蕴 秀 斋
上 善 若 水 2014加拿大数学奥林匹克试题
1、正实数12,,...,n a a a 满足11n i i a
==∏，求证：
3121121231221...1(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)...(1)2
n n n n a a a a a a a a a a a a a -++++≥+++++++++。
2、,m n 都是奇正整数，m n ?的长方形的每个单元格都被染成红色或蓝色。如果在一行中红格比蓝格多，我们称此行为红多。如果一列中蓝格比红格多，我们称此列为蓝多。假设有a 个红多行，b 个蓝多列。求a b +可以取到的最大值。
3、p 是一个给定的奇素数，如果一个p 元整数组12(,,...,)p a a a 满足以下条件则称之为好组： ①对于每个i ，都有01i a p ≤≤-；②
1p i i a =∑不是p 的倍数；③11p i i i a a +=∑是p 的倍数。 （其中11p a a +=）
，请问有多少个好组？
4、ABCD 是圆内接四边形，ABCD 内一点P 满足PAB PBC PCD PDA ∠=∠=∠=∠。,AD BC 交于Q ，,AB CD 交于R 。求证：,PQ PR 的夹角等于,AD BC 的夹角。
5、给定正整数,n k ，其中2k ≥。在黑板上有n 个整数排成一排，每次操作如下：甲先选定其中连续若干个数，乙将这些数都加1或者都减1。证明：甲可以使得有限次操作以后，黑板上至少有2n k -+个数都是k 的倍数。
2 015年国际商务单证缮制与操作试题参考答案 一、根据下述合同内容审核信用证，指出不符之处，并提出修改意见。（36分） 经审核信用证后存在的问题如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 . . . . . . . . . 31C 开证日期晚于合同规定，应为2014年2月 25日前； 31D 到期地点有误，应为CHINA 50开证申请人名称有误，应为UNICAMLIMITED ATOMICABSORPTION 59受益人名称有误，应为SHENZHEN ESHOW CO.,LTD. 42C 付款期限与合同不符，应为Atsight 42A 汇票付款人有误，应为MIDLANDBANK PLC,LONDON 43T 转运规定有误，应该允许 44E 装运港有误，应该是SHENZHEN 44F 卸货港有误，应该是LONDON 0. 44C 最迟装运期有误，应该是BeforeAPR.30,2014 1. 45A 货描有误，应该是5 in1ProgrammingCable 1 1 1 1 1 1 1 1 2. 45A 货描中合同号有误，应为ES1406009 3. 45A 货描中贸易术语有误，应为FOBSHENZHEN 4. 45A 货描中包装方式有误，应为INCARTONS 5. 46A 提单收货人抬头有误，应为TOORDER 6. 46A 提单中运费项目有误，应注明“FREIGHTCOLLECT ” 7.46A 要求提交保险单有误，此条应删除 8.71B 所有费用都由受益人负担与合同规定不符，应为AllbankingChargesoutside China(themainlandofChina)areforaccountoftheDrawee.。 二、根据下面相关资料指出下列进口单据中错误的地方。（24 分） 1 ．原产地证书（每错1分，共12分） 原产地证明中的错误有： （1）Exporter 名称应为MIGUELPEREZTRADINGCOMPANYLIMITED （ 2）Exporter 地址应为281147TH TERSWNAPLES HAIFA,ISRAEL （3）Consignee 名称应为TIANJIN ESHOWIMPORTAND EXPORTCO.,LTD. （ （4）Consignee 地址应为NO. 21 JIANGSUROAD, HEXIDISTRICT,TIANJIN, CHINA (5）Particnlarsof transport 中运输路线应为FROM HAFAIISRAELTO TIANJIN CHINA （ （ 6）Particnlarsof transport 中运输方式应为BYSEA 7）Marks andnumbers 应为ESHOW TIANJIN NOS.1-2000 （8）Numberandkindofpackages 应为TWOTHOUSAND(2000)CARTONS,下边加一行 “******” （ 9）GrossWeight 应为21,000KGS （10）Number of invoices 应为LBC201501578 （11）Date of invoices 为MA Y20,2015 （12）Dateof Issue 应为MA Y25,2015 2 ．海运提单（每错1分，共12分） 海运提单中的错误有：
