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五年级奥数中国剩余定理习题

第二十讲中国剩余定理

1、有一个数，除于3余数是1，除以4余数是3，这个数除于12余数是多少？

2、一个数能被

3、5、7整除，若用11去除则余1，这个数最小是多少？

3、求被6除余4，被8除余6，被10除余8的最小整数？

4、一个两位数，用它除58余2，除73余1，这个两位数是多少？

5、一筐苹果，如果按5个一堆放，最后多出3个。如果按6个一堆放，最后多出4个，

如果按7个一堆放，还多出1个。这筐苹果至少有多少个？

6、一盒围棋子，三只三只数多二只，五只五只数多四只，七只七只数多六只，若此盒

围棋子的个数在200到300之间，问有多少围棋子？

7、五年级两个班的学生一起排队出操，如果9人排一行，多出一个人；如果10人排

一行，同样多出一个人。这两个班最少共有多少人？

8、把几十个苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个，每份4个余3

个。这对苹果共有多少个？

9、有一筐鸡蛋，当两个两个取、三个三个取、五个五个取时，框内最后都是剩一个鸡

蛋；当七个七个取时，框里最后一个也不剩，已知框里的鸡蛋不足400个，那么框

内原来共有多少个鸡蛋？

10、有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是

剩下3个。这盒乒乓球至少有多少个？

11、除于3余1，除以7余4的最小三位数是多少？

12、有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

五年级奥数.数论.中国剩余定理及弃九法(A级).学生版

一、中国剩余定理——中国古代趣题 1) 趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。” 此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。 2) 趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．” 这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得知识框架中国剩余定理及弃九法

什么是中国剩余定理

什么是中国剩余定理？

剩余定理详细解法中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。问物几何？意思是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最后剩二个，问这堆东西有多少个？你知道这个数目吗？《孙子算经》这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现，针对这道题给出的解法是：N=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23 如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择： 70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当70×2时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当21×3时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当15×2时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2×105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

小学数学位值原理.教师版

5-7-1.位值原理教学目标 1.利用位值原理的定义进行拆分 2.巧用方程解位值原理的题知识点拨位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。 3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲模块一、简单的位值原理拆分【例1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。这个两位数的各位数字的和是。【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。【答案】10 【例2】学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上）【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第5题

五年级奥数.数论.中国剩余定理及弃九法(A

五年级奥数.数论?中国剩余定理及弃九法（A 【例门将1至2（X）8这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数； 12345678910111213 - 20072008,试求这个多位数除以9的余数. 【考氏】弃九法【堆废】3冕【題型】解察【妙析】以19992000 IX个八伎数为例，它放9冷的余数等于（149厶949424040 + 0）被9除的余数，但是由于1999与（14-9 + 94-9）^ 9徐的余数相同，20CO与（2 4-04 04-0J被9除的余數相同，曲以19992000就与（iw 2（扌械9除的余数相同.由此可得.从1开於的自然数12345678910111213?- 2OO72OOS破9於的余数与荊2008个自然敷之和除以9的余秋相同.植猎等差数列求和公式，这个和为：（12008）、2008 =2017036 ,它秋9除的余數为1?另外还可以 2 利用连埃9个自然敛之和必能坡9楚冷逗个性质，籽腹多位数分成123456789, 101112131415161718? ................... . 199920002001200220032004200520062007. 2008 爭数，可见它放 9 除的余数与2008被9除的余数相同.因此，此数被9冷的余数为1? 【答案】1 I［矶固H连埃写出从I开始的自然敷,写到2009时停止,得到一个多位1234567891011-19992000, 请说明：这个多位数除以3,得到的余数是几？为什么？【考点】弁九法【难度】3星【题型】解答【关坡词】第六屈，希空杯［分析】因为连续3个白然歎可以被3整除，而且最后一个白產數祁是3的信数，因为1998是3的倍數，所以123456789101 1…W9M是3的倍数，又因为 1234567?9101 1 I9992O

