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一次函数的图象和性质知识点和典型例题分类讲解

一次函数的图象和性质知识点和典型例题分类讲解
一次函数的图象和性质知识点和典型例题分类讲解

一次函数的图象和性质

一、知识要点:

1、一次函数:形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。

注意:(1)k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1;

(2)当b=0时,y=kx,y叫x的正比例函数。

2、图象:一次函数的图象是一条直线,

(1)两个常有的特殊点:与y轴交于(0,b);与x轴交于(-,0)

(2)由图象可以知道,直线y=kx+b与直线y=kx平行,例如直线:y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3、性质:

(1)图象的位置:

(2)增减性

k>0时,y随x增大而增大

k<0时,y随x增大而减小

4.求一次函数解析式的方法

求函数解析式的方法主要有三种

(1)由已知函数推导或推证

(2)由实际问题列出二元方程,再转化为函数解析式,此类题一般在没有写出函数解析式前无法(或不易)判断两个变量之间具有什么样的函数关系。

(3)用待定系数法求函数解析式。

“待定系数法”的基本思想就是方程思想,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程(组)来解决,题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数,一般就需列出几个含有待定系数的方程,本单元构造方程一般有下列几种情况:

①利用一次函数的定义

构造方程组。

②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标,即由b来定点;直线y=kx+b平行于y=kx,即由k来定方向。

③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。

④利用题目已知条件直接构造方程。

二、例题举例:

例1.已知y=,其中=(k≠0的常数),与成正比例,求证y与x也成正比例。

证明:∵与成正比例,

设=a(a≠0的常数),

∵y=, =(k≠0的常数),

∴y=2a=akx,

其中ak≠0的常数,

∴y与x也成正比例。

例2.已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1,判断

=(3-)是什么函数,写出两个函数的解析式,并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。

解:依题意,得

解得 n=-1,

∴=-3x-1,

=(3-)x, 是正比例函数;

=-3x-1的图象经过第二、三、四象限,随x的增大而减小;

=(3-)x的图象经过第一、三象限,随x的增大而增大。

说明:由于一次函数的解析式含有待定系数n,故求解析式的关键是构造关于n的方程,此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。

例3.直线y=kx+b与直线y=5-4x平行,且与直线y=-3(x-6)相交,交点在y轴上,求此直线解析式。

分析:直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定:由k来定方向,由b来定与y轴的交点,若两直线平行,则解析式的一次项系数k相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。

解:∵y=kx+b与y=5-4x平行,

∴k=-4,

∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴,

∴b=18,

∴y=-4x+18。

说明:一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定:由k来定方向,由b来定点,即函数图象平行于直线y=kx,经过(0, b)点,反之亦成立,即由函数图象方向定k,由与y 轴交点定b。

例4.直线与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点B,若点B到x轴的距离为2,求直线的解析式。

解:∵点B到x轴的距离为2,

∴点B的坐标为(0,±2),

设直线的解析式为y=kx±2,

∵直线过点A(-4,0),

∴0=-4k±2,

解得:k=±,

∴直线AB的解析式为y=x+2或y=-x-2.

说明:此例看起来很简单,但实际上隐含了很多推理过程,而这些推理是求一次函数解析式必备的。

(1)图象是直线的函数是一次函数;

(2)直线与y轴交于B点,则点B(0,);

(3)点B到x轴距离为2,则||=2;

(4)点B的纵坐标等于直线解析式的常数项,即b=;

(5)已知直线与y轴交点的纵坐标,可设y=kx+,

下面只需待定k即可。

例5.已知一次函数的图象,交x轴于A(-6,0),交正比例函数的图象于点B,且点B在第三象限,它的横坐标为-2,△AOB的面积为6平方单位,求正比例函数和一次函数的解析式。

分析:自画草图如下:

解:设正比例函数y=kx,

一次函数y=ax+b,

∵点B在第三象限,横坐标为-2,

设B(-2,),其中<0,

∵=6,

∴AO2||=6,

∴=-2,

把点B(-2,-2)代入正比例函数y=kx,得k=1

把点A(-6,0)、B(-2,-2)代入y=ax+b,

解得:

∴y=x, y=-x-3即所求。

说明:(1)此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式,注意两个函数中的系数要用不同字母表示;

(2)此例需要把条件(面积)转化为点B的坐标。这个转化实质含有两步:一是利用面积公式AO2BD=6(过点B作BD⊥AO于D)计算出线段长BD=2,再利用||=BD及点B 在第三象限计算出=-2。若去掉第三象限的条件,想一想点B的位置有几种可能,结果会有什么变化?(答:有两种可能,点B可能在第二象限(-2,2),结果增加一组y=-x, y= (x+3).

例6.已知正比例函数y=kx (k<0)图象上的一点与原点的距离等于13,过这点向x轴作垂线,这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30,求这个正比例函数的解析式。

分析:画草图如下:

则OA=13,=30,

则列方程求出点A的坐标即可。

解法1:设图象上一点A(x, y)满足

解得:;;;

代入y=kx (k<0)得k=-, k=-.

