当前位置:文档之家› 数学建模课件

数学建模课件

数学建模课件
数学建模课件

第一章 线性差分方程

这一章我们将要研究线性差分方程解的基本性质及常系数线性差分方程的各种解法.往下我们将看出,要研究线性差分方程解的各种性质,可归结为研究一个序列的性质.为此,我们先简单地介绍实数系列的一些基本性质.在这章中,我们仍用N 表示所有非整数的集合 {} ,,3,2,1,0k N =

1.1 序列与线性差分方程

定义1.1 序列{}),2,1,0()( =k k y 称为是有界的,如果可以找到一个正数M ,使得不等式 M k y ≤)(对所有的N k ∈成立.否则就称序列{})(k y 是无界的.

定义1.2 一个序列{})(k y 被称为是一个零序列,如果相应于任何无论怎样小的正数ε,都可找到一个正整数)(1εN (依赖于ε),使得对于所有)(1εN K ≥,有ε≤)(k y .

实际上一个零序列,就是收敛到零的一个序列.

定义1.3 如果{})(k y 是一个给定的序列,且存在一个数L ,使得序列

{}),2,1,0()( =-k L k y 是一个零序列,则这个给定的序列{})(k y 被称为有极限L (或被

称为收敛于L ).这个序列的元素)(k y 被称为收敛于极限L .一个序列{})(k y 有极限L ,可以表示为L k k =∞

→)(lim 或更简单地表示为:当∞→k ,L k y →)(.

一个序列{})(k y ,如果它有极限,则称这个序列是收敛的;否则就称此序列是发散的. 定义1.4 序列{})(k y 被称为是单调递增的,如果对于所有的N k ∈,有

)1()(+

定义1.5 序列{})(k y 被称为是衰减振荡的(围绕值L ),首先序列{})(k y 收剑于L ;并且这个序列的每个小于L 的元素之后,总有大于L 的元素(不必须是下一个),反之亦然.

定义1.6 序列{})(k y 被称为发散至∞+,如果相应于每个无论怎样大的正数p ,总可以找到一个正数)(2p N (依赖于p ),使得对于所有的2N k ≥,都有p k y >)(.

对于序列{})(k y 发散至∞-的情形也有类似的定义:即对于每个绝对值无论怎样大的负数0

定义1.7 如果序列{})(k y 是发散的,但不发散到∞+,也不发散到∞-: (i) 如果序列{})(k y 有界,则称序列{})(k y 是有限的振荡; (ii) 如果序列{})(k y 是无界的,则称序列{})(k y 是无限地振荡.

总结上面的定义,序列{})(k y 或者是收剑的;或者是发散的.每一种都有四种情形,如表1.1.

表.1

现举例如下:1c :常量序列{}{} ,2,2,22=(极限是2); 2c :有界且单调递增序列{}?

?????=k k k y 313)(_,N k ∈,即 ,8180

,2726,

98,32,0(极限是1); 3c :有界且单调递减序列 {}?

???

??

+

=k

k y 212)( N k ∈即 ,1615,815,215,6(极限是5);

4c :衰减振荡序列 {}??????

-+k k y )21(1)(与{}?

?

????-=k k y )5(1000)( ,1611,87,411

,21,2 1)(lim =∞∞→k y k 与 ,5

3

1,8,40,200,1000-- 0)(lim =∞∞→k y k .

1D :发散至∞+序列 {}{}k k y =)(与{}{}k

k y 3

)(= 即

{},,3,2,1 与{} ,81,27,9,3,1皆发散至∞+;

D 2:发散至∞-序列{}{

}k

k y 2

1)(-= N k ∈,即{} ,7,3,1,0---发散至∞-;

3D :有限地振荡序列

{}{}k k y 1)(-=

N k ∈,与 {}????

??

+-+=k k k y k 1)1(5)( N k ∈.

即 {} ,1,1,1,1,1,1---不收敛,在0=y 轴上下振荡;与???

?

?? ,54

5

,4

14,3

25,2

14,5,此序列在直线5=y 上下振荡,振幅不超过1.

在整个这章中,我们讨论的函数都以N 作为它的定义域.

定义1.8 令N 表示负整数的集合.考虑其定义域是N 的所有实值函数的集合,连同通常的函数加法及一个函数与一个实数乘积的定义,组成了一个向量空间,我们用∞V 表示.

容易证明∞V 是一个实向量空间.实际上∞V 是所有实序列的集合(参看§1.2 例2). 例1 考虑定义在N 上的函数 k k f 2)(= N k ∈.

显然∞∈V k f )(,)(k f 的值域元素是可以用12)0(0==f ,22)1(1==f ,

42

)2(2

==f ,82)3(3

==f ,等等来表示.或用下列{

}

,2,,2,2,2)(210k

k f =来表

示.这个表示式对于指数函数的一些性质,显然是有用的.在这种情况下我们看出,)(k f 是定义在N 上的递增函数列,且此序列是无界的.作为一个序列,它是不收敛的,故其极

限不存在.

例2 研究定义在N 上的函数)(k g ,它的定义如下:1)1(,0)0(==g g 及 )1()()2(++=+k g k g k g N k ∈

在这种情况下 1)0()10()20()2(=++=+=g g g g ,2)1()2()3(=+=g g g ,等等,用序列记号我们有 {}{} ,55,34,21,13,8,5,3,2,1,1,0)(=k g 在这个序列中,每一个新的项都是其前两项相加而的.)(k g 的值或数是黄金分割数.显然∞∈V g ,且)(k g 是一个递增的无界函数.

例3 考虑定义在N 上的函数

]1)

1(2[)(k

k h k

+-+

= N k ∈

在这个序列中前几项为 ,4

7)3(,3

7)2(,2

3)1(,3)0(====h h h h

故这个序列既不递增,又不递减,且容易看出 2)(lim =∞

→k h k .

故此序列是衰减振荡的.

如果∞∈V f ,则)1()(+=k f k Ef 及)()1()(k f k f k f -+=?均为∞V 的元. 事实上,容易证明,对于每个正整数n ,f E n 及f n ?均为∞V 的元.因为n E 及n ?是∞

V 上的线性算子.我们引进下面的定义

定义 1.9 用I k p E k p E n n n )()(11+++=∧- 定义了一个n 阶算子∞

∞∨→∨∧:这里),,2,1()(n i k p i =∨∈∞

.且对于每个∞∨∈f

)()()()]([1

k f E k p k f E k f n i n

-+=∧)()(k f k p n ++ 容易证明∧是∞∨上的一个线性

算子.

例4 三阶算子 kI E E k E +++=∧72)2(3 当它作用于函数 k k f 5)(=时,有

)()(7)()(]5[2

)

2(3

k kIf k Ef k f E k

k f E k

+++=∧

)()1(7)2()1()3(k kf k f k f k k k f ++++-++= k

k k k k k k 55

75

)1(5

1

2

3

+?+-+=+++

]35)(25125[52

k k k k

++-+=

]25160[5)

2()

1(k k

k

++=

我们指出:)(k f 及)]([k f ∧都是属于∞∨的元.

现在我们借助于线性算子∧来定义线性差分方程的概念.

定义1.10 令),(,),(),(21k p k p k p n 以及)(k f 均是∞∨的元.如果对于所有N k ∈,

0)(≠k p n ,则 )(])()()([11

1k f y I k p E k p E

k p E

n n n n

=++++=- 是一个n 阶线性差

分方程.如果φ=)(k f ,则这个差分方程被称为是齐次的;否则称它为大量齐次的.

如果 I k p E k p E

k p E n n n n )()()(11

1++++=∧-- , 则这个差分方程可以更紧凑地写成 )()(k f y =∧

定义1.10规定了n 阶差分方程的一个标准型.许多差分方程可以用差分方法化到这种标准

型.

例5 函数方程

)2()

4()1(])2cos[()()

2(-++-+=j z j j z j j z π (1.1)

,3,2,1=j 可以用以下步骤化为标准型;

首先令1+=k j ,N k ∈,则)1()5()(])3cos[()1()2(-+++=+k z k k z k k z π 其次再令 )1()(-=k z k y ,对N k ∈.所以有

)()

5()1(])3cos[()2()

2(k y k k y k k ++++=+π

或者写成 0)()5()()3cos()()2(2=+-+-k Iy k k Ey k k y E π

即 0)(])5()3cos([)2(2=+-+-k y I k E k E π (1.2) 这就是定义2.3中的标准型.

1.2 存在性与唯一性

定义1.1 n 阶线性差分方程初值问题是由一个线性差分方程 )()(k f y =∧(这里∧是一个n 阶线性算子)连同n 个初始条件 11

10)0(,,)0(;)0(--===n n a y E

a Ey a y

(这里110,,,-n a a a 是实数)的集合所组成.

初值问题的一个解是这样的一个函数,这个函数本身是差分方程的解,且满足初始条件. 因为 )()0()0(i y i y y E i =+=,所以n 个初值也可以表示为

110)1(,,)1(;)0(-=-==n a n y a y a y .

定理1.1 一个n 阶线性差分方程的初值问题有一个唯一的解. 证 n 阶差分方程

)()()()()()(1

1k f k y k P k y E

k p k y E n n n

=+++- (2.1)

可以改写成下面形式 {})()()()()()()(1

1k f k y k p k y E k p k f k y E n n n =++-=- (2.2)

特别当0=k 时,方程(2.2)为 {})0()0()1)(0()0()(1y p n p f n y n ++--= 因此)(n y 由初始值唯一地确定.

一般地,只要知道n 个数 )(,),2(),1(n m y m y m y +++ 就可唯一地确定

)1(++n m y .为了证明这一点,在(2.2)中取1+=m k ,有

{

}

)1()1()1()1()1()1(1

1++++++-+=+-m y m p m y E

m p m f m y E n n n

即 {})()1()()1()1()1(1n m y m p n m y m p m f n m y n ++++++-+=++

这就是说)1(++m n y 是由)(,),2(),1(n m y m y m y +++ 唯一地确定.用这个方法可以构造出方程(2.1)的满足指定初始条件的解.

