1.两种平面问题的基本概念和基本方程；
答：弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
平面应力问题
设有张很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。
由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有：，，剩下平行于XY面的三个应力分
量未知。
平面应变问题
设有很长的柱体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。平面问题的基本方程为：
平衡方程
几何方程
物理方程（弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到）
?平面应力问题的物理方程
平面应力问题有
?平面应变问题的物理方程
平面应变问题有
在平面应力问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应变问题的物理方程；在平面应变
问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应力问题的物理方程。
2弹性力学中的基本物理量和基本方程；
答：基本物理量有：
空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。其中包括6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量。
平面问题共8个方程，2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程，相应3个应力分量，3个应变分量，2个位移分量。
基本方程有：
1.平衡方程及应力边界条件：
平衡方程：
边界条件：
2.几何方程及位移边界条件：
几何方程：
边界条件：
3.物理方程:
3.有限元中使用的虚功方程。
对于刚体，作用在其上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功为0，这就是刚体的平衡条件，或者称为刚体的虚功方程。
对于弹性变形体，其虚位移原理为：在外力作用下处于平衡的弹性体，当给予物体微小的虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。设想一处于平衡状态的弹性体发生了任意的虚位移,相应的虚应变为
,作用在微元体上的平衡力系有（X,Y,Z）和面力。外力的总虚功为实际的体力和面力在虚位移上所做的功，即：
在物体产生微小虚变形过程中，整个弹性体内应力在虚应变上所做的功为总虚应变能，即：
其中为弹性体单位体积内的应力在相应的虚应变上做的虚功，由此得到虚功方程：
4.节点位移，单元位移及它们的关系。
（自己写的，没找到答案）
答：节点位移：坐标系中各个单元节点在各自的自由度上产生的移动。
单元位移：反应单元内个点的位移量的函数表达。
关系：单元位移可由节点位移差值构造，即通过节点位移构造单元位移函数，从而反应单元内个点的位移。
5.单元位移函数的概念与性质
答：由弹性力学知，如果弹性体的位移分量是坐标的己知函数，就可由几何方程求得应变分量，再由弹性方程求得应力分量。但是，如果仅知道弹性体(或单元)中几个点(例如节点)的位移分量的数值，是不能直接求得其应变分量和应力分量的。
为了能用节点位移分量表示单元上的应变、应力等，首先就必须把单元上任一点的位移分量表示为坐标的某种函数。当然，这些函数在上述几个节点上的数值，应当等于其己知值。这种做法，实际上是假定单元上各点按某种模式变形，各点的位移值则是由己知点(节点)按这种模式插值取得。
采用的函数称为位移函数或位移模式。
（对于一个复杂的弹性体，想要用某种连续函数来描述整体内任一点的位移是不大可能的。但当把弹性体离散化为许多细小的单元，则在一个单元的局部范围内是可以把某一点的位移近似地表达为其坐标函数的，这一表达式就是单元位移模式或者叫单元位移函数。）
性质：1.在单元节点上的形态函数的值为1或者0
2.在单元中的任一点上，三个形态函数之和等于1.用来计算三角形面积时，要注意单元节点的排列顺序，当三个节点i，j，m取逆时针顺序时，A>0，反之小于0.
6.节点力、等效节点力
节点力：通过节点来传递的力。利用虚功方程建立刚度方程，把作用在每个单元上的载荷都移置到各节点之后，各单元所受的力就只有通过节点传递的节点力。节点力在节点的的虚位移上所做的虚功等于单元内部应力在虚应变上所做的虚功。
等效节点力：按照有限元法的离散思想，外载荷必须作用在节点上，而实际的外载荷由往往并不是通过节点作用的。因此，必须将这些非节点载荷按照一定的原则移置到节点上，即所谓的等效节点载荷处理。这种移置必须满足静力等效原则，因为只有这样才能使得这种移置所引起的误差只局限于局部，而不至于影响整体结构的应力状态（圣文南原理）。通常对刚体而言的静力等效是指移置前后的两个载荷系统在任一轴上的投影之和彼此相等，对任一轴的力矩之和也彼此相等。但是对于具有三个或者三个以上节点的弹性体单元，若按刚体静力等效原则来移置载荷，其结果不是唯一的。在有限元法中，是按虚功等效的原则来移置，即移置前的原载荷与移置后的节点载荷在任意虚位移上的虚功相等。在一定的位移函数下，这样移置的结果是唯一的。
结点位移
内部各
点位移
应变应力结点力(1)
单元分析
(4)
(3)
(2)
?
++=y a x a a u 321
用结点位移表示单元的应变的表达式为
{}????
?
??
????????
??
?????
???
?
?
?=
???
??????
?????
