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山东省济南外国语学校08-09学年高二下学期质检(数学文)

济南外国语学校2008-2009学年度第二学期 高二质量检测数学试题(文)(2009.2)

时间:120分钟 满分:120分

一、选择题(共12小题,每小题4分,共48分) 1. 在?ABC 中,B=600,b 2=ac,则?ABC 的形状一定是

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形 2.有下列四个命题:

①?x,y ∈R ,若x+y=0,则x,y 互为相反数 ②若a>b 则a 2>b 2的逆否命题 ③若x ≤-3,则x 2-x-6>0的否命题 ④“对顶角相等”的逆命题 其中真命题的个数是

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3 3.下列说法正确的是

A.若a >b ,c >d ,则ac >bd

B.若b 1a 1>

,则a <b

C.若b >c ,则|a|·b ≥|a|·c

D.若a >b ,c >d ,则a-c >b-d

4.在等比数列}{n a 中,设前n 项和为S n ,且S 3=3a 3,则公比q 的值为

A -

21 B 21 C 1或-21 D -1或2

1 5.3

2

()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于 A .

3

19 B .

316 C .313 D .3

10 6. x 、y 满足约束条件??

?

??-≥≤+≤.1,1,y y x x y y x z 2+=的最大值是

A .3 B

2

3

C -3

D 0 7.已知M (4,2)是直线l 被椭圆x 2+4y 2=36所截得的线段AB 的中点,则直线l 的方程为. A 082=-+y x B 082=-+y x C 082=--y x D 082=++y x 8.在各项都为正数的等比数列}{n a 中,a 1=3,前三项和为21,则a 3 + a 4 + a 5 = A .33

B .72

C .84

D .189

9.命题甲:2

11(),2

,22

x x

x -成等比数列;命题乙:lg ,lg(1),lg(3)x x x ++成等差数列,则甲是乙的

A . 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C . 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

10.己知F 1,F 2分别为椭圆)0(122

22

>>=+b a b y a x 的左右焦点,M 为椭圆上的一点,M F 1垂直于x 轴,且

∠F 1M F 2=60°,则椭圆的离心率为 A.

2

1

B. 22

C. 33

D.

2

3

11.若直线ax+2by-2=0(a,b ∈R +)始终平分圆2

2

4280x y x y +---=的周长,则ab 的最大值是 A. 1 B. 12 C. 29 D. 14

12.设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且

a 1、

b 1、

c 1成等差数列,则a

c

c a +的值为

A .15

94 B .15

94±

C .

15

34 D .15

34

±

二、填空题(共4小题,每小题4分,共16分) 13.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若

9559=s s ,则3

5a a

=______.

14. 在△ABC 中,若AB =5,AC =5,且cos C =

10

9

,则BC =______. 15.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数为______. 16.设,10<

)

01log 2<--x x

a a a

的解为______ .

三、解答题(共6个大题,共56分,写出必要的文字说明) 17.(本小题8分)

(1)求顶点间的距离为6,渐近线方程为x y 2

3

±

=的双曲线的标准方程. (2)已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y 轴,其上一点A (m ,-4)到焦点F 的距离为6.求抛物线的方程及点A 的坐标. 18.(本小题8分)

在⊿ABC 中,a,b,c 分别是A,B,C 的对边长,且(2a+c)cosB+bcosC=0 (1)求cosB 的值;

(2)若b=13,a+c=4,求⊿ABC 的面积。

19. (本小题8分)

已知数列}{n a 中,a n +∈N , S n =2)2(8

1+n a , (1)求证{a n }是等差数列 (2)若b n =

2

1

a n -30,求数列{

b n }的前n 项和的最小值

20. (本小题10分)西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费,对生产的羊皮手套进行促销,一年内据测算年销售量S (万双)与广告费x (万元)之间的函数关系为1

3(0)S x x

=-

>,已知生产羊皮手套的年固定投入为3万元,每生产一万双手套仍需再投入16万元(年销售收入=年生产成本的150%+年广告费的50%)

(1)试将羊皮手套的年销售收入y (万元)表示为年广告费x(万元)的函数; (2)当年广告费投入多少万元时,此公司的年利润L 最大,最大利润是多少? (年利润=年销售收入-年生产成本-年广告费)

21.(本小题10分)已知函数22

21

()()1

ax a f x x x -+=∈+R ,其中a ∈R . (1)当1a =时,求曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程; (2)当0a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值. 22.(本小题12分)

已知定点1(F ,)

0,动点P 在y 轴上运动,过点P 作PM 交x 轴于点M ,并延长MP 到点N ,且0=?,||||PM PN =。

(1)求动点N 的轨迹方程;

(2)直线l 与动点N 的轨迹交于B A 、两点,若-4=?,且304|AB |64≤≤,求直线l 的斜率的取值范围。

高二数学试题答案(文)(2009.2)

1-12 CB CCD B A CBC DC 13.

