直线方程的两点式和一
般式
Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
编写人：王红卫 祖豆蔻 审核人：郑战彪 班级：17级 班
学习目标： 1、掌握直线方程的两点式、截距式、一般式以及他们之间的联系和转化；
2、根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程；
3、培养学生分析、比较、概括、化归的数学能力；
重点与难点： 1、直线方程的两点式、一般式；
2、对于一元二次方程表示直线方程的理解；
一、课前准备
1、一般地，如果直线l 上 ，且 ，我们就把这样的方程称为直线l 的方程。
2、如果直线l 经过000(,)p x y ，且斜率为k ，设点(,)P x y 是直线l 上任意一点，可以得到，当0x x ≠时，00
y y k x x -=-，即 （1），我们称（1）式的方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。
【创设情景】
探究一
平面内，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，已知直线l 经过两点
11122,2(,),()P x y P x y （其中0x x ≠），则直线l
的方程式什么
归纳总结：直线方程的两点式为
助 学 案 直线方程的两点式和一般式 第19期
例1
探究二
在坐标平面内，画直线时常选取坐标轴上的两点比较简便。在直线方程的两点式
中，若
12
,P P两点为坐标轴上的两点，即
1
P的坐标为(),0a,2P的坐标为(0,b)时，直线12
P P的方程形式如何其方程只能适用于坐标平面内怎样的直线
归纳总结：直线的截距式方程
例2：直线l过点（-3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程
探究三
直线方程的四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）具备怎样的特点能否统一成一种形式是怎样的方程
归纳总结：直线方程的一般式
1、直线方程的五种形式之间如何进行转化
2、直线方程各种形式中，其参数的几何意义是什么
3、各自的使用范围如何
例3 已知三角形三个顶点分别是A（-3.，0），B（2，-2），C（0,1），求这个三角形三边各自所在的直线方程.
例4 已知直线l的方程为x-3y+4=0。求直线的倾斜角
课堂小结
1、到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种它们之间有什么关系
2、要求一条直线方程，必须知道多少条件
当堂检测
1、求经过下列两点的直线方程
（1）A（-3，2），B（0,-3）（2）C（0,4），D（4,0）
2、求经过点（-4，5），且与直线x-2y=0的斜率相等的直线方程，并化为一般式。
3、求在两坐标轴上截距相等，且过点（2，3）的直线方程，并化为一般式。
直线与方程 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，
如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211 y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3420 2220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2
编写人：王红卫 祖豆蔻 审核人：郑战彪 班级：17级 班 学习目标： 1、掌握直线方程的两点式、截距式、一般式以及他们之间的联系和转化； 2、根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程； 3、培养学生分析、比较、概括、化归的数学能力； 重点与难点： 1、直线方程的两点式、一般式； 2、对于一元二次方程表示直线方程的理解； 一、课前准备 1、一般地，如果直线l 上 ，且 ，我们就把这样的方程称为直线l 的方程。 2、如果直线l 经过000(,)p x y ，且斜率为k ，设点(,)P x y 是直线l 上任意一点，可以得到，当0x x ≠时，0 y y k x x -= -，即 （1），我们称（1）式的方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 【创设情景】 探究一 平面内，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，已知直线l 经过两点11122,2(,),()P x y P x y （其中0x x ≠），则直线l 的方程式什么？ 归纳总结：直线方程的两点式为 助 学 案 直线方程的两点式和一般式 第19期
例1 探究二 在坐标平面内，画直线时常选取坐标轴上的两点比较简便。在直线方程的两点式中，若12,P P 两点为坐标轴上的两点，即1P 的坐标为(),0a ,2P 的坐标为(0,b)时，直线12P P 的方程形式如何？其方程只能适用于坐标平面内怎样的直线？ 归纳总结：直线的截距式方程 例2：直线l 过点（-3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的方程
探究 三 直线方程的四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）具备怎样的特点？能否统一成一 种形式？是怎样的方程？ 归纳总结：直线方程的 一般式 1、直线方程的五种形式之间如何进行转化？ 2、直线方程各种形式中，其参数的几何意义是什么？ 3、各自的使用范围如何？ 例3 已知三角形三个顶点分别是A （-3.，0），B （2，-2），C （0,1），求这个三角形三边各自所在
? 知识网络 ? 课堂学习 题型1：直线的倾斜角与斜率 倾斜角 ()??90,0 ?90 ()??180,90 斜率 取值 ()+∞,0 不存在 ()0,∞- 增减性 / 递增 / 递增 1、直线的倾斜角 2、两直线的平行与垂直 3、直线的五种方程 4、两直线的交点坐标 5、距离公式 ① 直线的倾斜角：?<≤?1800α ② 直线的斜率：()?≠=90tan ααk ③ 已知两点求斜率：()121 21 2x x x x y y k ≠--= ① 平行：21//l l ，则21k k =或21k k 、不存在 ② 垂直：21l l ⊥，则121-=?k k 或01=k 且2k 不存在 ① 联立两直线方程，求交点坐标 ① 点斜式：()00x x k y y -=- ② 斜截式：b kx y += ③ 两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- ④ 截距式： 1=+b y a x ⑤ 一般式：0=++C By Ax （B A 、不能同时为零） ①两点间距离：()()21221221y y x x P P -+-= ②点()000y x P 、到直线0:=++C By Ax l 距离2 2 00B A C By Ax d +++= 直线方程