操作试题参考答案 一、根据下述合同内容审核信用证，指出不符之处，并提出修改意见。( 36分) I. 31C开证日期与合同不符，应为：2013年5月31日之前 2. 31D有效期与合同不符，应为：2013年8月15日及该日之后 3. 31D到期地点与合同不符，应为：CHINA 4. 50开证申请人名称与合同不符，不是HAZZE ABC HOLDING应为：HAZZE AB HOLDING 5. 59 受益人名称与与合同不符，不是SHANGHAI ANDY TRADING CO., LTD.，应为：SHANGHAI ANDYS TRADING CO., LTD. 6. 32B货币名称与合同不符，应为：USD 7. 32B信用证金额与合同不符，应为：27500 8. 42C付款期限与合同不符，应为：即期(写成AT SIGHT也得分) 9. 42A受票人(写“付款人”也可)不应为开证申请人，应为：SWEDBANK写“开证行”或“ISSUING BANK也可) 10. 44P不允许分批与合同不符，应为：允许( ALLOWE) II. 44T不允许转运与合同不符，应为：允许( ALLOWED? 12. 44E装运港与合同不符，应为： SHANGHAI 13.44C最迟装运期与合同不符，应为：130731 14. 45A数量与合同不符，不是1000PCS，应为：100PCS 15. 45A贸易术语与合同不符，I不是 CIF STOCKHOLM，应为：FOB SHANGHAI 16. 合同采用的贸易术语为 FOB，46A不应该要求受益人提交保险单，应为：删除此条 17. 46A海运提单要求注明“ FREIGHT PREPAID”，与 FOB术语不符，应为： FREIGHT COLLECT 18. 71B 所有的费用和佣金由受益人负担不妥，应为： ALL CHARGES AND COMMISSIONS OUTSIDE SWEDEN ARE FOR ACCOUNT OF BENEFICIARY. 二、根据下面相关资料指出下列进口单据中错误的地方，并改正。( 24分) 1 .汇票(每错1分，共12分) (1)Drawn under 后跟 BANQUE NATIONALE PARI不对，应为：BANK OF CHINA, TIANJIN BRANCH (2)L/C NO.LC14231670不对，应为：LC14231679 (3)Dated开证日期 May. 15, 2013 不对，应为：May 15,2014 (4)NO.发票号不对,应为：LBC2014015 (5)Exchange for后小写金额不对，应为： EUR83340.00 (6)Date 出票日期 MAY 1,2013 不对，应为：May 1,2014 (7) At 30 days after sight 汇票付款期限不对，应为： At ****** sight (只打******或写“即期付款”也可) (8) Pay to the order of 收款人不对，不应为 BANK OF CHINA, TIANJIN BRANCH，应为议付行：BANQUE NATIONALE PARIS (9)大写金额不对，不是SAY EURO EIGHTY THREE THOUSAND FOUR HUNDRED AND THIRTY ONLY.，应为：SAY EURO EIGHTY THREE THOUSAND THREE HUNDRED AND FORTY ONLY. (10) TO受票人(付款人) BANQUE NATIONALE PAR不对，应为开证行： BANK OF CHINA, TIANJIN BRANCH (11)出票人 TIANJIN LINBEICHEN COMMERCE AND TRADE CO., LTD. 不对，应为卖方：La
第36届国际数学奥林匹克试题 1．（保加利亚） 设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC 、BD 为直径的圆相交于X 和Y ，直线XY 交BC 于Z 。若P 为XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ，直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N 。试证：AM 、DN 和XY 三线共点。 证法一：*设AM 交直线XY 于点Q ，而DN 交直线XY 于点Q ′（如图95-1，注意：这里只画出了点P 在线段XY 上的情形，其他情况可类似证明）。须证：Q 与Q ′重合。 由于XY 为两圆的根轴，故XY ⊥AD ，而AC 为直径，所以 ∠QMC=∠PZC=90° 进而，Q ，M ，Z ，B 四点共圆。 同理Q ′，N ，Z ，B 四点共圆。 这样，利用圆幂定理，可知 QP ·PZ=MP ·PC=XP ·PY ， Q ′P ·PZ=NP ·PB=XP ·PY 。 所以，QP= Q ′P 。而Q 与Q ′都在直线XY 上且在直线AD 同侧，从而，Q 与Q ′重合。命题获证。 分析二* 如图95-2，以XY 为弦的任意圆O ， 只需证明当P 确定时，S 也确定。 证法二：设X （0，m ）,P （0，y 0）， ∠PCA=α， m 、y 0是定值。有2 0.yx x x ctg y x C A c =?-=但α， 则.0 2 αtg y m x A -= 因此，AM 的方程为 ).(0 2 ααtg y m x ctg y ?+=
