杨辉三角（1）
内容分析
本课的主要内容是总结杨辉三角的三个基本性质及研究发现杨辉三角横行的若干规律。
杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。
研究性课题，主要是针对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。目的在于培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供研究的问题及背景，让学生自主探究知识的发生发展过。从问题的提出、探索的过程及猜想的建立均主要由学生自主完成，教师不可代替，但作为组织者，可提供必要指导。
教师首先简介杨辉三角的相关历史，激发学生的民族自豪感和创造欲望，然后引导学生总结有关杨辉三角的基本知识（研究的基础）及介绍发现数字规律的主要方法（研究的策略），并类比数列的通项及求和，让学生对n阶杨辉三角进行初步的研究尝试活动，让学生充分展开思维进入研究状态。
以下主要分小组合作研究杨辉三角的横行数字规律，重点发现规律，不必在课堂上证明。
1．用电脑展示贾宪三角图、朱泄杰的古法七乘方图、帕斯卡三角图（附后），同时播放用古代民族乐器演奏的音乐。
教师介绍杨辉三角的简史：北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1961年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。
2．用电脑展示15阶杨辉三角或事先印好15阶杨辉三角分发给学生。对照杨辉三角，回顾高二下学期学过的杨辉三角的构造及基本性质，并由学生叙述。
1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式
n
b
a)
(+展开式的系数列}
{R
N
C
。
2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即
r
n
n
r
n
c
C-
=
。
3°结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，即
r
n
r
n
n
r
n
C
c
C
1
1-
-
-
+
=
。
（二）分组研究杨辉三角横行规律（将全班学生按前后排四或五人一组分成若干研究小组）
1．介绍数学发现的方法：杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律。古今中外，许多数学家如贾宪、杨辉、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过，并将研究结果应用于其他工作。他们研究的方法可以归纳为：
15阶杨辉三角
2．学生尝试探索活动。
（1）n阶杨辉三角中共有多少个数？
（2）n 阶杨辉三角的通项公式是什么？即n 阶杨辉三角中的第k 行第r 个数是什么？ （3）n 阶杨辉三角的第k 行各数的和是多少？所有数的和是多少？
学生独立思考后，由学生发言，得出结论。n 阶杨辉三角中共有22)2)(1(21+=++n C n n 个数，22
+n C 第n+2行第3个数；通项公式为r
k
C
r k E =),(，∑==k
r k
r k E 02
),(，∑∑=+=-=n k n n
r r k E 01
01
2
)),((。
3．按研究横行数字规律的方向开展研究工作，工作的重点是发现规律。教师巡视指导，必要时可参与某小组的讨论活动。最后由小组代表陈述研究结果及建立猜想的大致思路。
（1）杨辉三角的第2k 行中第k 个数最大；即)(22k r C C r k k
k
≠>；第2k ＋1行中第是k 个数与第k
＋l 个数相等且最大，即
)
1,(121212+≠>=+++k k r C C C r k k k k k ；2k 阶杨辉三角中最大数为
k
k C k k E 2),2(=，2k ＋1阶杨辉三角中的最大数为
k
k C k k E k k E 12)1,12(),12(+=++=+。
（2）杨辉三角中第12-k
行的所有数都是奇数（k ∈N*），即m
k C 12-为奇数（m=0，1，…，12-k ）；
第k 2行的所有数（除两端的1以外）都是偶数（k ∈N*），即1
12122
---+=r r r k k
k C C C 为偶数（r=1，2，…，12-k ）；其他行的所有数中，一定既有偶数又有除1以外的奇数。
（3）第p （p 为素数）行除去两端的数字1以外的所有数都能被p 整除，其逆命题也成立。即对任意
r ∈{1，2，…，n-1}，都有
n C n r
n ?|是素数。 （4）将第n 行的所有数按从左到右的顺序合并在一起得到的多位数等于n
11。
（5）第2n 行的第n 个数是第2n-1行的第n-1个数的2倍，即。*).(21
122N k C n n n n
∈=--。 如图，每一幅小图中的圆的个数及圆上的点、线段、三角形、四边形、五边形、六边形的数目有一定的变
化规律，研究杨辉三角，你能找出两者间的关系吗？
附（1）：证明：当}12
,,1{-∈k
m 时，m
k C
12-是奇数。
证明：对任何一个正整数m ，都存在唯一的自然数
m k 与正奇数m l ，
使m km l m ?=2。设11
21l k ?=，
222l k ?，…，n k
l n ?=22，…。
当}12,,2,1{
-∈k
m 时，
m m C k k k m
k ???---=
- 21)
2()22)(12(1
2
m km m km k k k k k k k l l l l l l 2)22(2)22(2)22(2
2112211`--?-=
m
m km k k k k k l l l l l l 2121)2()2)(2(21---=
---
∵上式的分子、分母都是奇数，且分式值是正整数，
∴m k C 12-是奇数。
附（2）
：
杨辉三角（2）
内容分析
1．从研究平行于杨辉三角形“两腰”的斜边上的数字规律的过程中，我们可以发现朱世杰恒等式：
∑=++++=n
k m
k m m n m C C
11
。这个规律其实是杨辉三角第三条基本性质1
11---+=r n r n r n C C C 的推广形式。应用朱
世杰恒等式，可以求出*)(21N k n k k k
∈+++ 的和式值。
2．研究经过两数0121
--n n n
C C 与，或0
2211---n n n C C 与的斜边上的数字规律，可以得到著名的斐波那契数列
{}*)(,1:1221N n a a a a a a n n n n ∈+===++。由斐波那契数列的通项公式
????
???????? ??--???? ??+=n
n n a 25125155，可得组合数的性质： ???????????? ??--???? ??+==+++---=------∑1
2121
02
202221125
125155n n n k k
k n n n n n n C C C C ， *)(25125155221
1
2012211N n C C C C n
n n k k
k n n n n n n ∈????