考点1：直线的倾斜角 例1、过点),2(a M -和)4,(a N 的直线的斜率等于1, 则a 的值为( ) A 、1 B 、4 C 、1或3 D 、1或4 变式1：已知点)3,1(A 、)33,1(-B ，则直线AB 的倾斜角是（ ） A 、?60 B 、?30 C 、?120 D 、?150 变式2：已知两点()2,3A ，()1,4-B ，求过点()1,0-C 的直线l 与线段AB 有公共点求直线l 的斜率k 的取值范围 考点2：直线的斜率及应用 斜率公式 1 21 2x x y y k --= 与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中的前后次序相同； 斜率变化分两段， 2 π 是分界线，遇到斜率要特别谨慎 例1：已知R ∈θ，则直线013sin =+-y x θ的倾斜角的取值范围是（ ） A 、[]?30,0 B 、[)??180,150 C 、[][)???180,15030,0 D 、[]??150,30 例2、三点共线——若三点()2,2A 、()0,a B 、()b C ,0，()0≠ab 共线，则 b a 1 1+的值等于 变式2：若()3,2-A 、()2,3-B 、?? ? ??m C ,21三点在同一直线上，则m 的值为（ ） A 、2- B 、2 C 、2 1- D 、 2 1 考点3：两条直线的平行和垂直 对于斜率都存在且不重合的两条直线 21l l 、，2121//k k l l =?，12121-=??⊥k k l l 。若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少要特别注意 例、已知点()2,2M ，()2,5-N ，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标。 (1)OPN MOP ∠=∠(O 是坐标原点)；(2) MPN ∠是直角 题型2：直线方程 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜 ()00x x k y y -=- ()11y x 、为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线
第三章第二节直线的点斜式方程 三维目标 1 ?掌握直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； 2 ?能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程； 3. 学生学会由一般到特殊的处理问题方法，体会数形结合思想 目标三导学做思1 *问题1.直线I经过定点P o(1,2)，且斜率为3.设点P(x, y)是直线丨上不同于P o的任意一点, 请表示出x, y之间关系。 问题2.在问题1中，经过点P0(1,2)，且斜率为3的直线I上任意一点的坐标是否都满足方程 (我们所求出x,y的关系)呢？反过来，是否所有坐标满足该方程的点都在直线丨上呢？ 问题3.直线丨经过定点P>(x0,y0),且斜率为k的直线方程是什么？该方程的名称是什么? 它是否表示坐标平面上经过巳(x0, y0)的所有直线呢？ 问题4.经过点F0(x0,y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？经过点
P(x o,y。)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？x轴所在直线的方程是什
么？y轴所在直线的方程是什么？ 问题5.若直线I的斜率为k,与y轴的交点坐标为(0,b),请先求出直线合条件的直线I的方程具有怎样的特点？它和一次函数有何关系？其中义? 【学做思2】 1. 写出满足下列条件的直线方程 (1) 过点(一1,2)，斜率为3; ⑵过点(一1,—3)，倾斜角为135°; ⑶倾斜角是60 °，在y轴上的截距是5. 2. 已知直线h ： y = k|X ? b| ；直线l2： y = k2x b2，试讨论 (1) I1//I2的条件是什么？ (2) l1 — I2的条件是什么？ 3 ?写出分别满足下列条件的直线I1的方程 (1)直线I1在y轴上截距为—2,且与直线I2: y =—x + 2垂直I的方程，然后思考：符 k,b分别有何几何意
编写人：王红卫 祖豆蔻 审核人：郑战彪 班级：17级 班 学习目标： 1、掌握直线方程的两点式、截距式、一般式以及他们之间的联系和转化； 2、根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程； 3、培养学生分析、比较、概括、化归的数学能力； 重点与难点： 1、直线方程的两点式、一般式； 2、对于一元二次方程表示直线方程的理解； 一、课前准备 1、一般地，如果直线l 上 ，且 ，我们就把这样的方程称为直线l 的方程。 2、如果直线l 经过000(,)p x y ，且斜率为k ，设点(,)P x y 是直线l 上任意一点，可以得到，当0x x ≠时，0 y y k x x -= -，即 （1），我们称（1）式的方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 【创设情景】 探究一 平面内，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，已知直线l 经过两点11122,2(,),()P x y P x y （其中0x x ≠），则直线l 的方程式什么？ 归纳总结：直线方程的两点式为 第19期
例1 探究二 在坐标平面内，画直线时常选取坐标轴上的两点比较简便。在直线方程的两点式中，若12,P P 两点为坐标轴上的两点，即1P 的坐标为(),0a ,2P 的坐标为(0,b)时，直线12PP 的方程形式如何？其方程只能适用于坐标平面内怎样的直线？ 归纳总结：直线的截距式方程 例2：直线l 过点（-3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的方程
探究 三 直线方程的四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）具备怎样的特点？能否统一成一 种形式？是怎样的方程？ 归纳总结：直线方程的一般式 2、直线方程各种形式中，其参数的几何意义是什么？ 3、各自的使用范围如何？ 例3 已知三角形三个顶点分别是A （-3.，0），B （2，-2），C （0,1），求这个三角形三边各自所在