81

25

14. 4或5 15. 4 16. (2log ,a ∞-) 17解:(1)当焦点在x 轴上时,设所求双曲线的方程为22

22b

y a x -=1

由题意,得???

??==.2

3,

122a b a 解得3=a , 29=b .

所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为1481

92

2=-y x .

同理可求当焦点在y 轴上双曲线的方程为14

92

2=-x y .

(2)由题意设抛物线方程为),0(22

>-=p py x 则其准线方程为,2p y =

,642=+∴p ,4,22

=∴=∴p p

故抛物线方程为 x 2 = -8y ,又∵点A (m ,-4)在抛物线上, ∴m 2 = 32, ,24±=∴m

即点A 的坐标为).4,24()4,24(---或

18解:(1)由(2a+c)cosB+bcosC=0得c

a b C B +-=2cos cos ,所以C A B

C B sin sin 2sin cos cos +-

=

即2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC=0 cosB=2

1

-

(2)2

1

22)(cos 22-=--+=

ac ac b c a B 带入b=13,a+c=4,得ac=3 所以⊿ABC 的面积为4

33sin 21=B ac

225

15,312,24,22)

(4)2(2)2(8)2()2()2(8

1

)2(81119111122212

121--=-==-==--±=+∴-=-+=++-+=-=------项和最小,最小值为前)(舍或即整理)(n b n a a a a a a a a a a a a a a S S a n n n n n n n n n n n n n n n n n

20、(1)316(51)22x y x =-+ (x>0)(2) L=851

22

x x --+(x>0)由均值定理得x=4万元时最大利润为21.5万元

21.(1)解:当1a =时,22()1x f x x =

+,4

(2)5

f =,

又222222

2(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·,6

(2)25

f '=-. 所以,曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程为46

(2)525

y x -=--, 即62320x y +-=.

(2)解:222222

2(1)2(21)2()(1)

()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==

++. 由于0a ≠,以下分两种情况讨论. (1)当0a >时,令()0f x '=,得到11

x a

=-

,2x a =.当x 变化时,()()f x f x ',的变化情况如下表: x

1a ??-- ?

?

?,∞

1a

1a a ??

- ???

a

()

a +,∞

()

f x '

-

+

-

()

f x

+

极小值

极大值

所以()f x 在区间1a ?

?--

???,∞,()a +,∞内为减函数,在区间1a a ??- ???

,内为增函数. 函数()f x 在11

x a

=-处取得极小值1f a ??

- ???

,且21f a a ??

-=- ???

, 函数()f x 在21

x a

=

处取得极大值()f a ,且()1f a =. (2)当0a <时,令()0f x '=,得到121

x a x a

==-,,当x 变化时,()()f x f x ',的变化情况如下表:

x

()

a -,∞

a

1a a ??- ?

?

?,

1

a -

1a ??- ???

,+∞

()

f x '

+

-

+

()

f x

极大值

极小值

所以()f x 在区间()a -,∞,1

a ??- ???,+∞内为增函数,在区间1a a ??

- ???

,内为减函数. 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ,且()1f a =. 函数()f x 在21

x a

=-

处取得极小值1f a ??- ???,且21f a a ??

-=- ???

. 22、解 (1)设动点N 的的坐标为(,)N x y ,则(,0),(0,),(0)2

y M x P x ->,

(,),(1,)22

y y

PM x PF =--=- ,由0PM PF ?= 得,204y x -+=, 因此,动点N 的轨迹C 的方程为2

4(0)y x x =>.

(2)设直线l 的方程为y kx b =+,l 与抛物线交于点1122(,),(,)A x y B x y ,则由4OA OB ?=-

得12124x x y y +=-,又2

2

11224,4y x y x ==,故128y y =-.

又224440(0)y x

ky y b k y kx b

?=?-+=≠?

=+?, ∴216(12)0

48

k b k

??=+>??=-??,22

22116||(32)k AB k k +∴=+,

∴46||430AB ≤≤222

116

96(32)480k k k +≤

+≤ 解得直线l 的斜率k 的取值范围是11

[1,][,1]22

-- .

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