政治与行政二分法评述
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政治与行政二分法评述
何霞
摘要：政治与行政二分法作为公共行政学的经典范式，在公共行政学百余年的发展历程中，受到了诸多批评。文中对政治与行政二分法理论进行了系统阐述，并在此基础上对其进行了评述，并探讨了该理论对我国行政管理理论与实践的启示。
关键词：政治与行政；二分法；启示
中图分类号：D035.5 文献标志码：A 文章编号：1002-2589（2013）12-0005-02
政治与行政二分法在公共行政学发展史上最先由德国政治学家布隆赤里提出来的，在经美国学者威尔逊和古德诺系统发展之后，成为了公共行政学的经典范式。该范式在其一百多年的发展历程中，可谓是誉满天下，谤满天下。本文将从政治与行政二分法理论内涵、评价以及对我国行政管理理论与实践的启示三个维度展开论述。
一、政治与行政二分法理论内涵
为了获得政治与行政二分法的准确理解，需要认真研读威尔逊的《行政学之研究》和古德诺的《政治与行政》两部著作。两位学者在其著作中对政治与行政的关系进行了比较系统的探讨，为了较清晰地
阐述该理论，现对两位学者的政治与行政二分思想进行比较。
1.在政治与行政分离上，威尔逊认为，行政与政治是有区别的。行政管理专属的领域是置身于政治范围之外的。“政治是在重大而且普遍性的事项方面的国家活动，而在另一方面，行政管理则是国家在个别和细微事项方面的活动。因此，政治是政治家的特殊活动范围，而行政管理则是技术性职员的事情。政治如果没有行政管理的帮助就将一事无成，但行政管理并不因此就是政治。”[1]12古德诺的观点与威尔逊的类似。他认为，“在所有政府体制中都存在着两种主要的或基本的政府功能，即国家意志的表达功能和国家意志的执行功能，在所有的国家中也都存在着分立的机关，每个机关都用它们的大部分时间行使着两种功能中的一种。这两种功能分别就是：政治与行政。”[2]12-13换句话说，政治就是国家意志的表达，而行政就是国家意志的执行。
2.在政治与行政的联系上，威尔逊认为，政治与行政存在着密切的相关性。行政管理是政治生活的一部分，它超越纯粹技术细节的，与政治中的基本原则、永恒真理息息相关。古德诺在政治与行政二分法理论上光辉在于他系统探讨了政治与行政的协调问题。他认为，“政治的功能一方面主要与国家意志的表达有关，其次又与国家意志的执行有关。因为在国家意志的表达与执行之间，即在法律的制定和贯彻之间，必须存在协调。”[2]21他对政治与行政取得协调的方式进行了探讨，认为政治对行政的控制方式有两种：一是法定制度，二是法外调节，即政党。
3.在对行政自由裁量权的问题上，威尔逊主张，“行政官员在为了完成其任务而选择手段时，应该有而且也的确有他自己的意志，他不是而且也不应该是一种纯粹被动的工作。”[1]13换言之，行政官员在执行政策时有自由裁量的余地，并非完全听从于政治家的意志。而古德诺认为，“执行表达国家意志的法律，在很大程度上有赖于行政机构活跃的首创精神。”[1]11此观点与威尔逊的可以说是不谋而合。
4.在政治与行政分离的原因上，威尔逊主张政治与行政分离在于使“干净”行政学从肮脏腐败的“政治操纵”中独立出来，以使行政学能够摆脱从属婢女地位，为政府管理工作提供理论上的指导，使政府有效履行其职能。而古德诺反对孟德斯鸠所言的行政、立法和司法在政府功能和机构上的分立，认为把每一种功能分派给一个分立的机构去行使是不可能的，实际的政治运行要求政治与行政取得协调。他主张政治与行政只能在功能上分立而不是在政府机构上分立。
通过以上的分析，不难发现：无论是威尔逊还是古德诺他们并非主张政治与行政绝对分离，他们在论述政治与行政分离时，同时也敏锐地注意到了两者之间的相关性。如果说在公共行政学发展史上有人曾宣扬政治与行政绝对的分离，那么这个人当属官僚制理论创始人——马克斯·韦伯。韦伯可以说是政治与行政二分法的集大成者。在他看来，行政人员是中立的、匿名的，而且毫无自主性可言，他们只负责执行政治官员制定的政策，无需对政策执行结果承担责任。
二、政治与行政二分法的评价
任何一种理论的产生都有它所处的时代有着密不可分的关系，因此，在评论一种理论的时候不能脱离它所产生的时代背景。同样，政治与行政二分法也不例外。
1.理论产生的时代背景。威尔逊等人在当时提出该理论绝非偶然，它的产生有着深刻的原因。在当时的美国，由于生产力的发展，公共事务日益复杂多样，这就要求政府能够有效地管理公共事务。然而，政府依然采用简单的方式来处理，而且处理方式不够科学，这远不能满足人们的需求。可以这样说，是时代在呼唤一门行政科学。另外，在西方多党制条件下，各政党为竞选而动用各种手段，在竞选成功之后根据每人在竞选中的功劳大小把政府官职分给贡献者。这种“政党分肥制”给政府管理带来了巨大的危害，为了保证政治的稳定和政策的连续，需要将政治与行政进行分离。
2.政治与行政二分法的价值。从理论上看，威尔逊提出的政治与行政二分法将行政学从政治学中分离出来，并廓清了行政学的研究范围和目标，使行政学离开了政治学母亲的怀抱，迈出了独立发展的步伐。正是在这个意义上，威尔逊才被后人誉为行政学的开山鼻祖。从实践上看，该理论有利于国家意志的执行，比较有效地解决了威尔逊提出的“与制定一部宪法相比较，贯彻一部宪法变得愈来愈困难了”[1]的问题。在理论指导下，公务员必须保持政治中立，这使文官专注于行政事务，这有利于提高政府管理的效率，并有效地减少了政党分肥制对政府管理的危害，进而保证了政治的稳定和政策的连续性。
3.对政治与行政二分法的批判。在公共行政学发展史上，很多学者对该理论进行了批判。需要指出的是，很多学者批判的是政治与行政二者的绝对分离。之所以后来的学者把批判的矛头指向了政治与行政二者的绝对分离，依笔者之观察，原因在于威尔逊和古德诺的政治与行政二分法很容易让人产生理论误解，加之韦伯在其官僚制理论中将该理论贯彻得淋漓尽致。如前所述，威尔逊和古德诺在论述政治与行政分离的时候也论述了两者之间的相关性，因此，后来的学者产生的理论误解一定程度上要归因于韦伯。
行政学家彼得斯对政治与行政二分法有过这样的评论：行政与政策并非是互不相关的离散现象，它们确实是相互关联的。无论从客观上还是从主观上讲，行政体系的属性都会影响到政治体系的政策产出。行政体系确实在制定政策，尽管这些与立法部门和执行部门所制定的政策所采取的书面和公开颁布形式并不完全相同；而且，行政人员制定的操作规则，比起那些正式公开颁布的规则来说，对个体的实际影响更大[2]25。像锡拉丘兹大学马克斯维尔学院院长保罗·阿普尔比这样的另一些人甚至更为简要地说：“公共行政就是政策制定。”[3]政治与行政无论在理论上还是在实践上倡导绝对的分离只能是陷入政治浪漫主义的泥潭。国家意志表达出来之后并不必然地得到有效执行，因此就需要对执行进行适度控制，政治与行政的分离只能是相对。
