匀速圆周运动
青山民族中学张志远
教学目标：
一、知识与技能：
1、知道什么是匀速圆周运动
2、理解什么是线速度、角速度和周期
3、理解线速度、角速度和周期之间的关系
二、过程与方法：
1、能够用类比等方法学习新知识。
2、能够通过实验来探究规律。
3、能够应用匀速圆周运动的有关公式分析和解决有关问题。
三、情感态度与价值观：
通过描述匀速圆周运动快慢的教学，使学生了解对同一个问题可以从不同的侧面进行研究。教学重点：
1、理解线速度、角速度和周期的概念。
2、知道什么是匀速圆周运动
3、线速度、角速度及周期之间的关系
教学难点：
可以用不同的物理量描述匀速圆周运动的快慢
教学过程：
引入：
师：播放ppt图片
师：图片中的运动有什么共同点？
生：圆周运动就是运动轨迹是圆周的运动。
师：同学们能不能举一些日常生活中常见的圆周运动？
生：如机械钟表的指针、齿轮、电风扇的叶片、汽车的车轮在转动时的运动都是圆周运动。 师：播放生活中常见的圆周运动的图片。
新课教学：
匀速圆周运动
师：我们刚才举到的这些例子中，有些圆周运动的规律是比较复杂的，如过山车的运动。而我们研究一种运动，都是先研究其最简单的运动形式，如在直线运动规律的学习中，我们只研究了最简单的两种直线运动的规律，即匀速直线运动和匀变速直线运动的规律。对于圆周运动，我们也先研究其中最简单的运动形式，那最简单的圆周运动应该是怎样的？ 生：最简单的圆周运动应该是运动快慢不变的圆周运动。
师：我们把这种运动快慢不变的圆周运动称为匀速圆周运动。
师：匀速圆周运动与匀速直线运动的区别是什么？
生：匀速圆周运动的运动方向不断变化。
师：回忆匀速直线运动的定义并给匀速圆周运动下一个定义。
生：匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等
师：物体运动的快慢应该是不变的，说明用我们以前所学过的物理量——速度是无法准确描述匀速圆周运动的快慢。那么我们应该用什么物理量来描
述匀速圆周运动的快慢呢？提示能不能用初中所学过的
速率来描述匀速圆周运动的快慢。
生：学生谈论。
师：我们是如何定义速率的？ 生：t s v =，是路程与时间的比值。 师：物体做圆周运动的路程就对应于圆上的弧长。
师：两物体甲和乙同时从A 点出发，沿顺时针做快慢不同
的匀速圆周运动，甲比乙运动得快，经过时间t ，甲第一
次运动到了C 点，乙第一次运动到了B 点，甲的速率V 甲=t S AC '，乙的速率V 乙=t
S AB '。因S AC ‘>S AB ‘，所以V 甲>V 乙，因此速率可以用来描述匀速圆周运动的快慢。
师：我们把匀速圆周运动的物体通过的弧长S 与所有时间t 的比值叫做线速度的大小。
【公式】 t S v 弧长
=
【单位】:米每秒 m/s
师：线速度是矢量，不仅有大小，而且有方向。那线速度的方向是怎样的呢？
A
C 图（2）
师：看图
生：沿该点的切线方向。
师：展示图片，一同转动的两点转动半径不同，而两点在相等的时间内转过的角度却一样，所以它们的运动快慢是一样的。因此对于匀速圆周运动来说，我们还可以从角度的方面来考虑物体运动的快慢。
2、角速度
师：为了描述BC 两点在运动过程中角度变化快慢的不同，物理学中引入一个量t ??=θω来描述它。我们把这个量叫做“角速度”，用符号ω表示。
【定义】做圆周运动的物体某段时间内转过的角与该段时间的比值叫做角速度。
【公式】t
??=θω 师：那角速度的单位是什么呢？
师：应该是度每秒，°/s
师：提到角的单位，大家自然会想到“度”，然而在国际单位制中，角的度量使用另一个单位“弧度”。
【单位】弧度每秒 rad/s
【方向】四指绕着转动方向中，拇指指向就是角速度方向。（可对学生说高中阶段不要求掌握角速度的方向）
师：我们学习了角速度的概念后，两点是一同转动的，相同时间里转过的角度一样，说明他们的角速度相等，所以它们的运动快慢应该是一样的。
3、周期：
师：前面我们已经分析了可以从线速度和角速度两方面来描述物体做匀速圆周运动的快慢。请大家再思考一下，是否还有其他的物理量也可以描述物体做匀速圆周运动的快慢。 生：学生讨论。
师：对于不同的两点，转动一周所用的时间是不同的，因此我们还可以用物体转动一周所用的时间来描述物体做匀速圆周运动的快慢。
师：我们把周期性运动每重复一次所需要的时间叫做周期T 。做匀速圆周运动的物体，周期越短，转动越快；周期越长，转动越慢。
【定义】周期性运动每重复一次所需要的时间叫做周期T 。
【单位】秒 s
师：做匀速圆周运动的物体转动一周所用的时间越长，说明物体转动越慢，那如果物体在单位时间内转过的圈数越多，说明物体转动得是越快还是越慢呢？
生：转动得越快。
师：因此我们还可以用单位时间内运动重复的次数来描述物体做匀速圆周运动的快慢。 师：我们把单位时间内运动重复的次数叫做频率，用f 表示，单位是赫兹（H Z ）。频率越高，
一、第六章 圆周运动易错题培优（难） 1．如图所示，用一根长为l =1m 的细线，一端系一质量为m =1kg 的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=30°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T ，取g=10m/s 2。则下列说法正确的是（ ） A ．当ω=2rad/s 时，T 3+1)N B ．当ω=2rad/s 时，T =4N C ．当ω=4rad/s 时，T =16N D ．当ω=4rad/s 时，细绳与竖直方向间夹角 大于45° 【答案】ACD 【解析】 【分析】 【详解】 当小球对圆锥面恰好没有压力时，设角速度为0ω，则有 cos T mg θ= 2 0sin sin T m l θωθ= 解得 053 2 rad/s 3 ω= AB ．当02rad/s<ωω=，小球紧贴圆锥面，则 cos sin T N mg θθ+= 2sin cos sin T N m l θθωθ-= 代入数据整理得 (531)N T = A 正确， B 错误； CD ．当04rad/s>ωω=，小球离开锥面，设绳子与竖直方向夹角为α，则 cos T mg α= 2sin sin T m l αωα= 解得
