参数范围统一解，函切两等显神通
何凌州
一．前言
在高考中，有许多涉及到参数的导数问题，许多学生害怕求导后根据参数的分类讨论，于是常常白白放弃得分的机会。事实上，有一种方法可以很好地解决此类问题，笔者在市面上的教辅练习中暂未找到系统介绍此方法的章节，故想把该方法分享给大家。暂将该方法定名为“参数范围统一解，函切两等显神通”。
二．标题解释
“参数范围统一解”说明了该方法运用的广泛性，凡是函数中有一个参数的，均可以用此方法，例：f(x)=e x?1?a(1+ln x)。若没有参数，例：f(x)=e x?1?1?ln x就无法使用该方法。“函切两等显神通”说明了完成一道题需要两个等式，即函数值相等，切线值相等，这两个等式是该类题目能够完成的关键。
三．例题
已知函数 f(x)=e x?1?a(1+ln x)有两个零点，求a的取值范围。
此题分析：若此题为一道大题，解题步骤会稍微有些麻烦，需要用到隐形零点的方法。若此题为一道小题，可以直接运用笔者介绍的下述方法。
第一步：f(x)=0可推出：e x?1=a(1+ln x)①
②第二步：对等式左右两边同时求导得：e x?1=a
x
第三步：①÷②可得： 1=(1+ln x)x
第四步：解出(或观察出)x的解：x=1
第五步：将x的解代入①式或②式，解到a的值: a=1
第六步：大致绘制当a=1时a(1+ln x)和e x?1的图像(两图像相切)，此时有一个交点
后续：通过对图像的认知，判断a与0和1的关系进而得到答案
即：分类讨论要按照a<0,a=0,0
a<0的情况
0 a=1的情况 a>1的情况 上述4幅图都是以a=1为出发点，事实上，当a=1时两图像相切，图中有且只有一个交点。对于g(x)=a(1+ln x)而言，a=1在代入时可视为直接忽略掉。a>1时，可视为横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍，即上下拉伸，此时有两个零点。同理，0 综上，此题a的范围为(1,+∞)。 四．通用方法 通过上述例子，我们可以归纳出解决含参数的问题的通用方法，分为以下几步。 ①令原函数f(x)=0后进行移项，让含有参数(a)的放在一边，没有a的放 在一边，使得等式两边生成两个函数?(x),g(x)(一个不含a，一个含a) 得到一个等式(①)。 ②对等式两边同时进行求导，得到另一个等式(②)。 ③用①式÷②式，此时得到的等式③只含有x。 ④解出(观察出)③式x的解。 ⑤将x的解代入①式或②式，得到a的值。 ⑥将a的取值范围按照0和得到的a的值进行讨论，如例题中的a<0,a= 0,0 ⑦先画出⑤中解出的a对应的g(x)和固定的?(x)（注意两者在④中解到的x 点相切），在依次根据数学关系画出a取其他范围时对应的图像。 ⑧下结论。 五．理论依据 本方法核心在于①和②中的两个等式联立解出的参数a和x，这两个方程分别对应着两个函数?(x),g(x)在某点的函数值相等，在某点的切线值也相等。这样两个函数，在该点必相切，那么分类讨论的依据也就有了。通过两个方程解到的a是刚好满足相切条件的参数和x是恰好相切的点的横坐标。 六．适用范围 本方法适用于绝大多数含参数的导数问题，通过等价转换即可变为例题中的零点的模型。若函数在f(x)=x?1 sin2x+asinx在(?∞,+∞)单调 3 cos2x+acosx≥0恒递增，求a的取值范围，这道题可转换为f′(x)=1?2 3 成立，可等价为acosx≥2 cos2x?1，此时将不等号换为等号，即可求变 3 为步骤①中的式子，开始适用通用方法求到最特殊的a和x，再进行讨论 cos2x?1上方）。 （无零点的情况且acosx在2 3 在做题的时候，我们有时候会发现定义域不一定是R，但是这不妨碍我们做题，我们在按步骤操作后求到的x一般都会落在定义域内，要知道，全集的问题会比部分区间更全面，命题者采用部分区间恰是为了简化此 题，避免了比较复杂的讨论。 七．方法优化 在熟悉这种方法后，我们会发现，其实有些步骤不一定要按部就班，比如可以利用自己的观察能力解出①式和②式的a 和x ，可视为解方程组，两条方程两个未知数一定能解出解来(理论上可能不止一组，但一般的命题设计中往往只有一组解。若无解则代表不存在恰好相切的情况，只用根据0来讨论)。如果按照正常步骤解只有x 的方程时，可以通过观察，含有lnx 的解往往是1,e,1 e ，含有e x 的解往往是0，含有sinx 或cosx 的解往往是0,π 2，在解x 的方程时，如果适当使用猜的技巧，往往会事半功倍。 八．注意事项 这样的方法适用于解选择填空题，以及无从下手的大题(特别注意：不是大题的满分解法)，我们可以通过这样的方法快速找到临界条件，此方法还需要一个比较重要的能力--画图能力，以及各类函数增长速度的比较。 画图能力，要注意正负以及与x 轴的交点，渐近线，下附几幅常见的 图， lnx x ,xlnx,xe x ,x e x 九．一点补充 上述方法在做绝大多数题目时都适用，但对下面这道题来说还要讲求一点变通。 （10年理科全国1卷）设函数f (x )=e x ?1?x ?ax 2，当x ≥0时f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围。 这是一道端点效应的题目，即f (0)=0，可以从边界入手，但如果采用刚 刚介绍的方法，应该如何做呢，做的时候会遇到什么问题呢？ ①e x?1?x=ax2 ②e x?1=2ax ③可以解到x=0，但会发现a可以取任意值，这个时候怎么办呢？ ④通过作图我们可以意识到，x=0时两函数的函数值和切线斜率值均为 0，是恒等的，也就是说f(0)=0,f′(0)=0恒成立，这个时候，在正常 的做法中我们会考虑到进行再次的求导，必要条件是f′′(0)≥0。即通 过对等式两边同时再次求导，得到第三个等式e x=2a ⑤联立三个等式(其实联立最后两个就可以了)，可以解到临界条件对应的 a和x。具体原因读者可以自行思考 十．拓展运用 对于隐形零点问题，我们也可以通过这种方法辅助解决问题。 (2012课标全国Ⅰ，文21) (Ⅱ)若k为整数，当x>0时，(x－k)(e x?1)+x+1>0，求k的最大值 为什么求最大整数k？是因为k可以是一个无理数，但是我们无法表示出来，这就用到了隐形零点的知识(这里不展开讨论)。 若还是运用这里介绍的方法 ①先分开：xe x+1>k(e x?1)，把不等式先写成等式xe x+1= k(e x?1) ②同时求导 ③(x+1)e x=ke x ④两等式作商化简可得e x?x?2=0 ⑤这个时候，我们会发现x无法解出，但是可以确定一个具体的范围， 满足一个条件e x?x?2=0，可由零点存在性定理得知x∈(1,2)， 这时由③中的式子k=x+1可得k∈(2,3)，也就是说，实际刚好取 等号时k=2.