三、政治与行政二分法的启示
政治与行政二分法产生于西方之土壤，虽然它不具有普适性，但是该理论对我国行政管理理论和实践具有重大的借鉴意义却是不言
而喻的。
1.处理好党、人大与政府之间的关系。当前，我国正在推行大部门体制改革，行政改革要取得实质性进展就需要政治体制改革的适时跟进。如果政治体制改革跟不上行政体制改革的步伐，那么行政体制改革将困难重重，步履维艰。政治体制改革的焦点问题在于处理好党、人大、政府三者之间的关系。目前，在我国政治生活中，党、人大、政府、司法的具体分工，可以概括为：在党的领导下，人大聚合和表达民意，界定正义；政府执行民意，实现正义；司法扶归民意，矫正正义。我国宪法规定，我国的根本政治制度是人民代表大会制度，全国人大是最高权力机关，全国人大及其常委会行使立法权，人民通过全国人民代表大会和地方各级人民代表大会行使国家权力。而在现实中，在重大决策上，先在党内形成一致意见，然后再交由全国人大及其常委会表决通过。也就是说，党通过人大使自己的意志上升为国家意志。这种体制的好处就是保证了政治的统一与协调，提高了工作效率，但是在国家意志表达的过程中，人大的法定作用未得到充分发挥，人民及其代表参与的程度及发挥的作用是很低的。这与宪政的要求是不相符的。为解决这一问题，需要进一步健全和完善人民代表大会制度，健全民主制度，丰富民主形式，拓展民主渠道，从各个层次、各个领域扩大公民有序政治参与，保障人民依法实行民主选举、民主决策、民主管理、民主监督。更好地发挥人大在察民情、听民意、聚民智、惜民力方面的优势和作用。另外，处理好党与政府的关系。邓小平曾提出党政分开的问题，他强调，改革的内容，首先是党政分开，
解决党如何善于领导的问题。换言之，就是要处理好党与政府的关系，就是党的作用是总揽全局、协调各方，它只行使法定的权力，而不能侵犯政府的权力。然而，现实中的党政关系却不能让人满意。典型的表现就是党和政府两者的权力和责任是不对等的。具体说来，政府的权力小于责任，而党的权力却大于责任。我们可以从问责制的实施情况来分析，在重大事故发生后，政府首长引咎辞职，而不追究同级党委的责任，这样的问责制的作用是有限的，威慑性不强。为扭转上述不合理的局面，应把属于政府的权力还给政府，党只行使其应有的权力，使两者的权责对等，需要通过宪法来明确两者的权责范围，实行法律分权制，以此来厘清政治与行政的关系，进而推动我国的宪政建设。
2.行政自由裁量权的问题。威尔逊和古德诺都对行政自由裁量权进行了论述，的确，行政机关和行政人员在从事公共事务管理的过程中有着很大的自由裁量的余地。在立法、司法和行政三权中，行政权对公民的影响最大，为了确保行政机关及其工作人员合理行使自由裁量权，就需要对行政自由裁量权的行使进行控制和监督。我国有两千多年的封建历史，封建历史的经历给我国行政文化打上了深深地“人治”烙印。可以说，我国行政文化总体上是伦理型的，重人治而轻法治。在行政执法人员的行为中，不难发现人治的痕迹。我们在马路上时常见到行政执法人员对小商小贩大打出手，而非依法行事。为解决上述问题，需要加强法治建设，并严格依法办事，切实做到有法可依、有法必依、执法必严、违法必究。如广州市人民政府于2009年7月
4日开始实施《广州市规范行政执法自由裁量权规定》，该规定开创了我国全面规范行政执法自由裁量权的先河。另外，我们需要加强对公务员的培训，使其牢固树立法律至上、严格依法办事的理念，合理合法有效地行使人民赋予的公共权力。
3.公共行政学的价值追求。在威尔逊和古德诺等学者所倡导政治与行政二分法下的传统公共行政学的价值追求过于关注经济和效率，而对民主等宪政价值重视不够。而公共行政学的灵魂在于价值追求，在于它的公共性。可以说，传统公共行政学只注重了“行政”方面，而对“公共”方面关注不够。因为行政的价值追求在于效率和经济，而公共的价值追求则是公平和民主。这对我国公共行政学的建设与发展有着重要的借鉴，在我国公共行政学在建设与发展中，要想摆脱身份认同危机，就要搞好效率与公平的平衡，搞好经济与民主的平衡。在当前我国转型时期，在改革攻坚阶段，各种矛盾比较突出，如何处理好公平问题以促进社会和谐值得每一位国人深思。而公共行政学在解决这个问题上有着自身优势，因此，在发展公共行政学时一定要高举民主和公平的旗帜，使公共行政学实至名归，发挥其应有的作用。
参考文献：
[1]丁煌。西方行政学理论概要[M].北京：中国人民大学出版社，2005.
[2][美]F·J·古德诺。政治与行政[M].北京：华夏出版社，1987.
[3][澳]欧文·休斯。公共管理导论[M].北京：中国人民大学出版社，2007.感谢阅读，希望能帮助您！
用区间二分法求方程的根 一、前言 1.了解区间二分法求解方程基本方法。 2.学习掌握区间二分法求解方程根的过程。 3.学习掌握MATLAB软件有关的命令。 二、参数说明 function root=HalfInterval(f,a,b,eps) 方程表达式：f 区间左端点：a 区间右端点：b 根的精度：eps 求得的根：root 三、算法设计和运行结果 1.算法设计 ①计算函数f（x）在区间[a,b]中点的函数值f((a+b)/2)，并做下面的判断：如果f(a)f((a+b)/2)<0,转到②； 如果f(a)f((a+b)/2)>0,令a=(a+b)/2,转到①； 如果f(a)f((a+b)/2)=0，则x=(a+b)/2为一个根。 ②如果|a-(a+b)/2| if (f1==0) root=a; end if (f2==0) root=b; end if (f1*f2>0) disp('两端点函数值乘积大于0!'); return; else root=FindRoots(f,a,b,eps); %调用求解子程序end function r=FindRoots(f,a,b,eps) f_1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); f_2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b); mf=subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2); %中点函数值 if (f_1*mf>0) t=(a+b)/2; r=FindRoots(f,t,b,eps); %右递归 else if (f_1*mf==0) r=(a+b)/2; else if (abs(b-a)<=eps) r=(b+3*a)/4; %输出根 else s=(a+b)/2; r=FindRoots(f,a,s,eps); %左递归 end end end 二分法及迭代法求解非线性方程根 班级：姓名：方学号：日期： 一、实验目的 1、熟悉二分法及迭代法求解非线性方程根的数值算法； 2、用matlab软件实现二分法及迭代法，掌握迭代法的收敛性和收敛速度问 题及其加速方法； 二、基本理论及背景 1、牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方，但是选定的初值要接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果，再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。 2、牛顿迭代理论推导：设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－ f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值； 3、参考《二分法求非线性方程根》，实现二分算法，完成下面的题目： 求方程○1的根，精度至少达到10-6； 比较迭代下列迭代法求解○1中方程根的收敛性： ○2,； 用牛顿法设计迭代函数求解○1中方程的根（精度至少达到10-6），并与○2中收敛的迭代法比较收敛的速度。。 三、算法设计及实现 1、设计：方程○1function f=fun1(x) f=exp(x)-x-3;； ○2function y=Exp2(x) y=exp(x)-3; function y=Exp3(x) y=log(x+3); 牛顿迭代： A-1 用二分法求非线性方程实根 本实验用二分法求方程f (x) = x3 ?2x ?5 =0 在区间[2,3]内的根。 源程序： #include } else printf("\ not root! afresh input\n"); /*表示[a,b] 区间无根，重新选择有根区间*/ getch(); teturn(x); } 计算结果： please input data a = 2 please input data b = 3 please input data eps= 0.00001 the root of f(x)=0 is x= 2.094555 例1：利用计算器，求方程0122=--x x 的一个近似解（精确到0.1）． 【解】设2()21f x x x =--， 先画出函数图象的简图. (如右图所示) 因为 (2)10,(3)20f f =-<=>， 所以在区间(2,3)内，方程2210x x --=有一解，记为1x .取2与3的平均数2.5，因为 (2.5)0.250f =>， 所以 12 2.5x <<. 再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<， 所以 12.25 2.5x <<. 如此继续下去，得 1(2)0,(3)0(2,3) f f x <>?∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5) f f x <>?∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5) f f x <>?∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5) f f x <>?∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>?∈ 2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的 近似值都为2.4，所以此方程的近似解为 1 2.4x ≈. 利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解. 点评:①第一步确定零点所在的大致区间),(b a ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步． 例2：利用计算器，求方程x x -=3lg 的近似解（精确到0.1）． 分析：分别画函数lg y x =和3y x =- 的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个程x x -=3lg 的解．由函数lg y x =与 点的横坐标就是方 【例5.21】二分法求方程的根。求方程x3+4x2+x+1=0在[-5，5]之间的近似根，误差为10-4。 若函数有实根，则函数的曲线应和x轴有交点，在根附近的左右区间内，函数的值的符号应当相反。利用这一原理，逐步缩小区间的范围，保持在区间的两个端点处函数值的符号相反，就可以逐步逼近函数的根。 设f (x)在[a, b]上连续，且f (a) f (b)<0, 找使f (x)=0的点。如图5-7-2所示。 图5-7-2 二分法示意图 二分法的步骤如下： ①取区间[a, b]中点x=(a+b)/2。 ②若f (x)=0, 即(a+b)/2为方程的根。 ③否则，若f (x)与f (a)同号，则变区间为[x，b]；异号，则变区间为[a，x]。 ④重复①~③各步，直到取到近似根为止。 #include "stdio.h" #include "math.h" main() { float a,b,x; float fa,fb,fx; a=-5; b=5; fa=a*a*a+4*a*a+a+1; fb=b*b*b+4*b*b+b+1; do { x=(a+b)/2; fx=x*x*x+4*x*x+x+1; if(fa*fx<0) { b=x; fb=b*b*b+4*b*b+b+1; } else { a=x; fa=a*a*a+4*a*a+a+1; } }while(fabs(fa-fb)>1e-4); printf("x=%f\n",(a+b)/2); printf("f(%f)=%f",(a+b)/2,fa); } 运行结果： x=-3.806303 f(-3.806303)=-0.000059 经过多次迭代，当x= -3.806 303时，f(x)的结果为-0.000 059已经接近0，误差小于10- 4数量级。