中国剩余定理问题的解题技巧

【问题】有１个数，除以７余２．除以８余４，除以９余３，这个数至少是多少？这种问题称为“中国剩余定理”问题。我一般用两种方法解决这类问题。第一种是逐步满足法，方法麻烦一点，但适合所有这类题目。第二种是最小共倍法，方法简单，但只适合特殊类型的题目。还有“中国剩余定理”的方法，但它不完善且解法较为复杂，普及应用有一定难度，还不稳定。所以一般不用。下面分别介绍一下常用的两种方法。通用的方法：逐步满足法【问题】一个数，除以5余1，除以3余2。问这个数最小是多少？把除以5余1的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26，…… 然后从小到大找除以3余2的，发现最小的是11. 所以11就是所求的数。先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。好多数学题目都可以用逐步满足的思想解决。特殊的方法：最小公倍法情况一【问题】一个数除以5余1，除以3也余1。问这个数最小是多少？（1除外）除以5余1：说明这个数减去1后是5的倍数。除以3余1：说明这个数减去1后也是3的倍数。所以，这个数减去1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数减去1后就是3和5的最小公倍数。即这个数减去1后是15，所以这个数是15＋1=16. 情况二

【问题】一个数除以5余4，除以3余2。问这个数最小是多少？这种情况也可以用特殊法。数除以5余4，说明这个数加上1后是5的倍数。数除以3余2，说明这个数加上1后也是3的倍数。所以，这个数加上1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数加上1后就是3和5的最小公倍数。即这个数加上1后是15，所以这个数是15－1=14. 多个数的，比如3个数的，有时候其中两个可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出满足两个条件的数后再用通用的方法求满足最后一个条件的数。所以有时候特殊法和通用法混合使用。在使用的过程中如果能灵活运用余数问题的技巧，会非常有利于解题。我们接下来分析最开始的那个问题。【问题】有１个数，除以７余２．除以８余４，除以９余３，这个数至少是多少？这道题目不能用特殊法，我们用通用法，解题过程中注意余数知识的运用。除以７余２的数可以写成7n＋2。 7n＋2这样的数除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。（余数知识） 7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6（余数知识），则n最小取6。所以满足“除以７余２，除以8余4”的最小的数是7×6＋2=44. 所有满足“除以７余２，除以8余4”的数都可以写成44＋56×m。（想想为什么？）要求44＋56×m除以９余３，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。（余数知识） 56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2（余数知识），则m最小取2。所以满足“除以７余２，除以8余4，除以9余3”的最小的数是44＋56×2=156.

中国剩余定理(孙子定理)

中国剩余定理（孙子定理）问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？简单点说就是，存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求这个数。上面给出了解法。再明白这个解法的原理之前，需要先知道一下两个定理。定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。以上两个定理随便个例子即可证明！现给出求解该问题的具体步骤： 1、求出最小公倍数 lcm=3*5*7=105 2、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=35 35÷3=11......2 //基础数35 （2）105÷5=21 21÷5=4 (1) 定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21*3=63//基础数63 3、105÷7=15 15÷7=2 (1) 定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15*2=30//基础数30 把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数） 35+63+30=128 4、减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下） x=128-105=23 那么满足题意得最小的数就是23了。一共有四个步骤。下面详细解释每一步的原因。（1）最小公倍数就不解释了，跳过（记住，这里讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，比如第一个。105÷3=35。显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最小公倍数。相当于找到了最小的起始值，用它去除以3发现正好余2。那么这个基础数就是35。记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。21是其他数的最小公倍数，但是不能被5整除，用21除以5得到的余数是1，而要求的数除以5应该是余1的。所以余数被扩大，就得到了相应的基础数63。记住这个数的特征，可以被其他数整除但是被5除应该余三。同理，我们得到了第三个基础数23，那么他的特征就是：可以被其他数整除，但是不能被7整除，并且余数为2。（3）第三步基础数加和，为什么要这样做呢？利用就是上面提到的定理1。 35+63+30=128。对于3来说，可以把63+30的和看作一个整体，应该他们都可以被3整除。看着上面写出的三个数的特征，运用定理1来说，就是在35的基础上加上一个可以被3整除的倍数，那么得到的结果依然还是满足原先的性质的，就是128除以同样还是余2的。同理，对于5还说，这个数被除之后会剩余3；对于7来说，被除之后剩余2。所以说，我们当前得到的这个数是满足题目要求的一个数。但是这个数是不是最小的，那就不一定了。（4）应该不能确定是不是最小的数，这个时候就要用到他们的最小公倍数了。最小公倍数顾名思义，一定是一个同时被几个数整除的最小的一个数，所以减去它剩余下来的余数还是符合题

