导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题
含参数导数问题的分类讨论问题
1.求导后,导函数的解析式含有参数,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。
★已知函数ax x a x x f 2)2(2
131)(23++-=(a>0),求函数的单调区间
)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f
★★例1 已知函数x a x
a
x x f ln )2(2)(+--
=(a>0)求函数的单调区间 2
2
2)
)(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-=' ★★★例3已知函数()()22
21
1
ax a f x x R x -+=∈+,其中a R ∈。 (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点()()
2,2f 处的切线方程; (Ⅱ)当0a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值。
解:(Ⅰ)当1a =时,曲线()y f x =在点()()
2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。
(Ⅱ)由于0a ≠,所以()()
1
2)1(222+-+='x x a x f ,由
()'0f x =,得121
,x x a a
=-=。这两个实根都在定
()()()()()()
2
2
'
2222
122122111a x a x a x x ax a a f x x x ?
?--+ ?+--+??==++义域R 内,但不知它们之间 的大小。因此,需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。 (1)当0a >时,则12x x <。易得()f x 在区间1,a ?
?
-∞-
???
,(),a +∞内为减函数, 在区间1,a a ??-
???为增函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ??
-=- ???
;
函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。
(1) 当0a <时,则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞,),1
(+∞-a
内为增函数,在区间
)1,(a a -为减函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ??
-=- ???
;函数
()f x 在
2x a =处取得极大值()1f a =。
以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点,在求解有关含参数的导数问题时,可按上述三点
的顺序对参数进行讨论。因此,对含参数的导数问题的讨论,还是有一定的规律可循的。当然,在具体解题中,可能要讨论其中的两点或三点,这时的讨论就更复杂一些了,需要灵活把握。
★★★(区间确定零点不确定的典例)
例4 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)
的管理费,预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时,一年的销售量为(12-x )2
万件. (1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L 最大,并求出L 的最大值Q (a ).
解 (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为:L=(x-3-a)(12-x)2
,x ∈[9,11].
(2)L ′(x)=(12-x)2
-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x).
令L ′=0得x=6+32a 或x=12(不合题意,舍去). ∵3≤a ≤5,∴8≤6+3
2a ≤
3
28. 在x=6+3
2
a 两侧L ′的值由正变负.
所以①当8≤6+32a <9即3≤a <2
9
时,
L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)2
=9(6-a). ②当9≤6+3
2a ≤
328即2
9
≤a ≤5时, L max =L(6+32a)=(6+32a-3-a)[12-(6+32a)]2=4(3-31a)3.所以Q(a)=???
?
??
?
≤≤-<
≤-.52
9
,
)313(4,2
93),6(93a a a a
答 若3≤a <2
9
,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润L 最大,最大值Q (a )=9(6-a)(万元);若2
9
≤a ≤5,则当每件售价为(6+3
2a)元时,分公司一年的利润L 最大,最大值Q(a)=4(3-3
1a )3
(万元).
★★★★(导函数零点确定,但区间端点不确定引起讨论的典例)
例2、已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f (Ⅰ).求函数()x f 的单调区间;
(Ⅱ).求函数()x f 在[]()02,>+t t t 上的最小值;
(Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'
+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.
解:(Ⅰ)(),10,0,1ln )('
'e
x x f
x x f <<<+=解得令 ();1,0??
?
?