读者可进行简单的改写，输出每一次的迭代结果。 吉林化工学院 专业： 班级： 学号： 姓名： 有关二分法计算线性方程根的问题 1、二分法求解的提出及其背景 由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题，在《九章算术》，北宋数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》，南宋数学家秦九韶的《数书九章》中均有记载.在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果．1824年，挪威年轻数学家阿贝尔（N. H. Abel，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解．1828年，法国天才数学家伽罗瓦（E.Galois，1811-1832）巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程．人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题。 求解非线性方程的数值解有二分法、迭代法、牛顿—雷扶生方法、正割法和抛物线法。下面我们就来讨论二分法求解非线性方程数值解的问题。 2、在求解过程中需要用到的定理： 1、（1）设f(x)于[a,b]上连续; （2）且f(a)?f(b)<0； 则存在有x*∈(a,b)，使f(x*)于(a,b)内存在实的零点。 2、给定方程f(x)=0，设f(x)于[a,b]上连续，且f(a)?f(b)<0，则由二分法产生的序列{x k }收敛于方程f(x)=0的根x*,且具有性质 |x k-x*|≦(b-a)/2k（k=1,2,3,…） 3、二分法的描述： 设有非线性方程f(x=0),其中，f(x)为[a,b]上的连续函数且设f(a)?f(b)<0（不妨设该方程在[a,b]内仅有一个实根）。二分法具体方法如下： 运用上述定理2，设ε>0为给定精度要求，则由|xk-x*|≦(b-a)/2k<ε得半分次数k>[㏑(b-a)-㏑ε]/㏑2. 记a1=a,b1=b; 第一步：k=1，计算x1=(a1+b1)/2及f(x1),如果f(a1)·f(x1)<0则根一定在[ a1,x1]≡[a2,b2]内，否则根一定在区间[x1,b1] ≡[a2,b2]内(若f(x)=0,则x1=x*)。于是到长度缩小一半的含根区间[a2,b2],即f(a2)·f(b2)<0，且b2－a2=1/2(b1－a1) 第k步分半计算：重复上述计算过程，设已完成第1步，…，第k－1步分半计算得到含根区间[a1, b1] ?[a2,b2] ?…?[a k,b k]且满足： (1) f(a k )·f(a k)<0,即x*∈[a k,b k]； (2) b k－a k=1/(2k-1); 现进行第k步分部计算： (3) 计算x k=( a k+ b k)/且有|x k-x*|≦(b-a)/2=1/2k(b-a) (4) 确定新的含根区间[a k+1,b k+1],即如果f(a k)·f(b k)<0,则根一定在 用二分法求方程的近似解 一、教学内容分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位． 二、学生学习情况分析 学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题． 三、设计思想 倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合. 四、教学目标 通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程． 五、教学重点和难点 1．教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．2．教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 六、教学过程设计 （一）创设情境，提出问题 问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发 (1)二分法求解非线性方程： #include 用二分法求方程的近似解-经典例题及答案 例1:利用计算器，求方程X 2 2x 1 0的一个近似解(精确到0.1) 【解】设f (x) x 2 2x 1， 先画出函数图象的简图.'i (如右 图所示) 丨 因为 ； f(2) 1 0, f (3) 2 0， 所以在区间(2,3)内，方程x 2.5，因为 f (2.5) 0.25 0， 所以 2人 2.5. 再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25) 0.4375 0， 所以2.25 治 2.5. 如此继续下去，得 f(2) 0, f(3) 人(2,3) f(2) 0, f(2.5) 0 捲(2,2.5) f(2.25) 0, f (2.5) 0 x 1 (2.25, 2.5) f (2.375) 0, f (2.5) 0 x 1 (2.375,2.5) f (2.375) 0, f (2.4375) 0 为(2.375, 2.4375)，因为 2.375与 2.4375精确到 0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为 洛 2.4 . 利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解 . 点评：①第一步确定零点所在的大致区间(a,b)，可利用函数性质，也可借助计算 机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一 个长度为1的区间； ②建议列表样式如下： 零点所在 区 间 区间中点函数 值 区间长 度 [2,3] f(2.5) 0 1 [2,2.5] f (2.25) 0 0.5 [2.25,2.5] f (2.375) 0 0.25 [2.375,2.5] f (2.4375) 0.125 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一 步. 1 0有一解，记为x 1.