小学奥数：中国剩余定理

在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。 ① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20，23… 它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11… 除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25，29… 它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，…. 一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案. ②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23，26… 再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23，28… 这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23，30… 就得出符合题目条件的最小数是23. 事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23. 那么韩信点的兵在1000-1500之间，可能是105×10+23=1073人问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三”术曰：三三数剩一置几何？答曰：五乘七乘二得之七十。五五数剩一复置几何？答曰，三乘七得之二十一是也。七七数剩一又置几何？答曰，三乘五得之十五是也。三乘五乘七，又得一百零五。则可知已，又三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数

六下奥数1中国剩余定理

六下奥数1 论述中国剩余定理的形成及对教育的影响摘要：“中国剩余定理”是由秦九韶从“孙子定理”的基础上推广而来的，本文从论述中国剩余定理的形成到中国剩余定理的主要方法和对现代教育的影响来写。中国剩余定理在高中有初步的基础应用，在大学中的初等数论中该定理得到了仔细的讲解。中国剩余定理的思想方法和原则不仅有光辉的历史意义,而且在近代数学中仍然有着重大影响和作用。引言随着数学学科的发展，数学方面的知识得到了不断的更新和强化。在数学发展史上，剩余问题（即：在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数，要求适合条件的这个被除数。这类问题统称剩余问题）曾经困扰过人们很长一段时间。这个问题的解决，是我们中国人迈出了开拓性的第一步。如果说，一部中国数学发展史像一条源远流长的河流，那么几千年来祖先们取得的辉煌成就，就是这河流中耀眼的浪花。在祖先取得的成就中有一个“中国剩余定理”。大家都知道，“勾股定理”最早是由我国西周时期的商高发现的，但国外却称其为“毕达哥拉斯定理”，法国称为“驴桥定理”，埃及称为“埃及三角形”等。还有“增乘开方法”，最早是由我国宋代的贾宪发明的，但现代数学却称其为“霍纳法”，贾宪的发明比霍纳早了800年。而中国剩余定理则是唯一一个以我国国名命名的定理，大家一定对这个定理很感兴趣，很想知道关于这个定理的故事。现在我就为大家简单介绍一下“中国剩余定理”。 1、中国剩余定理的简介及形成在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》是算经十书之一，又作《孙子算术》。现有传本《孙子算经》分上、中、下共3卷。该书作者和确切成书年代均无法考证，大约成书于公元400年前后。中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个数。《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵？因为《孙子算经》对这类问题的研究只是初具雏形，还远远谈不上完整，其不足之处在于：（1 ）没有把解法总结成文，致使后人研究多凭猜测；

小学四年级奥数第13讲：位值原理

位值原理叁仟陆佰伍拾捌 3 6 5 8 加油站位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数

的原则，称为写数的位值原理. 【例1】(★) 填空: ⑴ 123＝1个（）＋2个（）＋3个（） ⑵234＝（）个100＋（）个10＋（）个1 ⑶24＝2×（）＋4×（）【例2】(★ ★) : ⑴ 30300 3 3 ⑵ 22030 2 2 3 ⑷657＝（）×100＋（）×10＋（）×1 2 3 ⑸ （）＝5×100＋7×10＋9×1 ⑹ 23＋45＝（）×10＋（）×1 ⑺ 234＋321＝（）×100＋（）×10＋（）×1 ＝（）×111 ⑶ abc 100 10+ 1 ⑷ abcd a b c d ⑸ 1

