第六章实数 6.1平方根 第1课时算术平方根 【知识与技能】 1.了解算术平方根的概念,会用根号表示正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性. 2.了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算或计算器求某些非负数的算术平方根. 【过程与方法】 通过学习算术平方根,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维. 【情感态度】 通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的,通过探究活动培养动手能力和学习兴趣. 【教学重点】 理解算术平方根的概念. 【教学难点】 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根. 一、情境导入，初步认识 教师出示下列问题1,并引导学生分析.问题1由学生直接给出结果.
问题1 求出下列各数的平方. 1,0,(-1),-1/3，3，1/2. 问题2下列各数分别是某实数的平方,请求出某实数. 25,0,4,4/25,1/144,-1/4,1.69. 对学生进行提问,针对学生可能会得出的一个值,由学生互相交流指正,再由教师指明正确的考虑方式. 由于52=25,(-5)2=25，故平方为25的数为5或-5.02=0,故平方为0的数为0. 22=4,(-2)=4，故平方为4的数为2或-2. 问题3 学校要举行美术比赛,小壮想裁一块面积为25dm2的正方形画布画一幅画,这块画布的边长应取多少? 分析：本题实质是要求一个平方后得25的数,由上面的讨论可知这个数为±5,但考虑正方形的边长不能为负数,所以正方形边长应取5dm. 二、思考探究，获取新知 教师归纳出新定义: 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术
二次函数的图像及其三种表达式 学生： 时间： 学习目标 1、熟悉常见的二次函数的图像； 2、理解二次函数的三种表达式 知识点分析 1、.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A （x1，0）和 B （x2，0）的抛物线] 2、一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.） 则称y 为x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 例题精讲 例题1已知函数y=x 2 ＋bx ＋1的图象经过点（3，2）． （1）求这个函数的表达式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x ＞0时，求使y ≥2的x 的取值范围． 例题2、一次函数y=2x ＋3，与二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9． （1）求二次函数的表达式； （2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大． （4）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？ 随堂练习 1．已知函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ） A ．0＜－ a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b 2=1 图① 图② 2.函数y = 21x 2 +2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是 A.y =21(x －1)2+2 B.y =21(x －1)2+2 1
《二次函数的图像（1）》教学设计 教学目标： 1、经历描点法画函数图像的过程； 2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征； 3、掌握2ax y =型二次函数图像的特征； 4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。 教学重点： 2ax y =型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳 教学难点： 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 教学设计： 一、回顾知识 前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。） 引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即 2ax y =入手。因此本节课要讨论二次函数2ax y =（0≠a ）的图像。 板书课题：二次函数2ax y =（0≠a ）图像 二、探索图像 1、 用描点法画出二次函数2x y =和2x y -=图像 ①无论x 取何值，对于2x y =来说，y 的值有什么特征？对于2x y -=来说，又有什么特征？ ②当x 取 1,2 1 ±±等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征？ （2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）. （3） 连线，用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到
2x y =和2x y -=的图像。 2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数22x y =和22x y -=的图像。 学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评） 3、二次函数2ax y =（0≠a ）的图像 由上面的四个函数图像概括出： （1） 二次函数的2ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线， （2） 这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。 （3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y 轴的交点。 （4） 当o a 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x 轴的上方(除顶点外)；当o a 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x 轴的下方(除顶点外)。 （最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆） 三、 课堂练习 观察二次函数2x y =和2x y -=的图像 (2)在同一坐标系内，抛物线2x y =和抛物线2x y -=的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数2ax y =和2ax y -=的图像怎样画更简便？ (抛物线2x y =与抛物线2x y -=关于x 轴对称，只要画出2ax y =与2 ax y -=中的一条抛物线，另一条可利用关于x 轴对称来画) 四、例题讲解 例题：已知二次函数2ax y =（0≠a ）的图像经过点（-2，-3）。 （1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。 （2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。 练习：（1）课本第31页课内练习第2题。 (2)已知抛物线y=ax2经过点A （-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式；
