2009年上海市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）
1．（4分）（2009?上海）函数f（x）=x3+1的反函数f﹣1（x）=．
【考点】反函数．
【分析】欲求原函数f（x）=x3+1的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．
【解答】解：∵f（x）=x3+1，
∴x=，
∴x，y互换，得y．
故答案为．
【点评】解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．
2．（4分）（2009?上海）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是a≤1．
【考点】集合关系中的参数取值问题．
【专题】集合．
【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．
【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，
且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．
故答案为：a≤1．
【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（4分）（2009?上海）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件
是x＞且x≠4．
【考点】三阶矩阵．
【专题】计算题．
【分析】根据3阶行列式D的元素a ij的余子式M ij附以符号（﹣1）i+j后，叫做元素a ij的代数余子式，所以4的余子式加上（﹣1）1+1即为元素4的代数余子式，让其大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．
【解答】解：依题意得，（﹣1）2＞0，
即9x﹣24＞0，解得x＞，且x≠4，
故答案为：x＞且x≠4
【点评】此题考查学生掌握三阶矩阵的代数余子式的定义，是一道基础题．
4．（4分）（2009?上海）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式
是．
【考点】程序框图．
【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是根据输入x值的不同，根据不同的式子计算函数值．即求分段函数的函数值．
【解答】解：根据流程图所示的顺序，
程序的作用是分段函数的函数值．
其中输出量y与输入量x满足的关系式是
故答案为：
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
5．（4分）（2009?上海）如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题．
【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．
【解答】解：先画出图形
将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，
BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，
∴∠D1BC=arctan，
故答案为arctan．
【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．6．（4分）（2009?上海）若球O1、O2表面积之比，则它们的半径之比=3．
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题．
【分析】两个球的表面积之比就是半径之比的平方，直径求出半径之比即可．
【解答】解：根据相似比的意义，两个球的表面积之比就是半径之比的平方，所以
=
所以=3
故答案为：3
【点评】本题是基础题，考查相似比的知识，面积之比是相似比的平方，体积之比是相似比的立方．
7．（4分）（2009?上海）已知实数x、y满足则目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣
9．
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x﹣2y，不难求出目标函数z=x﹣2y的最小值．【解答】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，
由z=x﹣2y，得y=x﹣z，
平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z经过点A，
直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，
由得点A（3，6），
当x=3，y=6时，z=x﹣2y取最小值，为﹣9．
故答案为：﹣9
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
8．（4分）（2009?上海）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴
旋转一周所成的几何体体积是．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】根据圆锥的体积公式直接计算即可．
【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．
V=S?h=πR2?h
=π×22×2=．
故答案为：
【点评】本题考查圆锥的体积公式，是基础题．
9．（4分）（2009?上海）过点A（1，0）作倾斜角为的直线，与抛物线y2=2x交于M、N
两点，则|MN|=．
【考点】直线的点斜式方程．
【分析】本题考查直线方程及两点间的距离，只需求出直线方程，与抛物线方程联立，求得两点坐标计算即可．
【解答】解：∵θ=，
∴k=1，
∴直线方程为y=x﹣1，
联立方程
解得：M（），N（），
所以MN=，
故答案为．
【点评】本题较为简单，要求学生熟练掌握直线方程的求法．
10．（4分）（2009?上海）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是．
【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式
化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．
【解答】解：y=2cos2x+sin2x
=1+cos2x+sin2x
=1+
=1+
当=2k，有最小值1﹣
故答案为1﹣
【点评】本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂、利用公式
化简三角函数．
11．（4分）（2009?上海）若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是
．（结果用最简分数表示）
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从7人中选3个人，满足条件的事件是选出的志愿者中男女生均不少于1名，
需要分两类：1男2女或2男1女，利用组合数写出事件数，得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是从7人中选3个人，共有C73种结果，
满足条件的事件是选出的志愿者中男女生均不少于1名，
需要分两类：1男2女或2男1女，共有C51C22+C52C21种结果，
∴所求概率为=．
故答案为：
【点评】本题考查古典概型，这种问题在高考时可以作为一道解答题，古典概型一般要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件，需要用组合数来表示结果．
12．（4分）（2009?上海）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=3．
【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，由此能得到b的值．
【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．
∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，
∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，
∴36=4（a2﹣c2）=4b2，
∴b=3．
故答案为3．
【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．
13．（4分）（2009?上海）已知函数f（x）=sinx+tanx，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣
），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，则当k=14时，f（a k）=0．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】本题考查的知识点是函数的奇偶性及对称性，由函数f（x）=sin x+tan x，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，
我们易得a1，a2，…，a27前后相应项关于原点对称，则f（a14）=0，易得k值．
【解答】解：因为函数f（x）=sinx+tanx是奇函数，
所以图象关于原点对称，图象过原点．
而等差数列{a n}有27项，a n∈（）．
若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27）=0，
则必有f（a14）=0，
所以k=14．
故答案为：14
【点评】代数的核心内容是函数，函数的定义域、值域、性质均为高考热点，所有要求同学们熟练掌握函数特别是基本函数的图象和性质，并能结合平移、对称、伸缩、对折变换的性质，推出基本函数变换得到的函数的性质．
14．（4分）（2009?上海）某地街道呈现东﹣西、南﹣北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（﹣2，2），（3，1），（3，4），（﹣2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）（3，3）为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．
【考点】两点间距离公式的应用．
【专题】直线与圆．
【分析】设发行站的位置为（x，y），则可利用两点间的距离公式表示出零售点到发行站的距离，进而求得在（3，3）处z取得最小值．
【解答】解：设发行站的位置为（x，y），6个零售点到发行站的距离为Z，
则z=|x+2|+|y﹣2|+|x﹣3|+|y﹣1|+|x﹣3|+|y﹣4|+|x+1|+|y﹣3|+|x﹣4|+|y﹣5|+|x﹣6|+|y﹣6|
=|x+2|+|x﹣3|+|x﹣3|+|x+1|+|x﹣4|+|x﹣6|+|y﹣2|+|y﹣1|+|y﹣4|+|y﹣3|+|y﹣5|+|y﹣6|
x=3，3≤y＜4时，取最小值，
∴在（3，3）处z取得最小值．
故答案为（3，3）．
【点评】本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了学生创造性思维能力和逻辑思维能力．
二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）
15．（4分）（2009?上海）已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（）
A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】分类讨论．
【分析】当k﹣3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k﹣3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值．
【解答】解：由两直线平行得，当k﹣3=0时，两直线的方程分别为y=﹣1 和y=，显然两直线平行．
当k﹣3≠0时，由=≠，可得k=5．综上，k的值是3或5，
故选C．
【点评】本题考查由直线的一般方程求两直线平行时的性质，体现了分类讨论的数学思想．
16．（4分）（2009?上海）如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是（）
A．B．C．D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】计算题；图表型．
【分析】本题的直观图是一个三棱锥，且存在同一点出发的三条棱两两垂直，由三视图的定义判断出其正视图形状即可
【解答】解：由已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，
由直观图可以看出，其正视图是一个直角三角形，水平的直角边长为3，与其垂直的直角边长为4
由此特征知对四个选项逐一判断即可
对于选项A，是从左往右看的投影，是侧视图，故不是其正视图
对于选项B，符合三棱锥正视图的特征
对于选项C，是从上往下看的投影，是俯视图，故不是其正视图
对于选项D，不是三棱锥的三视图，
故选：B．
【点评】本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视，本题特征是据直观图选出正确的三视图．
17．（4分）（2009?上海）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1
【考点】轨迹方程．
【专题】直线与圆．
【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），
则
代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．
故选A．
【点评】本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．
18．（4分）（2009?上海）有专业机构认为甲型N1H1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）
A．甲地：总体均值为3，中位数为4
B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】压轴题．
【分析】平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简单的描述，平均数描述集中趋势，方差描述波动大小．
【解答】解：假设连续10天，每天新增疑似病例的人数分别为x 1，x 2，x 3，…x 10．并设有一天超过15人，不妨设第一天为16人，根据计算方差公式有s 2
=
[（16﹣5）2
+（x 2﹣5）
2
+（x 3﹣5）2
+…+（x 10﹣5）2
]＞12，说明乙地连续10天，每天新增疑似病例的人数都不超过15人． 故选：B ．
【点评】根据题意可知本题主要考查用数字特征估计总体，属于基础题．
三、解答题（共5小题，满分78分）
19．（14分）（2009?上海）已知复数z=a+bi （a 、b ∈R +）（I 是虚数单位）是方程x 2
﹣4x+5=0的根．复数w=u+3i （u ∈R ）满足，求u 的取值范围． 【考点】复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】先求方程x 2
﹣4x+5=0的根，即得到z ，然后化简满足，从而求u 的
取值范围．
【解答】解：原方程的根为x 1，2=2±i ∵a 、b ∈R +
，∴z=2+i ∵
∴﹣2＜u ＜6
故答案为：﹣2＜u ＜6．
【点评】本题考查解复数方程，复数的模，解不等式等知识．考查运算能力，是基础题． 20．（14分）（2009?上海）已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量
，
，
．
（1）若∥，求证：△ABC 为等腰三角形； （2）若⊥，边长c=2，角C=
，求△ABC 的面积．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】（1）利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的边和角之间的关系，利用余弦定理变形得到三角形是等腰三角形．
（2）利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积． 【解答】证明：（1）∵m ∥n ∴asinA=bsinB 即a ?
=b ?