∴y=-x或y=-x。

解法2:设图象上一点A(a, ka)满足

由(2)得=-,

代入(1),得(1+)2(-)=.

整理,得60+169k+60=0.

解得 k=-或k=-.

∴ y=-x或y=-x.

说明:由于题目已经给定含有待定系数的结构式y=kx,其中k为待定系数,故解此例的关键是构造关于k的方程。此例给出的两个解法代表两种不同的思路:解法1是把已知条件先转化为求函数图象上一点的坐标,构造方程解出,再求k;解法2是引进辅助未知数a,利用勾股定理、三角形面积公式直接构造关于a、k的方程组,解题时消去a,求出k值。

例7.在直角坐标系x0y中,一次函数y=x+的图象与x轴,y轴,分别交于A、B两点,点C坐标为(1,0),点D在x轴上,且∠BCD=∠ABD,求图象经过B、D两点的一次函数的解析式。

分析:由已知可得A点坐标(-3,0),B点坐标(0,),点C是确定的点(1,0),解题的关键是确定点D的坐标,由点D在x轴上,以∠BCD=∠ABD的条件,结合画草图可知∠BCD的边BC确定,顶点C确定,但边CD可以有两个方向,即点D可以在C点右侧,也可以在C点左侧,因此解此题要分类讨论。

解:∵点A、B分别是直线y=x+与x轴和y轴交点,

∴A(-3,0),B(0,),

∵点C坐标(1,0)由勾股定理得BC=,AB=,

设点D的坐标为(x, 0),

(1)当点D在C点右侧,即x>1时,

∵∠BCD=∠ABD,

∠BDC=∠ADB,

∴△BCD∽△ABD,

∴=

∴=- - - - ①

∴=

∴8-22x+5=0

∴x1=, x2=,

经检验:x1=, x2=,都是方程①的根。

∵x=,不合题意,∴舍去。∴x=,

∴D点坐标为(, 0)。

设图象过B、D两点的一次函数解析式为y=kx+b,

∴所求一次函数为y=-x+

(2)若点D在点C左侧则x<1,

可证△ABC∽△ADB,

∴- - - - ②

∴8-18x-5=0

∴x1=-, x2=,

经检验x1=-, x2=,都是方程②的根。

∵x2=不合题意舍去,∴x1=-,

∴D点坐标为(-, 0),

∴图象过B、D(-, 0)两点的一次函数解析式为y=4x+

综上所述,满足题意的一次函数为y=-x+或y=4x+.

例8.已知:如图一次函数y=x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,过点C (4,0)作AB的垂线交AB于点E,交y轴于点D,求点D、E的坐标。

解:直线y=x-3与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点B(0,-3),

∴OA=6,OB=3,

∵OA⊥OB,CD⊥AB,

∴∠ODC=∠OAB,

∴cot∠ODC=cot∠OAB,即

∴OD===8.

∴点D的坐标为(0,8),

设过CD的直线解析式为y=kx+8,将C( 4,0)代入

0=4k+8, 解得 k=-2

∴直线CD:y=-2x+8,

由解得

∴点E的坐标为(,-)

说明:由于点E既在直线AB上,又在直线CD上,所以可以把两直线的解析式联立,构成二元一次方程组,通过解方程组求得。

一次函数基本题型过关卷

题型一、点的坐标

方法: x 轴上的点纵坐标为0,y 轴上的点横坐标为0;

若两个点关于x 轴对称,则他们的横坐标相同,纵坐标互为相反数; 若两个点关于y 轴对称,则它们的纵坐标相同,横坐标互为相反数;

若两个点关于原点对称,则它们的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数; 1、 若点A (m,n )在第二象限,则点(|m|,-n )在第____象限;

2、 若点P (2a-1,2-3b )是第二象限的点,则a,b 的范围为______________________;

3、 已知A (4,b ),B (a,-2),若A ,B 关于x 轴对称,则a=_______,b=_________;若

A,B 关于y 轴对称,则a=_______,b=__________;若若A ,B 关于原点对称,则a=_______,b=_________;

4、 若点M (1-x,1-y )在第二象限,那么点N (1-x,y-1)关于原点的对称点在第______象限。 题型二、关于点的距离的问题

方法:点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示,点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示;

任意两点(,),(,)A A B B A x y B x y ;

若AB ∥x 轴,则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x -; 若AB ∥y 轴,则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -;

点(,)A A A x y 1、 点B (2,-2)到x 轴的距离是_________;到y 轴的距离是____________;

2、 点C (0,-5)到x 轴的距离是_________;到y 轴的距离是____________;到原点的距

离是____________;

3、 点D (a,b )到x 轴的距离是_________;到y 轴的距离是____________;到原点的距离

是____________; 4、 已知点P (3,0),Q(-2,0),则PQ=__________,已知点110,,0,22M N ????-

? ?????