第三章 直线与方程测试题 一．选择题1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为（ ） A ．y ＝3x －6 B. y ＝ 33x ＋4 C . y ＝33x －4 D. y ＝3 3x ＋2 2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是（ ）。 A. －6 B. －7 C. －8 D. －9 3. 如果直线 x ＋by ＋9=0 经过直线 5x －6y －17=0与直线 4x ＋3y ＋2=0 的交点，那么b 等于（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 直线 (2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m =0的倾斜角是450, 则m 的值为（ ）。 A.2 B. 3 C. －3 D. －2 5.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是( ) A.平行 B .相交 C.重合 D.与m 有关 *6．到直线2x +y +1=0的距离为55 的点的集合是( ) A.直线2x+y －2=0 B.直线2x+y=0 C.直线2x+y=0或直线2x+y －2=0 D .直线2x+y=0或直线2x+2y+2=0 7直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是（ ） Ａ．[]2,2- Ｂ．(][)+∞?-∞-,22, Ｃ．[)(]2,00,2?- Ｄ．()+∞∞-,
*8．若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，－1），则直线l的斜率是（） A．－2 3 B． 2 3 C．－ 3 2 D． 3 2 9．两平行线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为213 13 ，则 c＋2 a的 值是( ) A .±1 B. 1 C. -1 D . 2 10．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（） A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 **11．点P到点A′（1，0）和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距 离等于 2 2 ，这样的点P共有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 *12．若y＝a｜x｜的图象与直线y＝x＋a（a＞0） 有两个不同交点，则a的取值范围是（） A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a＞0且a≠1 D．a＝1 二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13. 经过点(－2,－3) , 在x轴、y轴上截距相等的直线方程是；或。
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式 一、教学目标 (一)知识教学点 在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线． (二)能力训练点 通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力． (三)学科渗透点 通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识． 二、教材分析 1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上． 的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程． 三、活动设计 分析、启发、诱导、讲练结合． 四、教学过程 (一)点斜式 已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？ 设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得
注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l 的方程． 重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k 的直线l的方程． 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式． 当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1． 当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1． (二)斜截式 已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程． 这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得： y-b=k(x-0) 也就是
课题：直线与直线方程 考纲要求： ① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；② 理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；③掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式和一般式），了解斜截式与一次函数的关系. 教材复习 1.倾斜角：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范 围为[)0,π.斜率：当直线的倾斜角不是90?时，则称其正切值为该直线的斜率，即 tan k α=;当直线的倾斜角等于90?时，直线的斜率不存在。 2.过两点()111,P x y ,()222,P x y ()12x x ≠的直线的斜率公式:21 21 tan y y k x x α-== - 若12x x =，则直线12P P 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90?. 3.（课本36P ）直线的方向向量：设,A B 为直线上的两点，则向量AB 及与它平行的向量都 称为直线的方向向量.若()11,A x y ，()22,B x y ，则直线的方向向量为AB =()2121,x x y y --. 直线0Ax By C ++=的方向向量为(),B A -.当12x x ≠时，()1,k 也为直线的一个方向向量. 4.直线方程的种形式：