16N T =，o 5 arccos 458 α=> CD 正确。 故选ACD 。 2．如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有小物体A 、B 、C ，质量分别为m 、2m 、3m ，A 叠放在B 上，C 、B 离圆心O 距离分别为2r 、3r 。C 、B 之间用细线相连，圆盘静止时细线刚好伸直无张力。已知C 、B 与圆盘间动摩擦因数为μ，A 、B 间摩擦因数为3μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g ，现让圆盘从静止缓慢加速，则（ ） A ．当23g r μω=时，A 、B 即将开始滑动 B ．当2g r μω=32 mg μ C ．当g r μω=C 受到圆盘的摩擦力为0 D ．当25g r μω=C 将做离心运动 【答案】BC 【解析】 【详解】 A. 当A 开始滑动时有： 2033A f mg m r μω==?? 解得： 0g r μω＝ 当23g g r r μμω= 物理讲义 1、如图所示，A、B是两个摩擦传动轮，两轮半径大小关系为RA=2RB，则两轮边缘上的（） A．角速度之比ωA：ωB=2：1 B．周期之比TA：TB=1：2 C．转速之比nA：nB=1：2 D．向心加速度之比aA：aB=2：1 2、如图所示是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的牙盘（大齿轮），Ⅱ是半径为r2的飞轮（小齿轮），Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为 n（r/s），则自行车前进的速度为（）A．πnr1r3/r2 B．πnr2r3/r1 C．2πnr1r3/r2 D．2πnr2r3/r1 3、如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（） A． B的向心力是A的向心力的2倍 B．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍 C． A、B都有沿半径向外滑动的趋势 D．若B先滑动，则B对A的动摩擦因数μA小于盘对B的动摩擦因数μB 4、两根长度不同的细线下面分别悬挂着小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个小球在运动过程中的相对位置关系示意图正确的是（） A. B. C. D. 5、一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比=___． 6、铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是（） A．v一定时，r越小则要求h越大 B．v一定时，r越大则要求h越大 C．r一定时，v越小则要求h越大 D．r一定时，v越大则要求h越大 7、如图所示，一个圆形框架以竖直的直径为转轴匀速转动。在框架上套着两个质量相等的小球A、B，小球A、B到竖直转轴的距离相等，它们与圆形框架保持相对静止。下列说法正确的是 A．小球A的合力小于小球B的合力 B．小球A与框架间可能没有摩擦力 C．小球B与框架间可能没有摩擦力 D．圆形框架以更大的角速度转动，小球B受到的摩擦力一定增大 8、如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（） A 从动轮做顺时针转动 B.从动轮做逆时针转动 匀速圆周运动专题 从现行高中知识体系来看，匀速圆周运动上承牛顿运动定律，下接万有引力，因此在高一物理中占 据极其重要的地位，同时学好这一章还将为高二的带电粒子在磁场中的运动及高三复习中解决圆周运动 的综合问题打下良好的基础。 （一）基础知识 1. 匀速圆周运动的基本概念和公式 （1） 线速度大小，方向沿圆周的切线方向，时刻变化； （2） 角速度，恒定不变量； （3）周期与频率； （4） 向心力，总指向圆心，时刻变化，向心加速度 ，方向与向心力相同； （5） 线速度与角速度的关系为 ，、、、的关系为。所以在、、中若一个量确定，其余两个量 也就确定了， 而还和有关。 2. 质点做匀速圆周运动的条件 （1） 具有一定的速度； （2） 受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力）与速度始终在一个确 定不变的平面内且一定指向圆心。 3. 匀速圆周运动的动力学特征 （1） 始终受合外力作用， 且合外力提供向心力， 其大小不变，始终指向圆心，因合力始终与速度垂直, 所以合力不做功. （2） 匀速圆周运动的动力学方程 根据题意，可以选择相关的运动学量如 v ,3, T , f 列出动力学方程；，，, 熟练掌握这些方程，会给解题带来方便. 4. 变速圆周运动的动力学特征 （1）受合外力作用，但合力并不总是指向圆心， 且合力的大小也是可以变化的， 故合力可对物体做功, 物体的速率也在变化. （2）合外力的分力（在某些位置上也可以是合外力 ）提供向心力. 例题1?在图1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为 r , a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮 的半径为4r ,小轮的半径为2r 。b 点在小轮上，到小轮中心的距离为 的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ） A . a 点与b 点的线速度大小相等 B . a 点与b 点的角速度大小相等 C . a 点与c 点的线速度大小相等 D. a 点与d 点的向心加速度大小相等 说明：在分析传动装置的各物理量时，要抓住等量和不等量之间 如同轴各点的角速度相等，而线速度与半径成正比；通过皮带传 虑皮带打滑的前提下）或是齿轮传动，皮带上或与皮带连接的两轮边缘的各点及 齿轮上的各点线速度大小相等、角速度与半径成反比。 练习 1.如图所示的皮带转动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴， ，。假设在传动过 程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的 A 、B C 三点的角速度之比是 ___________ ;线 r 。 c 点和d 点分别于小轮和大轮 的关系。 动（不考 a r 4r d - 'Jr 图1 第3讲 圆周运动 一、匀速圆周运动及描述 1．匀速圆周运动 (1)定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动． (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动． (3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心． 2．运动参量 自测 (多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s ，转动周期为2 s ，则( ) A ．角速度为0.5 rad/s B ．转速为0.5 r/s C ．