【例3】（★★★）【例5】(★★★)(希望杯五年级一试试题） ⑴ 三位数abc比三位数cba小99，若a,b,c彼此不同，则abc最大是_____。 ⑵a b a b 98790807 【例6】(★★★★) 【例4】(★★★) 计算：(123456＋234561＋345612＋456123＋561234＋612345)÷7 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数.若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小至少是多少？最大的至多是多少？【例7】(★★★★★)(希望杯四年级二试试题) 本讲总结数abcd，abc，ab，a依次表示四位数、三位数、两位数及一位abcd abc ab a 1787，那么满足条件的是多少？ abcd a c=a c 重要应用： ①计算——分位计算 ②代数化表示——分类讨论

20181213小学奥数练习卷(知识点：孙子定理[中国剩余定理])含答案解析.doc.doc

. . 20181213小学奥数练习卷（知识点：孙子定理[中国剩余定理]）含答案解析小学奥数练习卷（知识点：孙子定理[ [ 中国剩余定理] ]））题号一二三总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第 Ⅰ 卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共 4 小题） 1．有一个整数，除以 3 余数是 2，除以 5 余数是 3，除以 7 余数是 4，这个数可能是（） A ．67 B ．73 C ．158 D ．22 2．给出一列数：23+m ，23+2m ，23+3m ，，23+2015m ，这 2015 个数的和除以14 的余数是（）（其中 m 为正整数） A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 3．设 ɑ 是一个满足下列条件的最大的正整数：使得用 ɑ 除 64 的余数是 4；用 ɑ除 155 的余数是 5；用 ɑ 除 187 的余数是 7，则 ɑ=（） A ．10 B ．15 C ．30 D ．60 4．设 m 是一个满足下列条件的最大正整数；用 m 除 64 的余数是 4；用 m 除 55的余数是 5；用 m 除 187 的余数是 7；则 m=（） A ．10 B ．15 C ．30 D ．60 第 Ⅱ 卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共 43 小题） 5．被 4 除余 1，被 5 除余 2，被 6 除余 3 的最小自然数是． 6．如果两个不同自然数的积被 5 除余 1，那么我们称这两个自然数互为模 5 的倒数．比如，37=21，被 5 除余 1，则 3 和 7 互为模 5 的倒数．即 3 与 7都是有模 5 的倒数的数．那么 8，9，10，11，12 中有模 5 的倒数的数为，最小的模 5 的倒数分别为． 7．99799910011003 除以 13 的余数是． 8．一个自然数被 3 除余 2，被 5 除余 4，并且这个数大于 100 且小于 125，那么这个数是． 9．m ，n ，p 是三个不同的正整数，它们除以 13 的余数分别是 3，6，11 那么（m+n ﹣p ）（2m ﹣n+p ）除以 13 的余数是． 10．在 1 到 100 这 100 个数中，被 2，3，5 除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个． 11．在小于 2016 的正整数中，被 63 除后，商和余数相同的数有个． 12．某数加上 31 的和被 9 除的余数是 2，原来这个数被 9 除的余数是． 13．一个数除以 5 余 2，除以 6 余 2，除以 7 余 3，求能满足这三个条件的最小自然数是． 14．满足被 7 除余 3，被 9 除余 4，并且小于 100 的自然数有． 15．若 A 、B 、C 三种文具分别有 38 个，78 和 128 个，将每种文具都平均分给学生，分完后剩下 2 个 A ，6 个 B ，20 个 C ，则学生最多有人． 16．有一筐苹果，甲班分，每人 3 个还剩 11 个；乙班分，每人 4 个还剩 10 个；丙班分，每人 5 个还剩 12 个．那么这筐苹果至少有个． 17．幼儿园的老师给班里的小朋友送来 55 个苹果，114 块饼干，83 块巧克力，同样都平均分发完毕后，还剩 3 个苹果，10 块饼干，5 块巧克力．这个班最多有位小朋友． 18．被 3 除余 2，被 5 除余 4，被 7 除余 4 的最小自然数是． 19．所有三...

