)
01log 2<--x x
a a a
的解为______ .
三、解答题(共6个大题,共56分,写出必要的文字说明) 17.(本小题8分)
(1)求顶点间的距离为6,渐近线方程为x y 2
3
±
=的双曲线的标准方程. (2)已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y 轴,其上一点A (m ,-4)到焦点F 的距离为6.求抛物线的方程及点A 的坐标. 18.(本小题8分)
在⊿ABC 中,a,b,c 分别是A,B,C 的对边长,且(2a+c)cosB+bcosC=0 (1)求cosB 的值;
(2)若b=13,a+c=4,求⊿ABC 的面积。
19. (本小题8分)
已知数列}{n a 中,a n +∈N , S n =2)2(8
1+n a , (1)求证{a n }是等差数列 (2)若b n =
2
1
a n -30,求数列{
b n }的前n 项和的最小值
20. (本小题10分)西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费,对生产的羊皮手套进行促销,一年内据测算年销售量S (万双)与广告费x (万元)之间的函数关系为1
3(0)S x x
=-
>,已知生产羊皮手套的年固定投入为3万元,每生产一万双手套仍需再投入16万元(年销售收入=年生产成本的150%+年广告费的50%)
(1)试将羊皮手套的年销售收入y (万元)表示为年广告费x(万元)的函数; (2)当年广告费投入多少万元时,此公司的年利润L 最大,最大利润是多少? (年利润=年销售收入-年生产成本-年广告费)
21.(本小题10分)已知函数22
21
()()1
ax a f x x x -+=∈+R ,其中a ∈R . (1)当1a =时,求曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程; (2)当0a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值. 22.(本小题12分)
已知定点1(F ,)
0,动点P 在y 轴上运动,过点P 作PM 交x 轴于点M ,并延长MP 到点N ,且0=?,||||PM PN =。
(1)求动点N 的轨迹方程;
(2)直线l 与动点N 的轨迹交于B A 、两点,若-4=?,且304|AB |64≤≤,求直线l 的斜率的取值范围。
高二数学试题答案(文)(2009.2)
1-12 CB CCD B A CBC DC 13.
81
25
14. 4或5 15. 4 16. (2log ,a ∞-) 17解:(1)当焦点在x 轴上时,设所求双曲线的方程为22
22b
y a x -=1
由题意,得???
??==.2
3,
122a b a 解得3=a , 29=b .
所以焦点在x 轴上的双曲线的方程为1481
92
2=-y x .
同理可求当焦点在y 轴上双曲线的方程为14
92
2=-x y .
(2)由题意设抛物线方程为),0(22
>-=p py x 则其准线方程为,2p y =
,642=+∴p ,4,22
=∴=∴p p
故抛物线方程为 x 2 = -8y ,又∵点A (m ,-4)在抛物线上, ∴m 2 = 32, ,24±=∴m
即点A 的坐标为).4,24()4,24(---或
18解:(1)由(2a+c)cosB+bcosC=0得c
a b C B +-=2cos cos ,所以C A B
C B sin sin 2sin cos cos +-
=
即2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC=0 cosB=2
1
-
(2)2
1
22)(cos 22-=--+=
ac ac b c a B 带入b=13,a+c=4,得ac=3 所以⊿ABC 的面积为4
33sin 21=B ac
225
15,312,24,22)
(4)2(2)2(8)2()2()2(8
1
)2(81119111122212
121--=-==-==--±=+∴-=-+=++-+=-=------项和最小,最小值为前)(舍或即整理)(n b n a a a a a a a a a a a a a a S S a n n n n n n n n n n n n n n n n n
20、(1)316(51)22x y x =-+ (x>0)(2) L=851
22
x x --+(x>0)由均值定理得x=4万元时最大利润为21.5万元
21.(1)解:当1a =时,22()1x f x x =
+,4
(2)5
f =,
又222222
2(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·,6
(2)25
f '=-. 所以,曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程为46
(2)525
y x -=--, 即62320x y +-=.
(2)解:222222
2(1)2(21)2()(1)
()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==
++. 由于0a ≠,以下分两种情况讨论. (1)当0a >时,令()0f x '=,得到11
x a
=-
,2x a =.当x 变化时,()()f x f x ',的变化情况如下表: x
1a ??-- ?
?
?,∞
1a
1a a ??
- ???
,
a
()
a +,∞
()
f x '
-
+
-
()
f x
+
极小值
极大值
所以()f x 在区间1a ?
?--
???,∞,()a +,∞内为减函数,在区间1a a ??- ???
,内为增函数. 函数()f x 在11
x a
=-处取得极小值1f a ??
- ???
,且21f a a ??
-=- ???
, 函数()f x 在21
x a
=
处取得极大值()f a ,且()1f a =. (2)当0a <时,令()0f x '=,得到121
x a x a
==-,,当x 变化时,()()f x f x ',的变化情况如下表:
x
()
a -,∞
a
1a a ??- ?
?
?,
1
a -
1a ??- ???
,+∞
()
f x '
+
-
+
()
f x
极大值
极小值
所以()f x 在区间()a -,∞,1
a ??- ???,+∞内为增函数,在区间1a a ??
- ???
,内为减函数. 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ,且()1f a =. 函数()f x 在21
x a
=-
处取得极小值1f a ??- ???,且21f a a ??
-=- ???
. 22、解 (1)设动点N 的的坐标为(,)N x y ,则(,0),(0,),(0)2
y M x P x ->,
(,),(1,)22
y y
PM x PF =--=- ,由0PM PF ?= 得,204y x -+=, 因此,动点N 的轨迹C 的方程为2
4(0)y x x =>.
(2)设直线l 的方程为y kx b =+,l 与抛物线交于点1122(,),(,)A x y B x y ,则由4OA OB ?=-
,
得12124x x y y +=-,又2
2
11224,4y x y x ==,故128y y =-.
又224440(0)y x
ky y b k y kx b
?=?-+=≠?
=+?, ∴216(12)0
48
k b k
??=+>??=-??,22
22116||(32)k AB k k +∴=+,
∴46||430AB ≤≤222
116
96(32)480k k k +≤
+≤ 解得直线l 的斜率k 的取值范围是11
[1,][,1]22
-- .