轨迹半径为4 π m D ．加速度大小为4π m/s 2 二、匀速圆周运动的向心力 1．作用效果 向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小． 2．大小 F n ＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2 T 2r ＝mωv ＝4π2mf 2r . 3．方向 始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力． 4．来源 向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供． 判断正误 (1)物体做匀速圆周运动时，因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力．( ) (2)物体做匀速圆周运动时，因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小．( ) (3)物体做匀速圆周运动时，向心力由物体所受的合外力提供．( ) 三、离心运动和近心运动 1．离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动． 2.受力特点(如图1) (1)当F ＝0时，物体沿切线方向飞出； (2)当0 圆周运动 1．物体做匀速圆周运动的条件： 匀速圆周运动的运动条件：做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变，方向总是和速度方向垂直并指向圆心。 2．描述圆周运动的运动学物理量 （1）圆周运动的运动学物理量有线速度v 、角速度ω、周期T 、转速n 、向心加速度a 等。它们之间的关系大多是用半径r 联系在一起的。如：T r r v πω2= ?=，2 2224T r r r v a πω===。要注意转速n 的单位为r/min ，它与周期的关系为n T 60=。 （2）向心加速度的表达式中，对匀速圆周运动和非匀速圆周运动均适用的公式有： ωωv r r v a ===22 ，公式中的线速度v 和角速度ω均为瞬时值。只适用于匀速圆周运动 的公式有：2 24T r a π= ，因为周期T 和转速n 没有瞬时值。 例题1．在图3－1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r 。 b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r 。 c 点和 d 点分别于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ） A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等 D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等 练习 1．如图3－4所示的皮带转动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴，2:1:=c A R R ，3:2:=B A R R 。假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的A 、B 、C 三点的角速度之比是 ；线速度之比是 ；向心加速度之比是 。 2．图示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打 图3－1 4r 2r r r a b c d 图3－4 圆周运动讲义（学霸版） 课程简介：PPT(第1页):同学好，我们又见面了，上次课讲的内容巩固好了么，要是感觉有什么问题，可以课后和我联系，我们今天的内容是关于圆周运动的相关概念和知识点，让我们来一起看一下。PPT(第2页):圆周运动部分是必修2的重点内容，主要内容： 1、通过实例，理解圆周运动的快慢； 2、通过比较，理解圆周运动中各物理量之间的关系； 3、通过拓展阅读，体会三种传动方式中各物理量间的关系与应用。PPT(第3页):我们看一下目录，还是老样子，梳理知识体系和解决经典问题实例。 PPT(第4页)：我们先来看一下知识体系的梳理部分。 PPT(第5页)：这是我们关于圆周运动的总框架，知识点部分包括：匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度，匀速圆周运动的向心力，离心现象。 考点包括：圆周运动中的运动学分析、圆周运动中的动力学分析和圆周运动的实例分析。 PPT(第6页)：OK，我们先说一下匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度。 1.匀速圆周运动 (1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。 (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 (3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2.描述匀速圆周运动的物理量 度的大小。 2.大小：F ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r ＝mωv ＝4π2mf 2r 。3.方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。 4.来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还 可以由一个力的分力提供。 PPT(第8页):好，我们再来看看离心现象。 1.定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。 2.本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势。接下来看一下相关考点，主要考点内容包括：圆周运圆周运动中的动力学分析、先看一下考点一-圆周运动中的运动学分析 的理解 成正比； 当ω一定时，v 与r 成正比； 当v 一定时，ω与r 成反比。 2.对a ＝v 2 r ＝ω2r ＝ωv 的理解在v 一定时，a 与r 成反比；在ω一定时，a 与r 成正比。 简单学习网课程讲义 学科：物理 专题：圆周运动 圆周运动 题一 题面：如图所示，两个内壁光滑、半径不同的半球形碗， 放在不同高度的水平面上，使两碗口处于同一水平面。现 将质量相同的两小球（小球半径远小于碗的半径），分别 从两个碗的边缘由静止释放，当两球分别通过碗的最低点 时（） A．