???????? ??--???? ??+==+++∑-=----+- 。
3．将12-n
阶杨辉三角形中去掉所有的偶数，剩下的图形类似于分形几何中的谢尔宾斯基三角形（如图），这种三角形是研究自然界大量存在的不规则现象（海岸线性状、大气运动、海洋湍流、野生生物群体涨落，乃至股市升降等）的崭新教学工具。
4．教科书中的正六棱柱形木板滚球实验说明杨辉三角与概率统计之间存在联系。讲授时，老师应制作一个教具，并用16个小球。做实验若干次，然后引导学生挖掘实验结果与杨辉三角之间的关系，并用排列组合知识与概率知识加以解释。
1．用电脑展示8阶杨辉三角图，以备用上节课主要是研究杨辉三角横行的数字规律，这节课首先来研究斜行的数字规律（如图）。
2．学生分小组研究，得出的结果可能是：
（1）n 阶杨辉三角形的第k+1条斜边上的数（从左到右，从上到下）组成的数列是：
),,1,0(,,,11n k C C C C k
n k n k k k k =-+。
（2）上述数列的和为：1
111++-+=++++k n k n k n k k k k C C C C C 。
3．引导学生证明上述等式，并介绍有关朱世杰研究上述组合数恒等式的情况
（1）证明过程：k n k n k k k k C C C C ++++-+11
1
11111111213111211)()()()(++++++-+++++++++++=-+-++-+-+=k n k n k n k n k n k k k k k k k k k k C C C C C C C C C C
（2）朱世杰问题（如象招数问题）：以立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，…，今招十五日，…，问招兵…几何？用数列语言来说就是：第k 日招兵3)2(+k ，共招n 日，一共招兵多少？问题可转化为求
和：333
21
n +++
∵13136)1()1(k k C C k k k k k +=++-=+
∴
)()(62111211313433333n n C C C C C C n +++++++=++++
2
21
42)1(216??
????+=+=++n n C C n n 。
4．引导学生观察8阶杨辉三角表。研究图中标出的斜行各数之间的关系
（1）将各斜边的数字相加后按从上而下的顺序列出：1，1，2，3，5，8，13，21，34。 （2）研究上述数列的规律后，可以猜测：无穷阶杨辉三角类似的数列为：
{}*)(2,1:121N n a a a a a a n n n n ∈+=+==+
（3）引导学生将
n a 表示成组合数的和，并证明n n n a a a ++++12。
122112--+-+++=k k k k k k C C C a ，
*)(02221112N n C C C a k k k k k k ∈+++=-----
根据杨辉三角的基本性质3可以推出1221222122,-+--+=+=k k k k k k a a a a a a 。
（4）指出上述数列是斐波那契数列，该数列有广泛应用。
5．观察下图15阶杨辉三角中，各小正三角形内的数有什么特点？并推广到12-n
阶杨辉三角中
（1）（自上而下）第k 个正三角形内的数都是偶数，即
1222121221212222121
1,,,,,,,---++-++k
k k
k k k
k k k C C C C C C 都是偶数（k ∈N*）。
（2）第k 个正三角形两腰外的第一条斜边上的数都是奇数，即
1
2222112021,,,,,--+++k
k k
k k C C C C m m 都是奇数（k ∈N*）。
这条性质和上节课推出的性质“第22,,121-++k k
行上的所有数中既有偶数也有非1的奇数”
相吻合。
（3）12
-n
阶杨辉三角中，偶数与奇数，哪个更多？
12-n 阶杨辉三角中，共有n 3个奇数，共有n n n 322112-+--个偶数（k ∈N*），试比较n
3与
n n n 322112-+--的大小（留课外思考）。
6．演示实验
教师或学生将16个均匀小球逐个平稳地放入如图的教具内。统计最后各个矩形框内的小球个数。连续做三次实验，分析统计结果；并将结果推广到有n+1层的教具，n
2个小球的情形，并给出合理解析。
（1）设小球从第一层落入第n 层下面的第k 个矩形框的通道条数为F （n ，k ），则根据教具的对称性及小球的均匀性，可建立如下递推模式：F （1，1）=1，F （n ，k ）=F （n ，n-k+1），F （n+1，k ）=F （n ，k-1）+F （n ，k ），k=1，2，…，n+1，规定F （n ，0）=F （n ，n+1）=0（n ∈N*）。
类比杨辉三角形的基本性质：r
n r n
r n r n n r n C C C C C C +===-+-1100,,1可猜测：
1,,2,1,),1(1
+==+-n k C k n F k n 。（可以用数列方法证明结论为真，留课后思考）
故在理想状态下，
n 2个小球从第一层落到第n 层，从左到右各矩形框内的小球个数分别为
n n
n n k n n n C C C C C ,,,,,,110- 。
（2）小球从某层落到下层可看作进行一次随机试验，其中小球向左边落入的概率为21
。那么小球从
第一层落到第n+1层可以看成是进行n 次独立重复试验，小球最后落入第k 个矩形框内可以看成是小球从
左边落入恰好发生n-k+1次，其概率为1
,,2,1,212111+=??? ???=??? ???=-+-n k C C P n
k n n
k n n k 。
在大量重复试验下，统计规律为：
n 2个小球落到第
n+1层的第k 个矩形框内的小球个数为
1,,2,1,21
+==?-n k C P k n n k 。
杨辉三角的规律以及定理 李博洋 摘要杨辉三角中的一些规律 关键词杨辉三角幂二项式 引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所着的《详解九章算法》一书 中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现 在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。我们则来对“杨辉三角”的 规律进行探讨和研究。 内容 1二项式定理与杨辉三角 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即。 杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。 由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为：121 则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数 为：1331但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。 展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为： 14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1(110) 11(111) 121(112) 1331(113)