取2与3的平均数 例 2:利用计算器，求方程lgx 3 x 的近似解(精确到0.1) 1-- 3 4 I I 斗- 3-' 分析：分别画函数y lg x 和y 3 x 1、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之（参考书籍《精通MATLAB 科学计算》，王正林等编著，电子工业出版社，2009年） “二分法非线性方程求解” 二分法的具体求解步骤如下。 （1）计算函数f(x)在区间[a,b]中点的函数值f((a+b)/2)，并作下面的判断： 如果0)2 () (<+b a f a f ，转到（2）； 如果0)2( )(>+b a f a f ，令 2b a a +=，转到（1）； 如果 0)2()(=+ b a f a f ，则 2b a x +=为一个跟。 （2）如果 ε<+-|2| b a a （ε为预先给定的精度），则4 3a b x +=为一个根，否则令2 b a b +=，转到（1）。 在MATLAB 中编程实现的二分法函数为：HalfInterval 。 功能：用二分法求函数在某个区间上的一个零点。 调用格式：root=HalfInterval(f,a,b,eps). 其中，f 函数名； a 为区间左端点； b 为区间右端点； eps 为根的精度； root 为求出的函数零点。 二分法的MATLAB 程序代码如下： function root=HalfInterval(f,a,b,eps) %二分法求函数f 在区间[a,b]上的一个零点 %函数名：f %区间左端点：a %区间右端点：b %根的精度：eps %求出的函数零点：root if (nargin==3) eps=1.0e-4; end f1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); %两端点的函数值f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b); if(f1==0) root=a; end if(f2==0) root=b; end if(f1*f2>0) disp('两端点函数值乘积大于0!'); return; else root=FindRoots(f,a,b,eps); %调用求解子程序end function r=FindRoots(f,a,b,eps) f_1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); f_2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b); mf=subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2); %中点函数值if(f-1*mf>0) t=(a+b)/2; r=FindRoots(f,t,b,eps); %右递归 else if(f_1*mf==o) r=(a+b)/2; else if(abs(b-a)<=eps) r=(b+3*a)/4; %输出根 else s=(a+b)/2; r=FindRooots(f,a,b,eps); %左递归 end end end 流程图： 专业代码：080101 楚雄师范学院 (Chxiong Normal University) 数学系2008级数学与应用数学专业教育实习 教育教学研究论文 实习生姓名茶本卫 学号20081021112 专业数学与应用数学 年级08级 实习单位紫系中学 实习时间2011年10月---11月 楚雄师范学院数学系编制 二0一一年九月二十八日 目录 浅谈二分法求方程的近似解的思路与技巧 摘要：在二分法中，由于不断取中点，区间不断缩小，区间的中点逐渐逼近方程根(或函数零点)的精确值，所以二分法体现了无限逼近的极限思想；二分法本质上又是一种区间迭代的数值算法，渗透了算法思想；二分法还体现了非此即彼的哲学思想，它综合了函数、方程、不等式、数列、极限等多种知识，主要有以下四方面的应用。 关键词:二分法；零点存在定理；精确度 Talking about the dichotomy of ideas and techniques for finding approximate solutions to equations Abstract:Dichotomy, given the access point , shrinking intervals , gradually approaching the midpoint of the interval root of equation ( or function zeros) The exact values , approximation of dichotomy reflects the infinite limit thought ; Dichotomy is essentially an interval iterative numerical algorithms , infiltrated algorithm,Dichotomy is reflected either/or philosophy , which combines functions, equations,inequalities , series, limits, and other knowledge , there are four main areas of application. Keywords:Dchotomy,zero point existence theorem, accuracy. 一、编写函数作图的程序，通过图形求出方程的近似解。 1、>> clear >> syms x y >> x=-10:0.1:10; >> y=2.*x.*sin(x)-3; >> plot(x,y); >> grid >> gtext('y=2.*x.*sin(x)-3') 2、>> clear >> syms x y1 y2 >> x=0:0.1:10; >> y1=2.*sin(x); >> y2=3./x; >> plot(x,y1,x,y2); >> grid >> gtext('y1=2sin(x),y2=3/x') 3、>> clear >> syms x y >> x=-2:0.1:4; >> y=4.*x.^5-8.*x.^4-26.*x.