两小球的速度大小相等 B．两小球的速度大小不相等 C．两小球对碗底的压力大小相等 D．两小球对碗底的压力大小不相等 题二 题面：一根内壁光滑的细圆管，形状如图所示，放在竖直平面内， 一个球自A口的正上方高h处自由下落。第一次小球恰能抵达B点； 第二次落入A口后，自B口射出，恰能再进入A口，则两次小球下 落的高度之比h l∶h2。 题三 题面：如图是离心轨道演示仪的结构示意图。光滑弧形轨道 下端与半径为R的光滑圆轨道相接，整个轨道位于竖直平面 内。质量为m的小球从弧形轨道上的A点由静止滑下，进入 圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开圆轨道。小球运动到圆轨 道的最高点时，对轨道的压力恰好与它所受到的重力大小相等。重力加速度为g，不计空气阻力。求： （1）小球运动到圆轨道的最高点时速度的大小； R h A （2）小球开始下滑的初始位置A 点距水平面的竖直高度h 。 题四 题面：一根长为L 的细绳，一端拴在水平轴O 上，另一端有一个质量为m 的小球，现使细绳位于水平位置，并且绷直，如图所示，给小球一个作用，使它得 到一定的向下的初速度。 （1）这个初速度至少多大，才能使小球绕O 点在竖直面内做圆 周运动？ （2）如果在轴O 竖直上方A 点处钉一个钉子，已知AO =23L ，小球以上问中的最小速度开始运动，当它运动到O 点的竖直上方， 细绳刚接触到A 点的钉子时，细绳受到的力有多大？ 题五 题面：一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动，在圆盘上沿半径开有一条宽度为2 mm 的均匀狭缝。将激光器与传感器上下对准，使二者间连线与转轴平行，分别置于圆盘的上下两侧，且可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动，激光器连续向下发射激光束。在圆盘转动过程中，当狭缝经过激光器与传感器之间时，传感器接收到一个激光信号，并将其输入计算机，经处理后画出相应图线。图甲为该装置示意图，图乙为所接收的光信号随时间变化的图线，横坐标 表示时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，图中△t 1=1.0×10－3s ，△t 2=0.8×10－3s ． （1）利用图乙中的数据求1 s 时圆盘转动的角速度； （2）如果圆盘半径足够大，传感器将接收到许多激光信号，求图 乙中第n 个激光信号的宽度Δt n . 讲义参考答案 题一答案： BC 甲 乙 圆周运动 1、定义:物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。 ２、分类： ⑴匀速圆周运动: 质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等,这种运动就叫做匀速圆周运动。 物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。 注意：这里的合力可以是万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力——绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力——锥摆、静摩擦力——水平转盘上的物体等． ⑵变速圆周运动:如果物体受到约束,只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化——如小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动．合力的方向并不总跟速度方向垂直． 3、描述匀速圆周运动的物理量 （1）轨道半径(r )：对于一般曲线运动,可以理解为曲率半径。 (2）线速度(ｖ）: ①定义：质点沿圆周运动，质点通过的弧长Ｓ和所用时间t 的比值,叫做匀速圆周运动的线速度。 ②定义式:t s v = ③线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，实际 上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动,线速度的大小等于平均速率。 (３）角速度(ω,又称为圆频率）： ①定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。 ②大小：T t π ? ω2= = （φ是ｔ时间内半径转过的圆心角) ③单位：弧度每秒(ra ｄ/s ） （４）周期（T )：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。 （５）频率(ｆ,或转速ｎ）：物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。 各物理量之间的关系： r t r v f T t rf T r t s v ωθππθωππ== ??? ??? ?? ====== 2222 圆周运动专题训练(含答案) 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑 圆周运动专题训练<含答案） (时间：45分钟，满分：100分> 一、单项选择题(本题共6小题，每小题7分，共计42分，每小题只有一个选项符合题意> 1.发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预 定轨道．发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地 方，如图1所示．这样选址的优点是，在赤道附近 (>b5E2RGbCAP A．地球的引力较大 B．地球自转线速度较大图1 C．重力加速度较大 D．地球自转角速度较大 解读：为了节省能量，而沿自转方向发射，卫星绕地球自转而具有的动能在赤道附近最大，因而使发射更节能．故选 B.p1EanqFDPw 答案：B 2．某同学设想驾驶一辆由火箭作动力的陆地太空两用汽车，沿赤道行驶并且汽车相对于地球速度可以任意增加，不计空气阻力，当汽车速度增加到某一值时，汽车将离开地球成为绕地球做圆周运动的“航天汽车”，对此下列说法正确的是(R＝6400 km，取g＝10 m/s2>(>DXDiTa9E3d A．汽车在地面上速度增加时，它对地面的压力增大 B．当汽车离开地球的瞬间速度达到28 440 km/h C．此“航天汽车”环绕地球做圆周运动的最小周期为1 h D．