形相对的两条边是一样长的，梯形的四条边事不一样长的。 ③教师出示多种图形，引导幼儿找出梯形。 教师：这些图形里哪些是梯形?你从哪里看出来的? 幼儿尝试找出梯形并说出其基本特征。 2.梯形在哪里。 (1)教师：“想一想、找一找生活中哪些东西像梯形?” 引导幼儿根据生活经验回答，教师出示相应的图片。 (2)教师：“仔细看看这些东西像不像梯形?” 北师大版数学11册《比的化简》教学设计与反思 一、内容简析 《比的化简》是北师大版实验教材第十一册第四单元第二节的内容。在此之前，学生已学习了比的认识,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是比的化简部分，因此，在本章中有承上启下的作用。 作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生：自主探究，合作交流。 二、教学目标 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标： 知识与能力目标 1、在实际情境中体会化简比的必要性，进一步体会比的含义。 2、会运用商不变的性质或分数的基本性质化简比，并能解决一 些简单的实际问题。 3、通过对问题的探究，培养学生自主探索问题的能力、发散性 思维能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力； 过程与方法目标 1、经历比的基本性质的探索过程，引导学生初步认识从“特殊”到“一般”的规律，将未知转化为已知，合理运用归纳思想、整体思想，发展学生的逆向思维，渗透探索问题的思想与方法。 2、在形成猜想与作出决策的过程中，形成解决问题的一些基本 策略，发展实践能力。 情感态度与价值观目标： 1、本节课突出学生的主体地位，让学生高高兴兴地进入数学世界，在探索中激发兴趣，从发祥地中寻找快乐。 2、由旧知识引入新知识，培养学生应用数学的意识，并激发学 生学习数学的兴趣。 3、通过由旧到新、由新到旧的训练发展学生主动探索，合作交流的意识。 三、教学重点、难点、关键 重点：比的化简的方法。通过同学们自主探究，突出重点 难点：运用比的化简，解决一些简单的实际问题。 四、本节课采用的主要教法 数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”，《新课标》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。本节课有分数的基本性质作为基础，我采用自主探究，合作交流的教学方法。注重学生在自主探索，合作交流中的知识建构。采用小组合 数学优秀教案课程 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8- 《分数的初步认识》 教学内容：青岛版小学数学三年级上册72页信息窗1第1课时 教学目标 1．结合具体情境初步认识分数，知道把一个物体或一个图形平均分成若干份，其中的一份可以用几分之一来表示，其中的几份可以用几分之几来表示。能用实际操作的结果表示相应的分数，能正确地读、写分数，知道分数各部分的名称。 2．通过观察、操作、比较等数学活动，培养学生的动手操作能力和语言表达能力。体会分数在生活中的应用价值，密切数学与生活之间的联系。 3．培养自主探究的学习习惯，学会和同伴交流数学思考的结果，感受主动参与、合作交流的乐趣，获得积极的情感体验。 教学重难点 教学重点：初步理解分数的含义，会读、写分数，知道分数各部分名称。 教学难点：初步理解分数的含义。 