令0 2,0y m y x s ==得，即点S 的位置取决于点P 的位置，与⊙O 无关，所以AM 、DN 和ZY 三条直线共点。 2．（俄罗斯）设a 、b 、c 为正实数且满足abc=1。试证： .2 3)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a 证法一：**设γβα++=++=++=---------1111111112,2,2b a c a c b c b a ， 有.0=++γβα于是， ) (4)(4)(4333b a c a c b c b a +++++ )(4)(4)(4333b a c a b c a c b a b c c b a a b c +++++= 112 111121111211)()()(------------+++++++++++=b a b a c c b c b c b γαβα 21112 1112111111)()()()(2)(2γβαγβα------------+++++++++++=b a a c c b c b a .6132)111(23=?≥++≥abc c b a ∴原不等式成立。 背景资料：陕西省永寿县中学安振平老师在《证明不等式的若干代换技巧》一文中运用“增量代换”给出证法一，还用增量代换法给出第 6届IMO 试题的证明。什么是增量代换法？—— 由α≤+=≥0,,其中令a b a b a 称为增量。运用这种方法来论证问题，我们称为增量代换法。 题1 设c b a ,,是某一三角形三边长。求证： .3)()()(222abc c b a c b a c b a c b a ≤-++-++-+ （第6届IMO 试题） 证明 不失一般性，设.,0,0,0,,,y x z y x z y x c y x b x a >≥≥>++=+==且 abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(222--++-++-+则 + ++++-+++++-++++=x z y x y x x z y x y x x z y x y x x [)()]()[()(])()[(222
一、单项选择题 1、某外贸公司对外以CFR报价，如果该公司先将货物交到货站或使用滚装与集装箱运输时，应采用(C.CPT)为宜。 2、中未注明商品重量是按毛重还是按净重计算时，则习惯上应按(B净重)计算。 3、海运提单日期应理解为(C货物装船完毕的日期)。 4、按照《2000年通则》的规定，以FOBST贸易术语变形方式成交，买卖双方风险的划分界限是(B货物在装运港越过船舷)。 5、对于大批量交易的散装货，因较难掌握商品的数量，通常在合同中规定(B溢短装运条款)。 6、根据《2000年通则》的解释，下列术语中卖方不负责办理出口手续及支付相关费用的是(D、EXW)。 7、汇票的抬头人是(A受款人)。 8、合同或信用证没有规定投保加成率，根据《UCP500》的规定，卖方可在CIF总值的基础上(B加一成)投保。 9、下列单据中，只有(B铁路运单副本)才可用来结汇。 10、按国际保险市场惯例，投保金额通常CIF总值的基础上(A加一层)。 11、预约保险(B国外的装运通知)代替投保单，说明投保的一方已办理了投保手续。 12、根据我国“海洋货物运输保险条款”规定，“一切险”包括(C水渍险加11种一般附加险)。 13、以下出口商品的单价，只有(B250美元/桶CIF伦敦） 14、在其他条件相同的前提下，(B提单签发日后30天付款 )的远期汇票对受款人最为有利。 15、根据《UPC500》的解释，信用证的第一付款人是(B开证行)。 16、承兑是(A付款人)对远期汇票表示承担到期付款责任的行为。 17、在国际货物买卖中，较常采用的不可抗力事故范围的规定方法是(D综合规定)。 18、以下(A纸单据和电子单据同时传递)不是EDI必须包括的内容。 19、除非特殊情况，通常开证行开立的信用证一般不是(D预支信用证)。 20、CIF Ex Ship’s Hold 与DES 相比，买方承担的风险(D前者大)。 21、托收的优点不包含(B属于银行信用，出口人能安全、及时收汇)。 22、如果信用证未规定交单期限，根据《UCP500》的规定，受益人必须在货物装船后( B、21)天内交单议付，但不能超过信用证的有效期。 23、商业发票的抬头人一般是(B开证申请人)。 24、仲裁裁决的效力是(A终局的，对争议双方具有约束力)。 25、根据《联合国国际货物销售合同公约》的规定，发盘和接受的生效采取( D到达生效原则)。 26、出口报关的时间是(B装船前)。 27、进口许可证自签发之日起(B一年)内有效。 2、在交货地点上，《1941年美国对外贸易定义修订本》中对(C. FOB Vessel)的解释与《2000年通则》中对FOB的解释相同。 3、象征性交货意指卖方的交货义务是(C. 凭单交货)。 4、CIF Ex Ship’s Hold属于(B. 装运港船上交货类)。 5、我方出口大宗商品，按CIF新加坡术语成交，合同规定采用租船运输，如我方不想负担卸货费用，我方应采用的贸易术语变形是(C. CIF Ex Ship’s Hold Singapore)。 6、在以CIF和CFR术语成交的条件下，货物运输保险分别由卖方和买方办理，运输途中货物灭失和损失的风险(C. 均由买方承担)。 7、根据《INCOTERMS 2000》的解释，以CIF术语成交时，卖方的交货是(C. 凭单交货)。 8、买方以FOB条件购买煤炭，不愿承担装船费，那么，应选择(B.FOB并平舱)价格条件签订合同。 9、《INCOTERM2000》C组贸易术语与其他各组贸易术语的重要区别之一是(C.风险和费用划分的地点相分离)。 10、按FOB术语签订的合同，采用程租船运输的大宗货物，应在合同中具体订明(A.