在此“航天汽车”上弹簧测力计无法测量力的大小 解读：汽车受到的万有引力提供向心力和重力，在速度增加时，向心力增大，则重力减小，对地面的压力则减小，选项A错误．若要使汽车离开地球，必须使汽车的速度达到第一宇宙速度7.9 km/s＝28 440 km/h，选项B正确．此时汽车的最小周期为T＝2π错误!＝2π错误!＝2π错误!＝5 024 s＝83.7 min，选项C错误．在此“航天汽车”上弹簧产生形变仍然产生弹力，选项D错误．RTCrpUDGiT 答案：B 3．(2018·上海高考>月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a.设月球表面的重力加速度大小为g1，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g2，则5PCzVD7HxA (> A．g1＝aB．g2＝a C．g1＋g2＝aD．g2－g1＝a 解读：月球因受地球引力的作用而绕地球做匀速圆周运动．由牛顿第二定律可知地球对月球引力产生的加速度g2就是向心加速度a，故B选项正确．jLBHrnAILg 答案：B 4．某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的一半，若从地球表面高h处平抛一物体，射程为60 m，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，射程应为 (>xHAQX74J0X A．10 mB．15 m C．90 mD．360 m 解读：由平抛运动公式可知，射程x＝v0t＝v0错误!， 一、第六章圆周运动易错题培优（难） 1．如图所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=30°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T，取g=10m/s2。则下列说法正确的是（） A．当ω=2rad/s时，T3+1)N B．当ω=2rad/s时，T=4N C．当ω=4rad/s时，T=16N D．当ω=4rad/s时，细绳与竖直方向间夹角大于45° 【答案】ACD 【解析】 【分析】 【详解】 当小球对圆锥面恰好没有压力时，设角速度为，则有 解得 AB．当，小球紧贴圆锥面，则 代入数据整理得 A正确，B错误； CD．当，小球离开锥面，设绳子与竖直方向夹角为，则 解得 ， CD正确。 故选ACD。 2．如图，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是（） A．滑块对轨道的压力为B．受到的摩擦力为 C．受到的摩擦力为μmg D．受到的合力方向斜向左上方 【答案】AD 【解析】 【分析】 【详解】 A．根据牛顿第二定律 根据牛顿第三定律可知对轨道的压力大小 A正确； BC．物块受到的摩擦力 BC错误； D．水平方向合力向左，竖直方向合力向上，因此物块受到的合力方向斜向左上方，D正确。 故选AD。 3．如图甲所示，半径为R、内壁光滑的圆形细管竖直放置，一可看成质点的小球在圆管内做圆周运动，当其运动到最高点A时，小球受到的弹力F与其过A点速度平方（即v2）的关系如图乙所示。设细管内径略大于小球直径，则下列说法正确的是（） A．当地的重力加速度大小为R b B．该小球的质量为a b R C．当v2=2b时，小球在圆管的最高点受到的弹力大小为a D．当0≤v2＜b时，小球在A点对圆管的弹力方向竖直向上【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】 AB．在最高点，根据牛顿第二定律 2 mv mg F R -= 圆周运动的实例分析典型例题解析 【例1】用细绳拴着质量为m 的小球，使小球在竖直平面内作圆周运动，则下列说法中，正确的是[ ] A ．小球过最高点时，绳子中张力可以为零 B ．小球过最高点时的最小速度为零 C ．小球刚好能过最高点时的速度是Rg D ．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相 反 解析：像该题中的小球、沿竖直圆环内侧作圆周运动的物体等没有支承物的物体作圆周运动，通过最高点时有下列几种情况： (1)m g m v /R v 2当＝，即＝时，物体的重力恰好提供向心力，向心Rg 加速度恰好等于重力加速度，物体恰能过最高点继续沿圆周运动．这是能通过最高点的临界条件； (2)m g m v /R v 2当＞，即＜时，物体不能通过最高点而偏离圆周Rg 轨道，作抛体运动； (3)m g m v /R v m g 2当＜，即＞时，物体能通过最高点，这时有Rg ＋F ＝mv 2/R ，其中F 为绳子的拉力或环对物体的压力．而值得一提的是：细绳对由它拴住的、作匀速圆周运动的物体只可能产生拉力，而不可能产生支撑力，因而小球过最高点时，细绳对小球的作用力不会与重力方向相反． 所以，正确选项为A 、C ． 点拨：这是一道竖直平面内的变速率圆周运动问题．当小球经越圆周最高点或最低点时，其重力和绳子拉力的合力提供向心力；当小球经越圆周的其它位置时，其重力和绳子拉力的沿半径方向的分力(法向分力)提供向心力． 【问题讨论】该题中，把拴小球的绳子换成细杆，则问题讨论的结果就大相径庭了．有支承物的小球在竖直平面内作圆周运动，过最高点时： (1)v (2)v (3)v 当＝时，支承物对小球既没有拉力，也没有支撑力； 当＞时，支承物对小球有指向圆心的拉力作用； 当＜时，支撑物对小球有背离圆心的支撑力作用； Rg Rg Rg (4)当v ＝0时，支承物对小球的支撑力等于小球的重力mg ，这是有支承物的物体在竖直平面内作圆周运动，能经越最高点的临界条件． 【例2】如图38－1所示的水平转盘可绕竖直轴OO ′旋转，盘上的水平杆上穿着两个质量相等的小球A 和B ．现将A 和B 分别置于距轴r 和2r 处，并用不可伸长的轻绳相连．已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是f m ．试分析角速度ω从零逐渐增大，两球对轴保持相对静止过程中，A 、B 两球的受力情况如何变化？ 解析：由于ω从零开始逐渐增大，当ω较小时，A 和B 均只靠自身静摩擦力提供向心力． A 球：m ω2r ＝f A ； B 球：m ω22r ＝f B ． 随ω增大，静摩擦力不断增大，直至ω＝ω1时将有f B ＝f m ，即m ω＝，ω＝．即从ω开始ω继续增加，绳上张力将出现．12m 112r f T f m r m /2 A 球：m ω2r ＝f A ＋T ；B 球：m ω22r ＝f m ＋T ． 由B 球可知：当角速度ω增至ω′时，绳上张力将增加△T ，△T ＝m ·2r(ω′2－ω2)．对于A 球应有m ·r(ω′2－ω2)＝△f A ＋△T ＝△f A ＋m ·2r(ω′2－ω2)． 