,则MQ=________; ()()2,1,2,8E F --,则EF 两点之间的距离是__________;已知点G (2,-3)、H (3,4),则G 、H 两点之间的距离是_________;

5、 两点(3,-4)、(5,a )间的距离是2,则a 的值为__________;

6、 已知点A (0,2)、B (-3,-2)、C (a,b ),若C 点在x 轴上,且∠ACB=90°,则C

点坐标为___________.

题型三、一次函数与正比例函数的识别

方法:若y=kx+b(k,b 是常数,k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数,特别的,当b=0时,一次

函数就成为y=kx(k 是常数,k ≠0),这时,y 叫做x 的正比例函数,当k=0时,一次函数就成为若y=b ,这时,y 叫做常函数。 ☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0) 1、当k_____________时,()2

323y k x x =-++-是一次函数;

2、当m_____________时,()21

345m y m x

x +=-+-是一次函数; 3、当m_____________时,()21

445m y m x

x +=-+-是一次函数;

4、2y-3与3x+1成正比例,且x=2,y=12,则函数解析式为________________; 题型四、函数图像及其性质 方法:

k(称为斜率)表示直线y=kx+b (k≠0) 的倾斜程度;

b (称为截距)表示直线y=kx+b (k≠0)与y 轴交点的 ,也表示直线在y 轴上的 。

☆同一平面内,不重合的两直线 y=k 1x+b 1(k 1≠0)与 y=k 2x+b 2(k 2≠0)的位置关系: 当 时,两直线平行。 当 时,两直线垂直。

当 时,两直线相交。 当 时,两直线交于y 轴上同一点。 ☆特殊直线方程:

X 轴 : 直线 Y 轴 : 直线 与X 轴平行的直线 与Y 轴平行的直线 一、 三象限角平分线 二、四象限角平分线 1、对于函数y =5x+6,y 的值随x 值的减小而___________。 2、对于函数1223

y x =-, y 的值随x 值的________而增大。

3、一次函数 y=(6-3m)x +(2n -4)不经过第三象限,则m 、n 的范围是__________。

4、直线y=(6-3m)x +(2n -4)不经过第三象限,则m 、n 的范围是_________。

5、已知直线y=kx+b 经过第一、二、四象限,那么直线y=-bx+k 经过第_______象限。

6、无论m 为何值,直线y=x+2m 与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。

7、已知一次函数

(1)当m 取何值时,y 随x 的增大而减小? (2)当m 取何值时,函数的图象过原点?

题型五、待定系数法求解析式

方法:依据两个独立的条件确定k,b 的值,即可求解出一次函数y=kx+b (k ≠0)的解析式。

☆ 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b (k ≠0);

☆ 若点在直线上,则可以将点的坐标代入解析式构建方程。 1、若函数y=3x+b 经过点(2,-6),求函数的解析式。

2、直线y=kx+b 的图像经过A (3,4)和点B (2,7),

3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y (升)与行驶时间x (小时)之间的关系.求油箱里所剩油y (升)与行驶时间x (小时)之间的函数关系式,并且确定自变量x 的取值范围。

4、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x 轴交于点(-2,0)求解析式。

5、若一次函数y=kx+b 的自变量x 的取值范围是-2≤x ≤6,相应的函数值的范围是-11≤y ≤ 9,求此函数的解析式。

6、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于y 轴对称,求k 、b 的值。

7、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于x 轴对称,求k 、b 的值。

8、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x +7关于原点对称,求k 、b 的值。

题型六、平移

方法:直线y=kx+b 与y 轴交点为(0,b ),直线平移则直线上的点(0,b )也会同样的平移,平移不改变斜率k ,则将平移后的点代入解析式求出b 即可。

直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;(“左加右减,上加下减”)。 1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。 2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线

3. 直线y=

21

x 向右平移2个单位得到直线 4. 直线y=22

3

+-x 向左平移2个单位得到直线

5. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线

6. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线

7. 直线x y 31

=

向上平移1个单位,再向右平移1个单位得到直线 。 8. 直线14

3

+-=x y 向下平移2个单位,再向左平移1个单位得到直线________。

9. 过点(2,-3)且平行于直线y=2x 的直线是____ _____。 10. 过点(2,-3)且平行于直线y=-3x+1的直线是___________.