??+
??????=εm m j j i
i m m
j
j
i
i m j i m j i
v u v u v u b c b c b c c 0c 0c 0
0b 0b 0
b
A 21x v y
u y v x u e
}]{B [}{δ=ε[][
]
m
j i B B B B =单元的虚位移可以用结点的虚位移
表示为 {}e
*δ{}{}
e
N f *
*
][δ= 由物理方程，可以得到单元的应力表达式
为应力矩阵
{}[]{}[][]{}e
B D D δεσ==[][][]B D S =[][
]
m
j i
S S S S =
{} 210
0010112??
???
???
?
??
?
--=μμ
μ
μE D {} )1(2210
00
110
11)21)(1()1(?
?
?
?
?????
??????
??
?-----+-=
μμμ
μμ
μ
μμμE D 将应力用结点位移表示出
有 令 则
{}[][]{}e δ
B D σ={}{
}??=
e
T
e
δy [D][B]tdxd [B]F []??=
y
[D][B]tdxd [B]K T
e {}[]{}e e e δ
K F =
8.单元刚度矩阵的物理意义性质
物理意义：单位节点的位移分量所引起的节点力。例如：k m n 是表示当单元第n 个自由度产生单位位移而其他自由度固定时，在第m 个自由度产生的节点力。（具体参数在PPT 上，没打出来）表示结点S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向产生单位位移时，在结点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平结点力和垂直结点力的大小。例如表示结点j 在垂直方向产生单位位移时，在结点i 所需要施加的水平结点力的大小。
性质：（1）、[k]e 是对称阵。其元素之间有如下关系：k rs =k sr ，这一特性是由弹性力学中的功的互等定理所决定的。 （2）、[k]e 是奇异阵。[k]e 的每一行每一列元素之和均为0，其物理意义就是：在无约束条件下，单元可做刚体运动。根据行列式性质，可知值也为0。 9.整体刚度矩阵的物理意义性质
物理意义：刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起的结点力。
性质：（1）、总刚度矩阵是对称矩阵。
（2）、总刚度矩阵呈稀疏带状分布。因为任一节点只与绕它的相邻单元发生联系，所以[k]中的每一行含有大量的零元素，而非零元素往往分布在对角线主元素的附近。
（3）、总刚度矩阵式奇异阵。
10.有限元的基本原理及解题过程；
基本原理：有限元法是将连续体理想化成为有限个单元集合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接，亦即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的连续体。由于有限元单元的分割和节点的配置非常灵活，它可以适用于任意复杂的几何形状，处理不同的边界条件。在有限元单元集合体的基础上，对每一单元假设一个简单的位移函数来近似模拟其位移分布规律，通过虚位移原理求得每个单元的平衡方程，即建立起单元节点力和节点位移之间的关系。最后把所有的单元的这种特性关系集合起来，就可建立整个物体的平衡方程组。考虑边界条件后，解此方程组求得节点位移，并计算出各单元应力。
解题过程：（1）、首先绘出结构集合简图，在此基础上将结构离散化。包括划分单元跟等效节点载荷。
（2）、其次进行单元分析。计算每个单元的刚度矩阵。根据各单元所受载荷，利用载荷移置公式，得到每个单元的等效节点力载荷。
（3）、组装总刚度矩阵，组集结构节点载荷矩阵，引入约束条件，解线性方程组，即可求得包括已知节点位移分量在内的全部节点位移。
（4）、最终求得单元应力和节点应力。整理计算结果并绘制出结构变形图及各种应力分量的等值曲线图。
11.等参元的概念及单元分析过程；
首先导出关于局部坐标系的规整形状的单元（母单元）的高阶位移模式的形函数，然后利用形函数进行坐标变换，得到关于整体坐标系的复杂形状的单元（子单元），如果子单元的位移函数插值结点数与其位置坐标变换结点数相等，其位移函数插值公式与位置坐标变换式都用相同的形函数与结点参数进行插值，则称其为等参元
12.轴对称三节点三角形单元、四节点四面体单元、8节点六面体单元的形函数、自由度。
答：1、轴对称三节点三角形单元的自由度为6 。其形函数为：
其中
2、四节点四面体单元自由度为12 。其形函数为：
其中
3、8节点六面体单元自由度为24 。其形函数为：
其中
式中,,——单元节点i的坐标。
14. 杆单元与梁单元的区别。
答：按照力学理论，有些杆件可以简化为只能承受轴向力的杆，有些杆件可以简化为既能承受轴向力又能承受弯矩的梁。在有限元方法中，将模拟杆的单元称为杆单元，将模拟梁的单元称为梁单元。所以它们的区别就是能否承受弯矩。
15. 杆单元与梁单元的刚度矩阵推导。
1有限元是近似求解_一般连续_场问题的数值方法 2有限元法将连续的求解域离散为若干个子域_,得到有限个单元,单元和单元之间用节点相连 3从选择未知量的角度来看,有限元法分为三类位移法. 力法混合法 4以_节点位移_为基本未知量的求解方法称为位移法. 5以_节点力_为基本未知量的求解方法称为力法. 6一部分以__节点位移__,另一部分以_节点力_为基本未知量的求解方法称为混合法. 7直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力_和_弯矩_两个. 8平面刚架结构在外力的作用下,横截面上的内力有轴力_ 、剪力_和弯矩. 9进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角 10平面刚架结构中,已知单元e的坐标变换矩阵[T e ]和在局 部坐标系x’O’y’下的单元刚度矩阵[K’]e ，则单元在真体坐标 系xOy下的单元刚度矩阵为_ [K]e = [T e ] T [K’] e [T e ] 13弹性力学问题的方程个数有15个,未知量的个数有15个. 14弹性力学平面问题的方程个数有8_个,未知量个数有8_个15几何方程是研究__应变___和_位移之间关系的方程 16物理方程是描述_应力_和_应变_关系的方程 17平衡方程反映了_应力__和_位移_之间关系的 18把经过物体内任意一点各个_ 截面上的应力状况叫做__该点_的应力状态 19形函数在单元上节点上的值,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_ 20 形函数是_三角形_单元内部坐标的_线性位移_函数,他反映了单元的_位移_状态 21在进行节点编号时,要尽量使用同一单元的相邻节点的狭长的带状尽可能小,以使最大限度地缩小刚度矩阵的带宽,节省存储,提高计算效率. 