1.直线的倾斜角与斜率的关系：斜率k 是一个实数，当倾斜角90α≠?时，tan k α=，直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90?的直线无斜率． 2.求直线方程的方法： ()1直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程； ()2待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程． 3. ()1求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．()2在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论． 4.直线方程一般要给出一般式. 典例分析： 考点一 直线的倾斜角和斜率 问题1. 已知两点()1,2A -，(),3B m .()1求直线AB 的斜率k 和倾斜角α； () 2求直线AB 的方程；()3若实数13m ?? ∈--???? ，求AB 的倾斜角α的范围. 问题2．()1（01河南）已知直线l 过点()0,0P 且与以点()2,2A --，()1,1B -为 端点的线段相交，求直线l 的斜率及倾斜角α的范围.()2求函数sin 1 3cos y θθ -=+的值域.
第八章 第二节 直线方程 1.直线x －2y ＋1＝0 ( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 解析：当x ＝1时，y ＝1，即所求直线过点(1,1)， 在直线x －2y ＋1＝0中，令y ＝0，得x ＝－1，则(－1,0)关于直线x ＝1对称的点(3,0)在所求直线上，故所求方程为x ＋2y －3＝0. 答案：D 2．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是 ( ) A ．x ＋y －5＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2y －x －4＝0 D ．2x ＋y －7＝0 解析：由于直线P A 的倾斜角为45°，且|P A |＝|PB |， 故直线PB 的倾斜角为135°， 又当x ＝2时，y ＝3，即P (2,3)， ∴直线PB 的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0. 答案：A 3．(2009·安徽高考)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是 ( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0 解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32 ，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32 (x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0. 答案：A 4.已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12 ax 与线段AB 交于点C ，且AC ＝2CB ，则a 等于 ( ) A ．2 B ．1 C.45 D.53 解析：设点C (x ，y )，由于AC ＝2CB ，
直线与方程基础练习题 一、选择题 1．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ） A ．210x y +-= B ．210x y -+= C ．220x y +-= D ．210x y --= 2．已知直线l 过点（0，7），且与直线42y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）. A. 47y x =-- B. 47y x =- C. 47y x =-+ D. 47y x =+ 3．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．2x ＋y －5＝0 4．已知直线l 的方程为2 0(0)x y a a --=≠,则下列叙述正确的是( ) A. 直线不经过第一象限B. 直线不经过第二象限C. 直线不经过第三象限 D. 直线不经过第四象限 5．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A.072=+-y x B.012=-+y x C ．250x y --= D ．052=-+y x 6．已知两条直线01:1=-+y x l ，023:2=++ay x l 且21l l ⊥，则a = ． -3 D ．3 7．在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．若三点(2,3),(5,0),(0,)(0)A B C b b ≠共线，则b = A ．2 B ．3 C ．5 D ．1 9．如果直线（m+4）x+（m+2）y+4=0与直线(m+2)x+(m+1)y-1=0互相平行，则实数m 的值等于( ) A 、0 B 、2 C 、-2 D 、0或-2 10．已知直线αsin :1x y l =和直线c x y l +=2:2，则直线1l 与2l （ ）。 A.通过平移可以重合B.不可能垂直C.可能与x 轴围成等腰直角三角形 D.通过1l 上某一点旋转可以重合 11．已知点A(0, –1)，点B 在直线x –y+1=0上，直线AB 垂直于直线x+2y –3=0，则点B 的坐标是( ) A.(–2, –3) B.(2, 3) C.(2, 1) D.(–2, 1)
第2课时 系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系 一、学前明考情——考什么、怎么考 [真题尝试] 1.[考查与圆有关的最值问题](2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A ．[2,6] B ．[4,8] C ．[2，32] D ．[22，32] 解析：选A 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距 离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2 ＝22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的 最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12 |AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]． 2.[考查圆的一般方程](2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43 B ．－34 C. 3 D ．2 解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1 ＝1，解得a ＝－43. 