一．教学目标 1.知识与能力 能够作出函数y=ax2+k的图象，并能够理解函数y=ax2+k与y=ax2之间的关系，理解a、k对二次函数图象的影响；能够正确说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2.过程与方法 通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身的特点的认识和对二次函数性质的理解；经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力。 3.情感态度与价值观 通过动手操作，激发学生的学习兴趣，在互动中让学生学会和他人合作、交流，同时让学生在猜想与探究中，体验学习的快乐。 二．教材分析 二次函数是描述变量之间关系的重要数学模型。它的图象是抛物线，通过前两节课的学习，大家不仅会画简单的抛物线，而且还能够通过观察图像了解抛物线的一些性质。 本节课通过对二次函数y=ax2+k的图象的作法和性质的过程探索，进一步将函数的表格、关系式、图像三者联系起来，逐步积累研究函数的图象和性质的经验。 在教学中，运用类比的学习方法，通过与y=ax2的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质， 三．教学重点 能作出y=ax2+k的图象，并能够比较它与y=ax2的异同，理解a与k对于二次函数图象的影响，能说出函数y=ax2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 四．教学难点 能够作出函数y=ax2+k的图象，并总结其性质，还能和函数y=ax2作比较， 五．教学准备多媒体 六．教学过程 教学内容教师行为学生行为设计意图 【创设问题情境，引出新课】 上节课，我们一起学习了函数y=ax2的图象的画法，了解了它们的图象的一些性质，请你告诉大家函数y=2x2与y=-x2图象有哪些相同点和不同点？提出问题，引导 学生回顾已学的 知识。并追问： 你知道y=2x2+1 y=2x2-1有哪些 性质吗？它们的 图象与y=2x2的 图象有什么关 系？ 【板书课题】 积极回忆已 学的知识， 并思考回 答。 对于函数y=ax2（a>0）图象 性质加以总结。这里取a为 正，负数对比，不仅进一步 复习巩固，同时为今天运用 类比教学打下铺垫，提问时 分层回答，不断补充，体现 合作，互助。
一．二次函数的概念 （一）二次函数的定义 1、一般地，形如c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）的函数称为x 的二次函数，其中 x 为自变量，y 为因变量，c b a ,,分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数. 【注意】抛物线的另一定义：在平面内，到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的集合成为抛物线，F 称为抛物线的焦点。l 称为抛物线的准线。 2、任何二次函数都可以整理成c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）的形式． 3、判断函数是否为二次函数的方法： （1）含有一个变量，且自变量的最高次数为2； （2）二次项系数不等于0； 【方法技巧】 第三节 二次函数的图象、性质与解析 【知识梳理】
（3）等式两边都是整式． 4、二次函数自变量x 的取值范围是全体实数． （二）二次函数图象的画法：五点绘图法 1、利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+ 2、确定其开口方向、对称轴及顶点坐标 3、在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、 以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点， 则取两组关于对称轴对称的点）． 二．二次函数的图象性质 （一）二次函数2y ax =0a ≠（）的性质 1、抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是0=x （y 轴）. 2、函数2ax y =的图象与a 的符号关系. （1）当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； （2）当0a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； （2）当0a 时有最小值 a b a c 442 -
课题：1.1二次函数 教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、 合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 x
课题：二次函数图像与性质（二） 复习目标 1、体验从实际问题中抽象出函数关系式的过程，进一步感受数学模型思想和数学应用价值; 2、能够运用二次函数的性质和图象解决实际问题。 复习难点 用二次函数的性质和图象解决实际问题。 复习过程 一、知识点回顾 1. 二次函数的解析式： （1）一般式： ；（2）顶点式： ； （3）交点式： . 2．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得2 24()24b ac b y a x a a -=++，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）. ⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ． 二、复习题组 题组一 1求抛物线 y=2x 2-4x+5 的对称轴和顶点坐标. 2 已知二次函数y=-x 2+4x- 3 ⑴求二次函数图象与坐标轴的交点坐标；⑵当-2≤x ≤0 时,求二次函数y=-x 2+4x-3的最大值和最小值.