……，再看回原来的不等式xe x+1>k(e x?1)可知k 应该越小越好，因此k的最大值为2. 对于没有参数的零点问题，事实上也可以通过该方法的深层逻辑解 决，不过可能会有点大材小用了。 求函数f(x)=xlnx?2x+1在(1,+∞)的零点个数_____． 读者可自行领会下述操作 ①令f(x)=0可化为xlnx=2x?1 ②等式两边同时求导lnx+1=2解得x=e ③作出xlnx和2x?1的图像，注意，两图像的斜率在x=e出相等 ④x=e时，xlnx=e和2x?1=2e?1>e，2x?1在xlnx上方，但 依照图形的增长趋势，我们可以知道xlnx早晚会超过2x?1，有一 个交点，在左边界x=1，2x?1=1>1?ln1=0，没有零点 ⑤综上只有一个零点 十一. 补充练习 收集了一些题目，可供此练习熟悉此方法 1.已知函数f(x)=axlnx?e x存在唯一极值点，则实数a的取值范围是 _________ 2.函数f(x)=ae x?x2与g(x)=x2?x?1的图像上存在关于x轴的对 称点，则实数a的取值范围为___________ 3.函数f(x)=e x?e?x?asinx(x∈R,a>0)存在唯一的零点，则a的 取值范围为（） A.(0,2) B.(0,1) C.(0,e) D.(0,π) 4. 讨论f(x)=e x?mx2的零点个数 5. 函数f(x)=(x?2)e x?a(x?1)2有两个零点，求a的取值范围 答案：1.(?∞,0) 2. (?∞,1] 3.A 4.略 5. (0,+∞) 含参数导数的解题策略 导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳． 一、分离参数，转化为最值策略 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出 ()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转 化为函数求最值． 例1、已知函数x x x f ln )(=.（Ⅰ）求)(x f 的最小值； （Ⅱ）若对所有1≥x 都有,1)(-≥ax x f 求实数a 的取值范围. 二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点，从而引起讨论． 例2.已知a 是实数，函数))(2 a x x x f -=（. （Ⅰ）若3)1(='f ,求a 的值及曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 在区间[0，2]上的最大值． 三、导函数为0是否存在，分类讨论策略 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关，令△=0，求分点，从而引起讨论． 例3、已知函数，，讨论在定义域上的单调性． 四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间．所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论． 例4、已知0>m ，讨论函数x e m x m mx x f 6 3)1(3)(2++++=的单调性． 导数中求参数的取值范围 求参数取值范围的方法 1.分离参数，恒成立转化为最值问题 2.分离参数，结合零点和单调性解不等式 3.将参数分成若干个区间讨论是否满足题意 1已知函数 ()-x f x e ax =（a R ∈，e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）讨论函数() f x 的单调性； （Ⅱ）若1a =，函数()()()2x g x x m f x e x x =--++在()2,+∞上为增函数，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）函数() f x 的定义域为R ，()x f x e a '=-． 当0a ≤时， ()0f x '>，∴ () f x 在R 上为增函数； 当0a >时，由()0f x '=得ln x a =， 当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，∴函数()f x 在(),ln a -∞上为减函数， 当 () ln ,x a ∈+∞时， ()0 f x '>，∴函数 () f x 在( ) ln ,a +∞上为增函数……4分 （Ⅱ）当1a =时， ()()()2x x g x x m e x e x x =---++， ∵ () g x 在()2,+∞上为增函数；∴()10x x g x xe me m '=-++≥在()2,+∞上恒成 立，即 1 1x x xe m e +≤-在()2,+∞上恒成立， …………………………6分 令 ()11x x xe h x e +=-，()2,x ∈+∞，则()()() 2 2 21x x x x e xe e h x e --'== -() () 2 21x x x e e x e ---， 令()2x L x e x =--， ()10 x L x e '=->在( ) 2,+∞上恒成立， 即 ()2 x L x e x =--在()2,+∞上为增函数，即()()2240L x L e >=->， ∴()0h x '>，即()11x x xe h x e +=-在()2,+∞上为增函数，∴ ()()22 21 21e h x h e +>=-， ∴22 21 1e m e +≤-，所以实数m 的取值范围是 2221,1e e ??+-∞ ?-??． ………………12分 由参数引起的案—— 含参导数问题 一、已知两个函数k x x x f -+=168)(2 ，x x x x g 452)(2 3 ++=，按以下条件求k 的范围。 （1）对于任意的]3,3[-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立。 （构造新函数，恒成立问题） （2）若存在成立。，使得)()(]3,3[000x g x f x ≤-∈ （与恒成立问题区别看待） （3）若对于任意的).()(]3,3[2121x g x f x x ≤-∈，都有、 （注意21,x x 可以不是同一个x ） （4）对于任意的)()(],3,3[]3,3[1001x f x g x x =-∈-∈使得，总存在。 （注意：哪个函数的值域含于哪个函数的值域取决于：谁的x 是任意取的，谁的x 是总存在的。） （5）若对于任意0x []3,3∈-,总存在相应的[]12,3,3x x ∈-,使得102()()()g x f x g x ≤≤成立； （与（4）相同） 二、已知函数()2 1ln (1)2 f x a x x a x =+-+， a R ∈ (1)函数f (x )在区间(2,﹢∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 , (2)函数f (x )在区间(2,3)上单调，则实数a 的取值范围是 . 三、设函数3()3f x x ax =- (a R ∈)，若对于任意的[]1,1-∈x 都有()1f x ≤成立，求实数a 的取值范围. 四、含参数导数问题的三个基本讨论点 一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。 二、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根 是否落在定义域内，从而引起讨论。 三、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落 在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 例1、设函数3221 ()23()3 f x x ax a x a a R =-+-+∈.求函数)(x f 的单调区间和极值； （可因式分解，比较两根大小，注意别丢两根相等情况) 解： 2 2 ()4-3()(3)f x x ax a x a x a '=-+=--- ……………………………5分 0a =时，()0f x '≤，(,)-∞∞是函数的单调减区间；无极值；……………6分 0a >时，在区间(,),(3,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(,3)a a 上，()0f x '>， 因此(,),(3,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(,3)a a 是函数的单调增区间， 函数的极大值是(3)f a a =；函数的极小值是3 4()3 f a a a =- ；………………8分 0a <时，在区间(,3),(,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(3,)a a 上，()0f x '>， 因此(,3),(,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(3,)a a 是函数的单调增区间 函数的极大值是3 4()3 f a a a =- ，函数的极小值是(3)f a a = ………………10分 例1变式．若2 '()(1)f x x a x a =-++，若(0,)x ∈+∞,讨论()f x 的单调性。（比较根大小，考虑定义域） 导数中的参数范围的求法 一、 与单调性有关的参数问题 此时参数可以位于函数中也可以位于区间内，常见的提问方式是函数在某个区间单调递减、单调递增、单调、不单调，研究这类问题的关键是把握原函数和导函数的关系，这里需要注意的一个问题：若函数()f x 单调，则'()f x 恒为非正或非负，函数的极值点并不等同于导函数的零点，极值点的个数和导函数的根的个数也不能直接划等号。 例1.已知函数32()39f x x x x =--在区间(,21)a a -上单调递减，求a 的取值范围。 解析：先根据函数单调性作出函数的趋势图像，再安排存在参数的区间位置即可。 '2()3693(1)(3)f x x x x x =--=+- 令'()0f x >，则3x >或1x <-；令'()0f x <，则13x -<<，作出趋势图像如下： 函数在区间(,21)a a -上单调递减，需满足12131221a a a a a ≥-?? -≤?<≤??->? 例2．已知函数22 ()ln f x x a x x =++ 在[1,4]上是减函数，求实数a 的取值范围。 解析：转化为函数单调性与导函数的正负性的关系即可，'22()2a f x x x x =+ - 在[1,4]上是减函数，即'22 ()02f x a x x ≤?≤-+在[1,4]上恒成立 令22()2g x x x =-+，因为()g x 在[1,4]上递减，则min 63()(4)2 g x g ==- 所以632 a ≤- 例3.已知函数(),()ln ,f x ax g x x a R ==∈，若函数()2 ()()xf x G x ag x a x = ++在区间[1,)+∞上为单调函数，求a 的取值范围。 解析：题目只是说明函数是单调函数，并未说明是单增还是单减，因此需要分两种情 况讨论，将单调性转化为参数恒成立问题即可。 ()2()()xf x G x ag x a x =++，3' 22222()2a x ax G x x x x x +-=+-= 若()G x 在区间[1,)+∞上单调递增，则'()0G x ≥在[1,)+∞上恒成立，即 222a x x ≥ -在[1,)+∞上恒成立，令22 ()2h x x x =-，因为()h x 在[1,)+∞递减，则 max ()(1)0h x h ==，此时0a ≥ 若()G x 在区间[1,)+∞上单调递减，则'()0G x ≤在[1,)+∞上恒成立，即 222a x x ≤ -在[1,)+∞上恒成立，令22 ()2h x x x =-，因为()h x 无最小值，则不存 在这样的a 综上，0a ≥ 例4.已知函数32()(1)(5)f x x k x k x =+-++，其中k R ∈，若函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数，求k 的取值范围。 解析：这个问题相对复杂些，但是思路还算清晰，函数在(0,3)上不是单调函数，意味 着原函数在(0,3)上存在极值点，因为三次函数极值点的个数可能是两个也可能没有，原题目中排出没有的情况，因此题目存在两个极值点，但是这两个极值点有几个落在区间(0,3)内这是个问题，可能只有一个极值点在，也可能两个都在，此外极值点是导函数的根，题目即可转化为二次函数在区间内根的分布问题。 '2()32(1)5f x x k x k =+-++，函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数，则() f x 在(0,3)内必定存在极值点，此时()f x 不能单调递增，只能是保持一种增减增的状态，因此()f x 在(0,3)内的极值点可能是一个也可能是两个。 