椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆0632
2
=-+m y mx 的一个焦点为(0,2)求m 的值.
分析:把椭圆的方程化为标准方程,由2=c ,根据关系2
2
2
c b a +=可求出m 的值.
解:方程变形为
1262
2=+m
y x .因为焦点在y 轴上,所以62>m ,解得3>m . 又2=c ,所以2
262=-m ,5=m 适合.故5=m .
例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点()03,
P ,b a 3=,求椭圆的标准方程.
分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法,
求出参数a 和b (或2
a 和2
b )的值,即可求得椭圆的标准方程.
解:当焦点在x 轴上时,设其方程为()0122
22>>=+b a b
y a x .
由椭圆过点()03,
P ,知10922=+b a .又b a 3=,代入得12=b ,92
=a ,故椭圆的方程为1922=+y x . 当焦点在y 轴上时,设其方程为()0122
22>>=+b a b
x a y .
由椭圆过点()03,P ,知10922=+b
a .又
b a 3=,联立解得812=a ,92
=b ,故椭圆的方程为198122=+x y .
例3 ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.
分析:(1)由已知可得20=+GB GC ,再利用椭圆定义求解.
(2)由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系,利用代入法求A 的轨迹方程.
解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ,,由20=+GB GC ,知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b ,
故其方程为
()0136
1002
2≠=+y y x . (2)设()y x A ,,()y x G '',,则
()0136
1002
2≠'='+'y y x . ① 由题意有???
????='='33
y y x x ,代入①,得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点).
例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为354和3
5
2,过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.
解:设两焦点为1F 、2F ,且3541=
PF ,3
5
22=PF .从椭圆定义知52221=+=PF PF a .即5=a . 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴,所以在12F
PF Rt ?中,2
1
sin 12
21==∠PF PF F PF , 可求出6
21π
=
∠F PF ,3
526
cos
21=
?=π
PF c ,从而3102
22=-=c a b .
∴所求椭圆方程为
1103522=+y x 或15
1032
2=+y x . 例5 已知椭圆方程()0122
22>>=+b a b
y a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭
圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ?的面积(用a 、b 、α表示).
分析:求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边,从而利用C ab S sin 2
1
=
?求面积. 解:如图,设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设()y x P ,,由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限.由余弦定理知: 2
2
1F F 2
221PF PF +=12PF -·2
24cos c PF =α.①
由椭圆定义知: a PF PF 221=+ ②,则-①②2
得 α
cos 122
21+=?b PF PF . 故αsin 212121PF PF S PF F ?=? ααsin cos 12212+=
b 2
tan 2α
b =.
例6 已知动圆P 过定点()03,
-A ,且在定圆()64322
=+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程.
分析:关键是根据题意,列出点P 满足的关系式.
解:如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M .动点P 到两定点,
即定点()03,
-A 和定圆圆心()03,B 距离之和恰好等于定圆半径, 即8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点,
半长轴为4,半短轴长为7342
2
=-=b 的椭圆的方程:
17
162
2=+y x . 说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.
例7 已知椭圆1222=+y x ,(1)求过点??
?
??2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(3)过()12,
A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足2
1-
=?OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.
分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.
解:设弦两端点分别为()11y x M ,,()22y x N ,,线段MN 的中点()y x R ,,则
??????
?=+=+=+=+④
,③,②,①,y y y x x x y x y x 2222222
1212
22
22121
①-②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x . 由题意知21x x ≠,则上式两端同除以21x x -,有()()
022
12
12121=-+++x x y y y y x x ,
将③④代入得022
12
1=--+x x y y y
x .⑤
(1)将21=
x ,2
1
=y 代入⑤,得212121
-=--x x y y ,故所求直线方程为: 0342=-+y x . ⑥ 将⑥代入椭圆方程222
2
=+y x 得041662
=-
-y y ,04
1
6436>??-=?符合题意,0342=-+y x 为所求.
(2)将
22
12
1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 04=+y x .(椭圆内部分)
(3)将
2
12121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 02222
2=--+y x y x .(椭圆内部分)
(4)由①+②得 :
()
22
2
2212
221=+++y y x x , ⑦, 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+, ⑧, 2122
22124y y y y y -=+, ⑨
将⑧⑨代入⑦得:
()
2244
242122
12=-+-y y y x x x , ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得: 221242212212=??
? ??--+-x x y x x x , 即 12
122
=+y x . 此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.
例8 已知椭圆142
2
=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为5
10
2,求直线的方程.
解:(1)把直线方程m x y +=代入椭圆方程142
2=+y x 得 ()142
2=++m x x ,
即01252
2=-++m mx x .()()
020*********
≥+-=-??-=?m m m ,解得2
525≤≤-
m . (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ,2x ,由(1)得5
221m
x x -=+,51221-=m x x .