^3+30; >> plot(x,y); >> grid >> gtext('y=4*x^5-8*x^4-26*x^3+30') >> x=solve('4*x^5-8*x^4-26*x^3+30=0','x'); >> x1=double(x) x1 = 1.0000 3.7117 -1.9244 -0.3936 + 0.9461i -0.3936 - 0.9461i 二、用逐步搜索的方法求解。 function [k,r]=zhubuss(a,b,h,tol) X=a:h:b;Y=funs(X); n=(b-a)/h+1;m=0; X(n+1)=X(n);Y(n+1)=Y(n); for k=2:n X(k)=a+k*h; Y(k)=funs(X(k)); sk=Y(k)*Y(k-1); if sk<=0 m=m+1; r(m)=X(k); end xielv=(Y(k+1)-Y(k))*(Y(k)-Y(k-1)); if (abs(Y(k)) 用二分法求方程的近似解（1） 【教学目标】1．使学生理解利用二分法求方程的近似解的思想方法，会用二分法求某些方程的近似解 2．通过本节内容的学习，让学生体会到在现实世界中，等是相对的，而不等是绝对的，这样可以加深对数学的理解． 【学习指导】我们已经学过一元一次方程、一元二次方程等方程的解法，并掌握了一些方程的求根公式．实际上，大部分方程没有求根公式，那么，这些方程怎么解？学完这一课，你就会知道利用方程的根与函数的零点的关系求方程的实数解（近似解）了． 本节的重点就是利用二分法求方程的近似解，所谓二分法就是：对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而和到零点近似值的方法． 【例题精析】 例1．借助计算机或计算器，用二分法求函数f(x)= x3-5x2-4x+2的一个零点，精确到0.05． 【分析】先用大范围法寻找零点所在的区间，然后不断使用二分法，逐步缩小区间，直至达到精度的要求． 【解法】先作出x与f(x)的对应值表，并试图找出一个根所在的区间： 通过举值，发现函数在(0，1)与(5，6)内都至少有一个零点，现不妨求(0，1)内的一个零点． 令x1=0.5，f(0.5)= -1.125．因为f(0)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0，0.5)．令x2=0.25，f(0.25)≈0.7．因为f(0.25)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.5)． 令x3=0.375，f(0.375)≈-0.15．因为f(0.375)·f(0.25)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.375)． 令x4=0.3125，f(0.3125)≈0.29．因为f(0.375)·f(0. 3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.375)． 令x5=0.359375，f(0.359375)≈-0.04．因为f(0.359375)·f(0.3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.359375)． 由于|0.359375-0.3125|=0.047＜0.05， 此时区间(0.3125，0.359375)的两个端点精确到0.05的近似值都是0.336，所以函数的一个零点为0.336． 【评注】①选好初定区间是使用二分法求近似解的关键．选取初定区间的方法有多种，常用方法有试验估计法，数形结合法，函数单调性法，函数增长速度差异法等等．②本题还有两个零点，你能把它独立求解出来吗？(答案为-1，5.646．) 例2．（师生共同探究）概括用二分法求方程的近似解的基本程序． 【分析】通过对例1的研究，希望能够对解决问题的方法进行提炼，而这一点切不可以由老师包办代替，要通过师生的合作探究解决问题．【解法】（1）在同一坐标系中分别作出两个简单函数的图象，注意两个图象与x轴的交点坐标； （2）估算出第一个解的区间（x1，x2），（x1＜x2）； 二分法求解单变量非线性方程及其应用与实现 论文作者：任珊https://www.doczj.com/doc/5d5701768.html, 2010-10-27 20:32:00 论文关键词：二分法单变量非线性方程收敛性误差 论文摘要：本文主要通过一个实例来研究单变量非线性方程f（x）=0的二分法求解及此方法的收敛性，根据误差估计确定二分次数并进行求解。同时实现matlab和C语言程序编写。从而掌握过程的基本形式和二分法的基本思想，在以后的学习过程中得以应用。 1. 引言 在科学研究与工程技术中常会遇到求解非线性方程f(x)=0的问题。而方程f(x)是多项式或超越函数又分为代数方程或超越方程。对于不高于四次的代数方程已有求根公式，而高于四次的代数方程则无精确的求根公式，至于超越方程就更无法求其精确解了。因此，如何求得满足一定精度要求的方程的近似根也就成为了我们迫切需要解决的问题。近年来，随着数学科学研究的不断进展，又更新了许多方程求解的方法。我们知道，对于单变量非线性方程f（x）=0，一般都可采用迭代法求根，由此产生了二分法。 2. 二分法 一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时f(c)=0,那么把x=c叫做函 数f(x)的零点。 解方程即要求f(x)的所有零点。 先找到a、b，使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求 f[(a+b)/2], 现在假设f(a)<0,f(b)>0,aa，从①开始继续使用中点函数值判断。 如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2=>b，从①开始 继续使用中点函数值判断。 这样就可以不断接近零点。 VBA程序：二分法求方程的根 对于一般超越方程与高次代数方程求根的问题，可选用方法简单实用有效的不求导数的二分法，即在给定的寻根区间内，利用步步查找，二分缩小区间的方法，求出全部实根。 二分法求根程序框图见后附件。 主要标识符含义： A，B—方程求根区间的左、右端点[a,b] H—查根间距、跨步长度h EPS—计算精度值，ε＝ - x A，y A—变化过程中的左端点点值及函数值 x B，Y B—变化过程中的右端点点值及函数值 x C，y C—变化过程中的中点点值及函数值 算例 已知方程式f(x)=x3-6x2+11x-6=0，求方程的根。 