若极值点在(0,3)内只有一个，情况如下： （1） 含参数的导数分类讨论 【探究拓展】 探究：已知函数0,)(2≤=a e x x f ax （1）讨论函数)(x f 的单调性； （2）求函数)(x f 在区间[]1,0上的最大值. 变式1：已知函数bx ax x x f +-=22 1ln )(，且0)1('=f （1）试用含有a 的式子表示b ；（2）求)(x f 的单调区间. 变式2：函数)11(32≤≤-=x x y 的图像上有B A ,两点，且x AB x x B A //,<轴，其中点 ),2(m C ，其中3>m ， （1）试写出用点B 的横坐标t 表示ABC ?面积S 的函数解析式)(t f S =； （2）记S 的最大值为),(m g 求)(m g . 变式3：设函数2()(2)ln f x x a x a x =---，求函数()f x 的单调区间. 拓展1：设函数()()3 22316,f x x a x ax a =-++∈R ． （1）当1a =时，求证：()f x 为单调增函数； （2）当[]1,3x ∈时，()f x 的最小值为4，求a 的值． 解：（1）当1a =时，()3 2266f x x x x =-+，所以()()2 26126610f x x x x '=-+=-≥， 所以()f x 为单调增函数． （2）()()()61f x x x a '=--． ①当1a ≤时，()f x 在区间[]1,3上是单调增函数，最小值为()1f ， 由()14f =，得513 a =>（舍去）． ②当13a <<时，()f x 在区间()1,a 上是减函数，在区间(),3a 上是增函数，最小值为()f a ， 由()4f a =，得2a =或1a =-（舍去）． 导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题 含参数导数问题的分类讨论问题 1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 ★已知函数ax x a x x f 2)2(2 131)(23++-=（a>0）,求函数的单调区间 )2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a x a x x f ln )2(2)(+-- =（a>0）求函数的单调区间 2 2 2) )(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-=' ★★★例3已知函数()()22 21 1 ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。 ! 解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。 （Ⅱ）由于0a ≠，所以()() 1 2)1(222+-+='x x a x f ,由 ()'0f x =，得121 ,x x a a =-=。这两个实根都在定 ()()()()()() 2 2 ' 2222 122122111a x a x a x x ax a a f x x x ? ?--+ ?+--+??==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。 (1)当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ? ? -∞- ??? ，(),a +∞内为减函数， 在区间1,a a ?? - ??? 为增函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ； 函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。 （1） 当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1 (+∞-a 内为增函数，在区间 )1,(a a -为减函数。故函数()f x 在11 x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ；函数 ()f x 在 2x a =处取得极大值()1f a =。 运用导数解决含参问题 运用导数解决含参函数问题的策略 以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围。 解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，通过不断地转化，把不熟悉、不规范、 复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。 解决的主要途径：是将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特 征，恰当地构造函数，等价转化为：含参函数的最值讨论。 一、含参函数中的存在性问题 利用题设条件能沟通所求参数之间的联系，建立方程或不等式（组）求解。这是求存在性范围问题最显然的一个方法。 例题讲解 例1：已知函数x x x f ln 2 1)(2+= ，若存在],1[0e x ∈使不等式 m x f ≤)(0，求实数m 的取值范围 二、含参函数中的恒成立问题 可先利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，从而使这种具有函数背景的范围问题迎 刃而解，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围。类型有：(1)双参数 中知道其中一个参数的范围；(2)双参数中的范围均未知。 一、选择题 1 ．（2013年课标Ⅱ）已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ） A ．0x ?∈R,0()0 f x = B.函数()y f x =的图像是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减 D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0 f x = 2 ．（2013年大纲）已知曲线()4 2 1-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（） A ．9 B ．6 C ．-9 D ．-6 3 ．（2013年湖北）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．