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极坐标与参数方程知识点总结

极坐标与参数方程知识点总结
极坐标与参数方程知识点总结

第一部分:坐标系与参数方程

【考纲知识梳理】

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换()()

??

?>?='>?='0,0,:μμλλ?y y x x 的作用下,点()y x P ,对应到点()y x P '',,称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图(1)所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标

设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对()θρ,叫做点M 的极坐标,记作M ()θρ,.一般地,不作特殊说明时,我们认为θρ,0≥可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为()()R ∈θθ,0。和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定πθρ20,0<≤>,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标()θρ,表示;同时,极坐标()θρ,表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:

(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是()y x ,,极坐标是()()0,≥ρθρ,于

在一般情况下,由确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即()()()()θπρθπρθπρθρ+--+-+,,,,2,,,都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程θρ=点??

?

??4,4ππM 可以表示为??? ??-??? ??-??? ??+45,424,424,4ππππππππM M M 或或等多种形式,其中,只有??

?

??4,4ππM 的极坐标满足方程θρ=.

二、参数方程 1.参数方程的概念

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标()y x ,都是某个变数t 的函数()()?

??==t g y t f x ①,并且对

于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点()y x M ,都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数()y x ,的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

2.参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

(2)如果知道变数()y x ,中的一个与参数t 的关系,例如()t f x =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()t g y =,那么()()

??

?==t g y t f x 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使()y x ,的取值范围保持一致.

注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当地设参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3.圆的参数

如图所示,设圆O 的半径为r ,点M 从初始位置0M 出发,按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动,设M ()y x ,,则()为参数θθθ

?

?

?==sin cos r y r x 。这就是圆心在原点O ,半径为r 的圆的参数方程,其中θ的几何意

义是0OM 转过的角度。圆心为()b a ,,半径为r 的圆的普通方程是()()22

2

r b y a x =-+-, 它的参数方程为:()为参数θθ

θ

???+=+=sin cos r b y r a x 。

4.椭圆的参数方程

以坐标原点O 为中心,焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为()0122

22>>=+b a b

y

a x 其参数方程为

()为参数??

?

??

?==sin cos b y a x ,其中参数?称为离心角;焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是()0122

22>>=+b a b x a y 其参数方程为()为参数??

????==sin cos a y b x 其中参数?仍为离心角,通常规定参数?的范围为[)π?2,0∈。

注:椭圆的参数方程中,参数?的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角α区分开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在0到π2的范围内),在其他任何一点,两个角的数值都不相等。但当2

α≤≤时,相应地也有2

?≤

≤,在其他象限内类似。

5.双曲线的参数方程

以坐标原点O 为中心,焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为()0,012222>>=-b a b

y

a x 其参数方程为

()为参数??

???

?==tan sec b y a x ,其中[)23,22,0π

?π?π?≠≠∈且。 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是()0,0122

22>>=-b a b x a y 其参数方程为()为参数????

??==csc cot a y b x ,其

中()π?π?≠∈且2.0

以上参数?都是双曲线上任意一点的离心角。 6.抛物线的参数方程

以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线()022

>=p px y 的参数方程为()为参数t pt

y pt x ???==222

7.直线的参数方程

经过点()000,y x M ,倾斜角为??

?

?

?

2παα的直线l 的普通方程是()00tan x x y y -=-α而过()000,y x M ,倾斜角为α的直线l 的参数方程为()为参数t t y y t x x ?

??+=+=αα

sin cos 00。

注:直线参数方程中参数的几何意义:过定点()000,y x M ,倾斜角为α的直线l 的参数方程为

()为参数t t y y t x x ?

?

?+=+=ααsin c o s

00,其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点,任一点()y x M ,为终点的有向线段M M 0的数量,当点M 在0M 上方时,t >0;当点M 在0M 下方时,t <0;当点M 与0M 重合时,t =0。

我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点,直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。 【要点名师透析】 一、坐标系

(一)平面直角坐标系中的伸缩变换

〖例〗在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换???==y

y x

x //23:?

(1)求点??