教具、学具 教师准备：多媒体课件，两个苹果（一个平均分、一个不平均分）、1号学具袋（不同形状大小的纸片、吹塑纸、橡皮泥）和2号学具袋（纸条、纸片、软铁丝）等。 学生准备：彩笔、尺子等。 教学过程 一、创设情境，提出问题 1.教师提问： 同学们，老师有一个奇妙的问题想请教大家，你们知道我们是怎样来到这个美好世界的吗？学生自由回答。 妈妈十月怀胎，含辛茹苦，我们呱呱坠地，便来到了这个美好的世界。想不想来看看咱们在妈妈肚子里是什么样？（设计意图：数学源于生活，学生对于自己如何来到这个世界感觉很惊奇，激发了学生兴趣，引起学生的探究欲望。） 2．观察胎儿图，发现一半。 课件出示胎儿图，瞧！这就是八周大小的胎儿，看到我们好玩、可爱的样子，你想说什么？引导学生发现胎儿时期头长占整个身长的一半，其它部分也占整个身长的一半。教师追问：一半是什么意思？ 二、自主学习，小组探究 1．操作学具，理解一半（回顾平均分）。 学生解释。（师拿一个苹果，从中间切开。）问其中的一份是整个苹果的一半吗（是）为什么像这种分法，在数学上我们叫——平均分。（板书：平均分——一半）（师拿一个苹果，故意切出一半大一半小）这一份是整个苹果的一半吗（不是）为什么只有怎样分才可以说是“一半”我们把一个苹果平均分成两份，每份都是它的一半。 （设计意图：通过线段来理解分数对于三年级的学生来说比较抽象，所以借助了身边的实物苹果来理解“一半”，自然引出“平均分”，使学生明确“平均分成两份，一份就是一半”。沟通新旧知识的联系，为新知的学习做铺垫。） 2．创造符号，表示一半。 我们知道一个物体可以用数字“1”来表示，2个物体可以用数字“2”表示，那这“一半”该怎样表示呢？课件出示：让我们展开想象的翅膀，去表示一半吧！（可以用图形、符号、数字或实物等。） 学生自由想象，创造符号，教师巡视。 第十一册第一单元教学计划 教学内容:第1～2页内容。 教学目的：使学生理解分数乘以整数的意义，在理解算理的基础上掌握分数乘以整数的计算法则，并能正确运用“先约分再相乘”的方法进行计算。 教学过程： 一、复习。 １、５个１２是多少？ 用加法算：12＋12＋12＋12＋12 用乘法算：12×5 问:12×5算式的意义是什么？被乘数和乘数各表示什么？ ２、计算： =++636261 =++10 3103103 问:103 103103++有什么特点?应该怎样计算? ３、小结： （１） 整数乘法的意义，就是求几个相同加数的和的简便运算。被乘数表示相 同的加数，乘数表示相同的加数的个数 。 （２） 同分母分数加法计算法则是分子相加作分子，分母不变。 二、新授 教学例１。 出示例１：小新爸爸、妈妈一起吃一块蛋糕，每人吃92 块，３人一共吃多少块？ 用加法算：3 29 69 2229 29 29 2==++=++（块） 用乘法算：32 969329222929292392==?=++=++=? (块) 问：这里为什么用乘法？乘数表示什么意思？ 得出：分数乘以整数的意义与整数乘法的意义相同， 都是求几个相同的和的简便运算。学生齐读一遍。 练习：说一说下面式子各表示什么意思？（做一做第３题。） 问：那么分数乘以整数方法应该是怎样算？（通过观察例１，得出分数乘以整数 的计算法则） 三、巩固练习。 １．第２页做一做。 ２．练习一 353?35 3 ?53教学内容：教科书第４～６页，练习二第１～４题。 教学目的： １、使学生理解一个数乘以分数的意义，学会分数乘以分数的计算方法。 ２、通过操作、观察培养学生的推理能力，发展学生的思维。 教具准备：第４页例２的插图。长方形纸。 教学过程： 一、复习。 １．计算下列各题并说出计算方法。 ２．上面各题都是分数乘以整数，说一说分数乘以整数的意义。 二、新课。 