．其中R 为△ABC 外接圆半径．
∴a=b
∴△ABC 为等腰三角形．
（2）由题意，m ?p=0
∴a （b ﹣2）+b （a ﹣2）=0 ∴a+b=ab
由余弦定理4=a2+b2﹣2ab?cos
∴4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab
∴（ab）2﹣3ab﹣4=0
∴ab=4或ab=﹣1（舍去）
∴S△ABC=absinC
=×4×sin=
【点评】向量是数学中重要和基本的概念之一，它既是代数的对象，又是几何的对象，作为代数的对象，向量可以运算，而作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长度等几何度量问题．
21．（16分）（2009?上海）有时可用函数f（x）=，描述学习某学
科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．
【考点】分段函数的应用．
【专题】应用题；探究型；数学模型法．
【分析】（1）x≥7时，作差求出增长量f（x+1）﹣f（x），研究其单调性知，差是一个减函数，故掌握程度的增长量总是下降、
（2）学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，故得方程由此方程解出a的值即可确定相应的学科．
【解答】证明：（1）当x≥7时，
而当x≥7时，函数y=（x﹣3）（x﹣4）单调递增，且（x﹣3）（x﹣4）＞0
故函数f（x+1）﹣f（x）单调递减
当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降
（2）由题意可知
整理得
解得（13分）
由此可知，该学科是乙学科..（14分）
【点评】本题是分段函数在实际问题中的应用，在实际问题中，分段函数是一个很重要的函数模型．
22．（16分）（2009?上海）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为，一条渐近线m：x+y=0，设过点A（﹣3，0）的直线l的方向向量e=（1，k），
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过原点的直线a∥l，且a与l的距离为，求k的值；
（3）证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由焦点坐标渐近线方程及a、b、c 的关系求出a、b的值．
（2）先写出2条平行线的方程，应用2条平行线间的距离公式求k的值，
（3）设过原点且平行于l的直线b：kx﹣y=0，曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于此点到直线b：kx﹣y=0的距离，求得直线l和直线b的距离d＞，故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．
【解答】（1）解：由题意知，c=，=，再由c2=a2+b2，a=，b=1，∴双曲线方程为：
﹣y2=1．
（2）解：直线l的方程y﹣0=k（x+3），即kx﹣y+3k=0．∵过原点的直线a∥l，∴直线a方程为：kx﹣y=0，
两平行线间的距离，∴k=±．
（3）证明：设过原点且平行于l的直线b：kx﹣y=0，
则直线l与b的距离d=，当k＞时，d＞．又双曲线C的渐近线为x±y=0，
∴双曲线C的右支在直线b的右下方，∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于，故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，是一道中档题．
23．（18分）（2009?上海）已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列（1）若a n=3n+1，是否存在m，n∈N*，有a m+a m+1=a k？请说明理由；
（2）若b n=aq n（a、q为常数，且aq≠0）对任意m存在k，有b m?b m+1=b k，试求a、q满足的充要条件；
（3）若a n=2n+1，b n=3n试确定所有的p，使数列{b n}中存在某个连续p项的和式数列中{a n}的一项，请证明．
【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）把a n的通项公式代入a m+a m+1=a k，整理可得k和m的关系式，结果为分数，根据m、k∈N，可知k﹣2m也应该为整数，进而可判定不存在n、k∈N*，使等式成立．（2）利用特殊值法，令m=1，则可知b1?b2=b k，把等比数列的通项公式代入整理可得a=q c，其中c是大于等于﹣2的整数；反之a=q c时，其中c是大于等于﹣2的整数，则b n=q n+c，代
入b m?b m+1中整理得b m?b m+1=b k，进而可判断a、q满足的充要条件是a=q c，其中c是大于等于﹣2的整数
（3）设b m+1+b m+2+…+b m+p=a k，先看当p为偶数时等式左边为偶数，右边为奇数，等式不可能成立；再看当p=1时，等式成立，当p≥3且为奇数时，根据b m+1+b m+2+…+b m+p=a k，整理可得3m+1（3p﹣1）=4k+2，进而可知3m+1[2（C p2+C p2?22++C p p?2p﹣2）+p]=2k+1，此时，一定有m和k使上式一定成立．综合可知当p为奇数时，命题都成立．
【解答】解：（1）由a m+a m+1=a k，得6m+6+3k+1，
整理后，可得，∵m、k∈N，
∴k﹣2m为整数∴不存在n、k∈N*，使等式成立．
（2）当m=1时，则b1?b2=b k，
∴a2?q3=aq k∴a=q k﹣3，即a=q c，其中c是大于等于﹣2的整数
反之当a=q c时，其中c是大于等于﹣2的整数，则b n=q n+c，
显然b m?b m+1=q m+c?q m+1+c=q2m+1+2c=b k，其中k=2m+1+c
∴a、q满足的充要条件是a=q c，其中c是大于等于﹣2的整数
（3）设b m+1+b m+2+…+b m+p=a k
当p为偶数时，（*）式左边为偶数，右边为奇数，
当p为偶数时，（*）式不成立．
由（*）式得，
整理得3m+1（3p﹣1）=4k+2
当p=1时，符合题意．
当p≥3，p为奇数时，3p﹣1=（1+2）p﹣1
=C p0+C p1?21+C p2?22++C p p?2p﹣1
=C p1?21+C p2?22++C p p?2p
=2（C p1+C p2?2++C p p?2p﹣1）
=2[2（C p2+C p2?22++C p p?2p﹣2）+p]
∴由3m+1（3p﹣1）=4k+2，得3m+1[2（C p2+C p2?22++C p p?2p﹣2）+p]=2k+1
∴当p为奇数时，此时，一定有m和k使上式一定成立．
∴当p为奇数时，命题都成立．
【点评】本题主要考查了等比数列和等差数列的性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．