? ??-2,31A 经过?变换所得的点A '的坐标;

(2)点B 经过?变换得到点

1

(3,)

2B '=-,求点B 的坐标;

(3)求直线:6l y x =经过?变换后所得到直线的l '方程;

(4)求双曲线2

2

:1

64y C x -=经过?变换后所得到曲线C '的焦点坐标。

(二)极坐标与直角坐标的互化

〖例2〗在极坐标系中,如果

5(2,),(2,)

44A B ππ为等边三角形ABC 的两个顶点,求顶点C 的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<。

(三)求曲线的极坐标方程

〖例〗已知P ,Q 分别在∠AOB 的两边OA ,OB 上,∠AOB=

3

π

,⊿POQ 的面积为8,求PQ 中点M 的极坐标方程。

(四)极坐标的应用

〖例〗如图,点A 在直线x=4上移动,⊿OPA 为等腰直角三角形,⊿OPA 的顶角为∠OPA (O ,P ,A 依次按顺时针方向排列),求点P 的轨迹方程,并判断轨迹形状。

二、参数方程

(一)把参数方程化为普通方程

〖例〗已知曲线C : (t 为参数), C :(为参数)。

(1)化C ,C 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C 上的点P 对应的参数为2

π

=

t ,Q 为C 上的动点,求中点到直线

??

?+-=+=t

y t

x C 223:3 (t 为参数)距离的最小值。 (二)椭圆参数方程的应用

在平面直角坐标系中,点是椭圆上的一个动点,求

的最大值 解答:

(三)直线参数方程的应用

〖例〗过点作倾斜角为的直线与曲线交于点,求的值及相应

的的值。 解析:

(四)圆的参数方程的应用

〖例〗已知曲线C 的参数方程是为参数),且曲线C 与直线=0相交于两点A 、B

(1)求曲线C 的普通方程;

(2)求弦AB 的垂直平分线的方程(3)求弦AB 的长 【感悟高考真题】

1.在极坐标系中,点(2,3π

)到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为( )

(A )2

(B)

(C)

D)

2.在极坐标系中,圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是( )

(A )(1,)2π (B )

(1,)2π

- (C )(1,0) (D )(1,)π 3.在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为?

?

?+==αα

sin 1cos y x ,).(为参数α在极坐标系(与直角坐标系xOy 有相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线2C 的方程为

21,01)sin (cos C C 与则=+-θθρ的交点个数为______

4.直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为??

?==ααsin 3cos 2y x ).

(为参数α在极坐标系(与直角坐标系xOy

取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线2C 的方程为

21,01)s i n (c o s C C 与则=+-θθρ的交点个数为___

5.(1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为ρ=2sin 4cos θθ+,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为 .

6.(2011·陕西高考理科·T15C )直角坐标系xoy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,

设点A ,B 分别在曲线1C :3cos 4sin x y θ

θ=+??=+?(θ为参数)和曲线2C :1ρ=上,则||AB 的最小值为 .

7.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系x O y 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,

设点A ,B 分别在曲线1C :3cos sin x y θ

θ=+??=?(θ为参数)

和曲线2C :1ρ=上,则||AB 的最小值为 .

8.(2011.天津高考理科.T11).已知抛物线C 的参数方程为???==t

y t x 882

(t 为参数)若斜率为1的直线经过抛

物线C 的焦点,且与圆

()2

224(0)

x y r r -+=>相切,则r =________.

9.

(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ?=??

=??≤<和25()4x t t R y t ?=?∈??=?,它们

的交点坐标为 .

10.(2)在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为x-y+4=0,曲线C

的参数方程为x y sin ααα?=?

?

=??(为参数).

(I )已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为??

?

?

?

2,

4π,判断点P 与直线l 位置关系; (II )设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.

11.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,求过椭圆5cos 3sin x y ??=??

=?(?为参数)的右焦点,且与直线423x t

y t =-??

=-?

(t 为参数)平行的直线的普通方程。

12.(2011·新课标全国高考理科·T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为2cos 22sin x y αα=??

=+?

(α为参数)M 是C1上的动点,P 点满足2OP OM =uu u v uuu v

,P 点的轨迹为曲线C2

(Ⅰ)求C2的方程

(Ⅱ)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线

θ=

与C1的异于极点的交点为A ,与C2

的异于极点的交点为B ,求

AB

.

13.(2011·新课标全国高考文科·T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为

2cos 22sin x y α

α=??

=+?(α为参数)M 是C1上的动点,P 点满足2OP OM =uu u v uuu v ,P 点的轨迹为曲线C2

(Ⅰ)求C2的方程

(Ⅱ)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3π

θ=

与C1的异于极点的交点为A ,与C2

的异于极点的交点为B ,求

AB

.

14.(2011·辽宁高考理科·T23)(本小题满分10分)(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系

xOy 中,曲线C1的参数方程为??

?==)(,sin ,

cos 为参数???y x ,曲线C2的参数方程为??

?>>==),0(,sin ,

cos 为参数???b a b y a x .在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l :θ=a 与

C1,C2各有一个交点.当a=0时,这两个交点间的距离为2,当a=2π

时,这两个交点重合.

(I )分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a 与b 的值;

(II )设当α=4π时,l 与C1,C2的交点分别为A1,B1,当a=-4π

时,l 与C1,

C2的交点为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.