下面我们研究刻划性差分方程解的特点和各种方法.作为第一步,我们首先考虑一阶齐次差分方程 0)()()(=+k y k p k Ey (2.3) 这个方程等价于 )()()1(k y k p k y -=+

因此有 )0()0()1(y p y -= )0()0()1()1()1()1()2(2y p p y p y -=-=

)

0()0()1()2()1()2()2()3(3

y p p p y p y -=-=

)0()0()1()2()1()1()1()1()(y p p k p k p k y k p k y ---=---=

1

)()

1()1()1()0()1()(-=-=--=k i k

k i p k p p p k t (2.4)

且规定1)0(=t ,则方程(2.3)的解可以表示 )0()()(y k t k y = (2.5) 由此可以得出下面定理

定理2.2 初值问题 0)()()(=+k y k p k Ey b y =)0( 有唯一解 b k t y k t k y )()0()()(== 其中)(k t 由(2.4)给出. 例1 考虑 0)()1

2(

)(=++-k y k k k Ey 于是 ,1

2)(++-

=k k k p

因此 ]1

2[)

1()(1

-=++-

-=k i k

i i k t 11

3423121

2)

1(1

2+=+??=

++-=-=k k

k i i k i k

即 1)(+=k k t .所以 )0()1()0()()(y k y k t k y +==表示了这个一阶齐次变系数差分方程的所有解.因为)0(y 表示初值,亦可以看作任意常数.

例2 考虑初值问题 0)()

1(2

)(2

1

=+-

+k y k k Ey k 3)0(=y .

解 这时2

1

)

1(2

)(k k p k +=

+,所以

1

)()

1()(-=-=k i k

i p k t 23

221

2

1

3

22212)1()

1(2

)

1(

-=+??

-=+-=k i k

i k

i 2

2

)

!(2)

1(2k j

k

k

i

i k

k ∑=-=

因为

=+=

k

i

i k k j )1(2

,故)(k t 也可以写成:2

2

1

)

!()]1(2[)

1()(k k k t k

k

+-=所以

2

2

1

)

!()]1(2[)

1()0()()(k k y k t k y k

k

+-==是这个初值问题的解。

在考虑一阶非齐次方程以前, 我们先回忆以下事实,即在定义 1.10中,对于所有

N k ∈,我们假定,0)(≠k p n 对于0)()()(=+k y k p k Ey (2.3)而言,这个假设为:对所

有0)(,≠∈k t N k 充分必要条件是:对所有0)(,≠∈k t N k 。此外,如果对某个j ,有

0)(=j p ,则有0)1(=+j t ;而且还有,对所有0)(],=+≥k t j k 。这是因为),0()1()2()1()1()(p p k p k p k t k

---=而

)0()1()2()1()()

1()1(1p p k p k p k p k t k ---=++

)()()1(k t k p -=

即 )()()1()1(k t k p k t -=+对所有N k ∈都成立。 下面考虑一阶非齐次差分方程 )6.2()

()()()(k f k y k p k Ey =+

定理2.3 单参数函数族 ∑

-=++=1

)()

1()()()(k i k ct i t i f k t k y

表示方程(2.6)之所有的解集,这里c 是任意常量。

证 按定义,对所有N k ∈,0)(≠k p ,因此对于所有N k ∈,0)(≠k t ,

),()1()(0

i p II k t i k i k -=-=故方程(2.6 (2.7)

注意到),()()1()1(k t k p k t --+故(2.7)为

)1()()

()()

1()1(+=

-++k t k f k t k y k t k y

(2.8)

∑+=+)()

()()

1()

(k k t k y k t k f ω

其中)(k ω是周期函数,因为

)

()(k t k y 是定义在N k ∈上,故c k =)(ω(任意常量)。故

∑-=++=

1

)1()

()

()(k i c

i t k f k t k y 是(2.8)的解,c 是任意常数,由初始值确定。因此最终有

-=++=1

)()

1()()()(k i k ct i t i f k t k y 。它是方程 (2.6)的单参数解族。显然方程(2.6)的单数

解族也可以表示为∑

+?=)

1()()()(k t k f k t k y ,事实上此时任意常数c 已包含在∑

+)

1()(k t k f 中.

例3 考虑一阶非齐次差分方程 k

k k k y k k k Ey 2)2()(]1

2[)(+=++- (2.9)

此时,k

k k k f k k k p 2)2()(,1

2)(+=++-

=.首先计算出函数)(k t ,根据公式知

1

1

01

2)

1()

1()()

1()(-=-=++--=-=k i k

k i k

i i i p k t I

3

42312)

1(1

2)

1()

1(21

2k

k i k

i i -=++--=-=

111

+=+-k k

k k k

故得 1)(+=k k t ,2)1(+=+k k t

由定理2.3知方程2.9的解为 ∑∑?+=+=k

k k k t k f k t k y 2)1()

1()()()(

c k k k

k +-=?∑

)2(22, c 是任意常数,因此方程(2.9)的单参数解族为

)1(2)2)(1()(++-+=k c k k k y k

(2.10)

下面我们解初值问题 k

k k k y k k k Ey 2)2()(1

2)(+=++-

;3)0(=y (2.11)

由(2.10)知 c y +?-?==

2)2(1)0(3 5=∴c .故知此初值问题的解为

)1(52)2)(1()(++-+=k k k k y .定理2.1指出,一个线性差分方程初值问题的解,总是

可一步一步地算出.下面举例说明.

例4 考虑初值问题0)()

2)(1(2)(]2

1[

)(2=++-

++-k y k k k Ey k k k y E (2.12)

4)1(,2)0(==y y (2.13)

方程(2.12)可以改写成 )()

2)(1(2)1(2

1)2(k y k k k y k k k y +++

+++=

+ (2.14)

在(2.14)中令0=k ,利用初值条件(2.13),我们得 4242

1)2(=+?=y 对于 3,2,1=k ,我们有 443

22432)3(=??+

?=

y 3

1144

32443)4(=

??+

?=y

310454231154)5(=??+?=y

这个方法可以继续进行到算出所求的解)(k y 值.

1.3 一般理论

本章§1.1中已指出,n 阶算子 I k p E k p E n n n )()(11+++=∧- (3.1) 是一线性算子.令H 表示齐次方程 0)(=∧y (3.2) 的所有解集合.这就是H k y ∈)(的充分必要条件是 0)]([=∧k y .

因为,如果对于某个整数j ,有 0)()()(21i y y y ∧==∧=∧ 即齐次方程(3.2)有j 解,则可推出i y y y ,,21的所有线性组合,都是方程(3.2)的解.

这是因为 0)]([)]()()([1

2211=∧=+++∧∑=i

i i i

i i k y c

k y c k y c k y c 用线性代数

的语言来说,这个结论可以陈述如下:

定理3.1 齐次方程(3.2)的所有解的集合H 是向量空间的∞V 的一个子空间. 定理3.2 令)(),(),(21k y k y k y i 是∞V 的元.如果这些函数的线性组合等于函数的,只是平凡的线性组合,也就是,如果 0)()()(2211=+++k y c k y c k y c i i 蕴含

021===i c c c ,则这个函数集合))(,),(),((21k y k y k y i 是线性无关的.如果这些函

数))()((1k y k y i 的某个非平凡线性组合等于零函数,则这个函数集合是线性相关的.

例1 如果1)(1=k y ,k k y =)(2,及2

3)(k k y =.此时考虑

0)()()(332211=++k y c k y c k y c

即 0)

2(321=++k c k c c (3.3)

则由 0][)2(321=++?k c k c c 0)

2(32=?+?k

c k c 即 02)

1(32=+k c c (3.4)

再由 02]2]2[3)

1(32)1(32==?+?=+?c k c c k c c ,故得03=c ;由(3.4)知02=c ;再

由知(3.3)01=c 因此这三个函数)2(,,1k k 在N k ∈上是线性无关的.

例2 如果 1)(1=k y ,k k y =)(2,23)(k k y =及12)()2(4-=k k y ,则因

1221)()(2)()

2()

2(431-+-++-k

k

k y k y k y ,所以这个函数集

))(),(),(),((4321k y k y k y k y 是线性相关的;如果仅考虑前三个函数)(1k y ,)(2k y ,)(3k y ,它们就是线性无关.

定义3.2 令)(,),(),(21k f k f k f m 是∞V 的元,则m m ?阶矩阵

????

?

?

????

??=---)()

()()

()()()

()()

()(1

21

11

2121k f E k f E

k f E

k Ef k Ef k Ef k f k f k f k c m m m m m m

被称为函数)(,),(),(21k f k f k f m 的Casorati 矩阵.

对于给定的函数集 )(,),(),(21k f k f k f m )(k c 是一个整数变量的矩阵函数,而)](det[k c 则是整数变量的一个实值函数.我们有以下结论.

定义3.2 如果)(,),(),(21k f k f k f m 是∞V 的元,且这m 个函数在N 上是线性相关,则在N 上0)](det[=k c

证 因为这m 个函数在N 上是线性相关的,所以存在不全为零的常数m c c c ,,,21 ,使得在N 上 0)()()(2211=+++k f c k f c k f c m m 因此对每个非负整数i ,10-≤≤m i 有

0)()()(2211=+++k f E c k f E c k f E c m i

m i

i

(3.5)

令T

m c c c L ),,,(21 =是(3.5)中的系数构成的非零向量,因此方程组(3.5)可写成

)2(])2()2([)2(1)2(11

1--++-+--=

---m z E m p E

m p E

m p m z n n n

n

0)1()]2()2([)

2(112

11

=--++-+--=---m z m p E

m p E

m p n n n n

继续这个过程,我们可以导出 0)0()0()0(1

====-z E

Ez z n .所以在这种情况下,

)(k z 是零函数.

定义3.4 如果)(,),(),(21k y k y k y n 是齐次方程

+++∧- 1

1)()[(n n

E

k p E

y 0])(=y I k p n (3.2)

的n 个解,)(k c 是这些函数的Casorati 矩阵,且如果对于某个N m ∈,0)](det[=m c ,则这n 个解在N 上是线性相关的 ????