1 (0,)2 C ．(0,1) D ．(0,)+∞ 4.若函数3 2 ()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是: （ ） 利用导数求参数的取值范围 一．已知函数单调性，求参数的取值范围 类型1．参数放在函数表达式上 例１． 设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23． 的取值范围 求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(. ,3)()1(-∞= 二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 类型１．参数放在不等式上 例3.已知时都取得极值与在13 2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f （1）求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间． （2）若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． __________)(]2,1[,522)(.32 3 的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--= 类型2．参数放在区间上 例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=2 35)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值. （1）求)(x f 的解析式.（2）当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围. 分析:(1)935)(23++-=x x x x f ] 3,0(),0(0)(]3,0(),0(0)(30)3()(,)(,0)()3,3 1(9)0()()(,0)()3 1,0(3,310)() 3)(13(3103)().2(''21‘2'的取值范围为所以内恒成立 在时当且仅当内不恒成立在时所以当所以单调递减时当所以单调递增时当得由m m x f m ，m x f m f x f x f x f x f x f ，x f x f x x x x f x x x x x f >∈>>=><∈=>>∈===--=+-= 基础训练： .___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ，x a x x -≥- 专题08 含参数的导数问题解题规律 一．知识点 基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数 ①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④???? 1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式 ①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________； ③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________． 5．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________； (3)???? ??f （x ）g （x ）′＝____________________________． 6．复合函数的导数 (1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))． （解法二）由 得 设，则 ，由于 单调递减且， 所以时单调递增， 时单调递减 方程 在上有且只有一个解等价于 。故． 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． ()12f x m x =()10h =()0,1()g x ()1,+∞()g x ()0,+∞1 2 m = 导数题型总结（解析版） 体型一: 关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =- - （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 含参数导数问题的三个基本讨论点 导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且 在众多的教辅资料中也难得一见，本文就来讨论这一问题，供大家参考。 一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。 例1（2008年高考广东卷（理科） 设k R ∈ ，函数 1 ,11(),()(),1x x f x F x f x kx x R x ??? 。 考虑导函数 '()0 F x =是否有实根，从而需 要对参数k 的取值进行讨论。 （一）若1 x <，则 () () 2 2 11'()1k x F x x --= -。由于当0 k ≤时， '()0 F x =无实根，而当0 k >时， '()0 F x =有实根， 因此，对参数k 分0 k ≤和0 k >两种情况讨论。 （1） 当0 k ≤时， '()0 F x ≥在 (,1) -∞上恒成立， 所以函数() F x 在 (,1) -∞上为增函数； （2） 当 k >时， () () 2 2 11'()11k x F x x x --= =-- 由 '()0 F x = ，得121,1x x ?? == ?? ， 因为0 k >，所以 12 1x x <<。 