14641(114) 15101051(115) 1615201561(116) 因此可得出二项式定理的公式为： (a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n 因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把带进了。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。 2杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1(1) 11(1+1=2) 121(1+2+1=4) 1331(1+3+3+1=8) 14641(1+4+6+4+1=16) 15101051(1+5+10+10+5+1=32) 1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64) …… 相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂 3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系 (1) 1(2)n=1 11(3)n=2 121(4)n=3 1331(5)n=4
显示杨辉三角实验报告 姓名：许严班级：计122 学号：1213023050 1.问题描述 杨辉三角如图2.4.3所示，其特点是两个腰上数值是1，其他位置上的每一个整数都是它的上一行相邻两个整数之和。问题是：对于指定的最大行数rmax,要求从第一行到第rmax逐行显示杨辉三角形的所有元素。 2.基本要求 ⑴设计输出形式，尽量反映杨辉三角的特点。 ⑵设计计算杨辉三角形各行数值的方法。 ⑶输入：rmax从键盘输入。 ⑷输出：屏幕输出杨辉三角形. 3.实现提示 ⑴存储设计 计算杨辉三角形第i行时，如果在第i-1行两侧各添加一个0，则第i行的第j个元素等于第i-1行的第j-1个元素与第j个元素的和。计算如图2.4.4所示。第i行计算完，第i-1行的数据就没有用了，依据第i行数据可计算第i+1行的数据。 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … 图2.4.3 杨辉三角形 从上述计算中不难看出，第i行的元素从左往右依次可被求得，求解过程中也是从左往右依次使用地i-1行的数据，显然，具有先入先出的特点。所以，可借助一个队列存放计算过程中所需的数据，如图2.4.5所示。 但随着航数的增加，队列会很长。所以，可以设置一循环队列，队长不少于rmax+2,边计算边出队。 （2）算法设计 计算各行元素的算法步骤如下。 Step1:队列初始化，0、1入队。队头ftont指向0处，队尾指向1后。 Step2:i从1到rmax,循环执行下列操作，求第i行数据。 2.1 0入队。 2.2 从队首起直到队尾，每出队两元素，求和后入队。 输出时注意0不输出。
浅谈数学史在初中数学教育的体现 长期以来，数学学科在教学过程中的“缺人”现象一直存在.所谓的“缺人”现象就是对人文素养的缺失与忽视.而实际上，教学过程中适当的融入数学史的做法便是很好的人文渗透.以人文渗透的方式丰富数学学习的内容与形式，可以让学生喜欢数学、会学数学、进而学好数学.从数学史的内容分布来看，在数学教育中渗透数学史的元素可以从以下几个方面人手. 一、数学史之数学概念的发生、发展过程 数学概念是数学中最基本的元素之一，对数学概念的历史挖掘可以更好的让学生对概念的本质产生直观印象，从源头帮助学生学好知识，学透知识. 正数与负数的历史发展 正数与负数的产生是人类思维进化的大飞跃.在原始时期，人们没有数的概念，在计数的时候往往使用手指计数，当手指数量不够用
的时候，人们就会借助结绳、棍棒、石子的方式计数.随着社会的发展，尤其是经济的发展.对计数的要求就逐渐变高，于是就有了自然数的概念，分数的产生.而在生活中则有了比0度还低的温度……这些情景的出现就要求人类开始考虑数字的正反，多少两个层面的含义，于是就诞生了负数的概念.这种正负数产生的过程就可以让学生真切的感知负数诞生的历史背景和社会生态，有利于学生将正负数的知识迁移运用到生活当中. 二、数学史之定理的发现与证明过程 传统课堂中对定理的证明和介绍往往是将证明过程进行展示，学生对定理的来历和证明过程的原始记载并无掌握，不能很好的形成对所学知识的深刻印象.将定理证明的来源及其在不同国家的历史发展介绍给学生将有助于深化对定理的理解，学习伟大数学家对待证明的方法，并感悟数学思想的魅力. 勾股定理的证明
在中国，勾股定理的证明最早可以追溯到4000年前.在《周髀算经》的开头就有关于勾股定理的相关内容；而在西方有文字记载的最早给出勾股定理证明的则是毕达哥拉斯.相传是毕达哥拉斯在朋友家做客时，无意中看到朋友家地板的形状，于是便在大脑中出现了一系列的假设和猜想，并随后给予了论证.当毕达哥拉斯证明了勾股定理以后，欣喜若狂，于是杀牛百头以示祝贺.现在，数学家已经从不同的角度对勾股定理进行了证明，证明方法多达几十种. 三、数学史之数学历史中较为有名的难题解析 在数学的发展史中，有一些流传下来的被后人津津乐道的数学难题，这些题目的解答中往往蕴含着丰富的数学解题思想和独特的思维方式，同时也可以让学生感受到数学问题的奥秘并从中获得启示. 哥尼斯堡七桥问题
杨辉三角形规律 每行数字两边对称每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 第n行的数字个数为n个。 第n行数字和为2^(n－1)。（2的（n-1）次方） 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数。 第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1)，第三个数为1×(n-1)×（n-2）/2，第四个数为1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）/3…依此类推。 两个未知数和的n次方运算后的各项系数依次为杨辉三角的第(n+1)行