22三角形单元的位移模式为_线性位移模式_- 23矩形单元的位移模式为__线性位移模式_ 24在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何_各向同性 25单元刚度矩阵描述了_节点力_和_节点位移之间的关系 26在选择多项式作为单元的位移模式时,多项式阶次的确定,要考虑解答的收敛性,即要满足单元的_完备性和协调性要求27三节点三角形单元内的应力和应变是_常数,四节点矩形单元内的应力和应变是线性_变化的 28在矩形单元的边界上,位移是线性_变化的 29整体刚度是一个呈_ 狭长的带状_分布的稀疏矩阵 30整体刚度[K]是一个奇异阵,在排除刚体位移_后,它正义阵1从选择未知量的角度来看,有限元法可分为三类(力法,位移法,混合法) 2下列哪有限元特点的描述中,哪种说法是错误的(D需要使用于整个结构的插值函数) 3几何方程研究的是(A应变和位移)之间关系的方程式 4物理方程是描述(D应力和应变)关系的方程 5平衡方程研究的是(C应力和位移)之间关系的方程式 6在划分单元时,下列哪种说话是错误的(A一般首选矩形单元) 7下列哪种单元的单元刚度矩阵必须通过积分才能得到(D矩形单元) 8单元的刚度矩阵不取决于下列哪种因素(B单元位置) 9可以证明,在给定载荷的作用下,有限元计算模型的变形与实际结构变形之间的关系为(B前者小于后者) 10ANSYS按功能作用可分为若干个处理器,其中(B求解器)用于施加载荷和边界条件 11下列有关有限元分析法的描述中,哪种说话是错误的(B单元之间通过其边界连接成组合体) 12下列关于等参数单元的描述中,哪些说话是错误的(C将规则单元变换为不规则单元后,易于构造位移模式) 13从选择未知量的角度来看,有限元可以分为三类,混合法的未知量是(C节点力和节点位移) 14下列对有限元特点的描述中,哪种说话是错误的(B对有限元求解域问题没有较好的处理方法) 15在划分单元时,下列哪种说话错误(D自由端不能取为节点) 16对于平面问题,选择单元一般首选(D三角形单元或等参单元) 17下列哪种说法不是形函数的性质(C三角形单元任一条边上的形函数,与三角形的三个节点坐标都有关) 18下列四种假设中,哪种分析不属于分析弹性力学的基本假设(C大变形假设) 19下列四种假设中,哪种不属于分析弹性力学的基本假设(B 有限变形假设) 20下列关于三角形单元说法中哪种是错误的(C在单元的公共边上应力和应变的值是连续的) 21下列关于矩形单元的说法哪项是错误的(D其形函数是线形的) 22应用圣维南原理简化边界条件时,静力等效是指前后的力系的(D主矢量相同,对于同一点的主矩也相同) 24描述同一点的应力状态需要的应力分量是(C6个) 25在选择多项式作为单元的位移模式时.多项式阶次的确定,要考虑解答的收敛性,哪种说法不是单元必须满足的要求(D 对称性)
姓名：学号：班级：
有限元分析及应用作业报告 一、问题描述 图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比较： 1)分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算； 2)分别采用不同数量的三节点常应变单元计算； 3)当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。
二、几何建模与分析 图1-2力学模型 由于大坝长度>>横截面尺寸，且横截面沿长度方向保持不变，因此可将大坝看作无限长的实体模型，满足平面应变问题的几何条件；对截面进行受力分析，作用于大坝上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力，满足平面应变问题的载荷条件。因此该问题属于平面应变问题，大坝所受的载荷为面载荷，分布情况及方向如图1-2所示，建立几何模型，进行求解。 假设大坝的材料为钢，则其材料参数：弹性模量E=2.1e11，泊松比σ=0.3 三、第1问的有限元建模 本题将分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算。 1）设置计算类型：两者因几何条件和载荷条件均满足平面应变问题，故均取Preferences为Structural 2）选择单元类型：三节点常应变单元选择的类型是PLANE42（Quad 4node42），该单元属于是四节点单元类型，在网格划分时可以对节点数目控制使其蜕化为三节点单元；六节点三角形单元选择的类型是PLANE183（Quad 8node183），该单元属于是八节点单元类型，在网格划分时可以对节点数目控制使其蜕化为六节点单元。因研究的问题为平面应变问题，故对Element behavior（K3）设置为plane strain。 3）定义材料参数 4）生成几何模 a. 生成特征点 b.生成坝体截面 5）网格化分：划分网格时，拾取所有线段设定input NDIV 为10，选择网格划分方式为Tri+Mapped，最后得到200个单元。 6)模型施加约束： 约束采用的是对底面BC全约束。 大坝所受载荷形式为Pressure，作用在AB面上，分析时施加在L AB上，方向水平向右，载荷大小沿L AB由小到大均匀分布（见图1-2）。以B为坐标原点，BA方向为纵轴y，则沿着y方向的受力大小可表示为： ρ（1） = gh P- =ρ g = - 10 {* } 98000 98000 (Y ) y
一 判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内； 后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。 5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。 6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为 {}{} [][]e D B σδ=。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w 9．变形体基本变量有位移应变应力 基本方程 平衡方程 物理方程 几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
1．针对下图所示的3个三角形元，写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 2．如下图所示，求下列情况的带宽: a)4结点四边形元； b)2结点线性杆元。 3．对上题图诸结点制定一种结点编号的方法，使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下，单元的带宽分别是多大 4．下图所示，若单元是2结点线性杆单元，勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽是多大按一右一左重新编号（即6变成3等）后，重复以上运算。
5．设杆件1－2受轴向力作用，截面积为A，长度为L，弹性模量为E，试写出 杆端力F 1，F 2 与杆端位移 2 1 ,u u之间的关系式，并求出杆件的单元刚度矩阵)(] [e k 6．设阶梯形杆件由两个等截面杆件○1与○2所组成，试写出三个结点1、2、3的 结点轴向力F 1，F 2 ，F 3 与结点轴向位移 3 2 1 , ,u u u之间的整体刚度矩阵[K]。 7．在上题的阶梯形杆件中，设结点3为固定端，结点1作用轴向载荷F 1 =P，求各结点的轴向位移和各杆的轴力。