3在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0) ⑴求该二次函数的关系式； ⑵ 将该二次函数图象向右平移几个单位长度,可使平移后所得图象经过坐标原点?请直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标. 题组二 1. （2009湖北省荆门市）函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =______． 2. (2009年淄博市） 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ． ①过点(31 )，；②当0x >时，y 随x 的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2． 3. 已知抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________. 4. 已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)图象的顶点P 的横坐标是4,? 图象交x 轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB 的长是( ). A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m 5.已知抛物线y=x 2+(2k+1)x-k 2+k, (1)求证:此抛物线与x 轴总有两个不同的交点. (2)设x 1、x 2是此抛物线与x 轴两个交点的横坐标,且满足x 12+x 22=-2k 2+2k+1. ①求抛物线的解析式. ②此抛物线上是否存在一点P ，使△P AB 的面积等于3，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
第二章 二次函数 《二次函数的图象与性质（第3课时）》 教学设计说明 深圳市翠园中学初中部 黄缨 梁成 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础 学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数2ax y =、函数c ax y +=2的图象和性质，学生在此过程中，已学会用列表、描点的方法作出二次函数的图象，并积累了如何从图象的角度研究函数性质的经验.另外，学生在初二学过图形平移变换的知识，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能.因此，在本节课中，他们可以联系初二已学图形平移变换知识，运用图象变换的观点把二次函数2ax y =的图象经过一定的平移变换，从特殊到一般，得到二次函数k h x a y +-=2)( 的图象和性质. 学生活动经验基础 在上两节课，学生进行了列表、画图等操作活动，引导了学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；学生已初步具备自已通过画图，直观地探索二次函数图象和性质的方法.在本节课中,学生可以继续沿用上节课的活动经验来进一步探索二次函数的图象和性质. 二、教学任务分析 根据教材内容和学生已经具备的知识储备和能力，制定三维目标如下： 知识与技能：学生会画出特殊二次函数2)(h x a y -=和k h x a y +-=2)(的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2ax y =的图象的关系，理解k h a ,,对二次函数图象的影响. 过程与方法：经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生动手
作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力. 情感态度与价值观：体会建立二次函数的图象与表达式之间联系的必要性，发展几何直观.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 教学重点：二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质. 教学难点：二次函数k h x a y +-=2)(图象与图象2ax y =之间的关系，k h a ,,对二次函数图象的影响. 三、教学过程分析 学习数学的过程是一个不断探索、发现、验证的过程,根据“以人为本，以学定教”的教学理念, 在本节课的教学过程中，设计了5个环节：①提出问题,引入新课；②合作探究,发现和验证；③启发引导,形成结论；④巩固提高,拓展延伸；⑤当堂检测.这五个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动学生的参与性. 第一环节: 提出问题,引入新课 1、回忆一下： 二次函数22x y =的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 . 二次函数322+=x y 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 .它图象可以由22x y =的图象向 平移 个单位得到. 2、提出问题：我们已学习过两种类型的二次函数，2ax y =与 c ax y +=2，知道它们都是轴对称图形，对称轴是y 轴，顶点都是原点．还知道 c ax y +=2的图象是函数2ax y =的图象经过上下移动得到的，那么如果将函数2 ax y =的图象左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢?本节课我们就来研究有关问题．
二次函数y a b c的图像 和性质教案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
2＋bx＋c的图像和性质 教学内容 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 教材分析 二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。因此，本节课的内容十分重要。 学情分析 教学目标 1.知识与技能 使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。 2.过程与方法 使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3.情感态度价值观
让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。 教学重难点 重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。 难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b/2a、(－b/2a，4ac－b2/4a) 教学方法和手段 讲授法、练习法 学法指导 讲授指导 教学过程 （一）提出问题导入新课 1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗具有哪些性质? 2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系? 3．不画出图象，你能直接说出函数y＝-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?通过今天的学习你就明白了 （二）学习新知 1、思考：像函数 y＝－4(x－2)2＋1很容易说出图像的顶点坐标，函数y＝-1/2x2-6x+21能画成y=a(x－h)2＋k 这样的形式吗