杨辉三角在弹球游戏中的应用 如图1的弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡物，再向两侧跌落第三层阻挡物，如此一直下跌最终小球落入底层。根据具体地区获的相应的奖品（。 图1 我们来分析一下为什么小球落到不同区域奖品会有如此大的差别？A 区的奖品价值高于D 区，说明小球落入A 区的可能性要比落入D 区的可能性小，转化为数学问题就是小球落入A 区和D 区的概率。小球要落入D 区的情况有两种，有概率知识得： D 1 D 2 就是说，小球落入D 区的概率是等于它肩上两区域概率之和的 2 1，据此小球落入各区的概率为可以按以上方法类推，如下： 2121 1 8381 3213232323232 1 64646641564206415646641 A B C D E F G 图2
杨辉三角考题赏析 “杨辉三角”是我国古代数学的瑰宝．利用杨辉三角不仅讨论了二项展开式的一些性质，杨辉三角本身还包含着许多有趣的规律和性质．正因为如此，以“杨辉三角”为背景的试题在近年的高考或各地模拟题中频频出现，有力地考查了同学们对数据的整理、分析、概括、处理能力和创新思维能力．现采撷几例，与同学们共赏析． 例1 （2004年上海春季高考卷）如图１，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_____行中从左到右第14与第15个数的比为2:3． 解析：由图1我们能发现，第1行中的数是0111C C ，；第2行中的数是 012222C C C ，，；第3行中的数是01233333C C C C ，，，； ；则第n 行中的数是 012n n n n n C C C C ，，，，设第 n 行中从左到右第14与第15个数的比为2:3，则 13142:3n n C C =·，解得34n =． 点评：本题是关于“杨辉三角”的一道高考题．杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，与排列、组合和概率的关系非常密切．因此，理解和掌握杨辉三角的一些性质，对发现某些数学规律是很有帮 助的． 例2 （2006届全国100所名校示范卷）如图2所示，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10， ，记 这个数列的前n 项的和为()S n ，则(16)S 等于（ ）．
A ．144 B ．146 C ．164 D ．461 解析：由图2知，数列中的首项是22C ，第2项是12C ，第3项是23C ，第4项 是13C ，，第15项是29C ，第16项是1 9C ． 因此得121 21211 1223399239(16)()S C C C C C C C C C =++++++=+++2 22239()C C C ++++ 21 123 2223 33923391010()()1164C C C C C C C C C =+++-++++==+-=．故选Ｃ． 点评：本题是杨辉三角与数列结合的一道考题．将数列的各项还原为各二项展开式的二项式系数，并依次应用杨辉三角中数的规律Ｃrn+1＝Ｃr-1n+Ｃrn （即组合数性质2），从而求得数列的和． 例3 （2004年江苏高考模拟卷）观察下列数表，问此表最后一个数是 什么，并说明理由． 解析：因为第一行有100个数，以后每一行都比前一行少一个数，因此共有100行． 通过观察可以得到： 第1行首尾两项之和为101； 第2行首尾两项之和为1012?； 第3行首尾两项之和为21012?， 第4行首尾两项之和为31012?，…… 第99行首尾两项之和为981012?． 因为从第2行开始每一个数字是它肩上两个数字之和，所以最后一个数字即第100行的数字是它肩上第99行首尾两个数字之和即为981012?． 点评：本题是一道以“杨辉三角”为背景的一道考题．通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．
高中数学论文 让学生个性在数学课堂中张扬 ——浅谈高中数学个性化课堂教学尝试 【内容提要】学习是学生的个性化行为，作为教师，应当在课堂教学环境中创设一个有利于张扬学生个性的场所，因此高中数学要求学生积极、主动、健康地学习，充分发展其个性特长。这就需要我们教师在课堂教学中更加关注和努力尝试个性化教学，然而如何在课堂教学中实施有效的个性化教学就成了关键问题。本文以杨辉三角型数列问题为例，谈谈如何在日常教学中实施个性化课堂教学的问题。 【关键词】个性化课堂教学 数学学习是学生学习的个性化行为，在这个个性化过程中，让学生在数学课堂教学中展示个性化学习，让学生的个性得到充分的发展，做到教师个性化的教和学生个性化的学的统一。数学课程理念倡导：日常教学要使学生积极、主动、健康地学习，充分发展其个性特长。为了实现这一目标，教师在课堂教学时，要凭借良好的教学素质，创造性地处理教材，合理的创设课堂氛围，最优化地组合课堂结构，最大程度的发挥学生的主体作用，让课堂真正成为学生自己的舞台。充分发掘学生的聪明才智，调动学生的学习积极性，使课堂教学适应个体个性化的自然需要，从而有效的提高课堂效率。而以往受应试教育和教学设施的影响，高中实施个性化教育还只停留在“空想”阶段，随着新课程改革的不断深入和现代教育技术的应用，使得个性化课堂教学成为一种可能，更是一种必然.而教学实践中,教师对如何开展个性化课堂教学比较陌生，不知道如何有效地对学生进行个性化教学。这一问题成为了日常教学的焦点，也是一个难点。下面就结合《杨辉三角型数列问题》教学案例谈谈笔者在实施个性化课堂教学中的尝试。 高一学生在学习完数列内容后，开展了有关杨辉三角问题的研究性学习，初步熟悉了杨辉三角的概念及基本性质.为了进一步培养学生的能力，真正达到研究性学习的目的，借用学生熟悉的杨辉三角模型，设计了有关杨辉三角型数列问题的延续课。 一、知识积累阶段 例1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
杨辉三角（1） 目的要求 1．了解有关杨辉三角的简史，掌握杨辉三角的基本性质。 2．通过研究杨辉三角横行的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。 3．通过小组讨论，培养学生发现问题。探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神。 内容分析 本课的主要内容是总结杨辉三角的三个基本性质及研究发现杨辉三角横行的若干规律。 杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。 研究性课题，主要是针对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。目的在于培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供研究的问题及背景，让学生自主探究知识的发生发展过。从问题的提出、探索的过程及猜想的建立均主要由学生自主完成，教师不可代替，但作为组织者，可提供必要指导。 教师首先简介杨辉三角的相关历史，激发学生的民族自豪感和创造欲望，然后引导学生总结有关杨辉三角的基本知识（研究的基础）及介绍发现数字规律的主要方法（研究的策略），并类比数列的通项及求和，让学生对n阶杨辉三角进行初步的研究尝试活动，让学生充分展开思维进入研究状态。 以下主要分小组合作研究杨辉三角的横行数字规律，重点发现规律，不必在课堂上证明。 教学过程 （一）回顾旧知 1．用电脑展示贾宪三角图、朱泄杰的古法七乘方图、帕斯卡三角图（附后），同时播放用古代民族乐器演奏的音乐。