?

?

???

?

??=---)()

()()

()()

()

()()()(1

21

11

2121k y E k y E

k y E

k Ey k Ey k Ey k y k y k y k c n n n n n n

证 如果对某个N m ∈,0)](det[=m c 这就意味着)(m c 中的列向量(或行向量)是线性相关的,因此存在一个非零向量 T n c c c L ),,,(21 = 使得 φ=????

?

?

????????????????

?

??=---n n n n n n n c c

c m y E m y E

m y E

m Ey m Ey m Ey m y m y m y L m c

211

21

11

2121)()

()()()

()

()

()()

()( φ表示零向量 φ=L m c )( (3.8)

令 )()()()(2211k y c k y c k y c k z n n +++= 由于),,2,1()

(n i k y i =是齐次方程(3.2)的解,所以它们的线性组合)(k z 仍旧是(3.2)

的一个解.再则由(3.8)直接推出 0)()()(1

====-m z E m Ez m z n

因此利用定理3.3知)(k z 是一个零函数.即 0)(=k z N k ∈. 故导出 φ=+++)()()(2211k y c k y c k y c n n N k ∈.

因为n c c c ,,21是不全为零的n 个数,所以解)(,),(),(21k y k y k y n 是线性相关的.

系3.2 令)(,),(),(21k y k y k y n 是齐次线性差分方程(3.2)的n 个解,则 (i )这n 个解是线性相关的充分必要条件是:在N 上)(0

)](det[N k k c ∈=;

(ii) 这n 个解是线性无关的充分必要条件是:对所有的)(N k ∈,0)](det[≠k c . 从这个系的结论知,引进函数的Casorati 矩阵之目.当这组函数是齐次线性差分方程的解时,则根据它们的Casorati 矩阵行列式在N 上是否为0,即可判断这组解函数的线性相关性和线

性无关性.而对任意的n 个函数(不受方程约束)而言,这个系的结论就不一定成立.

H 是表示齐次程(3.2)的所有解构成之集合.前面已指出H 是向量空间∞V 的一个子

空间.下面就来确定H 的维数.

定义3.5 n 阶齐次差分方程(3.2)的任一解可以表示为方程(3.2)的n 个线性无关解的一个线性组合.

证 令),,2,1()

(n i k y i =是方程(3.2)满足如下的初始条件:

??

???

?

?=-=-====-=====-====1

)1(,0)2()1()0(0

)1()2(,0)1(,1)0(0)1()2(,0)0(,1)0(2222111n y n y y y n y y y y n y y y y n n n n

i (3.9) 的唯一解.初始条件(3.9)可简单地写成 1)0(1=-i i y E n i ,

,2,1 =

其他初值均为零.显然,当0=k 时,这n 个解的Casorati 矩阵是单位矩阵

???????

??

?

??---=)1()

1()

1()

1()1()

1()0()0()

0()0(212121n y n y n y y y y y y y c n n n

?????

??

???

??=10

01

0001

∴ 01)](det[≠=k c 这就表示了)

,,2,1()

(n i k y i =)(N k ∈是线性无关的.所以方程(3.2)就n 个线性

无关的解.令)(k y 是(3.2)的一个解,并考虑

)()1()()1()()0()(21k y n y k y y k y y k z n -+++=

因为)(k z 只是上面所考考的n 个线性无关解一个线性组合.所以)(k z 也是(3.2)的一个解.而且有 )0()0()1()0()1()0()0()0(21y y n y y y y y z n =-+++=

)1()1()1()1()1()1()0()1(21y y n y y y y y z n =-+++=

+-+-=-)1()1()1()0()1(21n y y n y y n z

)1()1()1(-=--+n y n y n y n

故对于1,,2,1,0-=n m 时 )()()0(m y m z z E m

==

由唯一性定理知,在)(N k ∈上)()(k z k y =,因此方程(3.2)的任一个解都可以表示为方程(3.2)的n 个线性无的解的一个线性组合.

定义3.3 n 阶线性齐次差分方程

0])()([)(11

1=+++=∧--y I k p E

k p E

y n n n

(3.2)

的任意n 个线性无关解的一个集合,都称为(3.2)的一个解基.

例3 考虑议程 0)()23(2=+-k y I E E (3.10)

即可写成 0)(2)1(3)2(=++-+k y k y k y (3.10)

容易验证1)(1=k y ,及k k y 2)(2=是此方程的两个线性无关的解.所以这两个函数

1)(1=k y 与k

k y 2)(2=构成了方程(3.10)的一个解基,并且

k

c c k y 27)(21?+?= (3.11)

是二阶线性齐次差分方程(3.10)的含有两个参数1c 、2c 的解族,实质上就是和在常微分方程教程中所说的通解意义一样,因此我们今天不防称由(3.11)的表示的解为方程(3.10)的通解.

与线性算子 I k p E k p E k p E n n n n )()()(111++++=∧--

有关的是齐次方程 φ==∧)]([k y (3.2) 以及形如 )()]([k f k y ==∧ (3.2) 的非齐次方程,这里φ=)(k f .

方程(3.2)与(3.12)之间的关系密切,它们的解之间有下面的结论.

定义3.6 如果)(k u 及)(k v 是非齐次方程(3.12)的解,则)()()(k v k u k y -=是(3.12)的两个解.再根据算子∧的线性性 0)()())(())((=-=∧-∧k f k f k u k u 即 0))(()((=∧-∧k u k u ,则 )()()(k u k u k y -=是(3.2)的一个解.

定义 3.7 如果)(k z 是非齐次方程(3.12)的一个解,且)(,),(),(21k y k y k y n 是齐次方程(3.2)的一个解基,则非齐次方程(3.12)的每一个解可以表示成

)()()()()(2211k z k y c k y c k y c k y n n ++++= 这里n c c c ,,21 是常量.

证 由假定)(k y 与)(k z 都是非齐次方程(3.12)的两个解,根据定理3.6知.它们的差)()(k z k y -是齐次方程(3.2)的一个解,再根据定理3.5知,)()(k z k y -可以表示成(3.2)的一个解基))(,),(),((21k y k y k y n 的一个线性组合.即

)()()()()(2211k y c k y c k y c k z k y n n +++=- ,则)()()(1

k z k y c

k y n

i i i

+=

∑=.

定理证毕.

例4 考虑非齐次方程 k k y I E E 3)()23(2=+- (3.11) 容易验证k

k z 32

1)(?=

是方程(3.11)的一个解.事实上,将其代入(3.11)之左端得

)(2)1(3)2()()23(2

k z k z k z k z I E E

++-+=+-k

k k 32

123

2

133

211

2

??

+??

-?=

++

)11.3(3

]12

92

9[

3==+-

=k

k

的右端

由例3 知7)(1=k y 与k k y 2)(2=是(3.11)的齐次部分,即方程(3.10)的一组解基,由定3.7和(3.11)的任一解可以表示为 k

k c c k y 32

127)(21?+

?+?=再考虑由(3.11)与

初始值3)0(=y ,1)1(=y 构成的初值问题:???===++-+1)1(,3)0(3)(2)1(3)2(y y k y k y k y k

其解答如下所示:由初始条件知 ???

????

=++?==++?=1

2327)1(32

17)0(2

121c c y c c y ?

????

?

-==314112

1

c c 故此初值问题的唯一解 k

k

k y 32

1232

11)(?+

?-=

上面例3与例4告诉了我们具有常数的二阶线性齐次差分方程(3.10)和非次差分方程(3.11)存在形如7)(1=k y ,k k y 2)(2=的解基和特解k

k z 32

1)(?=

.这些解函数是根据什么规则

和原理,从方程中把它们找出来呢?这就是我们在下一节将要回答的问题.

1.4 常系数线性差分方程

定义 4.1 设 n n n n a t a t

a t a t p ++++=--11

10)( 是一个n 次的实系数多项式.0≠n a ,与)(t p 有关的是一个n 阶算子多项式)(E P ,其定义如下:

I a E a E

a E

a E P n n n

011

10)(+++=--

这样一来 φ=y E P )( 是n 阶齐次差分方程的简略表示

我们指出,在定义4.1中假定0≠n a ,它就相当于0)0(≠p 这就对应于n 阶算子

I k p E k p E

k p E

n n n n

)()()(11

1+++=∧-- 中,假定对所有N k ∈,0)(≠k p 时的同

样意义,其次应当注意到)(1

k

k k

b b b b E ==+这类似于微分算子dx

d D =

bx

bx

be

De

=

现在我们容易证明下面的结论:

定义4.1 如果)(E P 是一个n 阶算子多项式,则 ][)(])[(k k b b P b E P = 证 k n n n n k b a E a E a E a b E P )(])[(1110++++=--

k

n k n k n k

n

b a b E a b E

a b E a ++++=--][][][11

10

k

n n n n

b a b a b

a b a )11

10++++=-- ])[(k

b b P =

系4.1 如果)(E P 是一个算子多项式,且0)(=b p ,则k b k y =)(是

φ=++++=--y I a E a E

a E

a y E P n n n n

)()(11

10 (4.1)

的一个解.

证 k n n n n k b I a E a E a E a b E P )())((1110++++=--

k n n n n

b a b a b

a b a )(11

10++++=-- φ==))((k

b b P (因0)(=b p )

故k b k y =)(是齐次方程(4.1)的一个解.当然,如果我们把限制0)0(≠p 取掉,这时定理4.1与系4.1的结论仍然成立.因为零函数总是线性齐次差分方程(4.1)的一个解.

Ⅰ. 考虑一阶齐次差分方程 0)()(10=+k y a k Ey a (4.2) 这时I a aE E P 1)(+=.我们考虑10)(a t a t p +=.如果010≠a a ,则0

1a a t -

=是多项式

)(t p 的一个零点.即0)(0

1=-a a p .故k

a a k y )()(0

1-

=是一阶齐次常系数线性差分方程的一

个解.因此 )0()()(0

1y a a k y k

-

= 表示了方程(5.2)的通解.