3.[考查直线与圆相交](2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________. 解析：如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0，∴k AB ＝ 33 ，∴∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°.在Rt △BOD 中，∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的 中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ，∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线， ∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4. 答案：4 [把握考情] 常规角度 1.圆的方程．主要考查圆的方程的求法，圆的最值问题． 2.直线与圆的位置关系．主要考查圆的切线方程、圆的弦长问题． 主要以选择题、填空题形式考查，有时也会以解答题形式考查，难度中低档
必修2 第二章 解析几何初步 第一节：直线与直线方程（王建明） 一、直线的倾斜角和斜率 （1）倾斜角定义：平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ， 把__x 轴(正方向)_按__逆时针__方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角， 叫作直线l 的倾斜角。（0°≤α<180°） （2）斜率k=tan α=1 212x x y y -- （0°≤α＜180°），当α=90时，k 不存在。（两种求法，注意21x x =的情况）（3）函数y=tanx 在)90,0[0增加的，在)180,90(00也是增加的。 例1：过点M （-2，m ）,N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 。 例2：过两点A （m 2+2,m 2-3）,B （3-m-m 2,2m ）的直线l 的倾斜角为45°求m 的值。 例3：已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k 的取值范围。 例4：已知a ＞0,若平面内三点A （1，—a ），B （2，a 2）,C(3,a 3)共线，则a 值为 。 练习： 1经过点P (2，m )和Q (2m ，5)的直线的斜率等于12 ，则m 的值是( B ) A ．4 B ．3 C ．1或3 D ．1或4 变：的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos (),sin ,2( k l B A θθ-- 2. 已知直线l 过P(－1，2)，且与以A(－2，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围． 点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案： ? ?? ??－∞，－12∪[5，＋∞) 3.已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)，若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围． 答案：? ???－∞，－12∪[5，＋∞) 二、两直线的平行与垂直 1.平行的判定： 2. 垂直的判定： 例（1）l 1 经过点M （-1，0）, N (-5,-2)，l 2经过点R （-4,3），S （0,5），l 1与l 2是否平行？ （2）l 1 经过点A （m ，1）, B (-3,4), ）l 2 经过点C （1，m ）, D (-1, m+1),确定m 的值，使l 1//l 2。 练习：
3.2.2 直线的两点式方程 三维目标 1、知识与技能 （1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围； （2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。 2、过程与方法 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、 应用获得新知识的特点。 3、情态与价值观 （1）认识事物之间的普遍联系与相互转化； （2）培养学生用联系的观点看问题。 教学重点、难点： 1、 重点：直线方程两点式。 2、难点：两点式推导过程的理解。 教学过程： 一、复习准备： 1． 写出下列直线的点斜式、斜截式方程,并求直线在y 轴上的截距. ①经过点A(-2,3),斜率是-1；②经过点B(-3,0),斜率是0；③经过点() 22,C -,倾斜角是 60； 二、讲授新课： 1.直线两点式方程的教学: ① 探讨:已知直线l 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点,如何求直线的点斜 式方程? 211121 ()y y y y x x x x --=-- 两点式方程:由上述知, 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点的直线方程为 112121 y y x x y y x x --=-- ⑴, 我们称⑴为直线的两点式方程,简称两点式. 若点),(),,(222211 y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？ 2．举例 例1:求过(2,1),(3,3)A B -两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式. 练习：教材P97面1题
第二节圆的方程 高考试题 考点一求圆的方程 1.(2011年安徽卷,文4)若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为( ) (A)-1 (B)1 (C)3 (D)-3 解析:圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(-1,2), 由题意,3×(-1)+2+a=0, ∴a=1. 答案:B 2.(2009年辽宁卷,文7)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( ) (A)(x+1)2+(y-1)2=2 (B)(x-1)2+(y+1)2=2 (C)(x-1)2+(y-1)2=2 (D)(x+1)2+(y+1)2=2 解析:由题意可设圆心坐标为(a,-a), , 解得a=1,故圆心坐标为(1,-1), 半径 所以圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案:B 3.(2010年广东卷,文6)若圆心在x O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O 的方程是( ) 2+y2=5 2+y2=5 (C)(x-5)2+y2=5 (D)(x+5)2+y2=5 解析:设圆心为(a,0)(a<0). 因为直线x+2y=0与圆相切, 解得a=-5. 所以圆O的方程为(x+5)2+y2=5. 答案:D 4.(2013年江西卷,文14)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是. 解析:因圆C经过坐标原点O和点A(4,0),