引入：这节课我们来学习一人数乘以分数的意义和计算方法。（板书课题：一个数乘以分数） １．理解一个数乘以分数的意义。 （１）第一幅图：一瓶桔汁重千克，３瓶重多少千克？怎样列式？ 指名列式，板书： 问： 表示什么意思？指名回答，板书：求３个或求 的３倍。 （２）出示第二幅图：一瓶桔汁重 千克，半瓶重多少千克？怎样列式？怎样表示半瓶？ 指名回答：半瓶用 表示；式子为： 。 说明： 是求 的一半是多少，也就是求 的 是多少。板书：求 的 。 （３）出示第三幅图：一瓶桔汁重 千克， 瓶重多少千克？怎样列式？ 指名回答，板书： ，问： 表示什么意思？指名回答，板书：求 的 。 ２．引导学生小结。 ①．指出三个算式都是分数乘法，比较三个算式的不同点： 第一个算式与第二、三个算式中乘数有什么不同？ 想一想：第一个算式与第二、三个算式中乘法的意义有没有不同。有什么不同？ 引导学生得出：分数乘以整数的意义和整数乘法的意义相同；而一个数乘以分数的意义是求这个数的几分之几是多少。 学生齐读课本的结语。 练习： ．课本的做一做１、２题。 ．说一说下列算式的意义。 ３．理解分数乘以分数的计算方法。 （１）出示例３（先出示第一个问题）。 问：你根据什么列出式子？ 得出：根据 “工作效率×工作时间＝工作总量”列出式子： 。 问：如果我们用一个长方形表示１公顷，那么 公顷怎样表示？ 学生回答后，教师出示例３的图（１） 273?185?510 1?5 3535 3 212153?2153? 53532153215332 3253?3 253?5332438? 5 375?5121?2 1 1 1 小班数学优质公开课教案：神奇的魔术师（圆形方形三角形） 活动目标：复习巩固对三角形、圆形、正方形的认识。 活动准备：魔术师的衣服、帽子各一件，三种图形卡片各一张，头饰各一个，不同表情的三种图形卡通挂饰每人一个，三种图形的彩色卡片若干（粘在“图形妈妈”身上），三种图形的标志牌各一个，户外布置好“小商场”，三种不同形状的实物若干。 活动过程： （一）以变魔术的游戏形式导入，激发幼儿兴趣。 1、老师打扮成魔术师的样子对孩子们说：“我是神奇的魔术师，我能变出很多很多的东西，看我变变变”。（边说边转一圈，从袖子里拿出三角形）。 提问：（1）我变出了什么？ （2）三角形有几条边？（伸出手点数） （3）你见过什么东西是三角形形状的？ 2、用同样方法，从左兜里变出正方形，提问相似问题。 3、用同样方法，从右兜里变出圆形，提问相似问题。 （二）进行游戏：图形娃娃找家 1、以魔术师的身份变出图形娃娃，送给孩子们。 师：我的本领可大了，还能把你们变成图形娃娃，看我变变变（从隐蔽的地方拿出卡通图形娃娃挂饰，让幼儿辨认形状），你喜欢哪一个，就自取一个挂在脖子上，自己摸一摸，看一看你是什么形状的娃娃？ 2、变出“图形妈妈” （1）师：图形娃娃也有自己的妈妈，你们愿意和自己的妈妈一起做游戏吗？妈妈在哪呢？看我变变变（从屏风后面拉出头戴三角形头饰，身上粘有三角形标志的“妈妈”） 图形妈妈：我是三角形娃娃的妈妈，我的孩子们，你们在哪呢？（三角形宝宝跑到妈妈这，大声地说：我在这里） （2）用同样方法变出“正方形妈妈”，引导幼儿找自己的妈妈。 （3）用同样方法变出“圆形妈妈”，引导幼儿找自己的妈妈。 3、“图形妈妈”带幼儿找自己的家，介绍游戏规则。 “图形妈妈”：今天咱们一起玩一个“图形娃娃找家”的游戏，先来看看咱们的家在哪呢？（带幼儿找和自己形状相同的标志牌） 介绍规则：孩子们听音乐跳舞，自己随意表现，音乐一停，就去找自己的家，看哪个宝贝 第一单元位置 教学目标： 1．在具体的情境中，探索确定位置的方法，能用数对表示物体的位置。 2. 