I N T ER N A T I ON A L CO N T E S T-GA M E M A TH KA N GA RO O C A N A DA, 2017 INSTRUCTIONS GRADE 5-6 1.You have 75 minutes to solve 30 multiple choice problems. For each problem, circle only one of the proposed five choices. If you circle more than one choice, your response will be marked as wrong. 2.Record your answers in the response form. Remember that this is the only sheet that is marked, so make sure you have all your answers transferred here by the end of the contest. 3.The problems are arranged in three groups. A correct answer of the first 10 problems is worth 3 points. A correct answer of problems 11-20 is worth 4 points. A correct answer of problems 21-30 is worth 5 points. For each incorrect answer, one point is deducted from your score. Each unanswered question is worth 0 points. To avoid negative scores, you start from 30 points. The maximum score possible is 150. 4.Calculators and graph paper are not permitted. You are allowed to use rough paper for draft work. 5.The figures are not drawn to scale. They should be used only for illustration. 6.Remember, you have about 2-3 minutes for each problem; hence, if a problem appears to be too difficult, save it for later and move on to the other problems. 7.At the end of the allotted time, please submit the response form to the contest supervisor. Please do not forget to pick up your Certificate of Participation! Good luck! Canadian Math Kangaroo Contest team 2017 CMKC locations: Algoma University; Bishop's University; Brandon University; Brock University; Carlton University; Concordia University; Concordia University of Edmonton; Coquitlam City Library; Dalhousie University; Evergreen Park School; F.H. Sherman Recreation & Learning Centre; GAD Elementary School; Grande Prairie Regional College; Humber College; Lakehead University (Orillia and Thunder Bay); Laurentian University; MacEwan University; Memorial University of Newfoundland; Mount Allison University; Mount Royal University; Nipissing University; St. Mary’s University (Calgary); St. Peter’s College; The Renert School at Royal Vista; Trent University; University of Alberta-Augustana Campus; University of British Columbia (Okanagan); University of Guelph; University of Lethbridge; University of New Brunswick; University of Prince Edward Island; University of Quebec at Chicoutimi; University of Quebec at Rimouski; University of Regina; University of Toronto Mississauga; University of Toronto Scarborough; University of Toronto St. George; University of Windsor; The University of Western Ontario; University of Winnipeg; Vancouver Island University; Walter Murray Collegiate, Wilfrid Laurier University; YES Education Centre; York University; Yukon College. 2017 CMKC supporters: Laurentian University; Canadian Mathematical Society; IEEE; PIMS.
2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题 第一天 1. 如图1，在圆内接ABC 中，A ∠为最大角，不含点A 的弧 BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、 ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ，1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵，满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤= 、。 允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵”。求好矩阵A 的个数。 3.证明：对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a ： （1） 对每个正整数i ，有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈- 使得 1122m m n b a b a b a =+++ .