根据弦长公式得 :5102514521122
2
=-?
-??
? ??-?+m m .解得0=m .方程为x y =.
说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.
这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式?;解决弦长问题,一般应用弦长公式. 用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程.
例9 以椭圆
13
122
2=+y x 的焦点为焦点,过直线09=+-y x l :上一点M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程.
分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决.
解:如图所示,椭圆
13
122
2=+y x 的焦点为()031,-F ,()032,F . 点1F 关于直线09=+-y x l :的对称点F 的坐标为(-9,6),直线2FF 的方程为032=-+y x . 解方程组??
?=+-=-+0
90
32y x y x 得交点M 的坐标为(-5,4).此时21MF MF +最小.
所求椭圆的长轴:562221==+=FF MF MF a ,∴53=a ,又3=c ,
∴()
363532
2
2
2
2
=-=-=c a b .因此,所求椭圆的方程为
136
452
2=+y x .
例10 已知方程
1352
2-=-+-k
y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由??
?
??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53< ∴满足条件的k 的取值范围是53< 说明:本题易出现如下错解:由?? ?<-<-, 03, 05k k 得53< 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆. 例11 已知1cos sin 2 2 =-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围. 分析:依据已知条件确定α的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出α的取值范围. 解:方程可化为1cos 1sin 122=+α αy x .因为焦点在y 轴上,所以0sin 1 cos 1>>-αα. 因此0sin >α且1tan -<α从而)4 3 ,2(ππα∈. 说明:(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α,0cos 1 >-α,这是容易忽视的地方. (2)由焦点在y 轴上,知αcos 12-=a ,α sin 12 =b . (3)求α的取值范围时,应注意题目中的条件πα<≤0. 例12 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程. 分析:由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见, 可设其方程为12 2 =+ny mx (0>m ,0>n ),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程. 解:设所求椭圆方程为12 2=+ny mx (0>m ,0>n ).由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得 ?????=?+-?=-?+?, 11)32(,1)2()3(222 2n m n m 即???=+=+,112, 143n m n m 所以151=m ,51=n .故所求的椭圆方程为151522=+y x . 例13 知圆122=+y x ,从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段,求线段中点M 的轨迹. 分析:本题是已知一些轨迹,求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹. 解:设点M 的坐标为),(y x ,点P 的坐标为),(00y x ,则2 x x = ,0y y =. 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上,所以12 02 0=+y x . 将x x 20=,y y =0代入方程12 02 0=+y x 得1422=+y x .所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x . 说明:此题是利用相关点法求轨迹方程的方法,这种方法具体做法如下:首先设动点的坐标为),(y x , 设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ,然后根据题目要求,使x ,y 与0x ,0y 建立等式关系, 从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程,就可以求出关于x ,y 的方程, 化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必须掌握. 例14 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为 3 π 的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长. 分析:可以利用弦长公式]4))[(1(1212 212 212 x x x x k x x k AB -++=-+=求得, 也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求. 解:(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解. 2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=.因为6=a ,3=b ,所以33=c .因为焦点在x 轴上, 所以椭圆方程为 19 362 2=+y x ,左焦点)0,33(-F ,从而直线方程为93+=x y . 由直线方程与椭圆方程联立得:0836372132 =?++x x .设1x ,2x 为方程两根,所以 13 37221- =+x x , 13 83621?= x x , 3 =k , 从而 13 48]4))[(1(1212212212= -++=-+=x x x x k x x k AB . (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解. 由题意可知椭圆方程为19 362 2=+y x ,设m AF =1,n BF =1,则m AF -=122,n BF -=122. 在21F AF ?中,3 cos 22112 21212 2π F F AF F F AF AF -+=,即2 1 362336)12(2 2? ??-?+=-m m m ; 所以346-= m .同理在21F BF ?中,用余弦定理得3 46+=n ,所以1348 =+=n m AB . (法3)利用焦半径求解. 先根据直线与椭圆联立的方程0836372132 =?++x x 求出方程的两根1x ,2x ,它们分别是A ,B 的横坐标. 再根据焦半径11ex a AF +=,21ex a BF +=,从而求出11BF AF AB +=. 