8． 下图所示为平面桁架中的任一单元，y x ,为局部坐标系，x ，y 为总体坐标系，x 轴与x 轴的夹角为θ。 （1） 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k （2） 求单元的坐标转换矩阵 [T]； （3） 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k 9．如图所示一个直角三角形桁架，已知27/103cm N E ?=，两个直角边长度 cm l 100=，各杆截面面积210cm A =，求整体刚度矩阵[K]。
10．设上题中的桁架的支承情况和载荷情况如下图所示，按有限元素法求出各结点的位移与各杆的力。 11．进行结点编号时，如果把所有固定端处的结点编在最后，那么在引入边界条件时是否会更简便些 12．针对下图所示的3结点三角形单元，同一网格的两种不同的编号方式，单元的带宽分别是多大
1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法 2、有限元法将连续的求解域离散为若干个子域,得到有限个单元,单元和单元之间用节点连接 3、直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力和弯矩两个. 4、平面刚架结构在外力的作用下,横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩. 5、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角 6、平面刚架有限元分析，节点位移有轴向位移、横向位移、转角。 7、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是线性关系。 8、弹性力学问题的方程个数有15个，未知量个数有15个。 9、弹性力学平面问题方程个数有8，未知数8个。 10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程 11、物理方程是描述应力和应变关系的方程 12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的 13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态 14、9形函数在单元上节点上的值,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_ 15、形函数是_三角形_单元内部坐标的_线性_函数,他反映了单元的_位移_状态 16、在进行节点编号时,同一单元的相邻节点的号码差尽量小. 17、三角形单元的位移模式为_线性位移模式_- 18、矩形单元的位移模式为__双线性位移模式_
19、在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何_各向同性 20、单元刚度矩阵描述了_节点力_和_节点位移之间的关系 21、矩形单元边界上位移是连续变化的 1.诉述有限元法的定义 答： 有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法 2.有限元法的基本思想是什么 答： 首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。 3.有限元法的分类和基本步骤有哪些 答： 分类： 位移法、力法、混合法；步骤： 结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。 4.有限元法有哪些优缺点 答： 优点：
机床重要部件的有限元分析及优化设计 摘要本文选取了某型机床中的重要部件床身作为研究对象，利用Solidworks软件进行三维设计造型，分析其在极限工作条件下的受力情况，并利用有限元分析软件ANSYS对模型进行受力分析和模态分析，得出了极限工作条件下，床身的受力、变形和振动的情况，找出设计中存在的缺陷进行优化设计，为机床的设计提供参考依据。 关键词机床；重要部件；有限元；优化设计 机床是加工制造的最基本的设备，它是由多个零部件组成的复杂组合结构，其机构的设计对机床的加工性能影响很大。传统的设计需要在原型设计的基础上经过长期的实践，不断改进，逐渐完善，最终定型为一个成熟的产品。现代的设计中，可以充分利用各种分析软件，在设计阶段就能够及时发现和解决原设计中存在的问题，对实现并行设计，提高质量和生产效率起到了非常重要的作用。 机床的各零部件中，床身作为支承和定位的主要零件对机床整体刚性和精度起到关键性作用。本文选取了某厂CK6150型车床作为研究对象，综合分析了该机床在受到综合应力的情况下，床身的受力、变形和振动情况，并对设计中的缺陷进行优化设计。 1 机床的三维造型 此次设计采用Solidworks软件对机床各个零部件进行设计造型并进行整机装配。 2 受力及约束分析 床身在加工中受到的应力主要有切削力和工艺系统的重力。 为了模拟机床在极限工作条件下的变形和振动情况，此次分析中模拟了加工φ500*1000mm的45钢棒料毛坯，使用45°外圆车刀，背吃刀量ap=5mm，进给量f=0.5mm，切削速度vc=500r/mm，切削点位置为毛坯中段。 1）由切削45钢主切削力公式Fc≈2ap·f （kN）得： Fc≈2ap·f =2*5*0.5=5 kN 由吃刀抗力公式Fp≈（0.2～0.5）Fc，估算出： Fp≈4kN 由进给抗力公式Ff≈（0.1～0.4）Fc，估算出：
1、何为有限元法？其基本思想是什么？ 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 基本思想是化整为零集零为整。 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？ 有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。 3、单元、节点的概念？ 节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念 单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？ 结构离散化、单元分析、整体分析 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？ 位移法、力法、混合法本课程讲授位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？ 弹性力学变量:外力、应力、应变和位移。 描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹性体内的需应变能相等。 弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。 7、何为平面应力问题和平面应变问题？ 平面应力问题：在结构上满足a几何条件：研究对象是等厚度薄板。b载荷条件：作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作用。 平面应变问题：满足a几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。b载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。 1、何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型？ ①离散化:把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。②目的：建立有限元计算模型③通常把由节点,单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型