第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x +++= 的非负实数12,,,n x x x ，求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤= ∑ 的最大值。
参考答案 第一天 1. 如图2，联结EP 、BE 、BP 、CD 。 分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠，X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。 由已知条件易得,AD DC AE EB ==。结合A 、B 、D 、 12p x x x <<< ，这是因为交换i x 与j x 的值相当于交换第i 行和第j 行，既不改变题设也 不改变结论。同样，不妨设12p y y y <<< 。于是，假设数表的每一行从左到右是递增的，每一列从上到下也是递增的。 由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =，不妨设122a =。否则，将整个数表关于主对
41st IMO2000 Problem1.AB is tangent to the circles CAMN and NMBD.M lies between C and D on the line CD,and CD is parallel to AB.The chords NA and CM meet at P;the chords NB and MD meet at Q.The rays CA and DB meet at E.Prove that P E=QE. Problem2.A,B,C are positive reals with product1.Prove that(A?1+ 1 B )(B?1+1 C )(C?1+1 A )≤1. Problem3.k is a positive real.N is an integer greater than1.N points are placed on a line,not all coincident.A move is carried out as follows. Pick any two points A and B which are not coincident.Suppose that A lies to the right of B.Replace B by another point B to the right of A such that AB =kBA.For what values of k can we move the points arbitrarily far to the right by repeated moves? Problem4.100cards are numbered1to100(each card di?erent)and placed in3boxes(at least one card in each box).How many ways can this be done so that if two boxes are selected and a card is taken from each,then the knowledge of their sum alone is always su?cient to identify the third box? Problem5.Can we?nd N divisible by just2000di?erent primes,so that N divides2N+1?[N may be divisible by a prime power.] Problem6.A1A2A3is an acute-angled triangle.The foot of the altitude from A i is K i and the incircle touches the side opposite A i at L i.The line K1K2is re?ected in the line L1L2.Similarly,the line K2K3is re?ected in L2L3and K3K1is re?ected in L3L1.Show that the three new lines form a triangle with vertices on the incircle. 1
2015年国际商务单证员《国际商务单证缮制与操作》真题及详解 一、根据下述合同内容审核信用证，指出不符之处，并提出修改意见。（36分） 1．合同 SALES CONTRACT The Seller: SHENZHEN ESHOW CO., L TD. Contract No. ES1406009 Address: 81 FUHUA ROAD, SHENZHEN, CHINA Date: Feb. 10, 2014 The Buyer: UNICAM LIMITED A TOMIC ABSORPTION Packing: In cartons Shipping Mark: UNICAM ES1406009 LONDON C/No.1-100 Time of Shipment: Before APR.30, 2014 Loading Port and Destination: From Shenzhen, China to London, England Partial Shipment: Not Allowed Transshipment: Allowed Insurance: To be effected by the buyer T erms of Payment: By L/C at sight, reaching the seller before Feb.25, 2014, and remaining valid for negotiation in China for further 15 days after the effected shipment. L/C must mention this contract number. L/C advised by BANK OF CHINA. All banking Charges outside China (the mainland of China) are for account of the Drawee. Documents: + Signed commercial invoice in triplicate. + Full set (3/3) of clean on board ocean Bill of Lading marked “Freight to collect”made out to order blank endorsed notifying the applicant. + Packing List in triplicate. + Certificate of Origin issued by China Chamber of Commerce