教师介绍杨辉三角的简史：北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1961年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。 2．用电脑展示15阶杨辉三角或事先印好15阶杨辉三角分发给学生。对照杨辉三角，回顾高二下学期学过的杨辉三角的构造及基本性质，并由学生叙述。 1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式 n b a) (+展开 式的系数列 } {R N C。 2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边 上的“高”，即 r n n r n c C- =。 3°结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的 两数之和，即 r n r n n r n C c C 1 1- - - + =。 （二）分组研究杨辉三角横行规律（将全班学生按前后排四或五人一组分成若干研究小组） 1．介绍数学发现的方法：杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律。古今中外，许多数学家如贾宪、杨辉、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过，并将研究结果应用于其他工作。他们研究的方法可以归纳为：
浅谈数学教学中的德育教育 发表时间：2011-10-27T09:05:41.360Z 来源：《学习方法报●语数教研周刊》2011年第5期供稿作者：薛在敏 [导读] 德育在现代人素质结构中占居着核心地位，德育是素质教育的根本. 山东海阳市留格庄镇第二初级中学薛在敏 别林斯基说过：“有许多种教育与发展，而且每一种都具有自己的重要性，不过德育在它们中应该首屈一指”.德育在现代人素质结构中占居着核心地位，德育是素质教育的根本.寓德育教育于中学数学教学中，是素质教育、义务教育数学教学大纲的重要组成部分，数学教育要实施素质教育就应该在学科教学中有机地渗透德育，引导学生在学习数学的同时提高自身素质，完善自我. 一、立足教材，挖掘德育内容 德育渗透在数学中的内容是多方面的.大纲要求：“根据数学学科特点，对学生进行学习目的的教育，爱祖国、爱社会主义、爱科学教育，辩证唯物主义观点的启蒙教育——”.其中爱国主义教育是德育教育的灵魂和核心，缺乏或忽视它都是不健全、不完善的教育.在教材中有许多反映我国国情建设、科技资源、环境保护等内容，有意识、有计划地加以发挥是渗透德育的基本途径. 如教学“科学记数法”时，向学生讲解“我国的领土有960万平方公里，我国的第一大岛台湾的面积是135700平方米——”.通过讲解这些知识进行国情教育，使学生了解祖国的大好河山，心中有祖国，做爱国的中国人；同时明确认识到台湾是中国的一部分，香港、澳门的回归已成现实，我们盼望着祖国的完全统一. “近几年我国国内生产总值连续增长，2001年达到95933万亿元，2002年102398万亿元，2003年116694万亿元”.每一年的增长率是多少？通过完成这道应用题，学生们了解到了祖国在改革开放中各个方面取得的成就，瞩目祖国的不断强大，从而进一步激发学生们热爱祖国，拥护改革开放政策，为他们将来的学习和发展奠定坚实的思想基础. 中国上下五千年中，数学方面的发明创造是数学发展史中的光辉篇章.在进行圆周长、圆面积、扇形面积、圆柱（锥）体积等教学时，所用的圆周率，都不忘介绍祖冲之、刘徽为研究圆周率所作的巨大努力和杰出的贡献，用以激发学生们的民族自豪感，坚定学好数学的决心. 在教学完全平方公式时，也不失时机地讲解“杨辉三角”的辉煌业绩以及在高数中的重要地位，激发学生的求知欲望，为将来的发展而奋斗. 二、结合实际，丰富德育内涵 数学属于理科类，其思想往往是内隐和深藏的，有时就需要教师创造渗透德育教育的条件，如自编习题，这也是扩大教育的一种好方法. 现代的学生大部分是独生子女，在长辈们无微不至的关怀下，往往养成了以自我为中心不良习性，不懂得关心别人和尊敬长辈.有些家长向我反映，他们的孩子在家好吃好穿，不考虑别人，更有甚者，穿衣服要穿名牌，很少顾及到家长辛勤劳作的艰辛.于是我在教学时，经常自编了一些暗示题 编题时，我还结合学校“向灾区人民献爱心”活动，培养学生的社会责任感；结合植树节，渗透绿化环境、美化家园、爱我海阳核电的教育；结合“两弹一星”的丰功伟绩，激发学生爱科学、学科学、报效祖国的远大理想；还结合诸如节约用煤、粮食增产、降低利息、缴纳税款等资料，使学生在解题中受到全方位的思想教育，达到全面提高学生素质. 三、摆正态度，倡导德育评价 数学是一门基础性极强的学科，部分学生由于某一阶段或某一时期的学习态度、方法等因素导致了当前学习上的障碍和暂时落后，从而引起了同班同学的冷眼，致使他们有一种抬不起头的感觉，学习上很大程度上会出现畏难怕学的情绪，在这种情况下，我的态度十分鲜明，就是帮助他们，我尽可能地让他们感到班级、同学的温暖，给他们最好的位置， 四、改进教法，提高德育实效 随着现代社会的飞速发展，建设成就、科技发明可以说无一不是群体的力量.在实践中、竞争中团结合作，是每一个公民必须具备的素质，培养学生这些思想品质，也是实施德育教育的一项内容，数学学科十分有利于培养学生的这些意识.在教学过程中改变传统的“我讲你听”的方式，充分让学生主动的参与教学，设计“一帮一”、“一对红”，自由讨论、邻桌小议、分组讨论等形式，达到协作互助、共同进步.如教学“解直角三角形”知识后，课后让学生分小组结合，自由选择课题，设计问题，运用解直角三角形知识解决生活中的实际问题.于是有的小组测量旗杆高度、有的测量河宽，——学生们有的准备工具、有的测量数据、解答计算，最后带到课内评比交流，师生共同评价.这种方法使学生互相取长补短，学生间合作，小组间竞争，从中学做人，提高德育的实效性，把个人融于团队之中. 数学教学中对学生进行的德育渗透，可能只是点点滴滴，但只要长期坚持，学生定会耳濡目染，潜移默化，集腋成裘，学生的品德素质将随着数学学习同步提高，从而实现真正意义上的素质教育.