2010年全国各地数学中考试题分类汇编17 二次函数的图象和性质3 一、选择题 1．（2010湖北鄂州）二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a 、b 异号；②当x =1和x=3时，函数值相等；③4a +b =0，④当y =4时，x 的取值只能为0．结论正确的个数有（ ） 个 A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ． 4 【答案】C 2．（2010湖北省咸宁）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、 B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是 A ．1y ＞2y B ．1y 2y = C ．1y ＜2y D ．不能确定 【答案】A 3．（2010北京） 将二次函数y ＝x 2 －2x ＋3，化为y ＝(x －h )2 ＋k 的形式，结果为（ ） A ．y ＝(x ＋1)2 ＋4 B ．y ＝(x －1)2 ＋4 C ．y ＝(x ＋1)2＋2 D ． y ＝(x －1)2 ＋2 【答案】D 4．（2010山东泰安）下列函数：①3y x =-；②21y x =-；③()1 0y x x =-<；④2 23y x x =-++，其中y 的值随x 值增大而增大的函数有（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 【答案】B 5．（2010四川乐山）.设a 、b 是常数，且b ＞0，抛物线y=ax 2+bx +a 2 -5a -6为下图中四个图象之一，则a 的值为（ ） A. 6或－1 B. －6或1 C. 6 D. －1 【答案】D y x O y x O y x O 1 －1 y x O 1 －1
二次函数 《二次函数的图象与性质（第3课时）》 教学设计说明 长垣县武邱乡中心学校 王钦 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础 学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数2ax y =、函数c ax y +=2的图象和性质，学生在此过程中，已学会用列表、描点的方法作出二次函数的图象，并积累了如何从图象的角度研究函数性质的经验.另外，学生在初二学过图形平移变换的知识，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能.因此，在本节课中，他们可以联系初二已学图形平移变换知识，运用图象变换的观点把二次函数2ax y =的图象经过一定的平移变换，从特殊到一般，得到二次函数k h x a y +-=2)( 的图象和性质. 学生活动经验基础 在上两节课，学生进行了列表、画图等操作活动，引导了学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；学生已初步具备自已通过画图，直观地探索二次函数图象和性质的方法.在本节课中,学生可以继续沿用上节课的活动经验来进一步探索二次函数的图象和性质. 二、教学任务分析 根据教材内容和学生已经具备的知识储备和能力，制定三维目标如下： 知识与技能：学生会画出特殊二次函数2)(h x a y -=和k h x a y +-=2)(的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2ax y =的图象的关系，理解k h a ,,对二次函数图象的影响. 过程与方法：经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生动手
作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力. 情感态度与价值观：体会建立二次函数的图象与表达式之间联系的必要性，发展几何直观.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 教学重点：二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质. 教学难点：二次函数k h x a y +-=2)(图象与图象2ax y =之间的关系，k h a ,,对二次函数图象的影响. 三、教学过程分析 学习数学的过程是一个不断探索、发现、验证的过程,根据“以人为本，以学定教”的教学理念, 在本节课的教学过程中，设计了5个环节：①提出问题,引入新课；②合作探究,发现和验证；③启发引导,形成结论；④巩固提高,拓展延伸；⑤当堂检测.这五个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动学生的参与性. 第一环节: 提出问题,引入新课 1、回忆一下： 二次函数22x y =的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 . 二次函数322+=x y 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 .它图象可以由22x y =的图象向 平移 个单位得到. 2、提出问题：我们已学习过两种类型的二次函数，2ax y =与 c ax y +=2，知道它们都是轴对称图形，对称轴是y 轴，顶点都是原点．还知道 c ax y +=2的图象是函数2ax y =的图象经过上下移动得到的，那么如果将函数2 ax y =的图象左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢?本节课我们就来研究有关问题．