给定条件x∈[,]，ε=，h=。 迭代求解后，可得到方程的三个实根： x1=1 ? x2=2 x3=3 VBA程序代码 '声明方程求解给定的条件 Dim a As Double, b As Double, h As Double, eps As Double '声明数组,用来放置根 Dim dblRoot() As Double '统计根的个数 , Dim lCount As Long Sub Main() Dim Xa As Double, Ya As Double, Xb As Double, Yb As Double '赋初值 a = b = （ h = eps = Xa = a Xb = a Ya = dblFx(Xa) Xb = Xb + h If Xb > b Then Exit Sub [ Yb = dblFx(Xb) Call Root(Xa, Ya, Xb, Yb) End Sub Sub Root(Xa1 As Double, Ya1 As Double, Xb1 As Double, Yb1 As Double) If qqqRoot(Ya1, Yb1) Then % Call qRoot(Xa1, Ya1, Xb1, Yb1) Else Xa1 = Xb1 Ya1 = Yb1 Xb1 = Xb1 + h If Xb1 > b Then Exit Sub Yb1 = dblFx(Xb1) '符合求根条件则求根计算,否则继续调整求根区间 " If qqqRoot(Ya1, Yb1) Then Call qRoot(Xa1, Ya1, Xb1, Yb1) Else Call Root(Xa1, Ya1, Xb1, Yb1) End If End If End Sub ， '判断是否符合求根条件 Function qqqRoot(dblYa2 As Double, dblYb2 As Double) As Boolean If dblYa2 * dblYb2 <= 0 Then qqqRoot = True Else qqqRoot = False End If End Function ： Sub qRoot(dblXa As Double, dblYa As Double, dblXb As Double, dblYb As Double) Dim dblXc As Double, dblYc As Double, dblXd As Double '是否满足条件,不满足继续缩小求根区间 If Abs(dblYa - dblYb) > eps And Abs(dblXa - dblXb) > eps Then 例1：利用计算器，求方程 x 2 2x 1 0的一个近似解(精确到 0.1). 2 与 2.5 的平均数 2.25，因为 f(2.25) 0.4375 2.5. x-i 2.4. 利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解 点评：①第一步确定零点所在的大致区间 (a, b)，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器, 但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为 1的区间； ②建议列表样式如下： 零点所在 区 间 区间中点函数值 区间长度 1 0.5 0.25 0.125 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步. 例2：利用计算器，求方程Igx 3 x 的近似解(精确到0.1). 数图象的交点处，函数值相等?因此，这个 程lg x 3 x 的解.由函数y lg x 与 以发现，方程Igx 3 x 有惟一解，记为为, 【解】设f (x) x 2 2x 1,卜 I 先画出函数图象的简图 V (如右图所示) 因为 f(2) 1 0, f (3) 2 ° 入 所以在区间(2,3)内， 方程 X 2叫 f(2.5) 0.25 所以 2 x 1 2.5. 0 , x ,.取2与3的平均数 2.5，因为 再取 所以 如此继续下去，得 f(2) 0, f(3) f(2.25) f (2.375) 近似值都为 0, f (2.5) 0 0, f (2.4375) 2.4，所以此方程的近似解为 (2,3) f(2) 0, f(2.5) x 1 (2.25, 2.5) f (2.375) 0, f (2.5) 0 0 x . (2,2.5) (2.375, 2.5) 人(2.375, 2.4375)，因为 2.375与 2.4375精确到 0.1 的 X i 2.25 x , 分析：分别画函数y 的图象，在两个函 点的横坐标就是方 y 3 x 的图象可 lg x 和 y 3 x 丁 1 0有一解，记为 3斗 问题 二分法解决方程求解问题 利用二分法，求方程063422 3=-+-x x x 的实根，精确到两位小数。 分析 二分法是一种典型的迭代问题，前面已经介绍了二分法定义，这里为了便于计算 函数值)(x f 编制函数float function(float x)。在主函数中首先给出了有根区间 ],[b a ，在程序中用[x1,x2]表示。由于不确定函数需要执行的次数，因此使用do-while 循环，循环条件为区间中点的函数值小于6100.1-?，当函数值小于6100.1-?时，近似认为当前的值为方程根。 数据要求 问题中的常量： 1e – 6； 问题的输入： 无 问题的输出： 输出方程的根 设计 初始算法 1 初始化数据 2 使用二分法解方程。 算法细化 步骤2可以进一步细化， 将区间],[b a 分半，取中点2b a +，求)2(b a f +，若δ<+)2 (b a f ，则取2 b a +≈ α，否则作下一步。 计算)2()(b a f b f +?，若0)2()(>+?b a f b f ，取2 ,11b a b a a +==；否则取b b b a a =+=11,2，形成新的含根区间],[11b a ，且211a b a b -=-。 对于新的含根区间重复上述步骤，直到ε<-n n a b ，取 2 ~n n b a +=α 作为α的近似值。