?∴e x f 的单调递减区间是
(),1
,0'e x x f >>解得令),
,的单调递增是(∞+e x f )(
(Ⅱ)(ⅰ)0 e 1,t 无解; (ⅱ)0 1 时,e e f x f 1)1()(min -==; ) (x L 0 y x 12 9 ) (x L ' X=12 3218a x += (ⅲ) e 12+<≤t t ,即e t 1 ≥时,单调递增在]2,[)(+t t x f ,tlnt )t ()(min ==f x f ……9分 e t e t x f 1 10tlnt e 1-)(min ≥<????∴, (Ⅲ)由题意:2123ln 22 +-+≤ax x x x 在()+∞∈,0x 上恒成立,即123ln 22++≤ax x x x 可得x x x a 2123ln -- ≥(分离参数),设()x x x x h 21 23ln - -=, 则()()()2 2' 213121231x x x x x x h +--=+ -=……12分 令()0' =x h ,得3 1,1-==x x (舍) 当10< >x h ;当1>x 时, ()0' ∴当1=x 时,()x h 取得最大值, ()x h max =-2……13分.2-≥∴a . 二.求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,从而引起讨论。(用导数解决函数问题若求导后研究函数的导数问题时能 转化为研究二次函数问题时,二次项的系数含参数按系数大于零、等于零、小于零分类;再按在二次项的系数不等于零时对判别式按△>0、△=0、△<0;在△>0时,求导函数的零点再根据零点是否在在定义域内进行套论,若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。) ★1 已知函数 x a x x a x f )1(2 13 )(23-+-=,求函数的单调区间 )1)(1()1()(2a ax x a x ax x f +--=-+-=' ★★例2 已知函数2 2 ln )1()(x a x a x f + +=(a>0),求函数的单调区间 x a ax x x a x ax x f ) 1)(1()1()(2+--=-+-=' ★★★例3 已知a 是实数,函数()()f x x x a =- (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。 (i )写出()g a 的表达式; (ii )求a 的取值范围,使得()62g a -≤≤-。 解:(Ⅰ)函数的定义域为[)0,+∞,()()' 3330222a x x a x a f x x x x x x ? ?- ? --??=+==>,由'()0f x = 得3a x = 。考虑3 a 是否落在导函数' ()f x 的定义域()0,+∞内,需对参数a 的取值分0a ≤及0a >两种情况进行讨论。 (1) 当0a ≤时,则'()0f x >在()0,+∞上恒成立,所以()f x 的单调递增区间为[)0,+∞。 (2) 当0a >时,由' ()0f x >,得3 a x > ;由' ()0f x <,得03a x <<。 因此,当0a >时,()f x 的单调递减区间为0,3a ??????,()f x 的单调递增区间为,3 a ??+∞???? 。 (Ⅱ)(i )由第(Ⅰ)问的结论可知: (1) 当0a ≤时,()f x 在[)0,+∞上单调递增,从而()f x 在[]0,2上单调递增,所以 ()()00g a f ==。 (2) 当0a >时,()f x 在0,3a ??????上单调递减,在,3a ??+∞???? 上单调递增,所以: ② 当 ()0,23a ∈,即06a <<时,()f x 在0,3a ??????上单调递减,在,23a ?? ???? 上单调递增, 所以()2333a a a g a f ?? ==- ??? 932a a -=。 ③ 当 [)2,3 a ∈+∞,即6a ≥时,()f x 在[]0,2上单调递减,所以()()()222g a f a ==-。 综上所述,()()0,02,06 3322,~6a a a g a a a a ?≤? ?=-<? ?-≥? (ii )令()62g a -≤≤-。 ①若0a ≤,无解; ②若06a <<,由26233 a a -≤- ≤-解得36a ≤<; ④ 若6a ≥,由()6222a -≤-≤-解得6232a ≤≤+。 综上所述,a 的取值范围为3232a ≤≤+。 三.求导后,因导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式)不确定,而引起的讨论。 ★例1已知函数x ax x f +=22 1)( 求函数的单调区间 1)(+='ax x f ★★例2已知函数ax x x f -=ln )(求函数的单调区间 a x x f -= '1)( x ax x f 1 )(+-= ' ★★★例3 设k R ∈,函数1 ,11(),()(),1,1x x f x F x f x kx x R x x ? -==-∈??--≥? , 试讨论函数()F x 的单调性。 