由 '()0 F x >， 得 11x <<；由 '()0F x < ， 得 1x < 导数问题中参数范围的求法 」、分离常数法 (I)常规分离常数法 g(a) f (x) min g(a) f (x) max (U)能分离常数，但求稳定点困难 原理：稳定点的估算利用连续函数介值定理去估算 例2、已知函数f (x ) 1一―1) (x 0)，若当x 0时，f(x) x 求正整数k 的最大值. (x 叭呛 ° ° , h(x) x 1 ? x 1) x x 设 g(x) x 1 In(x 1) 从而 h(x) 0与g(x) 0在(0,)有相同根 x g (x) 0 由于 g(2) 0且 g(3) 0 x 1 所以g(x) 0存在唯 根 (2,3) 故g() 0 得 1 ln( 1) 0 x (0, )时 g(x) 0 h '(x) 0 x (, )时 g(x) 0 h '(x) 0 h(x)min ( 1)(I n( 1) 1) 1 (3,4) h() 所以k h (X )min 1 4 又因为 k Z ， 故k max 3 ? (川)能分离常数，但求最值困难 例1、(2010全国卷一)已知函数f(x) (x 1)ln x x 1，若 xf (x) x 2 ax 1， f '(x) x 1 , Inx x xf '(x) x 2 ax 1 令 g(x) In x x ( 当0 x 1 时 g '(x) g ( x) mac g(x) 1 求a 的取值范围. a 0) ， 解: 1 x Inx 1 x In x x g(x) x 当 x 1 时 g '(x) 0 g (1) 所以g(x) 1 故a 1 原理：将所给不等式变形为 g(a) f(x) g(a) f (x) 恒成立, 解：有已知k (x 1)f (x) (x 1)(1 n(x 1) 1) x 设 h(x) 一．含参数导数问题的分类讨论问题 求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 ★例1已知函数ax x a x x f 2)2(2 131 )(23++-=（a>0）,求函数的单调区间 ★★例2已知函数x a x a x x f ln )2(2 )(+--=（a>0）求函数的单调区间 ★★★例3已知函数()()22211 ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。 。 练习：已知函数 当时，讨论的单调性. 二．已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题； ．例4.已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x 在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________． 练习：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且 a ＝f ′? ?????23. (1)求a 的值； (2)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围． 恒成立分参 例1：设函数f (x )＝kx 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数k 的值为________． 练习： 当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B ．[－6，－98 ]C ．[－6，－2] D ．[－4，－3] 例说导数含参问题的处理策略详解 (完美终结篇) 张成 壹叁捌叁捌伍叁捌贰肆贰 一、 和单调性有关的含参问题 1. 求单调区间：本质是解含参不等式 例1：求2 ()()x a f x x -= 的单调区间 【解】2 ()() ()x a a x f x x -+'= 12x a x a ==- 当0a =时，()10f x '=>，故只有增区间：(,0),(0,)-∞+∞不能并哦 当0a >时，由2 ()() ()0x a x x f a x -+'= >即()(x a)0x a -+>得,x a x a <->， 由()(x a)0x a -+<得a x a -<< 当0a <时，由()0f x '>得,x a x a <>- 由()0f x '<得a x a <<- 综上所述：当0a =时函数增区间为(,0),(0,)-∞+∞ 当0a >时函数增区间为：(,),(,)a a -∞-+∞减区间为：(,)a a - 当0a <时函数增区间为：(,),(,)a a -∞-+∞减区间为：(,)a a - 例2：求函数f (x )＝x 2e ax 的单调区间． 【解】 函数f (x )的导数f ′(x )＝2x e ax ＋ax 2e ax ＝(2x ＋ax 2)e ax . 1220x x a ==- (1)当a ＝0时，由f ′(x )＜0得 x ＜0；由f ′(x )＞0，得x ＞0 所以当a ＝0时，函数f (x )在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数． 当a ≠0时，1220 x x a ==- (2)当a ＞0时，由2x ＋ax 2＞0，得x ＜－2a 或x ＞0；由2x ＋ax 2＜0，得－2 a ＜x ＜0. 所以当a ＞0时，函数f (x )在(－∞，－2a )和(0，＋∞)上为增函数，在区间(－2 a ，0)上为减函数． (3)当a ＜0时，由2x ＋ax 2＞0，得0＜x ＜－2a ；由2x ＋ax 2＜0，得x ＜0或x ＞－2 a ， 所以当a ＜0时，函数f (x )在区间(－∞，0)和(－2a ，＋∞)上为减函数，在区间(0，－2 a )上为增函数 总结：两个根大小不定时要讨论 2. 逆向问题：已知函数在某区间上单调性，求参数取值范围 （1） 解析式含参时：本质是恒成立问题: ()0f x '≥（()0f x '≤）恒成立 思路1：转化为求非含参一段函数的最值（范围） 思路2：数形结合 注意事项：端点能否取等号要注意 帮你归纳总结(五）：导数中的求参数取值范围问题 一、常见基本题型： （1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数()f x 增区间，则在此区间上 导函数()0f x '≥，如已知函数()f x 减区间，则在此区间上导函数()0f x '≤。 （2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。 例1.已知a ∈R ，函数2 ()()e x f x x ax -=-+.（x ∈R ，e 为自然对数的底数） （1）若函数()(1,1)f x -在内单调递减，求a 的取值范围； （2）函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明 理由. 解： （1）2 -()()e x f x x ax =-+Q -2 -()(2)e ()(e )x x f x x a x ax '∴=-++-+-=2-(2)e x x a x a ??