使学生能在方格纸上用数对确定位置。 教学重点：能用数对表示物体的位置。 教学难点：能用数对表示物体的位置，正确区分列和行的顺序。 一、导入 1、我们全班有53名同学，但大部分的同学老师都不认识，如果我要请你们当中的某一位 同学发言，你们能帮我想想要如何表示才能既简单又准确吗？ 2、学生各抒己见，讨论出用“第几列第几行”的方法来表述。 二、新授 1、教学例1 （1）如果老师用第二列第三行来表示××同学的位置，那么你也能用这样的方法来表示其他同学的位置吗？ （2）学生练习用这样的方法来表示其他同学的位置。（注意强调先说列后说行） （3）教学写法：××同学的位置在第二列第三行，我们可以这样表示：（2，3）。按照这样的方法，你能写出自己所在的位置吗？（学生把自己的位置写在练习本上，指名回答）2、小结例1： （1）确定一个同学的位置，用了几个数据？（2个） （2）我们习惯先说列，后说行，所以第一个数据表示列，第二个数据表示行。如果这两个数据的顺序不同，那么表示的位置也就不同。 3、练习： （1）教师念出班上某个同学的名字，同学们在练习本上写出他的准确位置。 （2）生活中还有哪里时候需要确定位置，说说它们确定位置的方法。 4、教学例2 （1）我们刚刚已经懂得如果表示班上同学所在的位置。现在我们一起来看看在这样的一张示意图上（出示示意图），如何表示出图上的场馆所在的位置。 （2）依照例1的方法，全班一起讨论说出如何表示大门的位置。（3，0） （3）同桌讨论说出其他场馆所在的位置，并指名回答。 （4）学生根据书上所给的数据，在图上标出“飞禽馆”“猩猩馆”“狮虎山”的位置。（投影讲评） 数小鸭--幼儿园中班数学教案 （本教案有配套视频，教学PPT） 结合了主题《在农场里》，为了提高中班孩子数数能力，尝试对呈封闭状排列的物体进行数数，结合"在农场里"的主题，针对幼儿的年龄特点，通过提供不同层次的操作材料，从而积累封闭式数数的不同经验，同时创设了有趣的情景，在情境中开展数学活动。 活动难点：学习呈封闭状排列的物体的数数 活动重点：提高幼儿数数能力 活动目标： 1、在数小鸭的情境中，运用已有数数的经验数数，并尝试运用呈封闭状排列的物体的数数方法，提高数数能力。 2、体验帮助鸭妈妈数小鸭的快乐。 活动准备： 1、小鸭若干，（直线排列、曲线排列、呈封闭状排列）。 2、辅助材料：夹子、笔、数字等。 活动过程： 一、鸭宝宝排队游泳（价值分析：运用已有数数的经验数数） 情境导入：暖和的春天来了，小河里的水变暖了，我的鸭宝宝排好了队来游泳了。 1、数数鸭宝宝（出示若干只小鸭呈一字式排列、曲线排列） 提问：数一数有几只鸭宝宝呀？ 小结：嗯，你们的办法真灵，数的真快! 二、鸭宝宝花样游泳（价值分析：尝试运用呈封闭状排列的物体的数数方法，提高数数能力） 情境导入：我的鸭宝宝说他们要和运动员一样来一次花样游泳了呢。 刚刚它们排好队的时候，我一遍就数清楚是几只了。可他们一摆了个花样游泳的造型，我数来数去好几遍还没有数清楚，这可怎么办呀？ 1、数花样游泳的鸭宝宝 提问：（1）小朋友，你们来帮帮我，有什么办法能让我数清楚我的鸭宝宝到底有几只呢？（幼儿相互讨论商量。） 提问：（2）你是怎么数的？你从哪里开始数的？数到哪里结束？ 2、数丢了帽子的鸭宝宝 提问：（1）可是我的鸭宝宝太顽皮了，把帽子也给丢了，现在小鸭一摸一样了，又该怎么数呢？ 小结：你们的办法真灵，用各种办法记住了从哪只小鸭数起，就能知道数到哪只停下来。这样不会多数也不会少数，今天多亏了你们教了我这个本领，谢谢小朋友！ 3、幼儿帮忙数小鸭 情景导入：可是你们看呀，还有那么多调皮的鸭宝宝还在河里摆造型，他们长的都一模一样，我数也数不清，请你们用刚刚的好办法快来帮助我吧！ 