Ⅱ. 考虑二阶常系数线性齐次差分方程

0)()()(212

0=++k E a k E a k y E a (4.3)

首先我们写出多项式 212

02)(a t a t a t p ++=

根据系4.1,我们应当算出此多项式的零点.即要求解二次代数方程 0212

0=++a t a t a

的根,亦即解辅助方程 0**212

=++c t c t (4.4) 的根.其中0

11*a a c =

,1

22*a a c =

为常量,且0*2≠c .

设1t ,2t 为(4.4)的两个根,根据根的不同情况,我们来把差分方程(4.3)的解表示

出来.(i )如果1t 与2t 均为实数,且21t t ≠,这时 k t k y 11)(=,k

t k y 22)(=

均为方程(4.3)的解,而它们构成的Casorati 矩阵

???

? ??=???? ??=++1211

21

21

21)(k k k

k k k

k k

t t t t Et Et t t k c 因此,对所有N k ∈ 0)()](det[1221≠-?=t t t t k c k

k 即这两个解是线性无关的.故方

程(4.3)的所有解可表为 k k t c t c k y 2211)(+= (1c ,2c 为任意常数).

(ii)如果21t t =,即方程(4.4)有重根,在这种情况下k t k y 11)(=是方程(4.3)一个解.而方程另一个解是由k t k k y 12)(?=来定.这是因

)

()1()2()()(22212022k y a k y a k y a k y E p ++++=

k

k k kt a t k a t k a 121

1

12

1

0)1()2(++++=++

]2[][1101

1

2112

101a t a t a t a t a kt k k

++++=+0)()(12

1

1121='+=+t p t t p kt k k

注意 由于1t t =是方程0)(212

02=++=a t a t a t p 的重根,故有0)(,0)(1212='=t p t p .

所以k t k y 11)(=,k kt k y 12)(=构成了方程(4.3)的基本解组,从而k t k c c k y 121)()(+= 表示了方程(4.3)的通解.

(iii)如果1t 及2t 为一对共轭复根,即 211ir r t +=,212ir r t -= 1r 与2r 皆为实数,且02≠r .为了获得方程(4.3)的实值函数解,我们将复数211ir r t +=用极坐标形式来表

示.即 0

211)s i n (c o s i re i r ir r t =+=+=θθ

其中 2

2212r r r +=,1

2tan r r =

θ

采用这种形式后,容易证明 θk r k y k

c o s )(1=,θk r k y k

sin )(2=是方程(4.3)的两个线性无关的解.事实上 )()1()2()()(22112012k y a k y a k y a k y E p ++++=

θθθk r a k r

a k r

a k

k k cos )1cos()2cos(21

12

++++=++

]cos )1cos()2cos([212

θθθk a k r a k r a r k ++++=

)()1()2()()(22212022k y a k y a k y a k y E p ++++=

θθθk r a k r

a k r

a k

k k sin )1sin()2sin(21

12

0++++=++

]sin )1sin()2sin([212

0θθθk a k r a k r a r k

++++=;

因此 ))()()((212k iy k y E p +

])2sin()2[cos({2

0θθ+++=k i k r a r k

])1sin()1[cos(1θθ++++k i k r a ]}sin [cos 2θθk i k a ++

}{2)1(1)2(2

θ

θ

ik k i k i k

e

a re

a e

r a r ++=++])()([2120a re

a re

a e

r i i ik k ++=θ

θ

θ

])([22

101a re

t a t i k

++=θ

])([212

101a re

a t a t i k

++=θ

0][2112

101=++=a t a t a t k

同理 ))()()((212k iy k y E p -

)]2sin()2[cos({2

0θθ+-+=k i k r a r k

])1sin()1[cos(1θθ+-++k i k r a ]}sin [cos 2θθk i k a -+

}{2)1(1)2(2

θ

θ

ik k i k i k

e

a re

a e

r a r -+-+-++=0][2212

202=++=a t a t a t k

即 0))()()((212=+k iy k y E p ,0))()()((212=-k iy k y E p . ∴ )()(21k iy k y +与)()(21k iy k y -是齐次方程

0)()()()()(212

02=++=k y a k Ey a k y E a k y E p (4.3)

的一对共轭的复解.故 θk r k y k cos )(1=, θk r k y k

s i n )(2=是(4.3)的两个实 解.而由它们构成的Casorati 矩阵 ???

?

?

?=θθ

θθ

k Er k Er k r k r k c k

k k

k sin cos sin cos )(

????

?

?++=++θθθ

θ)1sin()1cos(sin cos 11

k r k r k r k r k k k

k

∴ ])1c o s (s i n )1s i n ([c o s )]([1

2

θθθθ+-+=+k k k k r k c dct k

0sin )])1[sin((1

21

2≠=-+=++θθθk k r k k r

因此对所有N k ∈,θk r k y k cos )(1=,θk r k y k

sin )(2=是线性无关.从而得到

]sin cos [)(21θθk c k c r k y k

+= (N k ∈)

或者)cos()(B k Ar k y +=θ(N k ∈)均表示了方程(4.3)的所有实解.其中1c 与2c 或A 与B 均为实常量.

例1 考虑二阶齐次差分方程 032=++y Ey y E (4.5) 其辅助的二次代数方程 013)(22=++=t t t p (4.6)

其根为 2

5

32,1+

-=t ,因此k k t k y )2

5

3(

)(11+

-==,k

k

t k y )2

5

3(

)(22-

-==

是方程(4.5)的一组解基.从而方程(4.5)的一般解为

k

k

c c k y )2

5

3(

)2

53(

)(11-

-++

-= 其中1c 与2c 是两个任意常数.

例2 考虑差分方程 06332=--y Ey y E (4.7) 其辅助方程为 0633)(22=--=t t t p ,即022=--t t ∴ 11-=t ,22=t 故k k y )1()(1-=,k k y 2)(2=是方程(4.7)的一组解基.而

k k c c k y 2)1()(21+-= *)7.5( 表示了方程(4.7)的所有解.考虑方程(4.7)的初值问题

??

?-===-+-+*

*)

7.5(1

)1(,4)0(0

)(2)1()2(y y k y k y k y

由*

*)7.5(及初值条件知 ?

??-=+-==+=12)1(4

)0(2121c c y c c y 31=?c ,12=c

因此初值问题**)7.5(之解为 k

k k y 2)1(3)(+-=

例3 考虑二阶差分方程 049142

=++y Ey y E (4.8) 其辅助的二次代数方程为 049142

=++t t (4.9) 故 71-=t ,72-=t .

因此(4.8)的通解为 k

k c c k y )7)(()(21-+= N k ∈.

1c 与2c 为任意常数.

例4 考虑差分方程 0442

=++y Ey y E (4.10) 其辅助方程为 0144)(2

2=++=t t t p . (4.10)

故 2

11-=t ,1

22-

=t .所以(4.10)的通解为k

k c c k y )2

1)(()(21-

+=,1c ,2c 为

任意常数.

例5 考虑二阶差分方程

0222

=+-y Ey y E (4.12)

其辅助方程为 022)(22=+-=t t t p 它的根为i t ±=12,1.用极坐标形式表示根

)4

sin

4

(c os

211π

π

i i t +=

+=

故 π4c o s 2

)(2

1k k y K

=,π4

sin 2)(22k

k y k

=是方程

(4.12)的一组解基.因此方程(4.12)的通解为 2212)4

c o s 4c o s ()(k

k

c k c k y ππ+= (4.13)

或 )4

c o s ()(2

B k

Ar

k y k

+=π (4.14)

其中1c 与2c 或A 和B 均为任意常数.

例6 考虑二阶齐次线性差分方程 01262=+-y Ey y E (4.15) 其辅助方程为 0126)(22=+-=t t t p 它的根为 i t 33,21±

=.

由于1t ,2t 是共轭复根,用极坐形式有 ]6

s i n 6

[c o s )12(3321

1ππi i t +=+=

因此 ]6

s i n

6

c o s

[)12()(212ππk c k c k y l

+= (4.16)

是(4.15)的通解.1c 与2c 是两个任意量.

例7 考虑二阶差分方程 02

=+y y E (4.17) 其辅助方程为01)(2

2=+=t t p .所以根为i t ±=21,

而 2

sin

2cos

π

i i t +==.故2

cos

)(1πk k y =,2

sin

)(2πk k y =.是方程(4.17)的

一组解基,从而方程(4.17)的通解为 2

sin 2

cos

)(21ππk c k c k y +=(1c 与2c 为任意

常数)或 )2

c o s ()(B k

A k y +=π (A ,

B 为任意量)

下面就二阶常系数、线性、非齐次差分方程,在一些特殊情况下,如何找出它的特解,

我们用一些例题来说明求非齐次方程之特解的思想方法,以便找出一些有规律性的原则.

例8 考虑非齐次二阶常系数差分方程. k y Ey y E 3232=+- (4.18) 为了找出方程(4.18)的特解,我们用待定系数法.根据(4.18)右端函数的形式,我们令

k

A k z 3)(?=(A 是待定常量)是(4.18)的解.将其代入(4.18)得到

k

k k k A A A 3323

33

1

2

=?+-++.

即 1299=+-A A A 2

1=∴A

故知方程(4.18)的特解为 k

k z 321)(?=

此外(4.18)的齐次方程的辅助方程是 023)(22=+-=t t t p ,

故它的根11=t ,22=t ,故(4.18)的齐次方程 0233=+-y Ey y E (4.19) 的解基是k

k y 1)(1=,k k y 2)(2=.故由§3.4定量4.6得到非齐次二阶差分方程(4.18)

的通解为 k

k

c c k y 32

12)(21?+

?+=,1c ,2c 是任意常量.

例9 研究方程(5.18)的更一般形式 k a y Ey y E =+-232 (4.20) 这里a 是某个常量.