可见△f A ＜0，即随ω的增大，A 球所受摩擦力将不断减小，直至f A ＝0 圆周运动讲义 【知识点】 1．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧的长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动。 匀速圆周运动是一种变加速曲线运动，虽然匀速圆周运动的速度大小不变，但它的速 度的方向时刻在发生变化，所以匀速圆周运动不是匀速圆周运动，而是匀速率圆周运动。 2．线速度v ①物理意义：描述物体做圆周运动快慢的物理量； ②定义：质点沿圆周运动通过的弧长s 和所以时间t 的比值叫做线速度 ③大小：v ＝s/t ，单位：m/s ④矢量，它的方向是质点在圆周上某点沿圆周上的切线方向。实际上就是该点的瞬时速度。 3．角速度ω ①物理意义：描述质点转过的圆心角的快慢 ②定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度?跟所用时间t 的比值，就是质点运动的角速度。 ③大小：ω＝?/t ，单位：rad/s ④匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。 4．周期T 、频率f 和转速n ①周期T ：在匀速圆周运动中，物体沿圆周转过一周所用的时间叫做匀速圆周运动的周 期。在国际单位制中，单位是秒（s ）。匀速圆周运动是一种周期性的运动。 ②频率f ：每秒钟完成圆周运动的转数。在国际单位制中，单位是赫兹（Hz ）。 ③转速n ：单位时间内做匀速圆周运动的物体转过的转数。在国际单位制中，单位是转 /秒（n/s ）. 匀速圆周运动的T 、f 和n 均不变。 5．描述匀速圆周运动的物理量之间的关系 ①线速度和角速度间的关系: ②线速度和周期的关系: ③角速度和周期的关系: ④周期和频率之间的关系: 6.描述圆周运动的动力学物理量———向心力 （1）向心力来源：向心力是根据力的作用效果命名的，不是一种特殊的性质力。向心 力可以是某一个性质力，也可以是某一个性质力的分力或某几个性质力的合力。 做匀速圆周运动的物体向心力是所受外力的合力 做非匀速圆周运动的物体，其向心力为沿半径方向的外力的合力，而不是物体所受合外力。 （2）向心力大小：根据牛顿第二定律和向心加速度公式可知，向心力大小为： 22224T r m r m r v m F πω=== 其中r 为圆运动半径。 （3）向心力的方向：总是沿半径指向圆心，与速度方向永远垂直。 （4）向心力的作用效果：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。 r m 高一期末考试题目 圆周运动专题汇编 ——高一必须掌握的经典题目 一、选择题[共53题] .............................................................................................................. 1 二、填空题[共9题] ................................................................................................................ 9 三、实验题[共2题] .............................................................................................................. 11 四、计算题[共6题] .............................................................................................................. 12 [编者按]高一不可能一步达到高三的水平，到底需要掌握哪些题型？打开历年的高一中考、末考题目，就可以心中有数了。这是笔者从138套历年全国各地高一期末考试题目中挑选的题目，选择题[共53题]，填空题[共9题]，实验题[共2题]，计算题[共6题]，共70道，不涉及与机械能联系的题目，汇编成一体，供讲新课的老师参考。 一、选择题[共53题] 1、如图所示，用长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则( ) A ．小球在最高点时所受向心力一定为重力 B ．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零 C ．若小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则其在最高点速率是gL D ．小球在圆周最低点时拉力可能等于重力 2、在质量为M 的电动机的飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到转轴的距离为r ， 如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过( ) A ． g mr m M + B ．g mr m M + C ．g mr m M - D ． mr Mg 3．关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法正确的是： A ．大小不变，方向变化 B ．大小变化，方向不变 C ．大小、方向都变化 D ．大小、方向都不变 4．同一辆汽车以同样大小的速度先后开上平直的桥和凸形桥，在桥的中央处有： A ．车对两种桥面的压力一样大 B ．车对平直桥面的压力大 C ．车对凸形桥面的压力大 D ．无法判断 5、洗衣机的脱水筒在转动时有一衣物附在筒壁上，如图所示，则此时： A ．衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力的作用 B ．衣物随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的 知识点一、描述圆周运动的物理量及其相互关系 1．描述圆周运动的物理量主要有 线速度、 角速度、 周期、 转速、 向心加速度、 向心力 2.