-++??. ()()f x 要使在-1,1上单调递减， 则()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立， 2 (2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立. 令2 ()(2)g x x a x a =-++，则(1)0, (1)0. g g -≤?? ≤? 1(2)01(2)0 a a a a +++≤?∴?-++≤?, 3 2a ∴≤-. （2）①若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≤ 对x ∈R 都成立 即2-(2)e 0x x a x a ??-++≤?? 对x ∈R 都成立. 2e 0,(2)0x x a x a ->∴-++≤Q 对x ∈R 都成立 令2 ()(2)g x x a x a =-++， Q 图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立 ②若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≥ 对x ∈R 都成立， 即2-(2)e 0x x a x a ??-++≥?? 对x ∈R 都成立， e 0,x ->Q 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立. 22(2)440a a a ?=+-=+>Q 故函数()f x 不可能在R 上单调递增. 综上可知，函数()f x 不可能是R 上的单调函数 例2：已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈, 若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切 题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立； 经验1：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 经验2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）；题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）； 第二种：分离变量求最值； 第三种：关于二次函数的不等式恒成立； 第四种：构造函数求最值；题型特征（)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立） ； 单参数放到不等式上 设函数1 ()(1)ln(1) f x x x = ++（1x ≠，且0x ≠） （1）求函数的单调区间； （2）求()f x 的取值范围； （3）已知11 (1)2 m x x +>+对任意(1,0)x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围。 2.已知函数ln ()1a x b f x x x = ++在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-= （1）求,a b 的值； （2）如果当0x >,且1x ≠时，ln ()1x k f x x x =+-，求k 的取值范围. 3.已知函数4 4 ()ln (0)f x a x b c x x x =+->在 0x >出取得极值3c -- ,其中 ,,a b c 为常数. （1）试确定,a b 的值； （2）讨论函数()f x 的单调区间； （3）若对任意0x >，不等式2 ()2f x c ≥-恒成立，求c 的取值范围。 4.已知函数2 ()21f x ax x = ++，()a g x x = ，其中0,0a x >≠ （1）对任意的[1,2]x ∈，都有()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）对任意的1 2 [1,2],[2,4]x x ∈∈，2 1 )()(f g x x >恒成立，求实数a 的取值范围 5.已知函数()2 a f x x x =+，()ln g x x x =+，其中0a >．若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为 自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围 函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结： 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法 一、分离讨论思想： 例题1： 讨论下列函数单调性： 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）?? ???<-=-=-040)2(202a a 解（1）得???<<-<2 22a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 三、分离法参数： 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即： （1） 对任意x 都成立()min x f m ≤ （2）对任意x 都成立。 例3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 历年高考题型总结及详解——倒数 内容简介：1.有关倒数考试方向及常考点. 2.常考点方法总结及名师点拨. 3.2014——2016各地历年高考题及解析. 4.名校有关模拟题——母题. 【命题意图】导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据.分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧.因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力. 【考试方向】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想.含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一.这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等. 【得分要点】 1.