首先求(5.20)形如k a A k z ?=)(的特解,其中A 为待定常数.将其代入(4.20)得

)(2)1(3)2()(2)(3)(2

k z k z k z k z k Ez k z E ++-+=+-

k

k

k k a a

A Aa

a

A =?+-?=++231

2

(5.20)式之右端)

∴ 1)23(2

=+-a a A

因此当1≠a ,2≠a 时,有2

31

2

+-=

a a A .从而在1≠a 与2≠a 的前提下方程(4.20)

有特解 k

a a a k z ?+-=2

31)(2

N k ∈ 而(4.20)的齐次方程的一组解基为k k y 1)(1=,k

k y 2)(2=.因此当1≠a ,2≠a 时方

程(4.20)的通解为 k

k

a a a c c k y 2

312

)(2

21+-?+=. N k ∈

下面分别就1=a 与2=a 的情形,即1=a 与2=a 是辅助方程0

23)(2

2=+-=t t t p 的根之情形,来处理方程(4.20)的求特解问题.

)(i 1=a ,这时方程(4.20)变为 1232

=+-y Ey y E (4.21)

此时方程(4.21)的右端是常数1,故我们求(4.21)的形如下式的特解

高中数学建模论文精选

关于北京市按机动车尾号限行的合理性 北京四中初一年级:胡思行 摘要 本论文就奥运会后,市政府颁布的机动车限行措施,通过数据整理,用函数来表示出限行对环境的好处,对节约能源的好处,另外还有因限行导致的汽油收入的减少。通过函数比较、数据举例,从环保和经济的角度,阐述限行的合理性。 关键词:减少车辆、减少排放、汽油减收。 正文 1、背景:从奥运会前夕开始,北京市实行了单双号限行政策。从效果来看,奥运会期间,北京蓝天比例达到了100%,交通状况明显改善,这些是显而易见的。当然,在限行背后,部分开车族的出行受到了限制,北京市加油站的收入也有所下降。奥运会后,北京继续实施尾号限行措施。这究竟是有利还是无利呢?利显然是有的,而不利也不能忽视。在到达利最大时,也应该尽量减小不利,这才是最佳的决策。 2、提出问题:如何限行,才能既考虑到节能环保,又考虑到经济?政府为什么这样限行? 3、论文概述:用一次函数y=ax+b ,表示出污染物排放与限制车辆数量的关系,汽油减少量与限制车辆数量的关系,汽油收入的减少与限制车辆数量的关系。再在直角坐标系中表示出各个函数,讨论如何限行最好。 4、研究 设减少行驶的车辆数是C ,减少污染物排放量是G ,减少汽油使用量是P ,减少汽油收入是M ;限行比例是x ;油价是P 0元/升。 (1)奥运期间 背景:奥运会期间,北京市共有机动车335万辆,其中公车60万辆、公交车2万多辆,出租车4万多辆。 限行措施:公车减少50%,社会车辆按尾号单号在单日行驶、双号在双日行驶。公交车、出租车、紧急车辆不受限制。 C 日≈50%×60+50%×(335-60-2-4)=164.5(万辆) 相关资料:“好运北京”体育赛事空气质量测试结果昨天公布。专家组经过测算,8月17日至20日采取的交通限行措施,对氮氧化物、一氧化碳、可吸入颗粒物排放的削减量,平均每天减排量分别为87吨、1362吨、4.8吨,这意味着4天限行减排污染物约5815吨。 平均每辆每天汽车排放污染物G 0=5815吨÷50%(298-60-2-4)÷4≈1.25(千克) G 日≈G 0C=1.25×164.5=205.625(万千克) 1.29620100 9 5.1641000=??==S P C P 日(万升) 相关调查: 车型:奥拓都市贝贝 在市区内行驶是5.5L /100 km 城市里6 L /100 km 夏季使用空调在市区内行驶大概9-10 L /100 km ” 普遍百公里油耗量:大概5.5升到7升左右 车型:吉利豪情 在高速路上行驶6.8L /100km

重点高中生数学建模

重点高中生数学建模

————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:

关于水车上任意一点距离水面的高度与水流速 的关系的研究 1.问题的提出 水车又称孔明车,是我国最古老的农业灌溉工具,是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺,是珍贵的历史文化遗产。相传为汉灵帝时华岚造出雏形,经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用,隋唐时广泛用于农业灌溉,至今已有1700余年历史。 现代,水车作为一种古老而独具智慧的艺术品出现在我们的生活中,人们在惊异古老智慧的同时,是否想过它身上所蕴含的数学问题? 图1 比如:水车上一点距离水面的高度与水流速有何关系? 由图1 可知,水车的高度具有一定的周期性,故,此模型应为研究周期现象的模型。在研究过程中,不考虑其他影响水车转速或水流速的因素。

为了更好地学习数学知识,并将它充分运用到实际生活中,我对此问题想做进一步的研究。 2.问题的分析 问题的条件有两点: 1.题目中要求建立数学模型来研究水车上一点距离水面的高度与水流速的关系,属于周期现象。 2.研究过程中不需要考虑其他因素对水流速与转速的影响。 3.模型的假设与符号说明 假设水流速为恒定值。 符号说明 h 水车上一点距离水面的高度 v 水流速 w 水车的角速度 r 水车的半径 t 时间 b 水车圆心与水面的距离

α水车上一点转过的角度 4.模型建立 图2 如图2,水车半径为r,其中心O距离水面距离为b,规定水流速为v,向左为正方向,任意一点P点距离水面的高度为h。 求h与v的函数解析式。 5.模型求解

在高中数学中如何进行数学建模教学

在高中数学中如何进行数学建模教学 专题1 从列方程解应用题到数学建模 专题2 韩信点兵的数学模型 专题3 函数建模——容器中小的深度与注水时间的关系 专题4 几何建模(一)——飞机飞行的最短路径 专题5 几何建模(二)追截走私船问题 专题6 有关复利的数学模型 专题7 最值模型 专题8 “命运的数学公式” 专题9 中奖概率 专题10 对策模型——嫌疑犯的选择 专题11 水污染治理方案的比较 专题12 “连环送”中的折扣问题 专题13 水库中鼻坝高度与挑角的确定 专题14 双瓶输液中的深度问题 附录数学建模与中学数学 在高中数学中如何进行数学建模教学 数学模型是数学知识与数学应用的桥梁,研究和学习数学模型,能帮助学生探索数学的应用,产生对数学学习的兴趣,培养学生的创新意识和实践能力,加强数学建模教学与学习对学生的智力开发具有深远的意义,现就如何进行高中数学建模教学谈几点体会。 一.要重视各章前问题的教学,使学生明白建立数学模型的实际意义。 教材的每一章都由一个有关的实际问题引入,可直接告诉学生,学了本章的教学内容及方法后,这个实际问题就能用数学模型得到解决,这样,学生就会产生创新意识,对新数学模型的渴求,实践意识,要求学生学完后尝试解决这一类问题。 (1)、一个木材贮运公司,有很大的仓库,用于贮运出售木材。由于木材季度价格的变化,该公司于每季度初购进木材,一部分于本季度内出售,一部分贮存起来以后出售。已知:该公司仓库的最大贮藏量为20万立方米,贮藏费用为:(a+bu)元/万立方米,其中: a=70,b=100,u为贮存时间(季度数)。已知每季度的买进、卖出价及预计的销售量为: 季度买进价(万元/立方米)卖出价(万元/立方米)预计销售量(万立方米) 冬410 425 100 春430 440 140 夏460 465 200 秋450 455 160 由于木材不易久贮,所有库贮木材于每年秋季售完。确定最优采购计划.(由于不能粘贴数学符号图片,所以没有解题) 这是培养创新意识及实践能力的好时机要注意引导,对所考察的实际问题进行抽象分析,建立相应的数学模型,并通过新旧两种思路方法,提出新知识,激发学生的知欲,如不可挫伤学生的积极性,失去“亮点”。 二.通过几何、三角形测量问题和列方程解应用题的教学渗透数学建模的思想与思维过程。

高中数学建模之一

高中数学建模之一 以 函 数 为 模 型 的 应 用 题 南平市高级中学 林奕生 函数主要研究两个变量间的变化规律,它在现实生活中有着非常广泛的应用。以函数为模型的应用题是中学数学中最重要的内容之一,也是高考考查的热点之一。而从应用题中抽象出问题的数学特征,找出函数关系,解决实际问题也是中学数学教学的重要任务之一。问题世界中普遍存在着的最优化问题,常常可归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,运用函数知识和方法去解决. 例1: 某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上,l 与水平地面的夹角为α ,tan α=1/2试问此人距水平地面多高时,观看塔的视角∠BPC 最大(不计此人的身高) (2005年天津卷,第20题) 解:如图所示,建立平面直角坐标系, 则)0,200(A ,)220,0(B ,)300,0(C . 直线l 的方程为αtan )200(-=x y ,即2 200-=x y . 设点P 的坐标为),(y x ,则)2 200,(-x x P (200>x ) 由经过两点的直线的斜率公式 x x x x k PC 2800300 2200 -= --= ,x x x x k PB 2640220 2 200 -=--= . 由直线PC 到直线PB 的角的公式得 640160288642640280012160 1tan 2 ?+-=-? -+= +-= x x x x x x x x k k k k BPC PC PB PC PB