各物理量之间的相互关系 (1)v ＝________________________ (2)a n ＝________________________ (3)F n ＝________________________ 例题1、 (2014·荆州中学模拟)如图图4－3－5所示，B 和C 是一组塔轮，即B 和C 半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为R B ∶R C ＝3∶2，A 轮的半径大小与C 轮相同，它与B 轮紧靠在一起，当A 轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B 轮也随之无滑动地转动起来． a 、 b 、 c 分别为三轮边缘的三个点，则a 、b 、c 三点在运动过程中的( ) A ．线速度大小之比为3∶2∶2 B ．角速度之比为3∶3∶2 C ．转速之比为2∶3∶2 D ．向心加速度大小之比为9∶6∶4 图4－3－5 【迁移应用】 1. (多选)如图4－3－6所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( ) A ．从动轮做顺时针转动 B ．从动轮做逆时针转动 C ．从动轮的转速为r 1r 2 n D ．从动轮的转速为r 2 r 1 n 图4－3－6 (1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同． (2)皮带传动：不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小相等． 知识点二、匀速圆周运动 1．匀速圆周运动 物体沿圆周运动，并且线速度_______处处相等的运动． 2．匀速圆周运动的特点 (1)速度大小不变而速度方向时刻变化的变速曲线运动． (2)只存在向心加速度，不存在切向加速度． (3)合外力即产生向心加速度的力，充当______． (4)条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向______且指向______． 例题2、(2014·朝阳区模拟)图4－3－7甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋．若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°(不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)，质点与转盘一起做匀速圆周运动时，求： (1)绳子拉力的大小； (2)转盘角速度的大小． 甲乙 图4－3－7 【迁移应用】 ●某个力提供向心力情况分析 2. (多选)如图4－3－8所示，一圆盘可绕通过其中心且垂直于盘面的竖直轴转动，盘上距中心r处放置一个质量为m的小物体，物体与盘面间滑动摩擦因数为μ，重力加速度为g.一段时间内观察到圆盘以角速度ω做匀速转动，物体随圆盘一起(相对静止)运动．这段时间内() A．物体受到圆盘对它的摩擦力，大小一定为μmg，方向与物体线速度方向相同 B．物体受到圆盘对它的摩擦力，大小一定为mω2r，方向指向圆盘中心 C．物体受到圆盘对它的摩擦力，大小可能小于μmg，方向指向圆盘中心 D．物体受到圆盘对它的摩擦力，大小可能小于mω2r，方向背离圆盘中心 圆周运动专题训练（含答案） (时间：45分钟，满分：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题7分，共计42分，每小题只有一个选项符合题意) 1.发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道．发射场一 般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图1所示．这样选址的优点是， 在赤道附近() A．地球的引力较大 B．地球自转线速度较大图1 C．重力加速度较大 D．地球自转角速度较大 解析：为了节省能量，而沿自转方向发射，卫星绕地球自转而具有的动能在赤道附近最大，因而使发射更节能．故选B. 答案：B 2．某同学设想驾驶一辆由火箭作动力的陆地太空两用汽车，沿赤道行驶并且汽车相对于地球速度可以任意增加，不计空气阻力，当汽车速度增加到某一值时，汽车将离开地球成为绕地球做圆周运动的“航天汽车”，对此下列说法正确的是(R＝6400 km，取g＝10 m/s2)() A．汽车在地面上速度增加时，它对地面的压力增大 B．当汽车离开地球的瞬间速度达到28 440 km/h C．此“航天汽车”环绕地球做圆周运动的最小周期为1 h D．在此“航天汽车”上弹簧测力计无法测量力的大小 解析：汽车受到的万有引力提供向心力和重力，在速度增加时，向心力增大，则重力减小，对地面的压力则减小，选项A错误．若要使汽车离开地球，必须使汽车的速度达到 第一宇宙速度7.9 km/s＝28 440 km/h，选项B正确．此时汽车的最小周期为T＝2π r3 GM＝ 2πR3 gR2＝2π R g＝5 024 s＝83.7 min，选项C错误．在此“航天汽车”上弹簧产生形变仍 然产生弹力，选项D错误． 答案：B 3．(2010·上海高考)月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a.设月球表面的重力加速度大小为g1，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g2，则 () A．g1＝a B．g2＝a C．g1＋g2＝a D．g2－g1＝a 高中物理圆周运动知识点总结高中物理圆周运动公式高中物理教学中，圆周运动问题既是一个重点，又是一个难点。下面给大家带来高中物理圆周运动知识点，希望对你有帮助。 1.圆周运动：质点的运动轨迹是圆周的运动。 2.匀速圆周运动：质点的轨迹是圆周，在相等的时间内，通过的弧长相等，质点所作的运动是匀速率圆周运动。 3.描述匀速圆周运动的物理量 (1)周期(T)：质点完成一次圆周运动所用的时间为周期。 频率(f)：1s钟完成圆周运动的次数。f= (2)线速度(v)：线速度就是瞬间速度。做匀速圆周运动的质点，其线速度的大小不变，方向却时刻改变，匀速圆周运动是一个变速运动。 由瞬时速度的定义式v=,当Δt趋近于0时，Δs与所对应的弧长(Δl)基本重合，所以v=，在匀速圆周运动中，由于相等的时间内通过的弧长相等，那么很小一段的弧长与通过这段弧长所用时间的比 值是相等的，所以，其线速度大小v=(其中R是运动物体的轨道半径，T为周期) (3)角速度(ω)：作匀速圆周运动的质点与圆心的连线所扫过的角度与所用时间的比值。ω==，由此式可知匀速圆周运动是角速度不变的运动。 4.