15. 极坐标cos p θ=和参数方程12x t y t ?=--?

=+?

(t 为参数)所表示的图形分别是(D ) A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线 16.极坐标方程(p-1)(θπ-)=(p ≥0)表示的图形是

(A )两个圆 (B )两条直线 (C )一个圆和一条射线 (D )一条直线和一条射线 17.在极坐标系(ρ,θ)(0 ≤ θ<2π)中,曲线ρ=2sin θ 与cos 1p θ=- 的交点的极坐标为______. 18. 已知P 为半圆C:??

?==θ

θsin cos y x (θ

为参数,πθ≤≤0)上的点,点A 的坐标为(1,0),O 为坐标原点,

点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧

的长度均为

3

π。 (I )以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M 的极坐标; (II )求直线AM 的参数方程。 【考点模拟演练】 一、选择题

1.已知极坐标平面内的点P ????2,-5π

3,则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为 ( )

A.????2,π3,(1,3)

B.????2,-π3,(1,-3)

C.????2,2π3,(-1,3)

D.????2,-2π

3,(-1,-3) 2.在平面直角坐标系xOy 中,点P 的直角坐标为(1,-3).若以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P 的极坐标可以是( )

A.????1,-π3

B.????2,4π3

C.????2,-π3

D.?

???2,-4π3 3.在直角坐标系xOy 中,已知点C(-3,-3),若以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,则点C 的极坐标(ρ,θ)(ρ>0,-π<θ<0)可写为________.

4.过点????2,π

4平行于极轴的直线的极坐标方程是( ) A .ρcosθ=4

B .ρsinθ=4

C .ρsinθ= 2

D .ρcosθ= 2 答案:C

5.曲线的参数方程是?????

x =1-1t

y =1-t2(t 是参数,t≠0),它的普通方程是( )

A .(x -1)2(y -1)=1

B .y =

x x -2 1-x 2 C .y =x 1-x2+1 D .y =1

1-x 2

-1

6.直线ρcosθ=2关于直线θ=π

4对称的直线方程为( )

A .ρcosθ=-2

B .ρsinθ=2

C .ρsinθ=-2

D .ρ=2sinθ

7.已知直线l 的参数方程为??

?

x =-1-22t

y =2+2

2

t (t 为参数),则直线l 的斜率为 ( )

A .1

B .-1 C.

22 D .-2

2

8.直线3x -4y -9=0与圆:?

????

x =2cos θ

y =2sin θ,(θ为参数)的位置关系是 ( )

A .相切

B .相离

C .直线过圆心

D .相交但不过圆心

9.设直线过极坐标系中的点M(2,0),且垂直于极轴,则它的极坐标方程为________. 10.在极坐标系中,直线ρsin ????θ+π

4=2被圆ρ=4截得的弦长为________. 二、填空题

11.在极坐标系中,直线θ=π

6截圆ρ=2cos ????θ-π6(ρ∈R)所得的弦长是________. 12.直线2x +3y -1=0经过变换可以化为6x +6y -1=0,则坐标变换公式是________.

13.(皖南八校2011届高三第二次联考)已知平面直角坐标系xOy 内,直线l 的参数方程式为2x t

y t =??

=-?

(t

为参数),以Ox 为极轴建立极坐标系(取相同的长度单位),圆C 的极坐标方程为)

ρθ=+,

则直线l 的圆C 的位置关系是 。

14.已知曲线的参数方程为??

?+=+=θ

θ

sin cos 00t y y t x x ,分别以t 和θ为参数得到两条不同的曲线,这两条曲线公共点个数

为 .

15.已知2x2+3y2-6x=0 (x,y ∈R ),则x2+y2的最大值为 .

16.从极点O 作直线与另一直线l ∶ρcos θ=4相交于点M ,在OM 上取一点P ,使OM ·OP=12,则点P 的轨迹方程为 . 三、解答题

17.在极坐标系中,已知圆C 的圆心C ???

?3,π

6,半径r =3, (1)求圆C 的极坐标方程;

(2)若Q 点在圆C 上运动,P 在OQ 的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,求动点P 的轨迹方程.

18.在极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=π

3

(ρ∈R),以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直

角坐标系,曲线C 的参数方程为?

????

x =2cos α,

y =1+cos 2α(α为参数),求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.