例15 椭圆 19 252 2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,则ON (O 为坐标原点)的值为A .4 B .2 C .8 D . 2 3 解:如图所示,设椭圆的另一个焦点为2F ,由椭圆第一定义得 10221==+a MF MF ,所以82101012=-=-=MF MF , 又因为ON 为21F MF ?的中位线,所以42 1 2== MF ON ,故答案为A . 说明:(1)椭圆定义:平面内与两定点的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆. (2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即a MF MF 2=+,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的 有关距离. 例16 已知椭圆13 42 2=+ y x C :,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4:,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称. 分析:若设椭圆上A ,B 两点关于直线l 对称,则已知条件等价于:(1)直线l AB ⊥;(2)弦AB 的中点M 在l 上. 利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围. 解:(法1)设椭圆上),(11y x A ,),(22y x B 两点关于直线l 对称,直线AB 与l 交于),(00y x M 点. ∵l 的斜率4=l k ,∴设直线AB 的方程为n x y +-=41 .由方程组??????? =++-=,134,41 22y x n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。∴13821n x x = +.于是1342210n x x x =+=,13 124100n n x y =+-=, 即点M 的坐标为)1312,134(n n .∵点M 在直线m x y +=4上,∴m n n +?=1344.解得m n 413 -=. ② 将式②代入式①得04816926132 2=-++m mx x ③ ∵A ,B 是椭圆上的两点,∴0)48169(134)26(2 2 >-?-=?m m .解得13 13 213132<<-m . (法2)同解法1得出m n 413- =,∴m m x -=-=)4 13 (1340, m m m m x y 34 13 )(414134100-=--?-=--=,即M 点坐标为)3,(m m --. ∵A ,B 为椭圆上的两点,∴M 点在椭圆的内部,∴13 )3(4)(2 2<-+-m m .解得1313213132<<-m . (法3)设),(11y x A ,),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点,直线AB 与l 的交点M 的坐标为),(00y x . ∵A ,B 在椭圆上,∴1342121=+y x ,13 42 222=+y x .两式相减得0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x , 即0)(24)(23210210=-?+-?y y y x x x .∴ )(43210 0212 1x x y x x x y y ≠-=--. 又∵直线l AB ⊥,∴1-=?l AB k k ,∴14430 -=?- y x ,即003x y = ①。 又M 点在直线l 上,∴m x y +=004 ②。由①,②得M 点的坐标为)3,(m m --.以下同解法2. 说明:涉及椭圆上两点A ,B 关于直线l 恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采用列参数满足的不等式: (1)利用直线AB 与椭圆恒有两个交点,通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元后得到的一元二次方程的判别式0>?,建立参数方程. (2)利用弦AB 的中点),(00y x M 在椭圆内部,满足12 020<+b y a x ,将0x ,0y 利用参数表示,建立参数不等式. 例17 在面积为1的PMN ?中,2 1 tan =M ,2tan -=N ,建立适当的坐标系,求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程. 解:以MN 的中点为原点,MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设),(y x P . 则???? ?????==+-=-. 1,21 ,2cy c x y c x y ∴???????===2 33435c c y c x 且即)32,325(P ∴???????=-=+,43,134********b a b a 得?????==. 3, 41522b a ∴所求椭圆方程为13 1542 2=+y x 例18 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆 19 362 2=+y x 所截得的线段的中点,求直线l 的方程. 分析:本题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方程与椭圆方程联立消去y (或x ),得到关于x (或y ) 的一元二次方程,再由根与系数的关系,直接求出21x x +,21x x (或21y y +,21y y )的值代入计算即得. 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求"的方法,在解析几何中是经常采用的. 解:方法一:设所求直线方程为)4(2-=-x k y .代入椭圆方程,整理得 036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ① 设直线与椭圆的交点为),(11y x A ,),(22y x B ,则1x 、2x 是①的两根,∴1 4) 24(82 21+-=+k k k x x ∵)2,4(P 为AB 中点,∴14)24(4242 21+-=+= k k k x x ,2 1 -=k .∴所求直线方程为082=-+y x . 方法二:设直线与椭圆交点),(11y x A ,),(22y x B .∵)2,4(P 为AB 中点,∴821=+x x ,421=+y y . 又∵A ,B 在椭圆上,∴3642 2 =+y x ,3642 2 =+y x 两式相减得0)(4)(2 2 2 2 =-+-y y x x , 即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x .∴ 2 1 )(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y .∴直线方程为082=-+y x . 方法三:设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ,另一个交点)4,8(y x B --. ∵A 、B 在椭圆上,∴3642 2 =+y x ①。 36)4(4)8(2 2 =-+-y x ② 从而A ,B 在方程①-②的图形082=-+y x 上,而过A 、B 的直线只有一条,∴直线方程为082=-+y x . 说明:直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题,“设而不求"的方法是处理此类问题的有效方法. 若已知焦点是)0,33(、)0,33(-的椭圆截直线082=-+y x 所得弦中点的横坐标是4,则如何求椭圆方程?