杨辉三角 人教版小学数学五年级下期第115页第10题，涉及著名的“杨辉三角”， 对此，教参中已有所介绍。为了提高学生的学习兴趣，加深对“杨辉三角”的理解，增强学生的民族自豪感和爱国热情，下面推荐一个有趣的数学游戏。 老师出示一张图(有条件的可以使用多媒体)： 宣布：“现在和同学们玩一个有趣的数学游戏。请一位同学在这个图的最下面一行6个圆圈里任意各填一个一位数，我随即在顶端那个圆圈里写一个数。然后，大家按照图中的连线，算出最下面那行相邻两个圆圈里的数的和，填入上一行的圆圈里。自下而上照这样进行下去，直到算出顶端那个圆圈里应该填的数，一定跟我已经填好的数一样。哪位同学愿意试一试？” 等那位同学把最下面一行的6个数填好以后，老师迅速算出左起第三、四两个数的和的10倍，加上第二、五两个数的和的5倍，再加上第一、六两个数，得数就是顶端那个圆圈里应该填的数。 比如，从左到右，学生所填的数是4、1、8、6、2、3，老师就应该填10 ×(8＋6)＋5×(1＋2)＋(4＋3)＝140＋15＋7＝162。 这是为什么呢？原来，“杨辉三角”中的数是有规律的。 规律是：自上而下，每个圆圈里的数等于与它相连的，上一行圆圈里的数的和。比如，第三行中间圆圈里的数之所以是2，就因为与它相连的第二行两个圆圈里的数都是1，1＋1＝2。依此类推。 游戏相当于把上面的过程倒回去，所以要把圆圈里的数分别乘上1、5、10、10、5、1。
等玩过两三次以后，学生一定会急于知道老师是怎样做到未卜先知的，甚至有些爱动脑筋的学生，已经在开始探求其中的奥秘了。这时，可以启发学生用学过的“用字母表示数”的方法，看看最下面那行所填的6个数，在整个计算过程中究竟各用了几次。 设：第六行所填的6个数依次为A、B、C、D、E、F。第五行就是A＋B、B ＋C、C＋D、D＋E、E＋F；第四行就是A＋2B＋C、B＋2C＋D、C＋2D＋E、D＋2E＋F；第三行就是A＋3B＋3C＋D、B＋3C＋3D＋E、C＋3D＋3E＋F；第二行就是A＋4B＋6C＋4D＋E、B＋4C＋6D＋4E＋F；顶端的数就是A＋5B＋10C＋10D ＋5E＋F，即10(C＋D)＋5(B＋E)＋(A＋F)。从而得出前面所总结出的方法。 “杨辉三角”在数学中有着重要作用，同时又具有直观形象的特点，对于培养学生的思维能力很有好处，值得给学生提供一个加深印象的机会。 杨辉三角 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 …… 中还隐藏着许多奥秘： 请看这些斜线上的数： 自然数 1 三角形数 1 1 四面体数 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 …… 一、自然数：1，2，3，4，… 求前n个自然数的和，无需使用公式，答案就在第n个自然数的左下方。比如，前4个自然数的和，就在第4个自然数4的左下方，是10。前5个自
杨辉三角 教学设计思想： 这节课是高三数学（选修II ）的研究性课题，是在高二学过的“二项式定理”的基础上，进一步探讨和研究杨辉三角的性质，实质上就是二项展开式的二项式系数即组合数的性质。 （1）让学生在教师设计的问题情境中，自己根据已经学过的知识去发现问题→提出问题→解决问题，即观察、猜想、归纳杨辉三角横行、竖向、斜向的数字各数之间的大小关系、组合关系及各数字之间的联系等规律。 （2）在学生自主探究知识的发生发展过程中从中体会到数学世界的神奇和有趣，激发他们对数学的热爱之情。培养他们的交流与协作的能力。 （3）通过向他们介绍杨辉三角的有关历史，让他们了解中国古代数学的伟大成就，增强他们的民族自豪感。 教学 目标： 1 使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史，掌握杨辉三角的基本性质，并能认识到中国古代的数学的辉煌成就。 2 让学生在老师的启发下自己去探讨杨辉三角中行、列的数字的特点， 发现杨辉三角的有关的性质，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。 3通过讨论，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。在交流中培养学生的协作能力，形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神，为进一步学习作好准备。 教学过程： 一 引入 今天我们在高二学过的杨辉三角的基础上，进一步探索杨辉三角数字中横 向、竖向、斜向…中蕴含的有趣的数量关系。（幻灯片：出示杨辉三角的前3行，余下的让学生补充完整） 二 杨辉简介 杨辉，中国南宋时期杰出的数学家 和数学教育家。在13世纪中叶活动于 苏杭一带，其著作甚多。其中《详解九章算术》 中的“开方作法本源图”,曾被称为“杨辉三角”， 杨辉指明次系贾宪(约11世纪)所用. 三 探讨杨辉三角的性质 ? ??++++++=++++++=+++++=++++=+++=++=+=+6 43223245665 432234554 3223443 22332 221061520156)(510105)(464)(33)(2)()(1)(b ab b a b a b a b a a b a b ab b a b a b a a b a b ab b a b a a b a b ab b a a b a b ab a b a b a b a b a
Xxxxxxxxxxx大学 课程论文（2013-2014学年春季学期） 论文题目： 课程名称： 任课教师： 班级： 学号： 姓名：
浅谈斐波那契数列 摘要： 斐波那契数列，又称作黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多?斐波那契（Leonardo Fibonacci）。本文主要就斐波那契数列的提出与特征进行简要分析，通过举例重点说明斐波那契数列在实际生活当中的表现与应用，进而得到启示。 关键词： 斐波那契数列; 特征; 应用 Research on Fibonacci sequence (Institute of Technology, China Agricultural University, FENG-Wei) Abstract: Fibonacci sequence, also known as the golden series, referring to such a sequence: 1,1,2,3,5,8,13,21…… this sequence beginning from the third term, each of which equal to the sum of the first two terms. The inventor of Fibonacci series was an Italian mathematician——Leonardo Fibonacci. This tractate focuses on the characteristics of Fibonacci sequence and has a brief analysis, as well as giving examples to analyze the performance and application of Fibonacci sequence in real life, and then get inspirations. Key words: Fibonacci sequence; Characteristics; Application