参数方程和极坐标方程知识点归纳

专题九:坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换?? ?>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用 下,点),(y x P 对应到点),(y x P ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩 变换。 2、极坐标系的概念 在平面内取一个定点O ,叫做极点;自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。 点M 的极坐标:设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标,记为),(θρM . 注: 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称,即),(θρ-与 ),(θπρ+表示同一点。 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示(即一一对应的关系);同时,极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ,θ),但平面内任一个点P 的极坐标不惟一.一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律可循的,P (ρ,θ)(极点除外)的全部坐标为(ρ,θ+πk 2)或(ρ-,θ+π)12(+k ),(∈k Z ).极点的极径为0,而极角任意取.若对ρ、θ的取值范围加以限制.则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,如限定ρ>0,0≤θ<π2或ρ<0,π-<θ≤π等. 极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的. 3、极坐标与直角坐标的互化 设是平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ,从图中可以得出: ) 0(ta ≠= x x y θ? ?? 图1

高中数学参数方程知识点大全

高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程,会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中,参数t 不具备标准式中t 的几何意义,若a 2 +b 2 =1,②即为标准式,此 时, | t |表示直线上动点P 到定点P 0的距离;若a 2+b 2 ≠1,则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +|t |. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) 若P 1、P 2是l 上的两点,它们所对应的参数分别为t 1,t 2,则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α); (2)|P 1P 2|=|t 1-t 2|; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ,则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离|PP 0|=|t |=|2 2 1t t +| (4)若P 0为线段P 1P 2的中点,则 t 1+t 2=0. 2.圆锥曲线的参数方程 (1)圆 圆心在(a,b),半径为r 的圆的参数方程是?? ?+=+=? ? sin cos r b y r a x (φ是

极坐标与参数方程题型三:最值问题

极坐标与参数方程题型二:最值问题 13.在直角坐标系中,曲线的参数方程为,(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1) 求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程; (2) 设为曲线上的动点,求点到上点的距离的最小值,并求此时点的坐标. 14、已知曲线C :x 24+y 29=1,直线l :? ????x =2+t ,y =2-2t (t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程; (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|PA |的最大值与最小值. 15、以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程; (2)若点()y x P ,在该圆上,求y x +的最大值和最小值.

16、已知曲线C 的极坐标方程θρsin 2=,直线l 的参数方程)(22223为参数t t y t x ??? ????=+=, 以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系; (1)求曲线l C 与直线的直角坐标方程. (2)若M 、N 分别为曲线l C 与直线上的两个动点,求||MN 的最小值. 17、已知直线l 的参数方程为1212 x t y ?=????=+??(t 为参数),曲线C 的参数方程为 2cos sin x y θθ =+??=?(θ为参数)。(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4, )3π,判断点P 与直线l 的位置关系;(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值。 18、以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为???=+=α αsin cos 1t y t x (t 为参数,πα<<0),曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=. (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,当α变化时,求AB 的最小值.

极坐标及参数方程

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1.极坐标系 (1)极坐标系的建立:在平面上取一个定点O ,叫做________,从O 点引一条射线Ox ,叫做________,再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个极坐标系. 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________,记为ρ,以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(ρ, θ)叫做点M 的极坐标,记作M (ρ,θ). (2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x ,y ),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的关系为x =______,y =________. 另一种关系为ρ2=________,tan θ=________. 2.简单曲线的极坐标方程 管理人员签字: 日期: 年 月 日 作业布置 1、学生上次作业评价: ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 备注: 2、本次课后作业: 课堂小结 家长签字: 日期: 年 月 日

(1)直线的极坐标方程 θ=α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线; ρcos θ=a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线; ρsin θ=b 表示过? ???? b ,π2且平行于极轴的直线; ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1)表示过(ρ1,θ1)且与极轴成α角的直线方 程. (2)圆的极坐标方程 ρ=2r cos θ表示圆心在(r,0),半径为|r |的圆; ρ=2r sin θ表示圆心在? ???? r ,π2,半径为|r |的圆; ρ=r 表示圆心在极点,半径为|r |的圆. 3.曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变量t 的函数? ?? ?? x =f t ,y =g t . 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,则称上式为该曲线的________________,其中变量t 称为________. 4.一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0,y 0),且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数). (2)圆的方程(x -a )2+(y -b )2=r 2的参数方程为________________________(θ为参数). (3)椭圆方程x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数). (4)抛物线方程y 2=2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数).