则圆心必在线段OA的垂直平分线上,即圆心的横坐标为2, 又因圆与直线y=1相切, 若设圆心坐标为(2,y), 则圆半径为1-y, 整理得y=-3 2 , 所以圆的方程是(x-2)2+ 2 3 2 y ?? + ? ?? = 25 4 . 答案:(x-2)2+ 2 3 2 y ?? + ? ?? = 25 4 5.(2011年辽宁卷,文13)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为. 解析:设圆心坐标为(x,0),由题意得 , 解得x=2, ∴圆心为(2,0), 半径 ∴圆的方程为(x-2)2+y2=10. 答案:(x-2)2+y2=10 6.(2010年新课标全国卷,文13)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为. 解析:半径 ∴圆的方程为x2+y2=2. 答案:x2+y2=2 考点二直线与圆的位置关系的判定与应用 1.(2013年重庆卷,文4)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则PQ的最小值为( ) (A)6 (B)4 (C)3 (D)2 解析:因(x-3)2+(y+1)2=4的圆心(3,-1)到直线x=-3的距离为6,圆的半径为2,故|PQ|min=4.故选B. 答案:B 2.(2013年陕西卷,文8)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( ) (A)相切(B)相交(C)相离(D)不确定 解析:由点M在圆外,得a2+b2>1, 所以圆心O到直线ax+by=1的距离 <1, 则直线与圆O相交,故选B.
第九章解析几何初步 【课题】第一节直线的倾斜角与斜率 【教学目标】 1．知识与技能: （1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念， （2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． 2．情感、态度、价值观： （1）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力。 （2）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神 3．过程与方法: 通过启发引导、讨论等方法，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法。掌握直线的点斜式方程，会实现直线方程的各种形式之间的互化。 【教学重点难点】 1．教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式 2．教学难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式 【教法学法】启发式教学法、对话式教学法 【教学准备】多媒体、实物模型 【教学安排】2课时 【教学过程】 一、复习引入： 直线和圆都是最常见的简单几何图形，在生产实践和实际生活中有广泛的应用。初中几何对直线和圆的基本性质作了比较系统的研究，初中代数研究了一次函数图象及其性质，高一数学研究了三角函数、平面向量，直线和圆的方程的内容以上述知识为基础，直线和圆的方程是解析几何的基础知识，在解决实际问题中有广泛的应用。本节要研究的是直线的两个基本概念，即直线的倾斜角和斜率。 ⑴回顾一次函数的图象及性质 形如y=kx+b(k≠0)叫做一次函数；它的图象是一条直线；当k＞0时，在R
上是增函数，当k＜0时，在R上是减函数。 ⑵画出下列一次函数的图象 ①y = 2x + 4 ② y = －2x + 2 小结：作一次函数图象的方法－由于两点确定一条直线，故可在直线上任取两点，通常取点(0 , b)与(－b/k , 0)。 研究两点（－2,0）、（0,4）与函数式y = 2x + 4的关系是：这两点就是满足函数式的两对x、y的值。 由作图知满足函数式y = 2x + 4的每一对x、y的值都是函数y = 2x + 4上的点；这条直线上的点的坐标都满足函数式y = 2x + 4。 小结：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b(k≠0)的每一对x、y的值为坐标的点构成的。 由于函数式y=kx+b(k≠0)也可以看成二元一次方程，所以我们说，这个方程的解和直线上的点存在这样的对应关系。 二、讲授新课： ⑴直线方程的概念 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。 在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线和方程的这种关系，建立直线的方程，并通过方程来研究直线的有关问题，为此，我们先研究直线的倾斜角 ，理解直线的倾斜角和斜率的定义，并注和斜率。正面请同学们阅读教材P 34－35 意它们的变化范围。（5分钟）
【课题：】直线的点斜式方程 【教学目的：】 知识目标：在直角坐标平面，已知直线上一点和直线的斜率或已知 直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程， 能观察直线的斜率和直线经过的定点 能力目标：通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡，训练学生由 一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力. 德育目标：通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识. 【教学重点：】由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程上?实质上它也是整个直线方程理论的基础。 【教学难点：】在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上. 