高中数学新教材中的数学建模

高中数学新教材中的数学建模 摘要:数学建模作为沟通数学世界与现实世界的桥梁,近年来逐渐成为数学教育界所讨论的热点。各国与各地区的数学课程改革都将学生数学建模思想的形成及数学建模能力的培养作为数学教育的重要目标之一。2017年我国正式颁布了《普通高中数学课程标准(2017年版)》,将“数学建模”列为六大数学核心素养之一,并将数学建模活动与数学探究活动设置为高中数学课程内容的主线之一,要求其贯穿于必修与选修课程中。鉴于此,文章结合笔者多年工作经验,对高中数学新教材中的数学建模提出了一些建议,仅供参考。 关键词:高中数学;新教材;数学建模 引言 在新的课程体系中,数学建模是重要的板块内容,要求重视学生数学建模活动,引导学生解决实际问题,理解数学知识和生活之间的联系,体会数学在生活中的价值。数学建模实现数学知识的有效扩展,对抽象内容进行概括总结。加强高中数学建模教学,强化学生数学思维,有效解答数学问题,促使问题有效转化,深层次分析和解决数学问题,实现数学模型构建,提高课堂活动有效性。因此,作为高中数学教师,需要以数学新教材作为基础,优化建模教学活动,实现课堂教学任务和目标。 一、数学建模与数学应用题的差异 数学建模的特点:问题来源于现实生活,原汁原味;因为现实生活的复杂性,为了简化模型,往往需要提出一些合理的假设;模型多样化,可以不断地优化完善;得到的结果需要返回现实情境中进行检验。应用题是编者根据现实情境进行合理简化后编制而成的,有浓厚的“人为编制”的味道。另外,应用题的解答流程与建模问题的解答流程并不完全一致,往往应用题都有明确的答案,模型也较为单一。 二、高中数学新教材建模教学得意义 (一)建立学生的数学应用意识 在高中数学教学过程中,教师应让学生依照现实生活的实际问题出发,通过建立数学模型帮助学生利用以前学习过的知识解决遇到的新问题。在数学建模过程中,教师要使学生意识到学习数学的重要性,让学生明白数学来源于生活,用于生活,提高学生对数学的使用意识。教师还可以从学生的日常生活中选取一些与数学知识点有关的问题,并通过数学建模思想与学生进行交流沟通,帮助学生更好地理解数学和运用数学。 (二)培养学生综合能力 在面对数学教学中的实际问题时,教师可以采用数学建模思想进行教学,然而有些数学实际问题并没有固定的标准解答方式,导致所要解答的问题没有唯一结论。为此,高中数学教师应培养学生具有敏锐的观察力,通过逻辑推理对问题进行大胆猜测,以此提高学生的创新能力。只有这样,我们才能在数学建模过程中提高学生的综合能力。 三、高中数学新教材建模教学要点 (一)几何课堂活动的建模教学

高中数学建模与教学设想

高中数学建模与教学设想 "text-align:center;"> [摘要]为增强学生应用数学的意识,切实培养学生解决实际问题的能力,分析了高中数学建模的必要性,并通过对高中学生数学建模能力的调查分析,发现学生数学应 用及数学建模方面存在的问题,并针对问题提出了关于高中进行数学建模教学的几点意见。 论文关键字:数学建模数学应用意识数学建模教学 数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学,在它产生和发展的历史长河中, 一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻 辑的严密性,结论的明确性和体系的完整性,而且在于它应用的广泛性,自进入21 世纪的知识经济时代以来,数学科学的地位发生了巨大的变化,它正在从国家经济 和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展,数学理论与方法的不断扩充使得数学已成为当代高科技的一个重要组成部分,数学已成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力也成为数学教学的一个重要方面。 目前国际数学界普遍赞同通过开展数学建模活动和在数学教学中推广使用现代化技术来推动数学教育改革。美国、德国、日本等发达国家普遍都十分重视数学建模教学,把数学建模活动从大学生向中学生转移是近年国际数学教育发展的一种趋势。“我 国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其它学科的联系未能给予充分的重视,因此,高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强。”我国普通 高中新的数学教学大纲中也明确提出要切实培养学生解决实际问题的能力,要求增强应用数学的意识,能初步运用数学模型解决实际问题。这些要求不仅符合数学本 身发展的需要,也是社会发展的需要。因此我们的数学教学不仅要使学生知道许多 重要的数学概念、方法和结论,而且要提高学生的思维能力,培养学生自觉地运用数学知识去处理和解决日常生活中所遇到的问题,从而形成良好的思维品质。而数学 建模通过"从实际情境中抽象出数学问题,求解数学模型,回到现实中进行检验,必 要时修改模型使之更切合实际"这一过程,促使学生围绕实际问题查阅资料、收集信息、整理加工、获取新知识,从而拓宽了学生的知识面和能力。数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中,是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题 的能力的必备手段之一,是改善学生学习方式的突破口。因此有计划地开展数学建 模活动,将有效地培养学生的能力,提高学生的综合素质。 数学建模可以提高学生的学习兴趣,培养学生不怕吃苦、敢于战胜困难的坚强意志,培养自律、团结的优秀品质,培养正确的数学观。具体的调查表明,大部分学生对数学建模比较感兴趣,并不同程度地促进了他们对于数学及其他课程的学习.有许多 学生认为:"数学源于生活,生活依靠数学,平时做的题都是理论性较强,实际性较弱的题,都是在理想化状态下进行讨论,而数学建模问题贴近生活,充满趣味性"; "数学建模使我更深切地感受到数学与实际的联系,感受到数学问题的广泛,使我们对 于学习数学的重要性理解得更为深刻"。数学建模能培养学生应用数学进行分析、推

数学建模

一、简述题 1. 简述数学建模的一般方法。 答:数学建模的方法一般可分为两类:一类是机理分析方法,一类是测试分析方法。一.机理分析是根据对现实对象特性的认识,分析其因果关系,找出反应内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义。 1. 比例分析法:建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2. 代数方法:求解离散问题(离散的数据、符号、图形)的主要方法 3. 逻辑方法是数学理论研究的重要方法,对付社会学和经济学等领域的实际问题,它在对策和决策等学科中得到广泛应用。 4. 常微分方程:解决两个变量之间的变化规律,关键是建立“瞬间变化率”的表达方式。 5. 偏微分方程:解决应变量与以上自变量之间的变化规律。机理分析法建模的具体步骤大致如下: 1. 实际问题通过抽象、简化、假设,确定变量、参数; 2. 建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数; 3. 用实际问题的实测数据等来检验该数学模型; 4. 符合实际,交付使用,从而可产生经济、社会效益;不符合实际,重新建模。 二. 测试分析方法:将研究对象视为一个黑箱系统,内部机理无法直接寻求, 通过测量系统的输入输出数据,并以此为基础运用统计分析方法,按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。测试分析方法也叫做系统辨识。 1. 回归分析法:用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,……,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法。 2. 时序分析法:处理的动态的相关数据,又称为过程统计方法。 2.谈谈你对数学建模的认识,你认为数学建模要经过哪些关键过程。 答:数学模型是对实际问题的一种数学表达,具体一点地说它是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。而准确的说数学模型是对于一个特定对象为了一个特定目标,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式、算法、表达式、图等等。 而数学建模就是建立数学模型,建立数学模型的过程就是数学建模的过程。数学建模是一种数学的思考方法,是运用数学的语言和方法,通过抽象、简化,建立能够近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模的过程主要包括以下几个过程: 1. 模型准备:了解问题的实际背景,明确其实际意义,掌握对象的各种细信息。用数学语言来描述问题。 2. 模型假设:根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出一些恰当的假设。 3.模型建立:在假设的基础上,利用适当的数学工具来刻画各种变量之间的数学关系,建立相应的数学结构。 4. 模型求解:利用获取的数据资料,对模型的所有参数做出估计。 5. 模型分析:对所得的结果经行数学上的分析。 6. 模型检验:将模型分析结果与实际情形进行比较,以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型和实际比较吻合,则要对计算结果给出其实际含义、并经行解释。如果模型与实际吻合交差,则应该修改假设,再次重复建模过程。

高中数学建模课程建设研究

龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/5614120438.html, 高中数学建模课程建设研究 作者:尹德俊 来源:《中国教育技术装备》2015年第15期 摘要开设高中数学建模课程具有重要意义,有利于合格人才的培养,有利于实际问题的解决,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。 关键词高中数学;数学建模;课程建设 中图分类号:G633.6 文献标识码:B 文章编号:1671-489X(2015)15-0091-02 1 高中开设数学建模课程的背景 在高中设置的课程中,数学是一门必修课程,也是高考比重最大的一门课程,其最终目标是将数学知识融入现实问题中去,从而解决问题,这也是教育教学的最终目的。要达到教育教学的最终目的,必须改革高中的数学课程教学,建设高中数学建模课程。高中数学建模课程可以根据简单的现实问题设置,针对实际生活中的一些简单问题进行适当的假设,建立高中数学知识能解决该问题的数学模型,进而解决该实际问题。因此,可以说高中数学建模课程是利用所学高中数学知识解决实际问题的课程,是将高中数学知识应用的一门课程,是培养出高技能人才的基础课程。 国家教育部制定的高中数学课程标准,重点强调:“要重视高中学生从自己的生活经验和所学知识中去理解数学、学习数学和应用数学,通过自己的感知和实际操作,掌握基本的高中数学知识和数学逻辑思维能力,让高中生体会到数学的乐趣,对数学产生兴趣,让其感觉到数学就在身边。”但是现实中高中数学的教学情况堪忧,基本上都是满堂灌的教学,学生不会应用,对数学毫无兴趣可言,主要体现在三个方面。 第一,虽然有很多学生以高分成绩进入高中学习,但是其数学应用的基础非常差,基本上是会生搬硬套,不会解决实际问题,更不会将数学知识联系到生活中来;也有少数学生数学基础差,没有养成好的数学学习习惯,导致产生厌恶数学的情绪,数学基础知识都没学好,更不用说是用数学解决实际问题。这少数学生就是上课睡觉混日子,根本不去学习,这与高中数学课程的开设目标截然不符。 第二,高中数学课程的教学内容与实际问题严重脱节,高中的数学教材中涉及的数学知识基本上都是计算内容,而不是用来处理和解决生活问题的,更是缺少数学与其他学科(比如化学、物理、生物、地理等)的相互渗透,即便高中数学课程中有一些数学应用的例子,也属于选学内容,教师根本不去讲、不涉及,这样导致高中数学课的教学达不到其教学目的,发挥不出功能。当前的高中数学课程就是教师讲基本的数学知识,学生记忆、计算、生搬硬套的过