(完整版)极坐标与参数方程知识点、题型总结(可编辑修改word版)

?y ' = ? y,(> 0). 0 ? 极坐标与参数方程知识点、题型总结 一、伸缩变换:点 P (x , y ) 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 : ?x ' = ? x,(> 0), 的作用下,点 P (x , y ) 对应到点 P '(x ', y ') ,称伸缩变换 ? 一、 1、极坐标定义:M 是平面上一点, 表示 OM 的长度,是∠MOx ,则有序实数实 数对(,) , 叫极径,叫极角;一般地,∈[0, 2) , ≥ 0 。,点 P 的直角坐标、 极坐标分别为(x ,y )和(ρ,θ) ?x = cos ? ?2 = x 2 + y 2 ? 2、直角坐标? 极坐标 y = sin 2、极坐标? 直角坐标?tan = y (x ≠ 0) ? ?? x 3、求直线和圆的极坐标方程:方法一、先求出直角坐标方程,再把它化为极坐标方程方法二、(1)若直线过点 M (ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为: ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α)(2)若圆心为 M (ρ0,θ0),半径为 r 的圆方 程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ 2-r 2=0 二、参数方程:(一).参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 ?x = f (t ), 坐标 x , y 都是某个变数t 的函数? y = g (t ), 并且对于t 的每一个允许值,由这个方程所确 定的点 M (x , y ) 都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x , y 的变数t 叫做参变数,简称参数。相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程。 (二).常见曲线的参数方程如下:直线的标准参数方程 x = x 0 + t cos 1、过定点(x 0,y 0),倾角为α的直线: (t 为参数) y = y 0 + t sin (1) 其中参数 t 的几何意义:点 P (x 0,y 0),点 M 对应的参数为t ,则 PM =|t| (2)直线上 P 1 , P 2 对应的参数是t 1, t 2 。|P 1P 2|=|t 1-t 2|= t 1+t 2 2-4t 1t 2.

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

一、极坐标系 1.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系:如图4-4-1所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标.其中ρ称为点M 的极径,θ称为点M 的极角. 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为,则点P 的直角坐标为 ( ) A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(-1,-1) 2、设点的直角坐标为,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点的极坐标为( ) A . B . C . D . 3.若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________. 4.在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A .ρ=cos θ B .ρ=sin θ C .ρcos θ=1 D .ρsin θ=1 5.曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为________. 6. 在极坐标系中,求圆ρ=2cos θ与直线θ=π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标. 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.

极坐标与参数方程讲义

极坐标与参数方程 一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点0,叫做极点,自极点0引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴 为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可?但极 坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系? (2)极坐标 设M是平面内一点,极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径,记为;以极轴0X为始边,射线0M为终边的角XOM叫做点M的极角,记为?有序数对(,)叫做点M的极坐标,记作M (,). 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数? 特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,)(€ R).和直角坐标不同,平面内一个 点的极坐标有无数种表示? 如果规定0,0 2 ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示; 同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的? 2.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系 中取相同的长度单位,如图所示: ⑵互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,)( 0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2 ),(, ),(, ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的 唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足 极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,点M(,)可以表示为 4 4 5 (, 2 )或(, 2 )或(-, 等多种形式,其中,只有(,)的极坐标满足方 4 4 4 4 4 4 4 4 程 、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化

高考数学:极坐标与参数方程知识点总结

高考数学:极坐标与参数方程知识点总结 极坐标与参数方程这部分题目比较简单,考法固定,同学们一定要掌握住,高考不失分啊! 第一讲 一平面直角坐标系 1.平面直角坐标系 (1)数轴:规定了原点,正方向和单位长度的直线叫数轴.数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系.

(2)平面直角坐标系: ①定义:在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系; ②数轴的正方向:两条数轴分别置于水平位置与竖直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向; ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴,竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴,x轴或y轴统称为坐标轴; ④坐标原点:它们的公共原点称为直角坐标系的原点; ⑤对应关系:平面直角坐标系上的点与有序实数对(x,y)之间可以建立一一对应关系. (3)距离公式与中点坐标公式:设平面直角坐标系中,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点为P,填表:

二极坐标系 (1)定义:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O 引一条射线Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标系的四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向. (3)图示

2.极坐标 (1)极坐标的定义:设M是平面内一点,极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ). (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系:在极坐标系中,极点O的极坐标是(0,θ),(θ∈R),若点M的极坐标是M(ρ,θ),则点M的极坐标也可写成M(ρ,θ+2kπ),(k∈Z). 若规定ρ>0,0≤θ<2π,则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ,θ)之间才是一一对应关系. 3.极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示,把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,且长度单位相同,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y),(ρ,θ).