精心整理 杨辉三角的规律以及定理 二项式定理与杨辉三角1与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。 2的展开式来探讨。杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)222此代数式的系数为：121 由上式得出：(a+b)+2ab+b＝由此可发现，此代数式的系+3+b+3ab(a+b 的展开式是什么呢？答案为(a+b的展开式。为133但似乎没有什么规律，所以让我们再来看b2+4a展开式为由此又可发现，代数式的系数为+4+b+6464似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 ) 1(1)11(112) 121(113) 1331(114) 14641(115) 15101051(116) 1615201561(11）1,4,6,4,1,（,1,2,1）（1,3,3,1）1,杨辉三角形的系数分别为：（1,1）,（：所以（）,1,7,21,35,35,21,7,1） （1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,17642547765233 (a+b)=ab+7ab+21a+bb+35a+7abb+35a。b+21a n的次数依次上b-n，n-n 等于a的次数依次下降、n-1、2...n由上式可以看出，(a+b) (2) 方。系数是杨辉三角里的系数。、、升，01 杨辉三角的幂的关系2 精心整理．
精心整理 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1(1) 11(1+1=2) 121(1+2+1=4) 1331(1+3+3+1=8) 14641(1+4+6+4+1=16) 15101051(1+5+10+10+5+1=32) 1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64) … 相加得到的数136…刚好，6，…次幂，即杨辉三角行个数之和等n-次 杨辉三角中斜行和水平行之间的关 (1) 1(2)n=1 11(3)n=2 121(4)n=3 1331(5)n=4 14641(6)n=5 15101051n=6 1615201561 把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
高中数学知识点：杨辉三角问题解法(动画版) 在高中数学知识点中，杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形， 是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角 形。下面让我们更深入的了解一下高中数学知识点之杨辉三角的相关知识吧。 一、杨辉三角的性质前提：端点的数为1.1.每个数等于它上方两数之和。2. 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。3.第n行的数字有n项。4.第n行数 字和为2n-1。5.第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元 素中取m-1个元素的组合数。6.第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，为 组合数性质之一。7.每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质 写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个 数之和，这也是组合数的性质之一。即C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。8.(a+b)n的 展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。9.将第2n+1 行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这 些数的和是第4n+1个斐波那契数;将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第 4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。10.将 各行数字相排列，可得11的n-1(n为行数)次方：……当n>5时会不符合这一 条性质，此时应把第n行的最右面的数字”1”放在个位，然后把左面的一个数 字的个位对齐到十位......，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加 起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为： 1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，结果为25937424601=1110。二、杨辉三角的解法1.解题法一 那幺怎样才能显示成金字塔形状呢？问题在于如何将每行前的空格数与行
/* Name: 杨辉三角算法集锦 Copyright: 始发于goal00001111的专栏；允许自由转载，但必须注明作者和出处Author: goal00001111 Date: 27-11-08 19:04 Description: 分别使用了二维数组，一维数组，队列，二项式公式，组合公式推论和递归方法等9种算法 算法思路详见代码注释——注释很详细，呵呵 */ #include
cout << endl; Fun_6(row); cout << endl; Fun_7(row); cout << endl; Fun_8(row); cout << endl; Fun_9(row); system("pause"); return 0; } //输出n个空格 void PrintBlank(int n) { for (int i=0; i 研究性课题：杨辉三角 ●教学目标 (一)教学知识点 1.理解杨辉三角的性质 2.掌握有关杨辉三角的基本性质1 1 1C C C ,C C +++-=+=r n r n r n r n n r n . (二)能力训练要求 会应用杨辉三角的基本性质证明杨辉三角新的性质. (三)德育渗透目标 1.培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题的能力.解决问题能力，让学生在探索过程体验数学活动，数学发现的成功的愉悦. 2.培养学生实际动手操作实践创新的能力，培养学生的创新精神，探索精神和应用能力，鼓励学生大胆猜想，相信科学. ●教学重点 杨辉三角新的性质的探索和发现是教学的重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，研究和探索杨辉三角的一些性质，对于发现某些数学规律是大有裨益的.对于培养学生的创新思维能力也是不无帮助的. ●教学难点 杨辉三角新的性质的探索和发现是本节课教学难点。 ●教学方法 由于杨辉三角中的许多有趣的数量关系不是轻易发现的，而简单的告诉和求证又显得十分枯燥无味，学生的发现、探索精神和能力的培养受到了一定的限制，所以学生主动探索，发现和证明(失败时总结经验，另寻他路，重新启动，走向成功)的全程的尝试是最为主要的，这样不是被动的接受，而是主动的建构，学生的认知结构得到了较好的发展和培养，他们不仅学会了知识而且还学会了如何面对困难、克服困难，走向成功的高峰的非智力因素的调节作用，要求同学们不仅是个体参与，而且是集体参与，智力参与. ●教具准备 实物投影仪(多媒体课件) ●教学过程 Ⅰ.课题导入 上节课我们学习了杨辉三角中的有关性质，杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一，它的发现远早于法国数学家帕斯卡，它和勾股定理，圆周率的计算等其他中国古代数学成就，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能。今天我们继续探索研究杨辉三角的有关性质. Ⅱ.讲授新课 一般的杨辉三角如下表. 浅谈数学课堂教学中的数学文化的渗透 随着新课程改革的实施，数学教学的文化价值在课堂教学中显得越来越重要。本文先谈如何认识数学是一种文化，及其文化资源的内涵，然后试从数学知识发生发展的过程、联系数学史实、联系生活实际以及欣赏数学美四个方面论述了如何在数学课堂教学中渗透数学的文化价值，使学生从中受到潜移默化的教育。与此相应的要求教师自身的数学文化素养有所提高。 一、数学本身就是一种文化 文化的含义很复杂，如今关于文化的定义有几百种，难怪有人说，“文化是个框，什么都能装”。那数学文化究竟是什么，目前还没有统一的定义。