11.把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位,可得到的图像表示的函数是____________;

12.直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的,而(2a,7)在直线n 上,则a=____________;

题型七、交点问题及直线围成的面积问题

方法:两直线交点坐标必满足两直线解析式,求交点就是联立两直线解析式求方程组的解;

复杂图形“外补内割”即:往外补成规则图形,或分割成规则图形(三角形); 往往选择坐标轴上的线段作为底,底所对的顶点的坐标确定高; 1、 直线经过(1,2)、(-3,4)两点,求直线与坐标轴围成的图形的面积。

2、 已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A

(3,4),且OA=OB

(1) 求两个函数的解析式;(2)求△AOB 的面积;

3、 已知直线m 经过两点(1,6)、(-3,-2),它和x 轴、y 轴的交点式B 、A ,直线n 过

点(2,-2),且与y 轴交点的纵坐标是-3,它和x 轴、y 轴的交点是D 、C ; (1) 分别写出两条直线解析式,并画草图; (2) 计算四边形ABCD 的面积; (3) 若直线AB 与DC 交于点E ,求△BCE 的面积。

4、如图,A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点,点P(2,

y轴于点D,△AOP的面积为6;

(1)求△COP的面积;

(2)求点A的坐标及p的值;

(3)若△BOP与△DOP的面积相等,求直线BD的函数

解析式。

别交于点B、A ,直线经过点(2,-2),且与y

轴交于点C(0,-3),它与x轴交于点D

(1)求直线的解析式;

(2)若直线与交于点P ,求的值。

6. 如图,已知点A(2,4),B(-2,2),C(4,0),求△ABC的面积。

圆与方程知识点总结典型例题

圆与方程 1. 圆的标准方程:以点),(b a C 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系: (1).设点到圆心的距离为d ,圆半径为r : a.点在圆内 d <r ; b.点在圆上 d=r ; c.点在圆外 d >r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? ( ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? (3)涉及最值: ① 圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ,圆上一动点P ,讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考:过此A 点作最短的弦?(此弦垂直AC ) 3. 圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心??? ??--2,2E D C ,半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时,方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时,方程不表示任何图形.

注:方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系: 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1)无交点直线与圆相离??>r d ; 2)只有一个交点直线与圆相切??=r d ; 3)有两个交点直线与圆相交???时,直线与圆有2个交点,,直线与圆相交; (2)当0=?时,直线与圆只有1个交点,直线与圆相切; (3)当0r r d ; ② 条公切线外切321??+=r r d ; ③ 条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; ④ 条公切线内切121??-=r r d ; ⑤ 无公切线内含??-<<210r r d ;

三角函数的图象和性质典型例题

三角函数的图象和性质·典型例题 于P1,P2两点,过P1,P2分别作P1M1⊥x轴,P2M2⊥x轴,垂足分 k∈Z} 【说明】学会利用单位圆求解三角函数的一些问题,借助单位圆求解不等式的一般方法是:①用边界值定出角的终边位置;②根据不等式定出角的范围;③在[0,2π]中找出角的代表;④求交集,找单位圆中重叠的部分;⑤写出角的范围的表达式,注意加周期.

【例3】求下列函数的定义域: 解:(1)为使函数有意义,需满足2sin2x+cosx-1≥0 【说明】求函数的定义域通常是解不等式组,利用“数形结合”,借助于数轴画线求交集的方法进行.在求解三角函数,特别是综合性较强的三角函数的定义域,我们同样可以利用“数形结合”,在单位圆中画三角函数线,求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成. 【说明】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质,如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性,在进行三角函数的变形时,要注意三角函数的每一步变形都保持恒等,即不能改变原函数的自变量的取值范围. 【例4】求下列函数的值域:

∴此函数的值域为{y|0≤y<1} 【说明】求三角函数的值域,除正确运用必要的变换外,还要注意函数的概念的指导作用,注意利用正、余弦函数的有界性. 【例5】判断下列函数的奇偶性: 【分析】先确定函数的定义域,然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性. ∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x) 【例8】求下列各函数的最大值、最小值,并且求使函数取得最大值、最小值的x 的集合. ∴使y取得最大值的x的集合为{x|x=(2kπ+1)π,k∈Z} ∴使y取得最小值的x的集合为{x|x=2kπ,k∈Z}

初三数学圆的知识点总结及经典例题详解

1.半圆或直径所对的圆周角是直角. 2.任意一个三角形一定有一个外接圆. 3.在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆. 4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等. 5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6.同圆或等圆的半径相等. 7.过三个点一定可以作一个圆. 8.长度相等的两条弧是等弧. 9.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等. 10.经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1.直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5.垂直于半径的直线必为圆的切线. 6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7.垂直于半径的直线是圆的切线. 8.圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1.两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2.相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3.两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4.两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5.相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1.正六边形的中心角为60°. 2.矩形是正多边形. 3.正多边形都是轴对称图形. 4.正多边形都是中心对称图形.