提要求：鸭妈妈还提供一些工具可以帮助你们数数，如果你需要它就用，不需要它也可以不用。 4、幼儿交流 提问（1）：你数了怎么样的鸭子宝宝？你是怎么数的？（2）碰到一摸一样的鸭子你怎么记住的，从哪里开始的？ 小结：今天你们既帮助了鸭妈妈，又让自己学到了许多数数的本领。以后当我们碰到要数的图案像圈儿排队的时候，我们可以用这些方法试一试，数一数，这样我们数数的本领会更大。 三、鸭妈妈感谢小朋友（价值分析：体验帮助鸭妈妈的快乐。） 1、今天鸭妈妈要谢谢你们小朋友，所以要请你们去我家里做客，要感谢你们，我们一起出发吧！ 对新课标体会： 随着新课改的实施，基础教育的课程环境得到了极大的改善。数学成为开发儿童潜能的重要工具，动手实践、自主探索、合作交流成为数学主要的学习方式，情感、态度、价值观已成为数学教学的重要目标，这一切使数学课堂教学发生了深刻的变化。下面结合自己的学习和工作实践，就新课标下小学数学课堂教学谈几点体会。 一、教师精心创设生活化情境，激发学生的学习兴趣。 与旧课程不同的是：新课程更多地强调学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题，主动地运用数学知识分析生活现象，自主地解决生活中的实际问题。在教学中我们要善于从学生的生活中抽象数学问题，从学生的已有生活经验出发，设计学生感兴趣的生活素材以丰富多彩的形式展现给学生，使学生感受到数学与生活的联系——数学无处不在，生活处处有数学。因此，通过学生所了解、熟悉的生活实际问题，为学生创设生动活泼的探究知识的情境，从而充分调动学生学习数学知识的积极性，激发学生的学习兴趣。 二、教师注重让学生经历数学知识的形成过程。 旧教材中这一点就强调的很少，新课程中知识的形成过程是在“动手实践”，“自主探索”，“合作交流”中让学生自己动脑、动手、动口完成的，因此我们可以在课堂上开展一些数学游戏，力求引导学生能在这些有趣的数学活动中逐步理解并掌握知识的来龙去脉。同时我们还注意到课本中每一章的新知识的引入也是以大量生动活泼的，或是贴近学生生活背景的事件作为引题引入的，这样大大激发了学生的好奇心和求知欲望。例如：在学习“分数”的这一节课时，我们就是通过生活中“分东西”引入分数的，使学生觉得很自然亲切，很快就接受了新的知识。当学生在他们心理愉悦的情况下掌握了新的知识，那么就会使他们能更好地理解数学知识的意义，从而使学生真正能体会到数学的价值，增强他们用数学的意识。 三、教师重视学生解决问题能力的培养，把解决问题与数学知识的学习融为一体。 解决问题能力的培养贯穿在小学数学教学过程的始终。目前各套教材的编写也体现了这种思路。一方面，各领域知识的学习都尽量从现实情境引入，目的是让学生在学习数学知识的同时，经历解决问题的过程，提高解决问题的能力；另一方面，又适当地设置了专门单元，对学生进行较集中的解决问题能力的培养与训练。 四、教师努力构建对话式的互动的课堂。 实施新课程以来，从大大小小的公开课来看，教师都精心设计生生、师生多重对话方式，让教学活动在平等、和谐的人际交往中进行。在平时的教学中，我们也处处可以听到“你们想听听老师的想法吗？”“你还想说什么吗？”这样的语言，充分体现出师生平等的地位，体现出教师对学生的尊重。这样的课堂，不再是单纯的“施予者”，学生也不再是单纯的“接受者”，教师与学生都是教学的主体，他们互相影响，互相分享经验与智慧，共同成长。 五、学生自主探索，合作交流，享受成功。 传统的教学模式是一种教师讲、学生听的灌输式做法，现在教师都在努力改变学生处于被动接受知识的局面，摒弃传统的数学学习单纯地依赖模仿与记忆的单调的学习方式，组织学生开展动手实践、自主探索、合作交流等多种形式的学习活动，从而形成学生对自己学习 福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。 