解:∵1 ,11(),()(),1,1x x f x F x f x kx x R x x ? -==-∈??--≥? ()()2 2 11,11,1,11()(),'()1211,1,121k x x kx x x x F x f x kx F x k x x kx x x x ?--?-<-??-=-==????+----≥?- >?-? 。 考虑导函数'()0F x =是否有实根,从而需要对参数k 的取值进行讨论。 (一)若1x <,则() () 2 2 11'()1k x F x x --= -。由于当0k ≤时,'()0F x =无实根,而当0k >时, '()0F x =有实根, 因此,对参数k 分0k ≤和0k >两种情况讨论。 (1) 当0k ≤时,'()0F x ≥在(,1)-∞上恒成立,所以函数()F x 在(,1)-∞上为增函数; (2) 当0k >时,() () () 2 2 2111111'()11k x x k x k k F x x x ????????----+???? ? ?--????????= =--。 由'()0F x =,得12111,1x x k k ??? ?=- =+ ? ?? ?? ?,因为0k >,所以121x x <<。 由'()0F x >,得111x k - <<;由'()0F x <,得1 1x k <-。 因此,当0k >时,函数()F x 在1(,1)k -∞- 上为减函数,在1 (1,1)k -上为增函数。 (二)若1x >,则121 '()21 k x F x x +-=- -。由于当0k ≥时,'()0F x =无实根,而当0k <时, '()0F x =有实根,因此,对参数k 分0k ≥和0k <两种情况讨论。 (1) 当0k ≥时,'()0F x <在[)1,+∞上恒成立,所以函数()F x 在[)1,+∞上为减函数; (2) 当0k <时,111212'()211 k x k x k F x x x ? ?--+ ? +-??=-=--。 由'()0F x >,得2114x k >+ ;由'()0F x <,得2 1 114x k <<+。 因此,当0k <时,函数()F x 在211,14k ? ?+????上为减函数,在211,4k ?? ++∞???? 上为增函数。 综上所述: (1) 当0k >时,函数()F x 在1(,1)k -∞- 上为减函数,在1 (1,1)k -上为增函数,在[)1,+∞上为减函数。 (2) 当0k =时,函数()F x 在(,1)-∞上为增函数,在[)1,+∞上为减函数。 (3) 当0k <时,函数()F x 在(,1)-∞上为增函数,在211,14k ??+ ????上为减函数,在211,4k ?? ++∞???? 上为增函数。 ★★★★ 19.设a >0,讨论函数f (x )=lnx+a (1-a )x 2 -2(1-a )x 的单调性。 解:函数()f x 的定义域为(0,).+∞22(1)2(1)1 (),a a x a x f x x ---+'= 当2 12(1)10a a x ≠--+=时,方程2a(1-a)x 的判别式112(1).3a a ? ??=-- ??? ①当1 0,0,()3 a f x '<< ?>时有两个零点, 12(1)(31)(1)(31)11 0,22(1)22(1) a a a a x x a a a a a a ----≠ ->=+ --(1) 且当12120,()0,()(0,)(,)x x x x f x f x x x '<<>>+∞或时在与内为增函数; 当1212,()0,()(,)x x x f x f x x x '<<<时在内为减函数; ②当 1 1,0,()0,()(0,)3 a f x f x '≤≤≥+∞时所以在内为增函数; ③当1 1,()0(0),()(0,)a f x x f x x '==>>+∞时在内为增函数; ④当 1>a 时0>?,)1(2)1)(13(211a a a a a x ----= ) 1(2)1)(13(211a a a a a x ---+= 由2222 2 )1(4)1)(13(41)1(2)13)(1(21a a a a a a a a a a ----=??? ? ??----??? ??)1(4134122a a a a --+=)1(41312a a a a --+-=0)1(422<-=a a a )1(2)1)(13(211a a a a a x ----= >0 ) 1(2)1)(13(211a a a a a x ---+=<0 所以在定义域(0,+∞)内有唯一零点1x , 且当110,()0,()(0,)x x f x f x x '<<>时在内为增函数;当1x x >时,1()0,()(,)f x f x x '<+∞在内为减函数。 ()f x 的单调区间如下表: ( 其 中 12(1)(31)(1)(31)11 ,22(1)22(1) a a a a x x a a a a a a ----= -=+ --) 因函数的零点的个数不确定而引起的讨论。 例.已知函数f(x)=1n x ,g(x)= a x +2 2 1(a 为常数),若直线l 与y=f(x)和y=g(x)的图象都相切,且l 与y=f(x)的图象相切于定点P (1,f (1)). (1)求直线l 的方程及a 的值; (2)当k∈R 时,讨论关于x 的方程f(x 2 +1)-g(x)=k 的实数解的个数. 