5.4二次函数的图像和性质(1) 教材分析： 本节内容是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质，以及二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，又是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华，还是今后学习的基础，在教材中起着非常重要的作用． 教学设计： 本课一开始先让学生回忆用描点法画函数图象的一般步骤和方法，然后根据表中的各对对应值，在直角坐标系中描出相应的各点，用光滑的曲线连接，画出图象．通过画出图象，让学生分析、归纳二次函数的图象与性质. 教学目标： 知识与技能：1.掌握二次函数的图象的作法及其性质，会根据图象用数学语言表达图象的性 质． 2.能分清当a>0,a<0时图象之间有什么共同点与不同点． 过程与方法：通过对二次函数图象与性质的发现，提高分析、归纳等能力，体验数学中的数 形结合思想的应用. 情感态度和价值观：引导学生养成全面看问题，分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示 和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性． 教学重难点： 重点：能在直角坐标系中，正确画出二次函数的图象，并能说出二次函数的图象的性质. 难点：作二次函数图象时要选取适当的点，选取适当数目的点. 课前准备 教具准备 教师准备PPT 课件 课时安排：4课时 教学过程： 知识回顾： 一次函数:y =kx +b (k ≠0) 图象:直线 反比例函数： (k ≠0)图象:双曲线 问:1．如何画出函数图象呢? 2．如何得到相应的性质呢? 【设计意图】： 通过对一次函数和反比例函数解析式、图象的回顾，一方面巩固学生的旧知，另一方面对本节课的学习起到类比作用. 合作探究一: 二次函数y=ax 2 (a>0)的图象 请同学们用描点法按下列要求画图： k y x
二次函数的图象与性质（3） [本课知识要点] 会画出2 )(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [创新思维] 我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2 ax y =的图象上下平移所得，那 么函数 2)2(21-= x y 的图象，是否也可以由函数 221 x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ [实践与探索] 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． 221x y = ，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示． 它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 回 对于抛物线 2)2(21 += x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时， 函数取得最 值，最 值y= ． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 221x y = … 29 2 21 0 21 2 29 … 2)2(21+=x y … 21 0 21 2 225 8 225 … 2)2(21 -= x y … 225 8 29 2 21 0 21 …
探索 抛物线 2)2(21+= x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平 移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-= x y ，应将抛物线 221 x y =作怎样的平移？ 例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2 )2(3+-=x y 之间的关系吗? 解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2 )2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线23x y -=与2 )2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴 和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由2 3x y -=向左平移2个单位而得的． 2 )(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下： [当堂课内练习] 1．画图填空：抛物线2 )1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2 x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． 22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐 标． [本课课外作业] A 组 1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2 )1(21--=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象； （2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质． 2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线2 21x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2 )1(21 --=x y ？
22.1 二次函数（第二课时） 教学目标： 1.会用描点法画出形如y = ax 2 的二次函数图象，了解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数y = ax 2 的图象特征和性质； 3．在类比探究二次函数y = ax 2 的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想 教学重点：会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，观察图象，得出二次函数y = ax 2 的图 象特征和性质。 教学难点：抛物线的图像特征。 教学过程： 一、问题引新 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么? 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢? 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、学习新知 1、例1、画二次函数y=2x2与y=2x2的图象。（有学生自己完成） 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： 找一名学生板演画图 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? （让学生观察，思考、讨论、交流，） 2、归纳： 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的 顶点．顶点坐标（0，0） 3、运用新知 （1）．观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? （2）．课件出示：在同一直角坐标系中，y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较 （3）．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?（课件出示）让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空； 当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称 轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。 当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______； 当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______