【授课类型：】新授课 【课时安排：】1课时 【教具：】 【教学过程：】 1、复习引入： 2、讲解新课： （1）点斜式 已知直线I的斜率是k,并且经过点P i（x i, y i），直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线I的方程（图1-24）? 设点P（x , y）是直线I上不同于R（X1, yj的任意一点，根据经过两点的斜率公式得 , y y1 k - （1） x X-| 即y-y 1=k（x-x 1）（2） 注意方程（1）与方程⑵ 的差异：点R的坐标不满足方程（1）而满足方程⑵，因此，点P1不在方程（1）表示的图形上而在方程（2）表示的图形上，方程（1）不能称作直线I的方程. 重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以 这个方程的解为坐标的点都在直线I上，所以这个方程就是过点R、斜率为k的直线I的方程.（实质上 是证明了直线的方程与方程的直线的关系） 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式. 注：当直线的斜率为0°时（图1-25）, k=0,直线的方程是y=y「 当直线的斜率为90。时（图1-26）,直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示. 但因I上每一点 的横坐标都等于X i,所以它的方程是X=X i .
直线的两点式方程 【教学目标】 1.让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.培养学生数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础. 2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 【重点难点】 教学重点:直线方程两点式和截距式. 教学难点:关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形. 【课时安排】 1课时 【教学过程】 导入新课 要学生求直线的方程，题目如下： ①A(8，-1)，B(-2，4)； ②A(6，-4)，B(-1，2)； ③A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2). (分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k及求解过程) 这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢? 推进新课 新知探究 提出问题 ①已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通过这两点的直线方程. ②若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2，此时这两点的直线方程是什么？ ③两点式公式运用时应注意什么？ ④已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直线l的方程.
⑤a 、b 表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？ ⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？ 活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳： 已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤： a.利用直线的斜率公式求出斜率k; b.利用点斜式写出直线的方程. ∵x 1≠x 2,k=1 212x x y y --, ∴直线的方程为y-y 1= 1212x x y y --(x-x 1). ∴l 的方程为y-y 1=1 212x x y y --(x-x 1).① 当y 1≠y 2时,方程①可以写成 121121x x x x y y y y --=--.② 由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式. 注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x 1≠x 2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x 1≠x 2且y 1≠y 2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程. ②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1. ③引导学生注意分式的分母需满足的条件. ④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.
直线与方程练习（带答案） 1 .设直线ax by c 0的倾斜角为，且sin cos 0, 则a,b 满足（ ) A . a b 1 B . a b 1 C . a b 0 D . a b 0 2?过点P （ 1,3）且垂直于直线x 2y 3 0的直线方程为（ ） A ? 2xy10 B . 2xy5 0 C . x 2y 5 0 D . x 2y 7 0 3. 已知过点A （ 2, m ）和B （m,4）的直线与直线2x y 1 0平行， 则m 的值为（ ） A . 0 B . 8 C . 2 D . 10 4. 已知ab 0,bc 0 ,则直线ax by c 通过（ ） 5.直线x 1的倾斜角和斜率分别是（ B . 1350, 1 2. 已知直线11 : y 2x 3,若12与11关于y 轴对称，则丨2的方程为 ________________ ; 若13与11关于x 轴对称，则I 3的方程为 __________ ； 若14与11关于y x 对称，则14的方程为 _______________ ； 3. _______________________________________________________________ 若原点在直线1上的射影为（2, 1），则I 的方程为 ____________________________ 。 2 2 4. 点P （x, y ）在直线x y 4 0上，则x y 的最小值是 ______________________ 5.直线1过原点且平分 YABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为 A .第一、二、二象限 C .第一、三、四象限 B .第一、二、四象限 D .第二、三、四象限 0 45 ,1 90°，不存在 2 若方程（2m 点 P(1, 1) 3)x (m 2 m)y 4m 1 0表示一条直线，则实数 m 满足（ ) 3 B . m 2 3 门 D . m 1 ,m -,m 0 2 x y 1 0的距离是 到直线 D . 180°，不存在