1.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2.已知:如图,⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 3.已知:如图,⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 4.已知:如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5.半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6.已知:如图,圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° 7.已知:如图,⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° 8. 已知:如图,⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° ° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. .4 C D. 10 10. 已知:如图,⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° ° 12.在半径为5cm 的圆中,有一条弦长为6cm,则圆心到此弦的距离为 . A. 3cm B. 4 cm C.5 cm D.6 cm 点、直线和圆的位置关系 1.已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2.已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3.已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4.已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . 个 个 个 D.不能确定 5.一个圆的周长为a cm,面积为a cm 2,如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 不能确定 6.已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系? D B C A O ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D ? C B A O

《圆》知识点归纳及相关题型整理

第五章中心对称图形(二) ——知识点归纳以及相关题目总结 一、和圆有关的基本概念 1.圆: 把线段OP的一个端点O固定,使线段OP绕着点O在平面内旋转1周,另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。其中,定点O叫做圆心,线段OP叫做半径。 以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”。 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。 3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。 4.弦:连接圆上任意两点的线段。 5.直径:经过圆心的弦。 6.弧:圆上任意两点间的部分。 优弧:大于半圆的弧。 劣弧:小于半圆的弧。 半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。 7.同心圆:圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆。 8.等圆:能够重合的两个圆叫做等圆。(圆心不同) 9.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。(在大小不等的两个圆中,不存在等弧。 10.圆心角:顶点在圆心的角。 11.圆周角:顶点在圆上,两边与圆相交的角。 12.圆的切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长。 13.正多边形: ①定义:各边相等、各角也相等的多边形 ②对称性:都是轴对称图形;有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。 14.圆锥: ①:母线:连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。 ②:高:连接顶点与底面圆的圆心的线段。 15.三角形的外接圆:三角形三个顶点确定一个圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

16.三角形的内切圆:与三角形各边都相切的圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形。 二、和圆有关的重要定理 1.圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。 2.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。 3.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 5.圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 6.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。 垂径定理的实质可以理解为:一条直线,如果它具有两个性质:(1)经过圆心;(2)垂直于弦,那么这条直线就一定具有另外三个性质:(3)平分弦,(4)平分弦所对的劣弧,(5)平分弦所对的优弧。 推论:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 7.同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半。 8.直径(或半圆)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。 9.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 10.确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个.这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。 三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等。 11.三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点 12.圆的切线垂直于经过切点的半径。 13.经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。

函数的基本性质知识点和典型例题

学生姓名: 年级: 班型:1对1 上课时间: (第 次课) 剩余课时: 上课内容:函数的基本性质 一、函数的单调性: 1、定义域为I 的函数f (x )在区间D 上的增减性 (1)共同条件:12 , ,D I x x D ??↓?∈?任意 (2)假设前提:12x x <。 (3)判断依据: ①若__________________,则f (x )在区间D 上是增函数; ②若__________________,则f (x )在区间D 上是增函数。 2、单调区间 如果函数y=f (x )在区间D 上是增函数或减函数,就说f (x )在区间D 上具有(严格的)___________,区间D 叫做f (x )的__________。 思考探究 1、把增(减)函数定义中的“任意两个自变量12,x x ”换成“存在两个自变量12,x x ”还能判断函数是增(减)函数吗? 2、把增(减)函数定义中的“某个区间D ”去掉,其余条件不变,能否判断函数的增减性? 3、所有的函数都具有单调性吗? 自主测评 1、下列说法正确的是( ) A 、定义在(,)a b 上的函数f (x ),若存在12x x <时,有12()()f x f x <,那么f (x )在(,)a b 上为增函数 B 、定义在(,)a b 上的函数f (x ),若有无穷多对12,(,)x x a b ∈使得12x x <时,有12()()f x f x <,那么f (x )在(,)a b 上为增函数 C 、若f (x )在区间I 1上为增函数,在区间I 2上也为增函数,那以f (x )在I 1 I 2上也一定为增函数 D 、若f (x )在区间I 上为增函数,且1212()()(,)f x f x x x I <∈,那么12x x <

圆的基本性质练习题一

圆的基本性质练习 一、看准了再选 1..如图,⊙O中,ABDC是圆内接四边形,∠BOC=110°,则∠BDC的度数是() A.110° B.70° C.55° D.125° 2.如图,⊙O的直径CD过弦EF的中点G且EF⊥CD,若∠EOD=40°,则∠DCF等于() A.80° B. 50° C.40° D. 20° 3.直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径,则直线a与⊙O的位置关系是() A、相离B、相切C、相切或相交D、相交 4.在⊙O中,弦AB垂直并且平分一条半径,则劣弧AB的度数等于() A.30° B.120° C.150° D.60° 5.如图,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B,C?则BC=(). A.32 B.33 C. 3 2 3 D . 33 2 6..如图所示,∠1,∠2,∠3的大小关系是(). A.∠1>∠2>∠3 B.∠3>∠1>∠2 C.∠2>∠1>∠3 D.∠3>∠2>∠1 7..如图,已知∠BAC=45°,一动点O在射线AB上运动(点O?与点A不重合),设OA=x,如果半径为1的圆O与射线AC有公共点,那么x的取值范围是() A.02 8.如图,AB、AC与⊙O相切于点B、C,∠A=50°,点P是圆上异于B、C的一动点,则∠BPC的度数是() O C F G D E A P B C O