有限元试题及答案
一判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小（√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内； 后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy ，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。
5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u，v，w 9．变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
第23卷第4期浙江水利水电专科学校学报Vol．23No．42011年12月J．Zhejiang Wat．Cons ＆Hydr．College Dec．2011 基于SolidWorks 软件的连杆有限元分析与优化设计 王 莺1，叶 菁 2 （1．浙江水利水电专科学校，浙江杭州310018；2．浙江省天正设计工程有限公司，浙江杭州310012） 摘要：CAE （计算机辅助分析）已是产品开发中不可或缺的环节．利用CAE 的结果，可以更有效地控制产品质量， 降低因修正错误所耗费的成本．通过利用三维CAD 软件SolidWorks 对连杆建模，并利用SolidWorks 提供的COS-MOSXpress 工具进行有限元分析，根据设计要求对连杆的结构进行优化，经测试连杆的优化设计是可行的．关键词：SolidWorks ；COSMOSXpress ；连杆；有限元分析；结构优化中图分类号：TP391．77 文献标志码：A 文章编号：1008－536X （2011）04- 0051-03Finite Element Analysis and Optimization Design of Connecting Rod Based on SolidWorks WANG Ying 1，YE Jing 2 （1．Zhejiang Water Conservancy and Hydropower College ，Hangzhou 310018，China ；Zhejiang Titan Design and Engineering CO．LTD．，Hangzhou 310012，China ） Abstract ：CAE （computer-aided analysis ）is an integral part of product development．By using of CAE ，the product quality can be controlled more effectively ，while the cost of error correcting can be reduced．In this paper ，3D modeling of Con-necting Rod is set up based on SolidWork ，and finite element analysis of Connecting Rod is also made by using COSMOSX-press．The structure is optimized in order to meet design requirements ，which is proved to be feasible by test．Key words ：SolidWorks ；COSMOSXpress ；connecting rod ；finite element analysis ；structure optimization 收稿日期：2011-10-14基金项目：2011年度浙江水利水电专科学校校级科研基金资助 项目（XKY-201105）作者简介：王莺（1978－），女，浙江杭州人，讲师．主要从事 CAD /CAM 及虚拟产品设计开发的研究工作． 0引言 在过去，一个机械零部件设计完成后，需要加工一个样品来做简单的破坏性检测，觉得可以就去 开模子了．经常等到作品完成后或在开模时，才发现大问题．所以成本高，质量也不一定牢靠．而在软 件应用分析能力大幅提高的今天， CAE （计算机辅助分析）已是产品开发中不可或缺的环节．利用 CAE 的结果，可以更有效地控制产品质量，降低因修正错误所耗费的成本 ［1－2］ ． SolidWorks 软件是一个非常方便、实用的三维建模造型软件，并且它具有强大的CAE （计算机辅助分析）功能 ［3］ ．而CAE 的核心计算方法就是有限 元分析．用户可通过SolidWorks 提供的COSMOSX-press 工具进行有限元分析．有限元模型和产品的几何模型是相关的，经过建模和分析后，用户将得到 系统计算出的结构反应（变形、应力等）．如果计算的结果不符预期，那么用户就可修改参数再次分 析， 直到达到可接受的设计值为止［4］ ．连杆是机械传动中应用比较广泛的零件．本文主要介绍如何通过SolidWorks 软件对连杆三维建模并进行有限元分析及优化设计，以满足设计要求． 1连杆的设计要求 连杆的结构尺寸见图1，材料为1060铝合金， 若施加垂直于大圆内圆面的力9800N ，则连杆的最大位移变形不得超过0．005mm． 2连杆的几何建模 根据图1连杆的尺寸要求，用SolidWorks 软件的拉伸、切除、圆角等命令创建连杆的三维模型，见图2．
