期末测试题
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在等差数列3，7，11，…中，第5项为( )． A ．15
B ．18
C ．19
D ．23
2．数列{a n }中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列
D ．首项为1的等比数列
3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°，则c 的值等于( )．
A ．5
B ．13
C ．13
D ．37
5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 4的值为( )． A ．4
B ．8
C ．15
D ．31
6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c
tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t
b t
a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N
C ．M ＝N
D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化
8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝
n
21
D ．a n ＝1＋log 2 n
9．如果a ＜b ＜0，那么( )． A ．a －b ＞0
B ．ac ＜bc
C ．
a 1＞b
1
D ．a 2＜b 2
10．我们用以下程序框图来描述求解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的过程．令a ＝2，b ＝4，若c ∈(0，1)，则输出的为( )．
A ．M
B ．N
C ．P
D ．?
11．等差数列{a n }中，已知a 1＝31
，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 的值为( )．
A ．50
B ．49
C ．48
D ．47
(第10题)
12．设集合A＝{(x，y)|x，y，1―x―y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()．
A B C D
13．若{a n}是等差数列，首项a1＞0，a4＋a5＞0，a4·a5＜0，则使前n项和S n＞0成立的最大自然数n的值为()．
A．4 B．5 C．7 D．8
14．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－9n，第k项满足5＜a k＜8，则k＝()．A．9 B．8 C．7 D．6
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中横线上．
15．已知x是4和16的等差中项，则x＝．
16．一元二次不等式x2＜x＋6的解集为．
17．函数f(x)＝x(1－x)，x∈(0，1)的最大值为．
18．在数列{a n}中，其前n项和S n＝3·2n＋k，若数列{a n}是等比数列，则常数k的值为．
三、解答题：本大题共3小题，共28分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．△ABC中，BC＝7，AB＝3，且
B
C
sin
sin
＝
5
3
．
(1)求AC的长；
(2)求∠A的大小．
20．某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4 800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形的长为x米．
(1)求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；
(2)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
21．已知等差数列{a n}的前n项的和记为S n．如果a4＝－12，a8＝－4．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)求S n的最小值及其相应的n的值；
a，…，构成一个新的数列{b n}，
(3)从数列{a n}中依次取出a1，a2，a4，a8，…，
1
2n－
求{b n}的前n项和．
参考答案
一、选择题 1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．A 8．D
9．C
10．B
11．A
12．A
13．D
14．B
二、填空题 15．10． 16．(－2，3)． 17．
4
1． 18．－3． 三、解答题
19．解：(1)由正弦定理得
B A
C sin ＝C AB sin ?
AC AB ＝B C sin sin ＝53?AC ＝33
5?＝5． (2)由余弦定理得
cos A ＝AC AB BC AC AB ?-+22
22＝53249259??-+＝－2
1，所以∠A ＝120°．
20．解：(1)设水池的底面积为S 1，池壁面积为S 2，则有S 1＝3
800
4 ＝1 600(平方米)．
池底长方形宽为x 600
1米，则
S 2＝6x ＋6×x 6001＝6(x ＋x
600
1)．
(2)设总造价为y ，则
y ＝150×1 600＋120×6??
?
??x x 600 1＋≥240 000＋57 600＝297 600．
当且仅当x ＝
x
600
1，即x ＝40时取等号． 所以x ＝40时，总造价最低为297 600元．
答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为297 600元．
21．解：(1)设公差为d ，由题意，
??? ? ?
?? 解得???
所以a n ＝2n －20．
(2)由数列{a n }的通项公式可知， 当n ≤9时，a n ＜0， 当n ＝10时，a n ＝0， 当n ≥11时，a n ＞0．
所以当n ＝9或n ＝10时，由S n ＝－18n ＋n (n －1)＝n 2－19n 得S n 取得最小值为S 9＝S 10
＝－90．
(3)记数列{b n }的前n 项和为T n ，由题意可知 b n ＝12-n a ＝2×2n －
1－20＝2n －20．
所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n
＝(21－20)＋(22－20)＋(23－20)＋…＋(2n －20) ＝(21＋22＋23＋…＋2n )－20n
＝2
1221--+n －20n
＝2n +1－20n －2．
a 4＝－12,
a 8＝－4 a 1＋3d ＝－12, a 1＋7d ＝－4． d ＝2， a 1＝－18．