解:(1)∵f′(x)= x 1 ,∴f(1)=1 ∴k 1=1,又切点为P (1,f (1),即(1,0)∴l 的解析式为y=x-1, y=x-1 ∵l 与y=g(x)相切, 由 y= a x +2 2 1,消去y 得x 2-2x+2a+2=0,∴△=(-2)2-4(2a+2)=0,得a=-21 (2)令h (x )=f(x 2+1)-g(x)=1n(x 2 +1)2 1212+-x 1 03a << 113 a ≤≤ 1a > 1(0,)x 12(,)x x 2(,)x +∞ (0,)+∞ 1(0,)x 1(,)x +∞ ∵h′(x)= 212x x +-x=-2 1) 1)(1(x x x x ++-,则)(,0) (101x h x h ,x x >'<<-<时或为增函数, -1<x <0或x >1时, 故x=±1时,h (x )取极大值1n2, x=0时,h (x )取极小值 2 1 。 因此当 k∈(1n2,+∞),原方程一解;当k=1n2时,原方程有两解;当2 1 <k <1n2时,原方程有四解;当k= 21时,原方程有三解;当k <2 1 时,原方程有两解 5.求参数的范围时由于不能分离出参数而引起的对参数进行的讨论 例1:(此为不能分离出参数a 的例题)已知322()69f x x ax a x =-+(a ∈R ).当0a > 时,若对 []0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立,求实数a 的取值范围. 解:因为f(x)=x 3-6ax 2+9a 2x ,x 3-6ax 2+9a 2x-4≤0 所以f'(x)=3x 2-12ax+9a 2=(3x-3a )(x -3a), 在()a ,∞-上()x f '>0()x f 是增函数,在()a a 3,上()x f '<0()x f 是减函数,在()+∞,3a 上()x f '>0()x f 是增 函数。所以函数在x=a 时,()()a f x f =极大,所以函数在x=a 时,()()a f x f 3=极小 因对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立, 求实数a 的取值范围.极值点 指定区间端点位置关系不确定引起讨论。讨论如下: ∵a>0 ①当两个极值点都在指定区间[]3,0内时。即0<3a ≤3,也就是00时为什么分为0 在()a ,0上()x f '>0()x f 是增函数,在()a a 3,上()x f '<0()x f 是减函数,在(),3a 上()x f '>0()x f 是增函数。所以函数在x=a 时,()()a f x f =极大,所以函数在x=a 时,()()a f x f 3=极小 ()()(){} 3,max max f a f x f = ()()(){}a f f x f 3,0m in min = []0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立, 等价于()()?????≤-≤-≤<043041 0f a f a ?????≤-+-≤-+-≤<042754270496102333a a a a a a 解得??? ? ????? +≤≤-≤≤<93219321110a a a 即0 ②当两个极值点有一个在指定区间[]3,0内时。即03时,也就是10时为什么分为0 在()a ,0上()x f '>0()x f 是增函数,在](3,a 上()x f '<0()x f 是减函数, 所以函数在x=a 时,()()a f x f =极大, ()()a f x f =max ()()(){}3,0min min f f x f = []0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立,等价于()?? ?≤-≤<0 431a f a 解得93 211+≤ ③当两个极值点都不在在指定区间[]3,0内时。即a>3时, (当a>0时为什么分为0 在[]3,0 上()x f '>0()x f 是增函数, ()()041084433max >->-==a f x f 与()04≤-x f 矛盾。 综上:对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立时,实数a 的取值范围是9 3 210+≤ 例4设函数()()2 ln 1f x x b x =++,其中0b ≠,求函数()f x 的极值点。 解:由题意可得()f x 的定义域为()1,-+∞,()2' 22211 b x x b f x x x x ++=+=++,()' f x 的分母1x +在定义域()1,-+∞上恒为正,方程2 220x x b ++=是否有实根,需要对参数b 的取值进行讨论。 (1)当480b ?=-≤,即12b ≥ 时,方程2 220x x b ++=无实根或只有唯一根12 x =-,所以()2220g x x x b =++≥,在()1,-+∞上恒成立,则()'0f x ≥在()1,-+∞上恒成立,所以函数()f x 在 ()1,-+∞上单调递增,从而函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。 (2)当480b ?=->,即12 b < 时,方程2220x x b ++=,即()' 0f x =有两个不相等的实根: 12112112,22 b b x x ----+-= =。 这两个根是否都在定义域()1,-+∞内呢?又需要对参数b 的取值分情况作如下讨论: (ⅰ)当0b <时,121121121,122 b b x x ----+-=<-=>-,所以()()121,,1,x x ?-+∞∈-+∞。 此时,()' f x 与()f x 随x 的变化情况如下表: x ()21,x - 2x ()2,x +∞ ()'f x - + ()f x 递减 极小值 递增 由此表可知:当0b <时,()f x 有唯一极小值点21122 b x -+-= 。 (ⅱ)当 102 b << 时, 121121121,122 b b x x ----+-= >-=>-, 所 以 ()()121,,1,x x ∈-+∞∈-+∞。此时,()'f x 与()f x 随x 的变化情况如下表: x ()11,x - 1x ()12,x x 2x () 2,x +∞ ()'f x + - + ()f x 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知:当102b << 时,()f x 有一个极大值点11122 b x ---=和一个极小值点21122 b x -+-= 。 综上所述: (1) 当0b <时,()f x 有唯一极小值点1122 b x -+-= ; (2) 当102b << 时,()f x 有一个极大值点1122b x ---=和一个极小值点1122 b x -+-=; (3) 当1 2 b ≥ 时,()f x 无极值点。 从以上诸例不难看出,在对含参数的导数问题的讨论时,只要把握以上三个基本讨论点,那么讨论就有了方向和切入点,即使问题较为复杂,讨论起来也会得心应手、层次分明,从而使问题迎刃而解。 (19)(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.) 已知函数32 ()f x ax x bx =++(其中常数a,b ∈R),()()()g x f x f x '=+是奇函数. (Ⅰ)求()f x 的表达式; (Ⅱ)讨论()g x 的单调性,并求()g x 在区间[1,2]上的最大值和最小值. (21)已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+ -∈ (I )当1a =-时,求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程;(II )当1 2 a ≤ 时,讨论()f x 的单调性. 解:(Ⅰ) 当=-=)(1x f a 时,),,0(,12ln +∞∈-++x x x x 所以 )('x f 22 2 ,(0,)x x x x +-=∈+∞ 因此,,)(12=f 即 曲线.1))2(2)(,处的切线斜率为,在点(f x f y =又,22ln )2(+=f 所以 曲线 . 02ln , 2)22(ln ))2(2)(=+--=+-=y x x y f x f y 即处的切线方程为,在点( (Ⅱ)因为 11ln )(--+-=x a ax x x f ,所以211)('x a a x x f -+-=2 21x a x ax -+--= ),0(+∞∈x ,令 ,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x (1)当0,()1,(0,)a h x x x ==-+∈+∞时 所以,当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><时此时,函数()f x 单调递减; 当(1,)x ∈+∞时,()0h x <,此时()0,f x '>函数f(x)单调递 (2)当0a '≠时,由f (x)=0 即2 10ax x a -+-=,解得1211,1x x a == - ①当1 2 a = 时,12,()0x x h x =≥恒成立, 此时()0f x '≤,函数()f x 在(0,+∞)上单调递减; ②当11 0,1102a a << ->>时 (0,1)x ∈时,()0,()0,()h x f x f x '><此时函数单调递减; 1 (1, 1)x a ∈-时,()0,()0,()h x f x f x '<>此时函数单调递增; 1 (1,),()0x h x a ∈-+∞>时,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减; ③当0a <时,由于1 10a -< (0,1)x ∈时,()0h x >,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减; (1,)x ∈+∞时,()0h x <,此时()0f x '>,函数()f x 单调递增。 