竖直面内的圆周运动(非匀速圆周运动) (1)轻绳的一端固定，另一端连着一个小球(活小物块)，小球在竖直面内作圆周运动，或者是一个竖直的圆形轨迹，一个小球(或小物块)在其内壁上作竖直面的圆周运动，然后进行计算分析，结论如下： ①小球若在圆周上，且速度为零，只能是在水平直径两个端点以下部分的各点，小球要到达竖直圆周水平直径以上各点，则其速度至少要满足重力指向圆心的分量提供向心力 ②小球在竖直圆周的最低点沿圆周向上运动的过程中，速度不断减小(重力沿运动方向的分量与速度方向是相反的，使小球的速度减小)，而小球要到达最高点，则必须在最低点具有足够大的速度才 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 圆周运动专题汇编 一、线速度和角速度问题 1．图中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点．左侧是一轮轴， 大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ．b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r ．c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在传动过程中，皮带不打滑．则( ) A. a 点与b 点的线速度大小相等 B. a 点与b 点的角速度大小相等 C. a 点与c 点的线速度大小相等 D. a 点的向心加速度小于d 点的向心加速度 2．下图是自行车传动机构的示意图，其中Ⅰ是半径为r 1的大齿轮，Ⅱ是半径为r 2的小齿轮， Ⅲ是半径为r 3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s ，则自行车前进的速度为 （ ） A ． 2 3 1r r nr π B ． 1 3 2r r nr π C ． 1 3 22r r nr π D ． 2 3 12r r nr π 3．如图为常见的自行车传动示意图。A 轮与脚登子相连，B 轮 与车轴相连，C 为车轮。当人登车匀速运动时，以下说法中正确的是 Ａ．A 轮与B 轮的角速度相同 Ｂ．A 轮边缘与B 轮边缘的线速度相同 Ｃ．B 轮边缘与C 轮边缘的线速度相同 Ｄ．A 轮与C 轮的角速度相同 4．图3所示是自行车的轮盘与车轴上的飞轮之间的链条传动装置。P 是轮盘的一个齿，Q 是飞轮上的一个齿。下列说法中正确的是（ ） A ．P 、Q 两点角速度大小相等 B ．P 、Q 两点向心加速度大小相等 C ．P 点向心加速度小于Q 点向心加速度 D ．P 点向心加速度大于Q 点向心加速度 5．如图所示为一种“滚轮——平盘无极变速器”的示意图， 它由固定于主动轴上的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成．由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动．如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴转速n 1、从动轴转速n 2、 滚轮半径r 以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离x 之间的关系是 ( ) A . n 2=n 1x r B.n 2=n 1r x C.n 2=n 1x 2 r 2 D.n 2=n 1 x r 6．图中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点。左侧是一轮轴， 大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r 。b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r ，c 点和d 点 分别位于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则下列中正确的是： ( ) A. a 点与b 点的线速度大小相等 B. a 点与b 点的角速度大小相等 C. a 点与c 点的线速度大小相等 D. a 点向心加速度大小是d 点的4倍 7．如图所示，自行车的传动是通过连接前、后齿轮的金属链条来实现的。下列关于自行车 Q 图 3 P Q 1.2圆周运动 一、匀速圆周运动 1、基本物理量 半径r 、线速度v 、角速度ω、周期T 、频率f 、转速n 、向心加速度a n 、向心力F n 2、物理量之间的关系 v r ω= 1 T f = n f = 222r v rf rn T πππ= == 222f n T πωππ=== 22 224==n n v F ma m m r m r r T πω== 例1、半径为R 的圆柱夹在互相平行的两板之间，两板分别以速 度v1，v2反向运动，圆柱与板无相对滑动。问圆柱上与板接触 的A 点的加速度是多少？ 例2、如图一半径为R 的刚性圆环竖直地在刚性水平地面上作纯滚动， 圆环中心以不变的速度v o 在圆环平面内水平向前运动．求圆环圆心等高 的P 点的瞬时速度和加速度． 例3、缠在线轴上的线绕过滑轮B 后，以恒定速度v0被拉出， 如图所示，这时线轴沿水平面无滑动滚动。求线轴中心点 O 的 速度随线与水平方向的夹角 α 的变化关系。（线轴的内、外半径 分别为r 和R ） 二、变速圆周运动 速率变化的圆周运动，加速度不再沿着半径方向。可以加速度分解为半径方向的向心加速度a n 和切线方向的切向加速度a t 。向心加速度a n 改变速度方向，切向加速度a t 改变速度大小。此时，角速度的大小也在变化，角速度变化的快慢叫做角加速度β。 =t dv d r dt dt a r ωβ= 例4、如图所示，在离水面高度为h 的岸边，有人用绳子拉船靠 岸，若人拉绳的速率恒为v 0，试求船在离岸边s 距离处时的速度 和加速度。 例5、如图所示，直杆AB 以匀速v 0搁在半径为r 的固定圆 环上做平动，试求图示位置时， 杆与环的交点M 的速度 和加速度。 例6、一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以加速度a 运动。 在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所 示。当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，半圆柱体的速度为v ，求此时竖直杆运动的速度和加速度。 例7、图中所示为用三角形刚性细杆AB 、BC 、CD 连成的平面连杆结构图。AB 和CD 杆可分别绕过A 、D 的垂直于纸面的固定轴转动，A 、D 两点位于同一水平线上。BC 杆的两端分别与AB 杆和CD 杆相连，可绕连接处转动（类圆周运动讲义
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