二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念 小学数学优秀教案： 课题：5的乘法口诀第一执笔人：张国梅介休市城关乡堡上巷小学 高级教师地级电教能手 一、教材分析“5的乘法口诀”是九年义务教育课程标准实验教科书，二年级上册第四单元第二课时的内容，本节课是在学生学习了乘法的初步认识以后为加快学生计算速度，熟练掌握用乘法口诀解决实际问题而进行的。由于5的乘法口决易学，易记与实际生活贴近，学生已有的知识经验密切相关，所以先学习5的乘法口诀作为其他口诀的基础，结合具体实例，通过动手操作，观察、探索等学习活动，调动学生的生活经验和知识基础，很熟练地掌握其特点和规律，从而为解决生活中的实际问题和学习2、3、4、6的乘法口诀打下良好的基础。 二、学生分析由于学生有五个五个数的基础和经验，在此基础上，通过动手操作摆小伞，结合乘法意义，写出乘法算式，引出五的乘法口诀，学生经历归纳口诀的过程，能比较好地理解口诀的来源和它表示的意思。 根据低年级学生的年龄特点，要重视创设良好的学习情境，从学生熟悉的事情出发，有效地组织，引导学生动手操作，并使全体学生参与到实践活动之中。 三、教学目标知 识与技能1、知道5的乘法口诀的来源，熟记5的乘法口诀，会应用口诀进行计算。 2、培养学生的抽象概括能力和迁移类推的能力。 过程与方法引导学生经历归纳5的乘法口诀的过程，体验抽象，概括、迁移类推的数学思想和方法。 情感、态度与价 值观 体会数学的价值，激发学生学习数学的兴趣。四、教学重难点熟记5的乘法口诀，知道5的乘法口诀是怎样得来的。 六、教学过程 教学环节教师活动预设学生活动预设时间 分配 评价建议 创设情境做好铺垫师：学校最近要评选 “雏鹰行为奖章”获 得者大赛，我们班的 “雏鹰行为奖章”的 获得情况如何呢？ 看我们班的评比栏， 问：我们班谁获的最 多？ 小文获多少枚？ 小玉获多少枚？ 那他们一共获多少 枚？如何列式？表 示什么含义？ 师：任写一个算式 学生共同观察墙 壁上的评比栏 生： 生：4枚 生：4枚 生：4+4=8 4 2=8 2×4=8 学生互相说表示 的含义 3′ 1′ 同学们积极观察评 比栏，很高兴看到自 己和他人的学习成 果，愿意表达自己的 看法。 操作观察探究新知师：上节课我们学习 了乘法的初步认识， 同学们用自己的小 棒摆出了许多美丽 的图案，谁来介绍一 下自己是怎样摆出 一把小伞的？ 用几根小棒才能摆 出一把小伞呢？ 那么在规定的时间 内用手中的小棒比 赛一下看谁摆得又 快又多。 问：一把小伞用5根 小棒，那你摆了好几 把，一共用了几根？ 指着你所摆的图案 学生介绍摆伞的 过程 学生动手操作 学生可能回答： 2′ 3′ 能积极参与动手摆 小伞的活动，愿意思 考老师提出的问题 参加比赛活动积极 性非常高，愿意与同 人教版小学一年级下册数学教案 目录 第一单元认识图形（二）教学计划 (1) 第1课时：认识图形（1） (2) 第2课时：认识图形（2） (4) 第3课时：认识图形（3） (5) 第二单元 20以内的退位减法教学计划 (7) 第1课时十几减9 (8) 第2课时十几减9的练习课 (10) 第3课时十几减8 (12) 第4课时十几减7、6 (14) 第5课时十几减8、7、6练习课 (16) 第6课时十几减5、4、3、2 (17) 第7课时十几减几练习课 (18) 第8课时解决问题（一） (19) 第9课时解决问题（二） (21) 