(小学奥数)5-5-6 中国剩余定理及余数性质拓展.学生版

1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理 2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用一、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。” 此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．” 这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233?+?+?=，233105128-=，12810523-= 为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a 是一个被3除余a 而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b 是被5除余b ，被3与7整除的数；同理15c 是被7除余c ，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115a b c ++是被3除余a ，被5除余b ，被7除余c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》知识点拨教学目标 5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展

小学奥数的七大模块

奥数的七大模块包括：计算、数论、几何、行程、应用题、计数和杂题模块一：计算模块 1、速算与巧算 2、分数小数四则混合运算及繁分数运算 3、循环小数化分数与混合运算 4、等差及等比数列 5、计算公式综合 6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳 7、比较与估算 8、定义新运算 9、解方程模块二：数论模块 1、质数与合数 2、因数与倍数 3、数的整除特征及整除性质 4、位值原理 5、余数的性质 6、同余问题 7、中国剩余定理（逐级满足法） 8、完全平方数 9、奇偶分析 10、不定方程 11、进制问题 12、最值问题模块三：几何模块（一）直线型 1、长度与角度 2、格点与割补 3、三角形等积变换与一半模型 4、勾股定理与弦图 5、五大模型（二）曲线型 1、圆与扇形的周长与面积 2、图形旋转扫过的面积问题（三）立体几何 1、立体图形的面积与体积 2、平面图形旋转成的立体图形问题 3、平面展开图 4、液体浸物问题模块四：行程模块 1、简单相遇与追及问题 2、环形跑道问题 3、流水行船问题

4、火车过桥问题 5、电梯问题 6、发车间隔问题 7、接送问题 8、时钟问题 9、多人相遇与追及问题 10、多次相遇追及问题 11、方程与比例法解行程问题模块五：应用题模块 1、列方程解应用题 2、分数、百分数应用题 3、比例应用题 4、工程问题 5、浓度问题 6、经济问题 7、牛吃草问题模块六：计数模块 1、枚举法之分类枚举、标数法、树形图法 2、分类枚举之整体法、对应法、排除法 3、加乘原理 4、排列组合 5、容斥原理 6、抽屉原理 7、归纳与递推 8、几何计数 9、数论计数模块七：杂题 1、从简单情况入手 2、对应与转化思想 3、从反面与从特殊情况入手思想 4、染色与覆盖 5、游戏与对策 6、体育比赛问题 7、逻辑推理问题 8、数字谜 9、数独

五年级奥数位值原理

位值原理知识框架当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使像古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会. 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理. 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f. 3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答例题精讲知识点一：位值原理的认识【例 1】填空：

365= ×100+ ×10+ ×1 365=36×+5× =2×+3×＋a×+b×=203 +× 【例 2】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。【例 3】把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来数加起来的和恰好是121，这个两位数的数字和是多少？【巩固】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【例 4】（1）用数字1、2、3各一个可以组成三位数，所有这样的三位数之和是多少？这个和是三位数的数字和的多少倍？（2）有三个不同的数字，用它们组成六个不同的三位数，如果这六个三位数的和是1554，那么这三个数字分别是多少？【巩固】从1-9这九个数字中取出3个，用这三个数字可以组成6个不同的三位数，若这六个三位数之和是2442，则这三个数字的和是多少？