一、简答题（40分，每小题5分） 1、 分别写出板弯类单元和平面应力膜单元上一个有限元节点的位移自由度 及其相对应的节点力列阵？ (1)薄板弯曲问题单元每节点三自由度，即每个结点有三个位移分量： 挠度w ,绕x 、y 轴转角 ??? ??? ?y x y x w θ θ轴转角绕轴转角绕挠度，即结点i 的位移 {}i yi xi i i x w y w w w d ?? ??? ? ??????????-??=??????????????=θθ ()4,1K =i 同理,相应的结点力 {}）轴力偶（上节中的绕）轴力偶（上节中的 绕竖向力 x y M y M x ??? ???????????=yi xi i i M M f F (2)平面应力膜单元每个节点两自由度，{},T i i u v ,对应节点力{},T xi yi f f 2、 欲求解在ay by cx R '''++=约束下的泛函(;,)b a I F x y y dx '=?极值，新泛函应 如何构造？ 答：* {(;,)()}b a I F x y y ay by cx R dx λ''''=+++-? 3、 欲求解在()(),,R P x y dx Q x y dy =+??约束下的泛函(;,)b a I F x y y dx '=?极 值，新泛函应如何构造？ 答：()()* {(;,)[,,']}b a I F x y y P x y Q x y y R dx λ'=++-? 4、 满足()f g g f ds L ''+=??条件下的泛函(;,)b a I F x y y dx '=?极值求解应如何构造新泛函？
目录 目录 (1) 1. 优化设计基础 (2) 1.1 优化设计概述 (2) 1.2 优化设计作用 (3) 1.3 优化设计流程 (3) 2. 问题描述 (4) 3. 问题分析 (5) 4. 结构静力学分析 (6) 4.1 创建有限元模型 (6) 4.2 创建仿真模型并修改理想化模型 (7) 4.3 定义约束及载荷 (7) 4.4 求解 (8) 5. 结构优化分析 (9) 5.1 建立优化解算方案 (9) 5.2 优化求解及其结果查看 (11) 6. 结果分析 (13) 7. 案例小结 (14)
1.优化设计基础 1.1优化设计概述 优化设计是将产品/零部件设计问题的物理模型转化为数学模型，运用最优化数学规划理论，采用适当的优化算法，并借助计算机和运用软件求解该数学
模型，从而得出最佳设计方案的一种先进设计方法，有限元被广泛应用于结构设计中，采用这种方法任意复杂工程问题，都可以通过它们的响应进行分析。 如何将实际的工程问题转化为数学模型，这是优化设计首先要解决的关键问题，解决这个问题必须要考虑哪些是设计变量，这些设计变量是否受到约束，这个问题所追求的结果是在优化设计过程要确定目标函数或者设计目标，因此，设计变量、约束条件和目标函数是优化设计的3个基本要素。 因此概括来说，优化设计就是：在满足设计要求的前提下，自动修正被分析模型的有关参数，以到达期望的目标。 1.2优化设计作用 以有限元法为基础的结构优化设计方法在产品设计和开发中的主要作用如下： 1）对结构设计进行改进，包括尺寸优化、形状优化和几何拓扑优化。2）从不合理的设计方案中产生出优化、合理的设计方案，包括静力响应优化、正则模态优化、屈曲响应优化和其他动力响应优化等。 3）进行模型匹配，产生相似的结构响应。 4）对系统参数进行设别，还可以保证分析模型与试验结果相关联。 5）灵敏度分析，求解设计目标对每个设计变量的灵敏度大小。 1.3优化设计流程 不同的优化软件其操作要求及操作步骤大同小异。一般为开始、创建有限元模型、创建仿真模型、定义约束及载荷，然后进行结构分析，判断是否收
有限元分析习题及大作业试题 要求：1）个人按上机指南步骤至少选择习题中3个习题独立完成，并将计算结果上交； 2）以小组为单位完成有限元分析计算； 3）以小组为单位编写计算分析报告； 4）计算分析报告应包括以下部分： A、问题描述及数学建模； B、有限元建模（单元选择、结点布置及规模、网格划分方 案、载荷及边界条件处理、求解控制） C、计算结果及结果分析（位移分析、应力分析、正确性分 析评判） D、多方案计算比较（结点规模增减对精度的影响分析、单 元改变对精度的影响分析、不同网格划分方案对结果的 影响分析等） E、建议与体会 4）11月1日前必须完成，并递交计算分析报告（报告要求打印）。
习题及上机指南：（试题见上机指南） 例题1 坝体的有限元建模与受力分析 例题2 平板的有限元建模与变形分析 例题1：平板的有限元建模与变形分析 计算分析模型如图1-1 所示, 习题文件名: plane 0.5 m 0.5 m 0.5 m 0.5 m 板承受均布载荷：1.0e 5 P a 图1－1 受均布载荷作用的平板计算分析模型 1.1 进入ANSYS 程序 →ANSYSED 6.1 →Interactive →change the working directory into yours →input Initial jobname: plane →Run 1.2设置计算类型 ANSYS Main Menu : Preferences →select Structural → OK 1.3选择单元类型 ANSYS Main Menu : Preprocessor →Element T ype →Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4node 42 →OK (back to Element T ypes window) → Options… →select K3: Plane stress w/thk →OK →Close (the Element T ype window) 1.4定义材料参数 ANSYS Main Menu : Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →input EX:2.1e11, PRXY :0.3 → OK 1.5定义实常数 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Real Constant s… →Add … →select T ype 1→ OK →input THK:1 →OK →Close (the Real Constants Window)
有限元法基础试题（A ） 一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵e T k B DBd Ω = Ω? 中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。 1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功： ()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ??=+++++??+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ??+++??的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。 1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。 二、判断题（5×2分） 2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 三、简答题（26分） 3.1列举有限元法的优点。（8分） 3.2写出有限单元法的分析过程。（8分） 3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分） 3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分） 四、计算题（54分） 4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分） 4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为10GPa ，杆单元长L 均为2m ，横截面面积A 均为2×10-4m 2，弹簧常数为2000kN/m ，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）