16649-数学建模-培训课件

田径 田径是体育运动中最古老的运动项目。 田径是奥林匹克运动的基石,最能体现奥林匹克"更快、更高、更强"的座右铭。 田径也是奥运会设金牌最多的项目,因此有人用"得田径者得天下"来形容田径在奥运会金牌总数中所占的位置。 A、男子:100米跑、200米跑、400米跑、800米跑、1500米跑、5000米跑、10000米跑、马拉松跑、3000米障碍跑、110米跨栏跑、400米跨栏跑、跳高、撑杆跳高、跳远、三级跳远、铅球、铁饼、链球、标枪、十项全能、20公里竞走、50公里竞走、4×100米接力、4×400米接力; B、女子:100米跑、200米跑、400米跑、800米跑、1500米跑、5000米跑、10000米跑、马拉松跑、100米跨栏跑、400米跨栏跑、跳高、跳远、三级跳、撑高跳高、铅球、铁饼、标枪、链球、七项全能、4×100米接力、4×400米接力、20公里竞走。 赛艇 运动员背向前进方向划水的一项划船运动,起源于英国17世纪到18世纪中叶。 赛艇按乘坐人数,有无舵手,以及使用单桨还是双桨划分项目。比赛距离男子2000米,女子为1000米,每条航道宽12.5~15米。 A、男子:单人双桨、双人双桨、双人单桨无舵手、双人单桨有舵手、四人双桨无舵手、四人单桨无舵手、四人单桨有舵手、八人单桨有舵手; B、女子:单人双桨、双人双桨、双人单桨无舵手、四人双桨有舵手、四人单桨有舵手、八人单桨有舵手。 自行车 起源于欧洲。1896年列为首届奥运会比赛。 A、男子11项场地项目:1公里计时赛、个人争先赛(3圈)、4000米个人追逐赛、4000米团队追逐赛、记分赛、奥林匹克争先赛、麦迪逊赛、凯林赛;公路项目:个人赛、个人计时赛山地车:越野 B、女子7项场地项目:500米计时赛、个人争先赛(3圈)、3000米个人追逐赛、记分赛;公路项目:70公里个人赛、个人计时赛山地车:越野 棒球 是一项男子比赛项目,起源有两种说法,一种认为起源于英国,由英国的一种儿童游戏演变而成,继而被英国移民传入美国,逐渐成为美国国球";另一种认为起源于美国。 1992年列入奥运会项目。 游泳 奥运会游泳比赛共设31个项目,是仅次于田径运动的金牌大户。 A、男子游泳:50米自由泳、100米自由泳、200米自由泳、400米自由泳、1500米自由泳、100米仰泳、200米仰泳、100米蛙泳、200米蛙泳、100米蝶泳、200米蝶泳、200米混合泳、400米混合泳、4×100米自由泳接力、4×200米自由泳接力、4×100米混合泳接力;跳水:3米跳板、10米跳台、双人3米跳板、双人10米跳台;水球:1项; B、女子游泳:50米自由泳、100米自由泳、200米自由泳、400米自由泳、800米自由泳、100米仰泳、200米仰泳、100米蛙泳、200米蛙泳、100米蝶泳、200米蝶泳、200米混合泳、400米混合泳、4×100

高中常见数学模型案例

高中常见数学模型案例 中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出:“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”,“数学建模是数学学习的一种新的方式,它为学生提供了自主学习的空间,有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程,增强应用意识;有助于激发学生学习数学的兴趣,发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种: 一、函数模型 用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用,两个变量或几个变量,凡能找到它们之间的联系,并用数学形式表示出来,建立起一个函数关系(数学模型),然后运用函数的有关知识去解决实际问题,这些都属于函数模型的范畴。 1、正比例、反比例函数问题 例1:某商人购货,进价已按原价a 扣去25%,他希望对货物订一新价,以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利,则此商人经营者中货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是___________。 分析:欲求货物数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式,关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。 若设新价为b ,则售价为b (1-20%),因为原价为a ,所以进价为a (1-25%) 解:依题意,有25.0)2.01()25.01()2.01(?-=---b a b 化简得a b 45=,所以x a bx y ??==2.0452.0,即+∈=N x x a y ,4 2、一次函数问题 例2:某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地,在B 地停留1h 后,再以50km/h 的速度返回A 地,把汽车离开A 地的路x (km )表示为时间t (h )的函数,并画出函数的图像。 分析:根据路程=速度×时间,可得出路程x 和时间t 得函数关系式x (t );同样,可列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量,从B 地返回时速度为负值,重点应注意如何画这两个函数的图像,要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。 解:汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系式是:?? ???∈--∈∈=]5.6,5.3(),5.3(50150]5.3,5.2(,150]5.2,0[,60t t t t t x ,图略。 速度vkm/h 与时间t h 的函数关系式是:?? ???∈-∈∈=)5.6,5.3[,50)5.3,5.2[,0)5.2,0[,60t t t v ,图略。 3、二次函数问题 例3:有L 米长的钢材,要做成如图所示的窗架,上半部分为半圆,下半部分为六个全等小矩形组成的矩形,试问小矩形的长、宽比为多少时,窗所通过的光线最多,并具体标出窗框面积的最大值。

国内中学数学建模及其教学的研究现状

国内中学数学建模及其教学的研究现状 一、国内中学数学建模的研究现状 随着时代的进步和科技的发展,人们越来越觉得数学素质是一个人的基本素质的重要方面之一,而掌握和运用数学模型方法是衡量一个人数学素质高低的一个重要标志。受西方国家的影响,20世纪80年代初,数学建模课程引入到我国的一些高校,短短几十年来发展非常迅速,影响很大。1989年,我国高校有4个队首次参加美国大学生数学建模竞赛。现在这项竞赛已经成为一个世界性的竞赛。在美国大学生数学建模竞赛的影响下,1992年11月底,中国工业与应用数学学会举行了我国首届大学生数学建模联赛。从那以后,数学应用、数学建模方法、数学建模教学的热潮也迅速波及到中学,使得我国有关中学数学杂志中,讨论数学应用数学建模方法、数学建模教学的文章明显多了起来。1996年9月北京市数学会组织了一部分中学生参加了“全国大学生数学建模大赛”,取得了意想不到的好成绩,赢得了评审人员、教师等有关人士的一致好评。这些竞赛与常规的数学竞赛很不一样,题目内容与生产和生活实际紧密相连,可以使用参考书和计算工具,都是要通过建立数学模型来解决实际应用问题。这也说明中学生能否进行数学建模并不在于是否具备高等数学知识,运用初等数学知识仍然可以进行数学建模,甚至有时能把问题解决得更好。 在我国,中学真正开展数学建模的时间并不长。最早进行中学数学建模的城市是上海市。1991年10月,由上海市科技局、上海工业与应用数学学会、上海金桥出口加工联合有限公司联合举办了“上海市首届…金桥杯?中学生数学知识应用竞赛”的初赛,并于1992年3月举行了决赛。以后每年进行一次,主要对象是高中学生。这项竞赛参加者最多时达到了四千多人,在培养中学生数学应用意识和数学建模能力方面起到了重要作用,也为我国其他地区举办中学生数学应用与建模竞赛起了一个带头作用。 北京市于1993年到1994年也成功举办了“北京市首届…方正杯?中学生数学知识应用竞赛”,有两千多人参加了竞赛。与此同时,举办者开始尝试让中学生写数学建模的小论文,学生所写的小论文让举办者和教师大为吃惊。到1997年北京市教委从中学数学教育改革,特别是从应试教育向素质教育转变的角度出发,批准恢复了一年一度面向高中学生的竞赛。北京市成立了由北京市数学会、北京市教委科教院、人民教育出版社、北京师范大学、首都师范大学联合组织的“高中数学应用知识竞赛”咨询委员会和组织委员会,由北京数学会作为具体承办单位,并于1997年12月举办了“第一届北京市高中数学知识应用竞赛”初赛,并于1998年3月进行了决赛,至今成为惯例,已成功举办了十一届。 2000年8月,第七届全国数学建模教学与应用会议在郑州召开。会议安排了有关中学数学应用和建模的报告。比如,北京理工大学的叶其孝教授和北京师范大学的刘来福教授分别作了题为“深入开展中学生数学知识应用活动”和“北京中学生数学知识应用竞赛”的报告。特别值得提出的是,在这次会议上,第一次有中学教师参加。 2001年7月29日至8月2日,第十届国际数学建模教学与应用会议在北京举行。会议的研讨包括“中学数学知识应用竞赛和中学数学教育改革”的报告和研讨会。部分中国与会者还就“大、中学数学建模教学活动和教育改革”,“美、中大学生数学建模竞赛赛题解析”进行了交流。我国的一些中学教师在会上作了有关中学数学建模的报告,引起了与会者的强烈反响。所有这些都为进一步推动我国的数学建模教学活动创造了良好的条件。 教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准(实验稿)》把数学建模纳入了内容标准中,明确指出“高中阶段至少应为学生安排一次数学建模活动”,这标志着数学建模正式进入我国高中数学,也是我国中学数学应用与建模发展的一个里程碑。 二、国内中学数学建模教学的特点

高中数学建模研究论文

高中数学建模研究论文 数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学,在它产生和发展的历史长河中,一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性,结论的明确性和体系的完整性,而且在于它应用的广泛性,自进入21世纪的知识经济时代以来,数学科学的地位发生了巨大的变化,它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展,数学理论与方法的不断扩充使得数学已成为当代高科技的一个重要组成部分,数学已成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力也成为数学教学的一个重要方面。 目前国际数学界普遍赞同通过开展数学建模活动和在数学教学中推广使用现代化技术来推动数学教育改革。美国、德国、日本等发达国家普遍都十分重视数学建模教学,把数学建模活动从大学生向中学生转移是近年国际数学教育发展的一种趋势。“我国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其它学科的联系未能给予充分的重视,因此,高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强。”我国普通高中新的数学教学大纲中也明确提出要切实培养学生解决实际问题的能力,要求增强应用数学的意识,能初步运用数学模型解决实际问题。这些要求不仅符合数学本身发展的需要,也是社会发展的需要。因此我们的数学教学不仅要使学生知道许多重要的数学概念、方法和结论,而且要提高学生的思维能力,培养学生自觉地运用数学知识去处理和解决日常生活中所遇到的问题,从而形成良好的思维品质。而数学建模通过”从实际情境中抽象出数学问题,求解数学模型,回到现实中进行检验,必要时修改模型使之更切合实际”这一过程,促使学生围绕实际问题查阅资料、收集信息、整理加工、获取新知识,从而拓宽了学生的知识面和能力。数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中,是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一,是改善学生学习方式的突破口。因此有计划地开展数学建模活动,将有效地培养学生的能力,提高学生的综合素质。 数学建模可以提高学生的学习兴趣,培养学生不怕吃苦、敢于战胜困难的坚强意志,培养自律、团结的优秀品质,培养正确的数学观。具体的调查表明,大