浅析中国剩余定理及其应用

浅析中国剩余定理及其应用李辉（井冈山学院数理学院信息与计算科学 343009）指导老师颜昌元 [摘要]：本文阐述了中国剩余定理的由来，介绍了它的几种解法，及其它在多项式，现代密码学，生活方面的应用. [关键词]：中国剩余定理；解法;多项式；现代密码学引言在中国,以剩余定理为代表的同余理论源远流长,可追溯到《周易》中的卜筮古法.秦九韶说:“圣有大衍,微寓于《易》”,即指此意.另外,同余理论的另一个来源是古代制定历法的需要.实际上,从汉末到宋末1000余年的时间中,有很多天文学家熟悉一次同余式的解法,他们在编制历法时利用它来推算“上元积年”.中国剩余定理对现代数学的研究有很强的启迪意义.特别是在多项式，密码学中的应用非常关键. 一中国剩余定理的由来我国古代《孙子算经》中有一著名而又重要的问题:“今有物不知其数,三三数之剩二、五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何.答曰:二十三”.这一问题可译为:一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2.求适合条件的最小的数.题中还介绍了它的解法:“术曰:三三数之剩二,置一百四十;五五数之剩三,置六十三;七七数之剩二,置三十;并之,得二百三十三,以二百十减之,即得.”意即:物数W=70×2+21×3+15×2-2×105=23.接下来又给出了这类题的一般解法(余数为一的情况):术文说:“凡三三数之剩一,则置七十;五五数之剩一,则置二十一;七七数之剩一,则置十五.一百六以上,以一百五减之,即得.”这个问题及其解法,在世界数学史上占有重要的地位,因此,中外数学家都尊称为“孙子定理”或“中国剩余定理”. 为了比较清楚地了解“中国剩余定理”这一名称的由来,我们不妨先引进同余定义:一般地,若两个整数a、b被同一个大于1的整数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余.记作: a≡b (mod m）应用同余原理,我们把“物不知其数”问题用整数的同余式符号表达出来,是:设N≡2 (mod 3)≡3 (mod 5)≡2 (mod 7),求最小的数N.答案是N=23. 书中问题及其解法,建立起数学模型就是: 设a、b、c为余数, P为整数,则N≡a(mod 3)≡b(mod 5)≡c(mod 7) 的解是: N=70a+21b+15c-105P (1) 现在,我们把上述解法中的a,b,c作一分析:设M=3×5×7,则 70=2×5×7=2×(3×5×7)/3=2×M/3

五年级数学奥数讲义-位值原理与数的进制(学生版)

“位值原理与数的进制” 学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。并学会在其它进制中位值原理的应用。从而使一些与数论相关的问题简单化。一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……， =1二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110) 2 ×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。 n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号

内的。【试题来源】【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba 的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。【试题来源】【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？【试题来源】【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？【试题来源】【题目】用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？【试题来源】【题目】a，b，c分别是0～9中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数字，如果其中五个数字之和是2234，那么另一个数字是几？

小学奥数数论知识点总结

⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5.带余除法一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r，0≤r 当r=0时，我们称a能被b整除。当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r 6.唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n=p1×p2×...×pk 7.约数个数与约数和定理设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么：n的约数个数： d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和：(1+P1+P1+…p1)(1+P2+P2+…p2)… (1+Pk+Pk+…pk) 8.同余定理 ①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b 对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm) ②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 9.完全平方数性质 ①平方差：A-B=(A+B)(A-B)，其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。

中国剩余定理

中国剩余定理孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。中文名孙子定理外文名 Chinese remainder theorem(CRT) 分类数学提出孙子问题一元线性同余方程组又名余数定理目录 .1公式 .2文献 .3交换环上推广 .?主理想整环

.?一般的交换环 .4数论相关 .5例题解析公式用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设是除了m i以外的n- 1个整数的乘积。设为模

的数论倒数( 为模意义下的逆元) 方程组的通解形式为在模的意义下，方程组只有一个解：证明 [1]：从假设可知，对任何，由于

，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数。考察乘积可知：所以满足：这说明

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