二次函数的图像与性质的教案（3） 【目标】 1. 经历探索二次函数y ＝ax 2(a ≠0)及y ＝a(x-h)2 (a ≠0)的图象作法和性质 的过程； 2. 能够理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝ax 2的图象的关系，了解a,h,k 对 二次函数图象的影响。 3．能正确说出函数 y ＝a(x-h)2的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴。 【重点】 理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝ax 2的图象的关系及性质； 【难点】 理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝a x 2的图象的关系及性质； 同学们还记得一次函数y=2x 与y=2(x-1)的图象的关系吗？ 你能由此推测二次函数2 x y =与y =(x-1)2的图象之间的关系吗？那么 2x y =与y=(x-1)2的图象之间又有何关系？ 动手操作、探究： 在同一平面内画出函数2 x y =与y=(x-1)2的图象。比较它们的性质，你可以 得到什么结论？ 【探究问题1】 形如 的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？ 我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下 平移所得，那么函数2)2(2 1-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移 而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ 1、在平面直角坐标系中，并画出函数2)1(+=x y 的图象。 2、比较它与函数2 x y =的图象之间的关系。 结论： （1）抛物线y=a(x-h)2(a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的形状一样，只是位置不 同，因此抛物线y=a(x-h)2可通过平移抛物线y ＝ax 2(a ≠0)得到。当h ＞0时， 把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向左平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2，当h<0时， 把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向右平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2
二次函数y= ax 2+bx+c 的图象与性质 年级：九年级 执教老师：田老师 【教学目标】 1. 知识与技能 会用配方法确定二次函数y= ax 2+bx+c 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。理解二次函数y= ax 2+bx+c 的性质。 2. 过程与方法 让学生经历配方的过程，掌握抛物线的对称轴和顶点坐标。 3. 情感态度与价值观 培养学生积极探索、合作交流的意识。 【教学重点】 理解、掌握对称轴a b x 2-= , 顶点坐标（a b 2- ，a b ac 442-） 【教学难点】 用配方法确定对称轴、顶点坐标。 【教学过程】 一、温故知新 1. 耐心填一填
2. 抛物线y =－2(x ＋3)2－6的开口 ，对称轴是 ， 顶点坐标为 。 当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大； 当x 时，函数y 有最 值 。 3. 你能说出y =－2x 2＋6x －1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 二、探索新知 1.你能将二次函数 y =－2(x ＋3)2－6化成一般形式吗？ 2. 怎样将二次函数一般式y =－2x 2＋6x －1化成顶点式y=a(x －h)2＋k ？ y =－2x 2＋6x －1 =－2（x 2－3x ＋21 ） 提：提取二次项系数 =－2[x 2－3x ＋223）（－223）（＋21 ] 配：括号内配成完全平方 =－2[（x －23）2－47 ] （加上再减去一次项系数一半的平方） =－2（x －23）2＋2 7 化：化成顶点式 3. 提问： ⑴ 对称轴是 ， 顶点坐标是（ ） ⑵ 当x 等于多少时，函数的值最大？最大值是多少？ 4. 求函数122 12-+-=x x y 的最大值。
二次函数的图像与性质（3） 九年级数学张黎教学目标： 1.能正确说出y=a(x-h)2+k的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标 2.让学生经历y=a(x-h)2+k性质的探究过程，理解其性质及 与y=ax2图像的关系 3.经历探索二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图像关系的过 程，养成学生观察、思考、归纳的思维习惯 教学重点： 理解y=a(x-h)2+k与y=ax2的图像关系 教学难点： 1.理解y=a(x-h)2+k与y=ax2的图像关系 2.能正确说出y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标教学工具：几何画板 教学方法：讨论式、启发式等 教学过程： 一、导入语 同学们好，上节课我们学习了将形如y=ax2(a≠0)的抛物线经过上下平移，掌握了其规律是上加下减，并探索出了平移后图
像的性质，那若经过左右平移呢？其规律又是什么？经左右平移后的图像又有何性质呢？带着这些问题让我们共同走进本节课??????二次函数的图像与性质 二、交流讨论，共探新知 1、请大家观察y=2x2与y=2(x+3)2的图像 议一议 想一想 ⑴两条抛物线的图像有什么相同点与不同点？ ⑵y=2(x+3)2的图像可以看作是由y=2x2的图像经过怎样的平 移而得到？ 几何画板动态演示平移情况
（3）观察这两个函数关系式，你发现的平移前后的关系式有何变化吗？你发现了什么？ 2.请大家观察抛物线y=2x 2与y=2(x-4) 2图像 想一想 ⑴ 两条抛物线的图像有什么相同点与不同点？ ⑵ y=2(x+3) 2的图像可以看作是由y=2x 2的图像经过怎样的平移而得到？ 几何画板动态演示平移情况 左 加 y=2(x +3)2 向左平移3个单位长度 y=2x 2 议一议