有限元分析及其应用-2010 思考题： 1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什 么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？ 答：基本思想：几何离散和分片插值。 基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。 离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。 2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？ 区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低； 里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解； 有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。 3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试 1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件； 2）构造其泛函形式； 3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩 阵）。 5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？ 答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用 节点载荷：作用于节点上的外载 6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自 由度和节点解释）？ 答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正 整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。 Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。 7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？ 答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。 形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0； 单元内任一点的形函数之和恒等于1； 形函数的值在0~1间变化。 8、描述弹性体的基本变量是什么？基本方程有哪些组成？ 答：基本变量：外力、应力、应变、位移 基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、几何条件 9、何谓应力、应变、位移的概念？应力与强度是什么关系？ 答：应力：lim△Q/△A=S △A→0 应变：物体形状的改变 位移：弹性体内质点位置的变化 10、问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系？何谓“强形 式”？何谓“弱形式”，两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？
1.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的？ （1）离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元，并在其上设定有限个节点；用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体，而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。 （2）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。因节点位移个数是有限的，故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。 （3）有限元法的标准化程式：结构或区域离散，单元分析，整体分析，数值求解。 1.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零）。整体刚度矩阵的性质：对称性、奇异性、稀疏性。单元 Kij 物理意义 Kij 即单元节点位移向量中第 j 个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第 j 个自由度方向引起的节点力。整体刚度矩阵 K 中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。 2.2 什么叫应变能？什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？ (1)在外力作用下，物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来，这种能量称为应变能。 (2)外力势能就是外力功的负值。 (3)势能变分原理可叙述如下：在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零 δ∏p=δ Uε+δV=0 此即变分方程。对于线性弹性体，势能取最小值，即 δ2∏P=δ2Uε+δ2V≥0 此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。 势能变分原理代表平衡方程、本构方程和应力边界条件，其中附加了几何方程和位移边界条件。 2.3 什么是强形式？什么是弱形式？两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？ 等效积分形式通过分部积分，称式 ∫ΩCT(v)D(u)dΩ+∫ΓET(v)F(u)dΓ 为微分方程的弱形式，相对而言，定解问题的微分方程称为强形式。 区别：弱形式得不到解析解。建立弱形式的关键步骤：对场函数要求较低阶的连续性。2.4 为了使计算结果能够收敛于精确解，位移函数需要满足哪些条件？为什么？ 