极坐标与参数方程题型和方法归纳

极坐标与参数方程题型和方法归纳

极坐标与参数方程题型和方法归纳 题型一:极坐标(方程)与直角坐标(方程)的相互转化,参数方程与普通方程相互转化,极坐标方程与参数方程相互转化。方法如下: {22222 cos sin tan (0x y x y x y y x x ραρα ρρθ==?=++??=≠+?? ???????→ ←???????或(1)极坐标方程直角坐标方程 2 2 1θθ=????????????→←????????????消参(代入法、加减法、sin +cos 等)圆、椭圆、直线的参数方程 (2)参数方程直角坐标方程 ??→??→←??←?? (3)参数方程直角坐标方程(普通方程)极坐标方程 1、已知直线l 的参数方程为 11233x t y t ? =+? ? ?=? (t 为参数) 以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的方程为2sin 3cos 0 θρθ=. (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ)写出直线 l 与曲线C 交点的一个极坐标. 题型二:三个常用的参数方程及其应用 (1)圆 222 ()()x a y b r -+-=的参数方程是:

cos sin ()x a r y b r θ θθ =+?? =+?为参数 (2)椭圆 22 221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是: cos ,()sin x a y b θ θθ=?? =? 为参数 (3)过定点0 (,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为: 00cos ,()sin x x t t y y t α α =+?? =+?为参数 对(3)注意: P 点所对应的参数为0 t =,记直线 l 上任意两点,A B 所对应的参数分别为1 2 ,t t ,则① 12 AB t t =-,② 1212121212,0 ,0 t t t t PA PA t t t t t t ?+?>?+=+=? -? )以坐标原点O 为极点, 以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为cos 24 πρθ??+=- ?? ? (Ⅰ)设P 是曲线C 上的一个动点,当2a =时,求点P 到直线l 的距离的最小值;

极坐标和参数方程知识点总结大全

极坐标与参数方程 一、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的 函数,即 ?? ?==) () (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值,由方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上(即曲线上的点在方程上,方程的解都在曲线上),那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数. 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习 1.若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数,则直线的斜率为( ) A . 23 B .23- C .32 D .32 - 2.下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ =?? =+?为参数上的点是( ) A .1(,2 B .31(,)42 - C . D . 3.将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为( ) A .2y x =- B .2y x =+ C .2(23)y x x =-≤≤ D .2(01)y x y =+≤≤ 注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一(由上面练习(1、3可知))。应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当地设参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3.圆的参数方程 如图所示,设圆的半径为,点从初始位置出发,按逆时针方向在 圆上作匀速圆周运动,设,则。 这就是圆心在原点,半径为的圆的参数方程,其中的几何意义是 转过的角度(称为旋转角)。 圆心为,半径为的圆的普通方程是, 它的参数方程为:。 4.椭圆的参数方程 以坐标原点为中心,焦点在轴上的椭圆的标准方程为 其参数方程为,其中参数称为离心角;焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为 其中参数仍为离心角,通常规定参数的范围为∈[0,2)。 注:椭圆的参数方程中,参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角区分开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在到的范围内),在其他任何一点,两个角的数值都不相等。但 当时,相应地也有,在其他象限内类似。 5.双曲线的参数方程

极坐标和参数方程知识点典型例题及其详解(供参考)

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解 知识点回顾 (一)曲线的参数方程的定义: 在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数,即 ???==) ()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值,由方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数. (二)常见曲线的参数方程如下: 1.过定点(x 0,y 0),倾角为α的直线: αα sin cos 00t y y t x x +=+= (t 为参数) 其中参数t 是以定点P (x 0,y 0)为起点,对应于t 点M (x ,y )为终点的有向线段PM 的数量,又称为点P 与点M 间的有向距离. 根据t 的几何意义,有以下结论. ○ 1.设A 、B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB =A B t t -=B A A B t t t t ?--4)(2. ○ 2.线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +. 2.中心在(x 0,y 0),半径等于r 的圆: θθ sin cos 00r y y r x x +=+= (θ为参数) 3.中心在原点,焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆: θθsin cos b y a x == (θ为参数) (或 θ θsin cos a y b x ==) 中心在点(x0,y0)焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数)ααα(. sin ,cos 00???+=+=b y y a x x 4.中心在原点,焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线:

最新极坐标参数方程题型归纳--7种

极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 1.(2015·广东理,14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ????θ-π4=2,点A 的极坐标为A ????22,7π 4,则点A 到直线l 的距离为________. [立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离,属于容易题.解答本题先进行极直互化,再求距离. 二、参数方程与直角坐标方程的互化 【解析】椭圆方程为:14622=+y x ,因为1cos sin 2 2=+x x ,令???==α αcos 2sin 6y x ,则有 X+2y=αsin 6+αcos 4=()?α++sin 166,最大值22,最小值22- 三、根据条件求直线和圆的极坐标方程 四、求曲线的交点及交点距离 4.(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲线C 的参数方程为? ??x =t -1t , y =t + 1t (t 为参数),l 与C 相交于A ,B 两点,则|AB |=________. 【解析】 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ-3cos θ)=0化为直角坐标方程为3x -y =0,曲线C 的参 数方程? ??x =t -1t ,y =t + 1t 两式经过平方相减,化为普通方程为y 2-x 2=4,联立? ??? ?3x -y =0,y 2-x 2=4 解得???x =-22,y =-322或? ??x =2 2, y =32 2 . 所以点A ????-22,-322,B ???? 22,322. 所以|AB |= ????-22-222+??? ?-322-3222=2 5.

