2007年普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。
5．函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是 6．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x
f x =-，则1
32()()()323
f f f 、、的大小关系为：
8．设
2
()lg(
)1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是
9．已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有
()0f x ≥，则(1)
'(0)f f 的最小值为
10．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面
区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上。
11．若
13
cos(),cos()55αβαβ+=-=
，.则tan tan αβ= ▲ . 13．已知函数
3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= ▲ .
16．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = ▲ ，其中[0,60]t ∈。
三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20．（本小题满分16分）已知 {}n a 是等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，
11221
,a b a b a ==≠，记n S 为数列{}n b 的前n 项和， （1）若
(,k m b a m k =是大于2的正整数)，求证：11(1)k S m a -=-；
（4分） （2）若3(i b a i
=是某一正整数)，求证：q 是整数，且数列
{}n b 中每一项都是数列{}n a 中
的项；（8分）
（3）是否存在这样的正数q ，使等比数列{}
n b 中有三项成等差数列？若存在，写出一个q 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）
21．（本小题满分16分）已知,,,a b c d 是不全为0的实数，函数
2
()f x bx cx d =++， 32()g x ax bx cx d =+++，方程()0f x =有实根，且()0f x =的实数根都是(())0
g f x =的根，反之，(())0g f x =的实数根都是()0f x =的根， （1）求d 的值；（3分）
（2）若0a =，求c 的取值范围；（6分）
（3）若1,(1)0a f ==，求c 的取值范围。（7分）
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.)6
cos()(π
ω-=x x f 最小正周期为
5
π
，其中0>ω，则=ω 3.
),(11R b a bi a i
i
∈+-+表示为，则b a += 4.{}
73)1(2
-<-=x x x A ，则A Z ?的元素的个数
5.,a b r r 的夹角为
120，,3,1==b a 则=-b a 5
8.直线b x y +=
2
1
是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b= ▲ 10.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
。 。 。 。 。
按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为
11.的最小值xz
y z y x R z y x 2
,032,,,=+-∈*
13.若BC AC AB 2,2=
=，则ABC S ?的最大值
14.13)(3+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立，则a = 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与
单位圆相交于B A ,两点，已知B A ,的横坐标分别为
5
5
2,
102 （1）求)tan(
βα+的值（2）求βα2+的值。
17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点
B A ,及CD 的中点P
处，已知
km CD km AB 10,20==，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边
界），且B A ,与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道OP BO AO ,,，设排污管道的总长为ykm
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设)(rad BAD θ=∠，将y 表示成θ的函数关系式 ②设)(km x OP =
，将y 表示成x 的函数关系式
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
19．（1）设n a a a ,......,21是各项均不为零的等差数列（4≥n ），且公差0≠d ，若将此数列删
去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当4=n 时求d
a 1
的数值②求n 的所有可能值；
（2）求证：对于一个给定的正整数)4(≥n n ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
n b b b ,......,21，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。
20.若为常数2121,,,3
2)(,3
)(2
1
p p R x x f x f p x p x ∈?==--，且
C D O
P y x
O
A
B
??
?>≤=)()(),()
()(),()(212
211x f x f x f x f x f x f x f （1）求)()(1x f x f =对所有实数x 成立的充要条件（用21,p p 表示） （2）设b a ,为两实数，b a <且),(,21b a p p ∈若)()(b f a f = 求证：)(x f 在区间[]b a ,上的单调增区间的长度和为2
a
b -（闭区间[]n m ,的长度定义为m n -）。
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。 1.若复数
12429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部
为 .
2.已知向量a 和向量b 的夹角为30，||2,||3==
a b ，则向量a 和向量b 的数量积
=g a b .
3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .
4.函数
sin()(,,y A x A ω?ω?=+为常数，
0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图
所示，则ω= .
9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线
3
:103C y x
x =-+上，且在第二象限内，已
知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐
标为 .
10.已知512
a -=，函数()x
f x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大
小关系为 ★ . 11.已知集合
{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ?则实数a 的取值范围是
(,)c +∞，其中c = ★ .
14．设
{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L 若数列
{}n b 有
连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = ★ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明或演算步骤. 15．（本小题满分14分）
设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )ααββββ===-a b c （1）若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值；
（2）求||+b c 的最大值; （3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .
17．（本小题满分14分）
设
{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+= （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；
（2）试求所有的正整数m ，使得1
2
m m m a a a ++为数列n S 中的项.
19.(本小题满分16分)
1
1 π-
23
π-
3
π
-
O x
y
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价
为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n
n a
+.
如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为
12h h .
现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙 (1) 求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当3
5
A B m m =时，求证：h 甲=h 乙； (2) 设3
5
A
B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3) 记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和
0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
20．(本小题满分16分) 设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.
(1) 若(0)1f ≥，求a 的取值范围；
(2) 求
()f x 的最小值；
(3) 设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．
(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.
2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
一、填空题
1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2
+4},A ∩B={3}，则实数a =_____________
2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为____________[来源:学科网]
3、设函数f(x)=x(e x +ae -x
),x ∈R ，是偶函数，则实数a =_______________
4、函数y=x 2
(x>0)的图像在点(a k ,a k 2
)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=_________ 5、定义在区间??
?
?
?20π,
上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，
过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1,直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为___________
6、已知函数???<≥+=010
12x ,x ,x )x (f ,则满足不等式)x (f )x (f 212>-的x 的范围是_____
7、设实数x,y 满足3≤2
xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43
y
x 的最大值是_________[来源:学.科.网
Z.X.X.K]
8、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，C cos b a a b
6=+
，则=+B
t a n C t a n A t a n C t a n __ 9、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
S=梯形的面积
梯形的周长）2
(,则S 的最小值是____________
二、解答题
10（14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值
11（14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β
(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24,tan β=1.20,,请据此算出H 的值 (2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α-β最大
12.（16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}
n
S 是公差为d 的等差数列.
①求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）
②设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都
成立。求证：c 的最大值为2
9
13.（16分）设)(x f 使定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2
+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P . (1)设函数)(x f )1(1
2
)(>+++
=x x b x h ，其中b 为实数 ①求证：函数)(x f 具有性质)(b P ②求函数)(x f 的单调区间
(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定
为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且
1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围
根据2010年高考理科卷下列考题回顾课本相关内容：
22不等式证明选讲：已知实数a,b ≥0，求证：)b a (ab b a 2233+≥+[来源:学+科+网]
对应近来所做数列题第（3）问：已知分别以12,d d 为公差的等差数列{},{}n n a b 满足
11418,36a b ==。 （1）若118d =，且存在正整数m ，使得2
1445m m a b +=-，
求证：2108d >； （2）若0k k a b ==，且数列121214,,,,,,,k k k a a a b b b ++------的前n 项和n S 满足
142k S S =，求数列{},{}n n a b 的通项公式；
（3） 在（2）的条件下，令2,2n n a
b
n n c d ==，问不等式1n n n n c d c d +≤+是否对*
n N ∈ 恒成立？请说明理由。
23、（10分）已知△ABC 的三边长为有理数 （1）求证cosA 是有理数
（2）对任意正整数n ，求证cosnA 也是有理数 对应课本上的：求证：正弦函数的最小正周期是2π
或:判断2是否为有理数，若是，请加以证明，若不是，请说明理由