只要位移函数满足两个基本要求，即完备性和协调性，计算结果便收敛于精确解。 2.6 为什么采用变分法求解通常只能得到近似解？变分法的应用常遇到什么困难？Ritz 法收敛的条件是什么？ （1）在 Ritz 法中，N 决定了试探函数的基本形态，待定参数使得场函数具有一定的任意性。如果真实场函数包含在试探函数之内，则变分法得到的解答是精确的；如果试探函数取自完全的函数序列，则当项数不断增加时，近似解将趋近于精确解。然而，通常情况下试探函数不会将真实场函数完全包含在内，实际计算时也不可能取无穷多项。因此，试探函数只能是真实场函数的近似。可见，变分法就是在某个假定的范围内找出最佳解答，近似性就源于此。 （2）采用变分法近似求解，要求在整个求解区域内预先给出满足边界条件的场函数。通常情况下这是不可能的，因而变分法的应用受到了限制。 （3）Ritz 法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，如果试探函数满足完备性和连续性的要求，当试探函数的项数趋近于无穷时，则 Ritz 法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。 3.1 构造单元形函数有哪些基本原则？ 形函数是定义于单元内坐标的连续函数。单元位移函数通常采用多项式，其中的待定常数应该与单元节点自由度数相等。为满足完备性要求，位移函数中必须包括常函数和一次式，即完全一次多项式。多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选择完全多项式以提高单元的精度。若由于项数限制而不能选取完全多项式时，也应使完全多项式具有坐标的对称性，并且一
一、 简答题（共40分，每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。 二、 计算题（共60分，每题20分） 1. 一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已 知：杆件材料的杨氏模量2 721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =， 2275.3in A =，长度in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点 和C 点位移。备注：（1）1 lbf （磅力，libra force ） = N 。（2）杨氏模量、弹性 模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10分） 2. 如图2 所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m ，载荷 F=20KN/m ，设泊松比μ=0，材料的弹性模量为E ，试求它的应力分布。（15分） 学院 专业 学号 姓名 y 图1
图2 3. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效结点荷载。 图3
一、简答题 1. 答： 1）合理安排单元网格的疏密分布 2）为突出重要部位的单元二次划分 3）划分单元的个数 4）单元形状的合理性 5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分 6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差 7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2. 答： 形函数应满足的三个条件： a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由 其它单元形变所引起的位移。 b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所 有点都具有相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相 等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。 c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元 位移协调。 3. 答： 含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。 意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。 4. 答： 有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和
2 弹性力学问题的有限单元法 思考题 2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？ 答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。 2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？ 答：对。 2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。 2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？ 答：能。矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。因此矩形单
元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。 2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？ 答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。 计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。 2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。 2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。 答：有限元处于弹性力学问题的方法是离散法。它将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上相互联系，即只有结点才能传递力。所以在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点和单元边界。 2.8 为什么说三角形三结点单元是常应变单元，如果在每边中点增加一个结点，那么单元内应力如何分布？ 答：(1)应变矩阵[B]中的参数m j i m j i c c c b b b 、、、、、由坐标变量x 、y 之差确定。当单元的坐标差确定之后，这些参数与坐标变量x 、y 无关，