而全日制义务教育数学课程标准指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”。普通高中数学课程标准（实验）解读中提到：“一般说来，数学文化表现为在数学的起源、发展、完善和应用的过程中体现出的对于人类发展具有重大影响的方面。它既包括对于人的观念、思想和思维方式的一种潜移默化的作用，对于人的思维的训练功能和发展人的创造性思维的功能，也包括在人类认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进取的精神和所能达到的崇高境界等”。可见数学文化对数学教育的影响。新时代的教师应思考如何将数学文化融入数学课堂，渗入到实际的教学活动中，使学生在学习数学的过程中得到数学文化的熏陶。 二、数学文化资源的内涵 人文精神的内涵是很丰富的，包括对高尚的道德、信念、人格的追求；对自由、平等、正义的渴望；对幸福、信仰、人生价值问题的反思；对知识、科学、真理的求索；对客观现实、自然规律的遵循。概括地说要养成健康的人格，形成人与人、人与社会、人与自然和谐、默契的关系。数学学科的内涵十分丰富，功能极其全面。大数学家克莱因认为：“数学是人类最高的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，可是数学能给予以上的一切”。 浅谈杨辉三角的奥秘及应用 摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。 关键词杨辉三角，最短路径，错位，幂 0 引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。 1 杨辉三角与数字11的幂的关系 我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。后来我受到一位老师的启发，并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。 假设y=11n 当n=0时： y=1； 当n=1时： y=11； 当n=2时：y=121； 当n=3时：y=1331； 当n=4时：y=14641； 以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n≥5时的情况，如下： 当n=5时： 1 4 6 4 1 ? 1 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 当n=6时： 1 5 10 10 5 1 ? 1 1 1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… 由上可知：11的n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等（证 明还有待证明）即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图 形。如下图： 1 (110 ) 1 1 (111 ) 1 2 1 (112) 1 3 3 1 (113) 1 4 6 4 1 (114) 1 5 10 10 5 1 (115) 1 6 15 20 15 6 1 (116) …… 其实这个关系我们早就学习过了，只是用另一种方式表达而已。我们知道初中时老师教 我们记11的幂时，有一句口诀：头尾不变(即为1)，左右相加放中间。其实是错位相加，而 扬辉三角中头尾为1，中间的数是其肩上的两数之和，也是错位相加得到的。 2 杨辉三角与2的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1= 2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) …… 我们知道相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5， 6，…次幂，即杨辉三角第n 行中n 个数之和等于2的n-1次幂。 刚好与高中时学的杨辉三角的性质相符合，归纳如下： 1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n 行就是二项式n b a )(+展开式的系数列 }{R N C 。 2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即 r n n r n c C -=。 浅谈栈与队列的应用 摘要：数据结构是计算机中一个非常重要的分支，它是现实世界数据与计算机世界数据连接的关键，它主要涵盖两方面的内容：逻辑层面的数据结构和计算机存储数据物理层的数据结构。关于数据结构中的线性表、栈、队列，将上述两方面的内容进行介绍，进行横向的比较，从而更清楚地看到它们之间的联系与区别，并分析它们在现实计算中的应用。 关键词：线性表；堆栈；队列；应用开发 Discussion on the Application of Stack and Queue Abstract: Data structure is a very important branch of a computer,it is the key of the connection of real world data and computer world data,it mainly covers the following two contents:logic level data structure and computer data storage physical layer data structure.About the data structure of the linear list,stack,queue,it introduces the content of the above-mentioned two aspects,carries on the horizontal comparison,thus more clearly see the relationship and difference between them.And analyzes them in real in the calculation of the application. Key words: Linear List; Stack;Queue;Application Development 0 引言 栈和队列可以看作线性表的特例,它们都具有和线性表相同的存储方式,顺序存储和链式存储,栈有顺序栈和链式栈,队列有顺序队列和链式队列。但从数据类型角度看,它们是和线性表大不相同的两类重要的抽象数据类型。由于它们被广泛应用在各种软件系统中,因此在面向对象的程序设计中,它们是多型数据类型[1~2]。 1 基本概念 1.1 线性表的概念和特性 线性表是有限元素（a1,a2,a3…，an）有序序列的集合，a1,a2…，an都是完全相同结构的数据类型，同时它们之间的排列严格有序，其中任何元素都对应唯一的前驱以及唯一的后继。这样一个序列可以有查询、删除、插入队列任何位置的数据操作[3]。 1.2 栈的概念和特性 栈作为一种限定性线性表，它限定插入和删除操作都在表的同一端进行。允许插入和删除元素的一端称为栈顶，另一端为栈底；栈底固定，栈顶浮动。栈的插入操作被形象地称为进栈或入栈，删除操作称为出栈或退栈。我们只能从一端取出放入数据，即压入栈和弹出栈，所以它的顺序是“后进先出”，如图1。 作者简介：刘碧霞(1993年－)，女，本科，1063384634@https://www.doczj.com/doc/5714119842.html,。 1.3 队列的概念和特性 队列与栈类似，是另一种限定性的线性表，它只允许在表的一端插入元素，而在另一端删除元素。允许插入元素的一端称为队尾，允许删除元素的一端称为队头。它的操作不同的地方是两端存、取数据，且仅仅是一端取（队头）一端存（队尾），所以它的顺序是“先进杨辉三角
浅谈数学课堂教学中的数学文化的渗透
浅谈杨辉三角的奥秘及应用
浅谈栈和队列的应用
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