A >1，纵坐标伸长到原来的A 倍y ＝Af (x )．
③对称变换：
y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )，
y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )，
y ＝f (x )――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )，
y ＝f (x )――→关于原点对称
y ＝－f (－x )．
f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． 二、通法归纳与感悟
1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化
(1)集合的运算及韦恩图；
(2)函数及其图像；
(3)方程(多指二元方程)及方程的曲线；
(4)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；
(5)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图像求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．
2．运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则
(1)等价性原则
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导．
(2)双向性原则
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．
例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．
(3)简单性原则
就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法．
三、利用数形结合讨论函数零点、方程的解或图像的交点
利用数形结合求方程解应注意两点
(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解．
(2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．
1． (2013·长沙模拟)若f (x )＋1＝1f x ＋1
，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )
A. ????
??0，12 B. ??????12，＋∞ C. ??????0，13 D. ? ??
??0，12 2. 若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]
时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝????? lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝
f (x )－
g (x )在区间[－5,5]内零点的个数是
( )
A ．5
B ．7
C ．8
D ．10 解析:C 3.已知函数()12+-=x x f ,
()kx x g =.若方程()()x g x f =有两学科网个不相等的实根，
则实数k 的取值范围是 （A ）），（210（B ）），（12
1（C ）），（21（D ）），（∞+2
4．(文)已知函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是( )
A ．5
B ．7
C ．9
D ．10
6．函数y ＝11－x
的图象与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2 B ．4
C ．6
D ．8 二、利用数形结合解不等式或求参数
利用数形结合解不等式应注意的问题
解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决．
7. (1)使log 2(－x )(2)若不等式|x －2a |≥12
x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________． 8. 当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2范围为
( )
A ．(2,3]
B ．[4，＋∞)
C ．(1,2]
D ．[2,4)
5
9. (理)对实数a 和b ，定义运算“?”：a ?b ＝???
a ，a －
b ≤1，b ，a －b >1，
设函数f (x )＝(x 2－2)?(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )
A ．(－∞，2]∪(－1，32)
B ．(－∞，－2]∪(－1，－34)
C ．(－1，14)∪(14，＋∞)
D ．(－1，－34)∪[14，＋∞) 10. (理)(2015·安徽理，9)函数f (x )＝ax ＋b x ＋c 2
的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0
B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0
D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0
11. (理)已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0
A ．(－3，－π2)∪(0,1)∪(π2，3)
B ．(－π2，－1)∪(0,1)∪(π2
，3) C ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3) D ．(－3，－π2
)∪(0,1)∪(1,3) 13．(文)(2014·哈三中二模)对实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝?
??
a ，a －
b ≤1b ，a －b >1，设函数f (x )＝(x 2＋1)*(x ＋2)，若函数y ＝f (x )－
c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是
( )
A ．(2,4]∪(5，＋∞)
B ．(1,2]∪(4,5]
C ．(－∞，1)∪(4,5]
D ．[1,2]
三、利用数形结合求最值
利用数形结合求最值的方法步骤
第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义．一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义．
第二步：转化为几何问题．
第三步：解决几何问题．
第四步：回归代数问题．
第五步：回顾反思．应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；
(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离．
14已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足
(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是 ( )
A ．1
B ．2 C. 2 D.22
15．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|
＋AC →|AC →
|)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心
C ．重心
D ．垂心 16．对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12
，x 2－4x ＋3 中的较大者，则f (x )的最小值是
( )
A ．2
B ．3
C ．8
D ．－1
17．(文)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝??? g x ＋x ＋4，x ＜g x g x －x ，x ≥g x ，则f (x )的值域是( )
A ．????
??－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．??????－94，＋∞ D ．????
??－94，0∪(2，＋∞)
18. (理)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )
A ．1
B ．12
C ．
52 D ．22