2013中国数学奥林匹克成绩 名次姓名性别学校总分1张灵夫男四川绵阳中学126 2宋杰傲男上海中学126 3刘宇韬男上海中学126 4肖非依男华中师范大学一附中126 5夏剑桥男郑州外国语学校126 6陈嘉杰男华南师范大学附属中学126 7高奕博男人大附中126 8胥晓宇男人大附中126 9柳何园男上海中学123 10杨赛超男石家庄二中南校123 11孟 涛男北京四中123 12刘驰洲男乐清市乐成公立寄宿学校120 13李大为男复旦大学附属中学120 14郝晨杰男江苏省启东中学120 15马玉聪男武汉二中120 16余张逸航男华中师范大学一附中120 17王 翔男深圳中学120 18刘 潇男乐清市乐成公立寄宿学校117 19宋一凡男石家庄二中117 20饶家鼎男深圳市第三高级中学117 21段柏延男人大附中117 22陈凯文男鄞州中学114 23顾 超男格致中学114 24沈 澈男人大附中114 25金 辉男镇海中学111 26涂瀚宇男四川南充高中108 27李辰星男郑州一中108 28周韫坤男深圳中学108 29陈 成男镇海中学105 30朱晶泽男华东师范大学第二附属中学105 31邓杨肯迪男湖南师大附中105 32廖宇轩男郑州外国语学校105 33任卓涵男郑州一中105 34李 爽男育才中学105 35高继杨男上海华育中学102 36李 笑男湖南师大附中102 37颜公望男武汉六中102 38黄 开男华中师范大学一附中102 39田方泽男中山纪念中学102 40占 玮男合肥一中102 41黄 迪男四川自贡蜀光中学99 42杨卓熠男成都七中99 43杨承业男成都七中99 44丁允梓男上海中学99
第41届国际数学奥林匹克解答 问题 1.圆Γ1和圆Γ2 相交于点M和N.设L是圆Γ 1 和圆Γ2的两条公切线中距离 M较近的那条公切线.L与圆 Γ1相切于点A，与圆Γ2相切 于点 B.设经过点M且与L平 行的直线与圆Γ1还相交于点 C，与圆Γ2还相交于点 D.直 线C A和D B相交于点E；直线 A N和C D相交于点P；直线 B N 和C D相交于点Q. 证明：E P=E Q. 解答:令K为M N和A B的交点.根据圆幂定理,,换言之K是A B的中点.因为P Q∥A B,所以M是P Q的中点.故只需证明E M⊥P Q.因为C D∥A B,所以点A是Γ1的弧C M的中点,点B是Γ2的弧D M的中点.于是三角形A C M与B D M都是等腰三角形.从而有 , . 这意味着E M⊥A B.再由P Q∥A B即证E M⊥P Q. 问题 2.设a,b,c是正实数，且满足a b c=1.证明： . 解答:令,,,其中x,y,z为正实数,则原不等式变为(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)≤x y z.记u=x-y+z,v=y-z+x,w=z-x+y.因为这三个数中的任意两个之和都是正数,所以它们中间最多只有一个是负数.如果恰有一个是负数,则u v w≤0 加拿大的數學競賽 (1)加拿大公開數學挑戰賽 加拿大公開數學挑戰賽Canadian Open Mathematics Challenge (COMC):一般在每年的11月份舉行。學生在這個競賽裏獲得高分可以得到邀請去參加一些更高級別的競賽，比如加拿大數學奧林匹克(CMO),亞太數學奧林匹克(APMO),美國數學奧林匹克(USAMO)和國際數學奧林匹克(IMO)。 11月COMC活動可以提高學生的學習興趣，激發他們的”鬥志”。一旦他們能主動地學習，那就什麼困難都不在話下。其次，競賽對學生沒有壓力;因為考不好沒關係，而考好了就有關係：它對你進入好的大學，好的高中都有幫助。第三，有的競賽(如COMC, IMC等)還直接發獎金給優勝者。也會有單位邀請你去參加夏令營。 此項競賽有兩個目的：(1) 為秋季學期提供一項數學課外活動，對那些想豐富自己數學知識的學生大有幫助。(2) 為加拿大數學奧林匹克(CMO)選拔人才。此外，有的問題是對十年級數學課程的檢驗。 誰能參加這個競賽?(1)19歲以下;(2)加拿大公民或永久居民，並在公/私立中學註冊;(3)未在大學註冊;(4)未參加過PUTNAM數學競賽。 評獎：(1)大約50名優勝者會被邀請參加CMO;(2)每個省或地區的第一名會獲得一塊匾，他/她所在的學校也會獲得一塊匾;(3)每個省或地區的前九名獲得金牌，(4)前25%獲得證書。 考試時間為2.5小時，滿分40分。A部分8道題，每題5分;解答過程部分正確也可得一些分。B部分4道題，每題10分;即使答案正確但表述不清，也會被扣分。考試中不得使用計算器。考試內容大致如下：(1)EUCLID幾何，(2)解析幾何，(3)三角學，(4)函數，(5)方程組，(6)多項式，(7)數列與求和，(8)計數，(9)初等數論。 如何準備競賽?你可以去WWW.CEMC.UWATERLOO.CA找以前的考題做.有的較難，比如遊戲題, 它要求你會把遊戲問題數學化，知道如何找序列的規律，如何把特例推廣到一般情況。如果沒有接觸過這種問題，是很難在兩個小時內給出必勝的策略來。另外還要明白已考過的題近期內是不會重複的;再次，問題是永遠做不完的，關鍵在於掌握解題方法與技巧;而任何解題方法與技巧又代替不了INGENUITY(獨創性)和INSIGHT(洞察力)。事實上，競賽的目的也正是為了培養這兩種能力。 相關網站-》http://cemc.math.uwaterloo.ca/ 2012年中国数学奥林匹克(CM Ｏ）试题 第一天 1. 