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系:如图4-4-1所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标.其中ρ称为点M 的极径,θ称为点M 的极角. 2.极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ,y ) 极坐标(ρ,θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ,则点P 的直角坐标为 ( ) A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(-1,-1) 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<,则点P 的极坐标为( ) A .3(32, )4π B .5(32,)4π- C .5(3,)4π D .3(3,)4 π- 3.若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________. 4.在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A .ρ=cos θ B .ρ=sin θ C .ρcos θ=1 D .ρsin θ=1 5.曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x =0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为________. 6. 在极坐标系中,求圆ρ=2cos θ与直线θ=π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标.

高中数学极坐标与参数方程知识点

高中数学极坐标与参数方程知识点极坐标与参数方程知识点 (一)曲线的参数方程的定义: 在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函 数,即 x,f(t), ,y,f(t), 并且对于t每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程 组就叫做这条曲线的参数方程,联系x、y之间关系的变数叫做参变数,简称 参数( (二)常见曲线的参数方程如下: 1(过定点(x,y),倾角为α的直线: 00 ,x,x,tcos0 (t为参数) y,y,tsin,0 其中参数t是以定点P(x,y)为起点,对应于t点M(x,y)为终点的有向线段PM00 的数量,又称为点P与点M间的有向距离( 根据t的几何意义,有以下结论( ABt,t1(设A、B是直线上任意两点,它们对应的参数分别为t和t,则,,AB?BA 2(t,t),4t,t( BAAB t,tAB2(线段AB的中点所对应的参数值等于( ?2 2(中心在(x,y),半径等于r的圆: 00 ,x,x,rcos0, (为参数) y,y,rsin,0 3(中心在原点,焦点在x轴(或y轴)上的椭圆: ,,x,bcosx,acos, (为参数) (或 ) y,bsin,y,asin,

中心在点(x0,y0)焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程 ,x,x,acos,,0(,为参数) ,y,y,bsin.,0, 4(中心在原点,焦点在x轴(或y轴)上的双曲线: 1 ,,x,btgx,asec, (为参数) (或 ) y,btg,y,asec, 5(顶点在原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线: 2x,2pt (t为参数,p,0) y,2pt 直线的参数方程和参数的几何意义 ,x,x,tcos,0过定点P(x,y),倾斜角为的直线的参数方程是 (t为参 数)( ,00,yytsin,,,0, (三)极坐标系 1、定义:在平面内取一个定点O,叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内的任意一点M,用ρ表示线段OM的长度,θ表示从Ox到OM的角,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。 M , , Ox 图1 2、极坐标有四个要素:?极点;?极轴;?长度单位;?角度单位及它的方向(极坐标与 ,直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数、对应,

极坐标与参数方程题型及解题方法

Ⅰ复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别?学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的? 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系? 答:将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点,将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为(x ,y ),在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立: ρθρ θy sin x cos = = 3、 参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线? 4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么? 5、 极坐标系的定义是什么? 答:取一个定点O ,称为极点,作一水平射线Ox ,称为极轴,在Ox 上规定单位长度,这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ,又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了,则P 点的位置就 确定了。ρ叫做P 点的极半径,θ叫做P 点的极角,),(θρ叫做P 点的极坐标(规定ρ写在前,θ写在后)。显然,每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么?

Ⅱ 题型与方法归纳 1、 题型与考点(1) { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 (2) { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 (1)、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法;化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数,即选定合适的参数t ,先确定一个关系()x f t =(或()y g t =,再代入普通方程 (),0F x y =,求得另一关系()y g t =(或()x f t =).一般地,常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标) 例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??(为参数)表示的曲线是( ) A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析:注意到2t t 与2t -互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含t 的项,()() 2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-, 即有22 4y x -=,又注意到 202222t t t y ->+≥=≥,,即,可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥().显然它表示焦点在y 轴上,以原点为中心的双曲线的上支,选B

高中数学参数方程知识点大全

高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程,会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中,参数t 不具备标准式中t 的几何意义,若a 2 +b 2 =1,②即为标准式,此 时, | t |表示直线上动点P 到定点P 0的距离;若a 2+b 2 ≠1,则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +|t |. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) 若P 1、P 2是l 上的两点,它们所对应的参数分别为t 1,t 2,则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α); (2)|P 1P 2|=|t 1-t 2|; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ,则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离|PP 0|=|t |=|2 2 1t t +| (4)若P 0为线段P 1P 2的中点,则 t 1+t 2=0.