第10课时解决问题练习课 (23) 第11课时整理和复习（一） (24) 第12课时整理和复习（二） (26) 第三单元分类与整理教学计划 (27) 第1课时单一标准 (28) 第2课时不同标准 (29) 第四单元 100以内数的认识教学计划 (31) 第1课时数数，数的组成 (32) 第2课时读数、写数 (35) 第3课时练习课 (38) 第4课时数的顺序和比较大小 (39) 第5课时多些，少些 (42) 第6课时解决问题 (44) 第7课时整十数加一位和相应的减法 (45) 第8课时整十数加一位和相应的减法练习课 (47) 第9课时摆一摆、想一想 (48) 第五单元认识人民币教学计划 (50) 第1课时认识人民币（一） (51) 第2课时认识人民币（二）..................................... 53第3课时简单的计算（一）. (54) 第4课时简单的计算（二） (56) 第六单元 100以内的加法和减法（一）教学计划 (58) 第1课时整十数加、减整十数 (59) 第2课时两位数加一位数、整十数（不进位） (61) 第3课时两位数加一位数（进位） (63) 第4课时两位数加一位数练习课（一） (65) 第5课时两位数加一位数练习课（二） (66) 第6课时两位数减一位数、整十数（不退位） (67) 第7课时两位数减一位数、整十数（退位） (69) 第8课时两位数减一位数、整十数练习课（一） (71) 第9课时两位数减一位数、整十数练习课（二） (72) 第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数； 数学优秀教案精编 Document number：WTT-LKK-GBB-08921-EIGG-22986 《分数的初步认识》 教学内容：青岛版小学数学三年级上册72页信息窗1第1课时 教学目标 1．结合具体情境初步认识分数，知道把一个物体或一个图形平均分成若干份，其中的一份可以用几分之一来表示，其中的几份可以用几分之几来表示。能用实际操作的结果表示相应的分数，能正确地读、写分数，知道分数各部分的名称。 2．通过观察、操作、比较等数学活动，培养学生的动手操作能力和语言表达能力。体会分数在生活中的应用价值，密切数学与生活之间的联系。 3．培养自主探究的学习习惯，学会和同伴交流数学思考的结果，感受主动参与、合作交流的乐趣，获得积极的情感体验。 教学重难点 教学重点：初步理解分数的含义，会读、写分数，知道分数各部分名称。 教学难点：初步理解分数的含义。 教具、学具 教师准备：多媒体课件，两个苹果（一个平均分、一个不平均分）、1号学具袋（不同形状大小的纸片、吹塑纸、橡皮泥）和2号学具袋（纸条、纸片、软铁丝）等。 学生准备：彩笔、尺子等。 教学过程 一、创设情境，提出问题 1.教师提问： 同学们，老师有一个奇妙的问题想请教大家，你们知道我们是怎样来到这个美好世界的吗学生自由回答。 妈妈十月怀胎，含辛茹苦，我们呱呱坠地，便来到了这个美好的世界。想不想来看看咱们在妈妈肚子里是什么样（设计意图：数学源于生活，学生对于自己如何来到这个世界感觉很惊奇，激发了学生兴趣，引起学生的探究欲望。） 2．观察胎儿图，发现一半。 课件出示胎儿图，瞧！这就是八周大小的胎儿，看到我们好玩、可爱的样子，你想说什么引导学生发现胎儿时期头长占整个身长的一半，其它部分也占整个身长的一半。教师追问：一半是什么意思 二、自主学习，小组探究 1．操作学具，理解一半（回顾平均分）。同济大学高等数学教学大纲
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