A .65° B .115° C .65°或115° D .130°或50° 9如图,PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ,AC 是⊙O 的直径,连结AB 、BC 、OP ,则与∠PAB 相等 的角有( )个。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 10.边长分别为3,4,5的三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为( ). A .1:5 B .2:5 C .3:5 D .4:5 11.如图所示,圆弧形桥拱的跨度AB=12m ,拱高CD=4m ,则拱桥的直径为( ). A .6.5m B .9m C .13m D .15m 二.想好了再规范的写画 12.如图所示,线段AD 过圆心O 交⊙O 于D ,C 两点,∠EOD=78°,AE 交⊙O 于B ,? 且AB=OC ,求∠A 的度数. O E D C B A 13.如图AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,OD ⊥AB 于O ,交AC 于D ,OD=2,∠A=30°,求CD 。 14.如图,已知在Rt △ABC 中,AC=12,BC=9,D 是AB 上一点,以O 为圆心,BD 为直径的⊙O 切AC 于E ,求AD 的长。 15.如图所示,AB 是⊙O 的直径,AB=AC , D , E 在⊙O 上,说明BD=DE C E A D O B · B A C D O

二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)

二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一:二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,,特别注意a不为零,那么y叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点: 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-2x-3, (1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图; (2)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: (3)根据第(1)题的图象草图,说 出 x 取哪些值时,① y=0;② y <0;③ y>0

知识点二:二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数, (2) 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时,即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果 没有交点,则不能这样表示。 (3)顶点式:)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数, 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。 【例1】 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A (1,0),B(3,0)两点,且过(-1,16),求抛物线的解析式。 【例2】 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),顶点C 是矩形DEFG 上(包括边界和内部)的一个动点,则: (1)abc 0 (>或<或=) (2)a 的取值范围是 ? 【例3】 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点(0,1)的是 ( ) A.y = (x ? 2)2 + 1 B .y = (x + 2)2 + 1 C .y = (x ? 2)2 ? 3 D.y = (x + 2)2 – 3

圆的知识点总结与典型例题

圆的知识点总结 (一)圆的有关性质 [知识归纳] 1. 圆的有关概念: 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴;圆是以 圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧; 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论 1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就可推 出另外三个:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径);④ 平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中,满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等;②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或两 条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等; 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90 °的圆周角所对的弦是直径;推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对 角。 探8.轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹。 1)平面内,到一定点的距离等于定长的点的轨迹,是以这个定点为圆心,定长为半径的圆; 2)平面内,和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线; 3)平面内,到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线。 [例题分析] 例1.已知:如图1,在。O中,半径0M丄弦AB于点N。 图1 ①若AB = , ON = 1,求MN的长; ②若半径0M = R,/ AOB = 120。,求MN的长。 解:①??? AB =,半径0M 丄AB,二AN = BN =

一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解

一次函数的图象和性质 一、知识要点: 1、一次函数:形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。 注意:(1)k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1; (2)当b=0时,y=kx,y叫x的正比例函数。 2、图象:一次函数的图象是一条直线, (1)两个常有的特殊点:与y轴交于(0,b);与x轴交于(-,0) (2)由图象可以知道,直线y=kx+b与直线y=kx平行,例如直线:y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 3、性质: (1)图象的位置: (2)增减性 k>0时,y随x增大而增大 k<0时,y随x增大而减小 4.求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程,再转化为函数解析式,此类题一般在没有写出函数解析式前无法(或不易)判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。

“待定系数法”的基本思想就是方程思想,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程(组)来解决,题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数,一般就需列出几个含有待定系数的方程,本单元构造方程一般有下列几种情况: ①利用一次函数的定义 构造方程组。 ②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标,即由b来定点;直线y=kx+b平行于y=kx,即由k来定方向。 ③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 ④利用题目已知条件直接构造方程。 二、例题举例: 例1.已知y=,其中=(k≠0的常数),与成正比例,求证y与x也成正比例。 证明:∵与成正比例, 设=a(a≠0的常数), ∵y=, =(k≠0的常数), ∴y=·a=akx, 其中ak≠0的常数, ∴y与x也成正比例。 例2.已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1,判断 =(3-)是什么函数,写出两个函数的解析式,并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。 解:依题意,得 解得 n=-1, ∴=-3x-1,