研究函数单调区间，实质研究函数极值问题.分类讨论思想常用于含有参数的函数的极值问题，大体上可分为两类，一类是定区间而极值点含参数，另一类是不定区间（区间含参数）极值点固定，这两类都是根据极值点是否在区间内加以讨论，讨论时以是否使得导函数变号为标准，做到不重不漏. 2.求可导函数单调区间时首先坚持定义域优先原则，必须先确定函数的定义域，尤其注意定义区间不连续的情况，此时单调区间按断点自然分类；其次，先研究定义区间上导函数无零点或零点落在定义区间端点上的情况，此时导函数符号不变，单调性唯一；对于导函数的零点在定义区间内的情形，最好列表分析导函数符号变化规律，得出相应单调区间. 3.讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了 专题02导数中的参数问题 【题型综述】 导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式成立/存在性/方程的根/零点等条件,求解参数的取值或取值范围”。这类型题目在近几年的高考全国卷还是地方卷中，每一年或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。学生要想解决这类型的题目，关键的突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分类讨论法和分离参数法。一．分离参数法 分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的，如下面的第2种情形），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离。1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定) 该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题。 例1．已知函数()ln sin f x x a x =-在区间,64ππ?? ? ???上是单调增函数，则实数a 的取值范围为() A .43, π?-∞ ?? B .42,π?-∞ ?? C .4243,ππ?? ?? D .42 ,π??+∞?? ??? 【思路引导】已知函数()f x 在固定区间上的单调性，先转化为()11 cos 0cos f x a x a x x x '= -≥?≤在固定区间上恒成立，cos 0x >在固定区间上是成立的，故而把自变量x 与参数a 进行完全分离，转化为求不含参函数()1 cos h x x x = 的最值问题，再利用求导求单调性就可以求的函数()h x 的最值。 导数中的参数问题 【方法综述】 导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式成立/存在性/方程的根/零点等条件,求解参数的取值或取值范围”.这类型题目在近几年的高考全国卷还是地方卷中，每一年或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型.学生要想解决这类型的题目，关键的突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分类讨论法和分离参数法. 【解答策略】 一．分离参数法 分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的，如下面的第2种情形），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离. 1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定) 该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题. 例1．直线 与曲线 有两个公共点，则实数的取值范围是_____． 【举一反三】若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数） 该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了. 例2．定义在 上的函数 满足 ，且 ，不等式 有解，则正实数的取值范围是（ ） A．B．C．D． 【举一反三】已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( ) A．(3，4) B．(4，5) C．(5，6) D．(6．7) 二．分类讨论法 分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论. 1.二次型根的分布或不等式解集讨论 该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程，可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决. 例3．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______． 【指点迷津】 1.本题考查导数在研究函数中的应用，体现了导数的工具性，解题的关键是得到 的表达式．解答恒成立问题的常用方法是转化为求函数的最值的问题解决，当函数的最值不存在时可利用函数值域的端点值来代替. 2. 由是函数的两个不同的极值点可得，进而得到 ，然后构造函数，求出函数的值域后可得所求范围． 【举一反三】若函数有个零点，则实数取值的集合是________．含参数导数问题分类讨论
导数中求参数的取值范围
高中数学含参导数问题
导数中的参数范围的求法
含参数的导数分类讨论问题
导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
运用导数解决含参问题
(完整版)利用导数求参数的取值范围方法归纳
高考数学专题08+含参数的导数问题解题规律-(理)(教师版)
含参数导数方法总结
含参数导数问题的三个基本讨论点
导数问题中参数范围的求法-典型
导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
例说导数含参问题的处理策略
导数中的求参数取值范围问题
导数中参数的取值范围问题
导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧
高三总复习导数——专题总结归纳.
导数02-导数中的参数问题(有答案)
导数中的参数问题
相关主题
文本预览