高中数学建模

高中数学建模教学实施策略探究 一 问题提出 六七十年代西方国家开始设置数学建模课程,着重讲授一些数学建模方法,旨在培养学生数学建模能力。八十年代初我国一些高等院校的数学专业引入了这门课程。九十年代初我国举办大学生数学建模竞赛,数学建模课程得到了很大的发展。二十一世纪初我国《普通高中数学课程标准(实验)》中要求数学建模以不同的形式渗透于必修和选修课程中。数学建模进入高中数学课程成为必然,作为一线教师必须改变观念,积极探索数学建模教学实施策略,为学生数学学习营造更为宽广的空间。 二 数学建模 2.1 数学模型 数学模型是一个数学结构,它依赖于现实世界的某一特定对象,通过必要的简化和假设等数学工具获得的。由此所见数学模型能解释特定现象的现实性态;能预测对象的未来状态;能提供处理对象的最优决策或控制。数学模型有两个特点,一是它是一种纯关系结构,是经过数学抽象抛离了一切与关系无本质联系的属性后的系统。二是它是由数学概念和数学符号来描述的。 三 高中数学建模教学案例分析 高中数学建模要以多种方式渗透进各个模块的学习中,其研究的实际问题可涉及多个方面,如函数问题、三角函数问题、数列问题、不等式问题、解析几何问题、立体几何问题、概率问题。 3.1立体几何模型 物体的形状、大小与位置关系是几何研究的主要对象,它涉及到零件体积、事物包装、工程计算等实际问题。建构立体几何模型可以培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力和几何直观能力。

案例一:某高速公路收费站入口处的安全标识墩如右图所示,墩的上半部分是正四棱锥P - EFGH ,下部分是长方体ABCD - EFGH . 图1和图2分别是该标识墩的正(主)视图和俯 视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左) 视图; (2)求该安全标识墩的体积; (3 )证明 : 直线BD 平面PEG . 学生甲的解决方案: 学生乙的解决方案: 建模分析:这是一道立体几何的应用题,考查知识涉及三视图、体积公式 和线面关系。问题解决不仅 40cm 40cm 图2 40cm 60cm 20cm 图1 侧视 正视 C A E B D H P G F

高中数学建模论文

高中数学建模论文 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

数学建模之观影的最佳位置 山东省茌平县第一中学高二(9)班李成真 指导老师于海霞摘要 当今这个时代,电影是一种喜闻乐见的大众艺术,人们喜欢在闲暇时间走进影院,体验其中的喜怒哀乐。而同时,作为一种消费,人们总是希望自己能坐在电影院的最佳位置,使得视觉,听觉得到最好的享受,本文章从看电影时观众的舒适度出发,对影院的座位设计进行了探讨,而我也专门到电影院采集了相关的一些数据,比如大屏幕的长宽,地板倾角θ等,通过查阅文献,我了解到影院座位的舒适程度主要取决于视角α.和仰角β,视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角, 越大越好; 仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角, 太大使人的头部过分上仰, 引起不适, 一般要求仰角β不超过30。【1】在了解了这些之后,并通过非线性规划,自学了Matlab软件,利用其进行了计算。 关键词 电影院最佳位置仰角视角 Matlab 前言 电影是一种表演艺术、视觉艺术及听觉艺术,利用胶卷、录像带或数位媒体将影像和声音捕捉,再加上后期的编辑工作而成。电影艺术诞生于1895年12月28日。电影于1896年8月传入中国上海。随着人们生活质量的提高,更高的生活品质成为人们的追求,电影作为一个雅俗共赏的消遣方式,越来越受到人们的关注,而中国的票房也逐年升高,除了引进的外国大片获得很高的票房,如《阿凡达》、《泰坦尼克号》等,国产影片也令人刮目相看,《泰

囧》、《大闹天宫》、《私人定制》等创造了一个又一个票房奇迹。从中我们看到电影在人们生活中的重要性,也因此,为吸引观众,影院开始引入高科技,如3D技术、曲面屏幕、IMAX大屏,除 此之外,在设计时影院也充分考虑了观众看电影时的舒适度,对于影院的地板倾角,前后排椅子之间的距离,以及观众离屏幕的距离都进行了精心设计。可是尽管如此,不同的位置看电影,感受肯定会有很大差异,根据这个想法,我们进行了数学建模。 建模构想 看电影时的舒适感取决于视角α和仰角β,所以在选取最佳位置时要综合考虑两者,视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角, 越大越好; 仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角, 太大使人的头部过分上仰, 引起不适,一般要求仰角β不超过30。所以如果坐的太靠前,导致仰角太大,除了脖子会感到酸痛外,视野及画面感也不好,甚至会感到头晕。而坐的太靠后,又可能会觉得画面不是那么的清晰,甚至被前面的观众挡住视线,看不到屏幕的最下面。所以,看电影挑选位置是一门学问。 设影院的屏幕高为h,上边缘距离地面高为H,影院的地板线通常与水平线有一个倾角θ,第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为d, D, 观众的平均座高为c (指眼睛到地面的距离), 为了得到这些基本参数,我专门来到电影院采集数据,询问了电影院工作人员,在说明来意之后,她热心的为我解答甚至专门拿出了电影院建设之初的相关材料,而我也得知了参数h = , H= 5, d= , D= 19,c =

高中数学建模

高中数学建模的三种教学形式 问题的提出 数学建模的教学实践在我国己有十多年的探索了,新的国家课程标准和新的教材都将 数学建模内容列入学生必修内容。在探究性学习的探索中,一些学校选择了数学建模做为突破口;在进行数学课题学习的教学实践中,数学建模是其中的一种重要形式。对数学建模教学进行了积极的探索,针对人为地将数学建模教学与曰常课堂教学相割裂、教师和学生对数学建模这种具有多样性、新奇性的学习形式存在的畏难心理等困难。 研究方法和过程 一、常规课堂教学中的数学建模教学广义地说,一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程式和算法系统都可以称为数学模形。如“椭圆的方程及图象”就是一个数学模型,“用…二分法?求方程的一个近似解”也是一个数学模型。针对学生在数学建模中不会对实际问题进行抽象、简化、假设变量和参数,形成明确的数学框架的困难,我们在常规的数学课堂教学中,有意识地选择合适的教学内容,模仿实际问题中建立数学模型的过程,来处理教材中常规的学习内容,从而为学生由实际问题来建立模型奠定基础。譬如,对于二面角内容的教学,在学生原有生活经历中,有水坝面和水平面成适当的角的印象;有半开着的门与墙面形 成角的印象,那么我们在让学生形成二面角的概念时,应当从学生已有的这些认识中,舍弃具 体的水坝、门等对象,而抽象出“从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角”,在这里,半平面是相对于水坝拦水面、门等的具体对象而进行合理假设得到的理想化对象,而在进一步研究如何度量一个二面角的大小时,我们是让学生提出各种方案,然后通过讨论、比较各方案所定义的几何量对给定的二面角是不是不变量,同时又简洁表达了二面角中两个半平面闭合程度的大小。以上关于二面角的概念及其度量方法的教学过程,实际上就是建立数学模型并研究模型的过程。这个教学案例说明,在常规的曰常课堂教学中,完全可以选定适当内容,创设出数学建模的教学情景来处理教学内容,从而为学生真正面对实际问题来建立模型、研究模型创造条件。 二、教师提供问题的数学建模教学教师提供问题的数学建模,基本上同目前开展的大学生、中学生数学建模竞赛中需要完成的建模任务相同。这种形式的数学建模学生不需要自己选定实际问题研究,而是由教师选定适合于学生水平的实际问题呈现给学生,在教师的启发、引导下,学生小组通过讨论,自己完成模型选择和建立、计算、验证等过程,最后用小论文的形式呈现自己的研究成果,这种形式的数学建模学生已真正接触到实际问题,并经历 建模的全过程。经过了曰常课堂教学中的数学建模教学,学生对什么是数学建模已有了一定的认识,并已经历了由具体问题抽象出明确数学框架的锻练,因此,我们在这种形式的数学建 模教学中,主要是加强以下几个方面的教学。1.提供的实际问题必须难易适度,应当适合于学生的认知水平。对于较难的问题,我们往往给出必要提示,如启发学生通过提出合符常理的假设来将复杂的问题化为可以建模的问题;通过提示学生设定相关变量来达到使模型容易建立等。教师可从选定的实际问题、模型假设、变量设定等方面来控制难度,其中模型假设和变量设定是直接影响到模型建立的关键因素,对此关键点教师没计适当的教学形式,是“教师给定问题型”建模教学的关键。2.在“教师给定问题型”的数学建模的实践中,学生将经历建模的全过程,其中在模型的求解这一环节,往往需要借助计算机选择一个合适的数学软件平合,通过数学实验来求解模型。通过使学生精通一种软件的使用,再介绍学生自己钻研其它几种数学软件的使用,从而为学生正确求出模型的解,铺平了道路。3.在近几年对学生的辅导过程中,我们感到以下一些问题可用来训练学生的数学建模能力,它们是:(1)路桥问题,(2)限定区域的驾驶问题,(3)交通信号灯管理问题,(4)球的内接多面体问题,(5)螺旋线问题,(6)最短路问题,(7)最小连接问题,(8)选址问题,(9)面包进货问题等。4.在“教师给

相关主题
相关文档 最新文档