中考数学-圆的基本性质和计算经典练习题

8错误!未指定书签。?如图,方格纸中4个小正方形的边长均为 1, 则图中阴影部分三个小 扇形的面积和为 (结果保留n ) 中考数学 圆的基本性质和计算经典练习题 一、填空题 1错误!未指定书签。?如图,在O O 中,已知 OAC 20 ° , OA // CD ,则 AOD ? 圆心,C 是AB 上一点,0C 丄AB ,垂足为D , AB 300m, CD 50m,则这段弯路 的半径是 m 3错误!未指定书签。?如图,AB 为O O 的直径,点 C , D 在O O 上, BAC 50°,则 ADC 4错误!未指定书签。?如图所示,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为 1的O O 的圆 心O 在格点上,则/ AED 的正切值等于 5错误!未指定书签。. 若O 为ABC 的外 心 D C, I ■ ■ BOC 60 ,则 BAC 6错误!未指定书签。? 使吨AB, PC 切 C 如图,AB 为半圆 半圆O 于点C, O 的直径,延长AB 到点P, 点D 是 A C 上和点C 不重 合 的一点,贝y D 的度数为 7错误!未指定书签。 .如图, 在 Rt A ABC 中, BAC 90o , BC 6,点D 为BC 中点, 将厶ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转120° 得到△ ABD ,则点 D 在旋转过程中所经过 的路程为 ?(结果保留 ) 晶,点O 是这段弧的 第1题 2错误!未指定书签。

9错误!未指定书签。?矩形ABCD 勺边 AB=8, AD=6,现将矩形 ABCD 放在直线l 上且沿着I 向右作无滑动地翻滚,当它翻滚至类似开始 的 位置 A 1 B 1 C 1 D 1时(如图所示),则顶点A 所经过的路线长是 __________ . 二、选择题 10错误!未指定书签。?如图,O O 内切于 △ ABC ,切点分别为D , E , F .已 知 B 50° , C 60° ,连结 C,则AB 的长为 O 的位置关系是 为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目, 她打算剪去部分扇形纸片后, 利用剩下的 纸片制作成一个底面半径为 10cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠),那么剪去的扇形纸片 的圆心角为( ). A 9° B 、18° C 63° D 72 三、解答题 第10题 第11题 12题 第13题 11错误!未指定书签。 .如图,两个同心圆的半径分别为 3cm 和 5cm, 弦AB 与小圆相切于点 40cm Ax -A 1 1 x V 1 OE, OF , DE , DF ,那么 EDF 等于 ( ) A. 40° B. 55° C. 65 D. 70° A. 4cm .5cm C. 6cm .8cm 12错误!未指定书签。 ?如图,在直角坐标系中,O O 的半径为 1,则直线 A.相离 E.相交 C.相切 D. 以上三种情形都有 可能 13错误!未指定书签。 ?现有30%圆周的一个扇形彩纸片,该扇形的半径为 40cm 小红同学

初二函数知识点及经典例题.

第十八章 函数 一次函数 (一)函数 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x 和y ,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x 称为自变量,把y 称为因变量,y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数,只要看X 取值确定的时候,Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 5、函数的解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象. 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值); 第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。 8、函数的表示方法 列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。 图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 (二)一次函数 1、一次函数的定义 一般地,形如y kx b =+(k ,b 是常数,且0k ≠)的函数,叫做一次函数,其中x 是自变量。当0b =时,一次函数y kx =,又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式. ⑵当0b =,0k ≠时,y kx =仍是一次函数. ⑶当0b =,0k =时,它不是一次函数. ⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数.

圆的知识点总结史上最全的

A 图4 图5 圆的总结 集合: 圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹: 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆; 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线; - 3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 dr 点A 在圆外 / 直线与圆的位置关系: 直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 dR+r # 外切(图2) 有一个交点 d=R+r 相交(图3) 有两个交点 R-r

D B B A 垂径定理: 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; / (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD " 圆心角定理 ~ 圆周角定理 圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即:∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧 ~ 即:在⊙O 中,∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径 即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 " BC BD =AC AD =

最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题(汇编)

函数及基本性质 一、函数的概念 (1)设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到 B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. (2)函数的三要素:定义域、值域和对应法则. 注意1:只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ) ⑴3) 5)(3(1+-+=x x x y ,52-=x y ; ⑵111-+= x x y ,)1)(1(2-+=x x y ; ⑶x x f =)(,2)(x x g =; ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ,52)(2-=x x f 。 A .⑴、⑵ B .⑵、⑶ C .⑷ D .⑶、⑸ 2:求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ①()f x 是整式时,定义域是全体实数.如:943)(2-+=x x x f ,R x ∈ ②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.如:()6 35 -= x x f ,2≠x ③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.如()1432+-=x x x f , 13 1 >=x x x f a ,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大 于零且不等于1。如:( ) 2 12 ()log 25f x x x =-+ ⑤tan y x =中,()2 x k k Z π π≠+ ∈.

2018中考复习-圆的基本性质练习题

1、(2017黄冈)已知:如图,在⊙O 中,0 ,70OA BC AOB ⊥∠=,则A D C ∠的度数为( ) A . 30° B . 35° C. 45° D .70° 解:∵OA ⊥BC ∴⌒BC =⌒AC ∵∠AOB=70° ∴∠ADC=∠AOB=35° 故选:B . 2、(2017毕节)如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,∠ACD=30°,则∠BAD 为( ) A .30° B .50° C .60° D .70° 解:连接BD , ∵∠ACD=30°, ∴∠ABD=30°, ∵AB 为直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°. 故选C .