综上所述: 当0a ≤时,函数()f x 在(0,1)上单调递减; 函数()f x 在(1,+∞)上单调递增; 当1 2a = 时,函数()f x 在(0,+∞)上单调递减; 当1 02 a <<时,函数()f x 在(0,1)上单调递减; 函数()f x 在1 (1,1)a -上单调递增; 函数1 ()(1,)f x a -+∞在上单调递减, (22)已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-()a R ∈. (Ⅰ)当1 2 a ≤ 时,讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)设2 ()2 4.g x x bx =-+当14a =时,若对任意1(0,2)x ∈,存在[]21,2x ∈,使 12()()f x g x ≥,求实数b 取值范围. 解:(Ⅰ)因为1()ln 1a f x x ax x -=-+-,所以 2' 22111()(0,)a ax x a f x a x x x x --+-=-+=∈+∞, 令 2 ()1,(0,)h x ax x a x =-+-∈+∞, ①当12a = 时,12,()0x x h x =≥恒成立,此时' ()0f x ≤,函数 ()f x 在∞(0,+)上单调递减; ②当11 01102a a -<<时,> >, (0,1)x ∈时,()0h x >,此时' ()0f x <,函数()f x 单调递减; 1 (1, 1)x a ∈-时()0h x <,此时'()0f x >,函数 ()f x 单调递增; 1(1,)x a ∈-+∞时,()0h x >,此时' ()0f x <,函数()f x 单调递减; ③当0a <时,由于 1 10a -<, (0,1)x ∈,()0h x >,此时' ()0f x <,函数 ()f x 单调递减; (1,)x ∈+∞时,()0h x <,此时'()0f x >,函数()f x 单调递增. 综上所述: 0 (Ⅱ)因为a= 11 (0,)42 ∈,由(Ⅰ)知,1x =1,2x =3(0,2)?,当(0,1)x ∈时,'()0f x ,函数()f x 单 调递减;[]min 117()(2)840(2,),28g x g b b b ?? ==-≥∈+∞≤ ≥+∞???? 当(1,2)x ∈时,'()0f x , 函数()f x 单调递增,所以()f x 在(0,2)上的最小值为1 (1)2 f =- 。 由于“对任意1(0,2)x ∈,存在[]21,2x ∈,使12()()f x g x ≥”等价于 “()g x 在[]1,2上的最小值不大于()f x 在(0,2)上的最小值12 -”(*) 又()g x =2 2 ()4x b b -+-,[]11,2x ∈,所以 ①当1b 时,因为[]min ()(1)520g x g b ==-,此时与(*)矛盾 ②当[]1,2b ∈时,因为[]2 min ()40g x b =-≥,同样与(*)矛盾 ③当(2,)b ∈+∞时,因为[]min ()(2)84g x g b ==-,解不等式8-4b 12 ≤,可得178b ≥ 综上,b 的取值范围是17,8?? +∞?? ?? 。 (21)已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性; (Ⅱ)设2a ≤-,证明:对任意12,(0,)x x ∈+∞,1212|()()|4||f x f x x x -≥-. 解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+∞),2121 ()2a ax a f x ax x x +++'=+=. 当a ≥0时,()f x '>0,故f(x)在(0,+∞)单调增加; 当a ≤-1时,()f x '<0, 故f(x)在(0,+∞)单调减少; 当-1<a <0时,令()f x '=0,解得x=12a a +- .当x ∈(0, 12a a +-)时, ()f x '>0; x ∈(12a a +- ,+∞)时,()f x '<0, 故f(x)在(0, 12a a +-)单调增加,在(1 2a a +-,+∞)单调减少. (Ⅱ)不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤-2,故f(x)在(0,+∞)单调减少. 所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于 12()()f x f x -≥4x 1-4x 2, 即f(x 2)+ 4x 2≥f(x 1)+ 4x 1. 令g(x)=f(x)+4x,则 1 ()2a g x ax x +'= ++4 =2241ax x a x +++. 于是()g x '≤2441x x x -+-=2 (21)x x --≤0. 从而g(x)在(0,+∞)单调减少,故g(x 1) ≤g(x 2), 即 f(x 1)+ 4x 1≤f(x 2)+ 4x 2,故对任意x 1,x 2∈(0,+∞) ,1212()()4f x f x x x -≥-. (21)已知函数1ln )1()(2 +++=ax x a x f (I ) 讨论函数)(x f 的单调性;