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、极坐标系 在平面上取一个定点O ,由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系.点O 称为极点,Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径,θ称为极角. 二、极坐标与直角坐标的互化 设M 为平面上的一点,其直角坐标为(,)x y ,极坐标为(,)ρθ,由图16-31和图16-32可知,下面的关系式成立: cos sin x y ρθρθ=??=?或222 tan (0) x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? (对0ρ<也成立). 三、极坐标的几何意义 r ρ=——表示以O 为圆心,r 为半径的圆; 0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线,0(0)θθρ=≥为射线; 2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆. (可化直角坐标: 2 2cos a ρρθ=2 2 2x y ax ?+=2 2 2 ()x a y a ?-+=.) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来,设直线的点斜式方程为 00()y y k x x -=-,其中tan (k αα=为直线的倾斜角),代人点斜式方程: 00sin ()()cos 2 y y x x απ αα-= -≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα =+??=+?,2π α=也成立,故直线的参数方程为

极坐标与参数方程经典练习题含答案详解

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是( ). A .21(0,)(,0)5 2 、 B .11(0,)(,0)5 2 、 C .(0,4)(8,0)-、 D .5(0,)(8,0)9 、 2.把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是( ). A .1 21 2x t y t -?=???=? B .sin 1sin x t y t =???=?? C .cos 1cos x t y t =???=?? D .tan 1tan x t y t =???=?? 3.若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数,则直线的斜率为( ). A . 23 B .23- C .32 D .32 - 4.点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ =-+?? =?的( ). A .内部 B .外部 C .圆上 D .与θ的值有关 5.参数方程为1()2 x t t t y ? =+ ???=?为参数表示的曲线是( ). A .一条直线 B .两条直线 C .一条射线 D .两条射线 6.两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与???==θ θ sin 3cos 3y x 的位置关系是( ). A .内切 B .外切 C .相离 D .内含 7.与参数方程为()21x t t y t ?=?? =-??为参数等价的普通方程为( ). A .22 14y x += B .221(01)4 y x x +=≤≤ C .22 1(02)4y x y +=≤≤ D .221(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤

极坐标与参数方程基本知识点

极坐标与参数方程基本知识 点 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

极坐标与参数方程基本知识点 一、极坐标知识点 1.伸缩变换:设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换???>?='>?='). 0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下,点),(y x P 对应到点),(y x P ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点O ,从O 引一条射线Ox ,选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O 点叫做极点,射线Ox 叫做极轴. ①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不可. 3.点M 的极坐标:设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标,记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称,即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。 如果规定πθρ20,0≤≤>,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示;同时,极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 5.极坐标与直角坐标的互化: (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位.

极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结 一、伸缩变换:点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ???>?='>?='). 0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下,点),(y x P 对应到点),(y x P ''',称伸缩变换 一、 1、极坐标定义:M 是平面上一点,ρ表示OM 的长度,θ是M Ox ∠,则有序实数实 数对(,)ρθ,ρ叫极径,θ叫极角;一般地,[0,2)θπ∈,0ρ≥。,点P 的直角坐标、极坐标分别为(x ,y )和(ρ,θ) 2、直角坐标?极坐标 cos sin x y ρθρθ=??=?2、极坐标?直角坐标222 tan (0)x y y x x ρθ?=+??=≠?? 3、求直线和圆的极坐标方程:方法一、先求出直角坐标方程,再把它化为极坐标方程 方法二、(1)若直线过点M (ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为: ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α)(2)若圆心为M (ρ0,θ0),半径为r 的圆方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r 2=0 二、参数方程:(一).参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数???==), (),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值,由这个方程所确 定的点),(y x M 都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数y x ,的变数t 叫做参变数,简称参数。相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 (二).常见曲线的参数方程如下:直线的标准参数方程 1、过定点(x 0,y 0),倾角为α的直线: αα sin cos 00t y y t x x +=+=(t 为参数) (1)其中参数t 的几何意义:点P (x 0,y 0),点M 对应的参数为t ,则PM =|t| (2)直线上12,P P 对应的参数是12,t t 。|P 1P 2|=|t 1-t 2|= t 1+t 2 2 -4t 1t 2.

极坐标与参数方程知识点总结大全

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面 直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点直角坐标极坐标 互化公 在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程. 二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的那么,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,并且对于的每一个允许值,函数①. 方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致. 注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当地设参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3.圆的参数 如图所示,设圆的半径为,点从初始位置出发,按逆时针方向在圆上作匀速圆周

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