3、如图,O 为原点,点A 的坐标为(3,0),点B 的坐标为(0,4),⊙D 过A 、B 、O 三点,点C 为⌒ABO 上一点(不与O 、A 两点重合),则cosC 的值为( ) A .43 B .53 C .34 D .54 如图,连接AB , ∵∠AOB=90°,∴AB 为圆的直径, 由圆周角定理,得∠C=∠ABO , 在Rt △ABO 中,OA=3,OB=4,由勾股定理,得AB=5, 5 4 . 故选D . 4、(2016南宁)如图,点A ,B ,C ,P 在⊙O 上,CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,∠DCE =40°,则∠P 的度数为( ) A .140° B.70° C.60° D.40° 解:∵CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,∠DCE=40°, ∴∠DOE=180°﹣40°=140°, ∴∠P=∠DOE=70°.故选B .

中考攻略:初中数学函数知识点大全+典型例题

初中数学函数知识点大全+典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,,特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点: 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ,再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称

点A 、B ,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式:口诀----- 一般 两根 三顶点 (1)一般 一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数, (2)两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时,即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点,则不能这样表示。 a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 (3)三顶点 顶点式:)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数, 知识点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当 a b x 2-=时,a b a c y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤,那么,首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内,若在此范围内,则当x=a b 2-时,a b a c y 442-=最值;若不在此范围内,则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性,如果在此范围内,y 随x 的增大而增大,则当2x x =时, c bx ax y ++=222最大,当1x x =时,c bx ax y ++=121最小;如果在此范围内,y 随x 的增大而减 小,则当1x x =时,c bx ax y ++=121最大,当2x x =时,c bx ax y ++=222 最小。 知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质

圆知识点总结及典型例题.docx圆知识点总结及典型例题

《圆》章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; (补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂 线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ?d r ? 点A 在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ?d r >?无交点; 2、直线与圆相切 ?d r =?有一个交点; 3、直线与圆相交 ?d r

四、圆与圆的位置关系 外离(图1)?无交点 ?d R r >+; 外切(图2)? 有一个交点 ?d R r =+; 相交(图3)? 有两个交点 ?R r d R r -<<+;内切(图4)? 有一个交点 ?d R r =-; 内含(图5)? 无交点 ?d R r <-; 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 图1 图 3 r R d 图2

圆基本性质(竞赛)

1 / 3 圆的基本性质 〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质 〖大纲要求〗 1. 正确理解和应用圆的点集定义,掌握点和圆的位置关系; 2. 熟练地掌握确定一个圆的条件,即圆心、半径;直径;不在同一直线上三点。一个 圆的圆心只确定圆的位置,而半径也只能确定圆的大小,两个条件确定一条直线,三个条件确定一个圆,过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一; 3. 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质:同(等)圆中半径相等、直径相等直径是半径的2倍;直径是 最大的弦;圆是轴对称图形,经过圆心的任一条直线都是对称轴;圆是中心对称图形,圆心是对称中心;圆具有旋转不变性;垂径定理及其推论;圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系; 4. 掌握和圆有关的角:圆心角、圆周角的定义及其度量;圆心角等于同(等)弧上的 圆周角的2倍;同(等)弧上的圆周角相等;直径(半圆)上的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 5. 掌握圆内接四边形的性质定理:它沟通了圆内外图形的关系,并能应用它解决有关 问题; 6. 注意:(1)垂径定理及其推论是指:一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦” ③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件,则必具有另外三个结论(当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制),条理性的记忆,不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用,垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据;(2)有弦可作弦心距组成垂径定理图形;见到直径要想到它所对的圆周角是直角,想垂径定理;想到过它的端点若有切线,则与它垂直,反之,若有垂线则是切线,想到它被圆心所平分;(3)见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角,要想到应用圆内接四边形的性质。 典型例题 1.一个点到圆的最大距离为11cm ,最小距离为5cm,则圆的半径为( ) (A)16cm 或6cm, (B)3cm 或8cm (C)3cm (D )8cm 2.P ∠与⊙O 交于A ,B ,C ,D 四点,AQ ,CQ 为圆的两条弦,弧BQ 的度数为,42? 弧QD 的度数为,38?求__________=∠+∠Q P 3.如图,⊙O 中直径AB 垂直于弦CD ,若AB=10,CD=6,则BE 的长为________[1] 4.如图,正方形CDEF 的边CD 在半圆O 的直径上,正方形的过长为1,AC=a, BC=b, 在 5)4(;1)3(;5)2(;1)1(22=+==+=-b a ab b a b a ,各式中成立的个数为_______[3] 5。如图,四过形内接于⊙O, AD 为直径, 若?=∠60CBE , 则圆心角=∠AOC ________]120[? 6.BC 为半圆O 的直径, A 、D 为半圆上的两点, AB=3, BC=2, 则∠ D=___________ ]150[?

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