26.1 二次函数(3) 教学目标： 1、使学生能利用描点法正确作出函数y = ax2+ b的图象。 2、让学生经历二次函数y = ax2+ bx+ c性质探究的过程，理解二次函数y = ax2+ b的性质及它与函数y = ax2的关系。 重点难点： 会用描点法画出二次函数y = ax2+ b的图象，理解二次函数y= ax2+ b的性质，理解函数y= ax2+ b与函数y= ax2的相互关系是教学重点。 正确理解二次函数y = ax2+ b的性质，理解抛物线y= ax2+ b与抛物线y= ax2的关系是教学的难点。 教学过程： 一、提出问题 1. ___________________________________________ 二次函数y= 2x2的图象是 ,它的开口向 __________________________________________________ ,顶点坐标是______ ;对称轴是 ______ , 在对称轴的左侧，y随x的增大而_________ ，在对称轴的右侧，y随x的增大而__________ ，函数y = ax?与x = ______ 时，取最_______ 值，其最_______ 值是______ 。 2 .二次函数y = 2x2+ 1的图象与二次函数y = 2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标 是否相同？ 二、分析问题，解决问题 问题1:对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？ (画出函数y = 2x2和函数y = 2x2的图象，并加以比较) . . ____________________________________ 2 2 . . 问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y = 2x与y = 2x + 1的图象吗？ 教学要点 1 ?先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y= 2x2的图象。 2 ?教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y = 2x2+ 1的对应值表，并让学生画出函数y= 2x2+ 1的图象. 3 ?教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。 解：(1)列表: x—3—2—10123 2 y = x1882028P18 2 1993l3919 y = x + 1 (2) 描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。 (3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y= 2x2和y = 2x2+ 1的图象。 (图象略) 问题3:当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？ 教师引导学生观察上表，当x依次取一3,—2,—1, 0, 1, 2, 3时，两个函数的函数 值 之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y= 2x2 + 1的函数 值都比函数y = 2x2的函数值大1。 教师引导学生观察函数y= 2x2+ 1和y = 2x2的图象，先研究点(一1, 2)和点(一1 , 3)、点(0 , 0)和点(0 , 1)、点(1 , 2)和点(1 , 3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y= 2x2 + 1的图象上的点都是由函数y = 2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。 问题4:函数y= 2x2+ 1和y = 2x2的图象有什么联系？ 由问题3的探索，可以得到结论：函数y= 2x2+ 1的图象可以看成是将函数y = 2x2的图
数学个性化教学教案 授课时间：年月日备课时间年月日年级九学科数学课时 2 h 学生姓名 授课主题 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质授课教师 教学目标1.会用配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴； 2.能根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标和对称轴公式求函数的顶点坐标和对称轴； 3.会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象； 4.会用待定系数法求二次函数的解析式． 教学重、难点1.通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y=a(x-h)2+k的形式，求出对称轴和顶点坐标． 2.求二次函数的函数关系式，二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质运用． 3.建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题． 教学过程一、【历次错题讲解】 二、【基础知识梳理】 知识点1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 [归纳概括]二次函数y=ax2+bx+c通过配方可转化成形 式. 其图像和性质如下表： 图像 开口 方向 顶点 坐标 对称 轴 增减性最值 a>0 向上 a<0 向下 知识点2确定二次函数的解析式 (1)若已知二次函数的图像上任意三点坐标，则设为一般 式，将三点的坐标代入，列出含有a、b、c的三元一次方程组 求解即可. (2)若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的坐标时，通常设函数解析式为 顶点式. 特别地，当抛物线的顶点是原点时，h=0，k=0，此时可设函数解析式为； 当抛物线的对称轴为y轴时，h= ，此时可设函数的解析式为； 学习札记
课堂练习
课堂练习
本课小结 课后作业布置 课后赏识 评价 课后反馈本节课教学计划完成情况：□照常完成□提前完成 □延后完成，原因___________________________________ 学生的接受程度：□完全能接受□基本能接受 □不能接受，原因___________________________________________ 学生的课堂表现：□很积极□比较积极□一般 □不积极，原因_____________________________________________ 学生上次作业完成情况：完成数量____% 已完成部分的质量____分（5分制） 存在问题_______________________________________配合需求：家长________________________________________________ 学管师________________________________________________