如图1,在圆内接ABC 中,A ∠为最大角，不含点A 的弧BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为 2O ,1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵,满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤=、。 允许对一个矩阵作如下操作:选取一行或一列,将该行或该列的每个数同时加上１或同时减去１。若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵"。求好矩阵A 的个数. 3.证明:对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,, a a : （1） 对每个正整数i ,有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈-使得 1122m m n b a b a b a =+++. 第二天 4．设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x ++ +=的非负实数12,,,n x x x ,求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤=∑的最大值． 5．设n 为无平方因子的正偶数,k 为整数,p 为质数，满足 |p p <2,|()n p n k +。 证明:n 可以表示为ab bc ca ++，其中,,,a b c 为互不相同的正整数。 ６．求满足下面条件的最小正整数k ：对集合{1,2,,2012}S =的任意一个k 元子集A ,都存在S 中的三个互不相同的元素a 、b 、c ，使得a b +、b c +、c a +均在集合A 中. Canadian Math Kangaroo Contest Part A: Each correct answer is worth 3 points 1.Which letter on the board is not in the word "KOALA"? (A) R (B) L (C) K (D) N (E) O 2.In a cave, there were only two seahorses, one starfish and three turtles. Later, five seahorses, three starfish and four turtles joined them. How many sea animals gathered in the cave? (A) 6 (B) 9 (C) 12 (D) 15 (E) 18 3.Matt had to deliver flyers about recycling to all houses numbered from 25 to 57. How many houses got the flyers? (A) 31 (B) 32 (C) 33 (D) 34 (E) 35 4.Kanga is 1 year and 3 months old now. In how many months will Kanga be 2 years old? (A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 8 (E) 9 5. (A) 24 (B) 28 (C) 36 (D) 56 (E) 80 6. A thread of length 10 cm is folded into equal parts as shown in the figure. The thread is cut at the two marked places. What are the lengths of the three parts? (A) 2 cm, 3 cm, 5 cm (B) 2 cm, 2 cm, 6 cm (C) 1 cm, 4 cm, 5 cm (D) 1 cm, 3 cm, 6 cm (E) 3 cm, 3 cm, 4 cm 7.Which of the following traffic signs has the largest number of lines of symmetry? (A) (B) (C) (D) (E) 8.Kanga combines 555 groups of 9 stones into a single pile. She then splits the resulting pile into groups of 5 stones. How many groups does she get? (A) 999 (B) 900 (C) 555 (D) 111 (E) 45 2009年第50届IMO 解答 2009年7月15日 1、是一个正整数，是n 12,,...,(2)k a a a k ≥{}1,2,...,n 中的不同整数，并且1(1i i n a a +?)?)对于所有都成立，证明：1,2,...,1i k =1(1k a a ?不能被n 整除。 证明1：由于12(1n a a ?)，令1(,)n a p =，n q p = 也是整数，则n pq =，并且1p a ，21q a ?。因此，由于2(,)1q a =23(1n pq a a )=?，故31q a ?；同理可得41q a ?，。。。， 因此对于任意都有2i ≥1i q a ?，特别的有1k q a ?，由于1p a ，故1(1k n pq a a )=?(*)。 若结论不成立，则1(1k n pq a a =)?，与(*)相减可得1(k n a a ?)，矛盾。 综上所述，结论成立。 此题平均得分：4.804分 2、外接圆的圆心为O ，分别在线段上，ABC ?,P Q ,CA AB ,,K L M 分别是,,BP CQ PQ 的中点，圆过Γ,,K L M 并且与相切。证明：OP PQ OQ =。 证明：由已知MLK KMQ AQP ∠=∠=∠，MKL PML APQ ∠=∠=∠，因此 APQ MKL ??～。所以 AP MK BQ AQ ML CP == ，故AP CP AQ BQ ?=?(*)。 设圆O 的半径为R ，则由(*)有2 2 2 2 R OP R OQ ?=?，因此OP OQ =。 不难发现OP 也是圆Γ与相切的充分条件。 OQ =PQ 此题平均得分：3.710分加拿大的数学竞赛
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