此时的计算误差为 12 2~+-=-<-n n n a b a b αα 流程图 实现 #include "stdio.h" #include "math.h" float function(float x) { float f; f= x*((2*x-4)*x+3)-6; return f; } void main() { float x1,x2,x0,fx1,fx2,fx0; x1=10;x2=-10; fx1=function(x1); fx2=function(x2); do { x0=(x1+x2)/2.0;/*计算中点*/ fx0=function(x0);/*计算中点处的函数值*/ if(fx0*fx1<0)/*计算新的区间*/ {/*区间中点的函数值与x1的函数值正负号相反*/ /*区间中点的ｙ坐标与x1点的ｙ坐标在不同ｙ半轴上*/ x2=x0;/*新区间为[x1,x0]*/ fx2=fx0; } else {/*区间中点的ｙ坐标与x1点的ｙ坐标在相同ｙ半轴上*/ x1=x0;/*新区间为[x0,x2]*/ fx1=fx0; } }while(fabs(fx0)>=1e-6); printf("The root is %f",x0); } 测试 该程序没有输入，输出结果为方程的根，此处略。 二分法求非线性方程的数值解 function [x,k] = bisec( f,a,b,ep ) %f:f(x)=0的函数，a,b:[a,b]端点，ep:精度 %x:方程的数值解，k迭代次数 if f(a)*f(b)>=0 if f(a)* f(b)>0 warning('端点值同号，不符合二分法的条件'); return; else if f(a)==0 disp(' a就是方程的解'); return; else disp(' b就是方程的解'); return; end end end k=0; N=(log10(b-a)-log10(ep))/log10(2); %最大迭代次数 x=(a+b)/2; if f(x)==0 disp(' x就是方程的解'); return; else while abs(a-b)>ep & k 二分法求非线性方程的数值解(多元函数情形，以二元函数为例) function [x,k] = bisec( f,a,b,ep ) %f:f(x)=0的函数，a,b:[a,b]端点，ep:精度 %x:方程的数值解，k:迭代次数 if f(a(1),a(2))*f(b(1),b(2))>=0 if f(a(1),a(2))* f(b(1,b(2)))>0 warning('端点值同号，不符合二分法的条件'); return; else if f(a(1),a(2))==0 disp(' a就是方程的解'); return; else disp(' b就是方程的解'); return; end end end k=0; x=(a+b)/2; if f(x(1),x(2))==0 disp(' x就是方程的解'); return; else while norm(a-b)>ep if f(x(1),x(2))*f(a(1),a(2))<0 b=x; else a=x; end k=k+1; x=(a+b)/2; end t=round(-log10(ep)); x=vpa(x,t); end >> g=@(x,y)1-x^2-y^2;a=[0;0];b=[1;1];ep=0.5e-15; >> [x,k]=bisec1(g,a,b,ep) x = 0.707106781186548 0.707106781186548 k = 52 3.1.3 二分法求方程的近似解 【学习目标】 1.通过实例了解二分法求方程近似解的原理；能借助计算器用二分法求方程的近似解； 2.体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一，感受数学中辩证唯物主义思想． 【学习重点】用“二分法”求方程的近似解． 【难点提示】“二分法”的理解与运用. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材8994P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 1.请回顾我们前面学习了的函数零点的概念、零点存在性定理等，并完成下列填空： 对于函数()y f x =，我们把使 的实数x 叫做函数()y f x =的零点. 方程()0f x =有实数根?函数()y f x =的图象与x 轴 ?函数()y f x = ；如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ， 那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点. 2.如何求一元二次函数的零点呢？ 3.一元二次方程可以用公式求根，但方程062ln =-+x x 的根怎么求解呢？通过本节内容的学习便可知道了. 二、探究新知 二分法的定义及使用二分法求零点的步骤 ●观察思考 （1）中央电视台由李咏主持的节目《幸运52》中有一项猜测商品价格的游戏，首先给出了商品价格的范围，如果是你，你将用什么方法快速猜中商品的真实价格呢？现实中还有这种方法的实例吗？ （2）有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的（要求次数越少越好）？具体做法如下(链接1)： 第一次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球. 第二次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球. 第三次，两端各放 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球. 上述（2）的做法是怎样找出重的那个球的，深刻理解该方法，你能否用该方法求函数 ln 26y x x =+-的零点所在区间？又如何找出这个零点的近似值? 请阅仔细读教材P89-P90，回答以下问题： （1）我们是怎么找出函数ln 26y x x =+-的零点所在区间的？ （2）如何使用二分法？具体步骤是什么？ ●归纳概括 (1)对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足()()0f a f b ?<的函数)(x f y =， 通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，二分法及迭代法求解非线性方程根
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