数学科试题
说明: 1．全卷共4页，考试时间为100分钟，满分120分.
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案标号；不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图，再用黑色字迹的钢笔或
签字笔描黑.答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域.不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的清洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母涂在相应题号的答题卡上. 1．3-的倒数是( ).
A.3
B.3-
C.31
D.31
-
2．数据2、2、3、4、3、1、3中，众数是( ).
A.1
B.2
C.3
D.4 3．图1中几何体的主视图是( ).
4．据媒体报道，我国因环境问题造成的经济损失每年高达680 000 000元，这个数用科学记数法可表示为( ).
A.91068.0?
B.8108.6?
C.7108.6?
D.71068? 5．下列选项中，与2xy 是同类项的是( ).
A.22xy -
B.y x 22
C.xy
D.22y x 6．已知?=∠35α，则α∠的余角是 ( ).
A.?35
B.?55
C.?65
D.?145 7．不等式21>-x 的解集是( ).
A.1>x
B.2>x
C.3>x
D.3 8．如图2，点A 、B 、C 在⊙O 上，若?=∠20BAC ，则BOC ∠的度数为 ( ). A.?20 B.?30 C.?40 D.?70 9．一次函数2+=x y 的图象大致是( ). 10．如图3，若要使平行四边形ABCD 成为菱形，则需要添加的条件是( ). A C B D 图1 图2 A B C D A.CD AB = B.BC AD = C.BC AB = D.BD AC = 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)请把下列各题的正确答案填写在相应题号的答题卡上. 11．计算：=?3252x x . 12．分解因式：=-x x 622 . 13．反比例函数x k y = 的图象经过点P （2-，3），则k 的值为 . 14．已知扇形的圆心角为?60，半径为6，则扇形的弧长为 .（结果保留π） 15．为了从甲、乙、丙三位同学中选派一位同学参加环保知识竞赛，老师对他们的五次环保知识测验成绩进行了统计， 他们的平均分均为85分，方差分别为182=甲 S ，122=乙S ，232=丙S . 根据统计结果，应派去参加竞赛的同学是 .（填“甲、乙、丙”中的一个） 16．如图4，在□ABCD 中，点E 是CD 的中点，AE 、BC 的延长线交于 点F .若△ECF 的面积为1，则四边形ABCE 的面积为 . 三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 17．计算：012011)21 (60cos 29-+?+-. 18．解方程：0142=--x x . 19．△ABC 在方格纸中的位置如图5所示，方格纸中的 每个小正方形的边长为1个单位. （1）△111C B A 与△ABC 关于纵轴（y 轴）对称， 请你在图5中画出△111C B A ； （2）将△ABC 向下平移8个单位后得到△222C B A ， 请你在图5中画出△222C B A . 20．先化简、再求值： 1)111(2 -÷+-x x x ，其中12+=x . 21．如图6，小明以3米/秒的速度从山脚A 点爬到山顶B 点，已知点B 到山脚的垂直距离BC 为24米，且山坡坡角A ∠的度数为?28，问小明从山脚爬上山顶需要多少时间？（结果精确到1.0） （参考数据：46.028sin ≈?，87.028cos ≈?，53.028tan ≈?） E B C D A F 图4 A B C 图6 四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 22．如图7，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，切点为A ，D 为⊙O 上一点，AD 与OC 相交于点E ，且C D A B ∠=∠. （1）求证：OC ∥BD ； （2）若5=AO ，8=AD ，求线段CE 的长． 23．在一个不透明的口袋中装有白、黄两种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中黄球有1个，从袋中任意摸 出一个球是黄球的概率为31 . （1）求袋中白球的个数； （2）第一次摸出一个球，做好记录后放回袋中，第二次再摸出一个球，请用列表或画树状图的方法求两次都 摸到黄球的概率. 24．如图8，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，BC AE =，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：DF AB =； （2）若10=AD ，6=AB ，求EDF ∠tan 的值． 五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 25．某电器城经销A 型号彩电，今年四月份每台彩电售价为2000元，与去年同期相比，结果卖出彩电的数量相同， 但去年销售额为5万元．．，今年销售额只有4万元．．. （1）问去年四月份每台A 型号彩电售价是多少元？ （2）为了改善经营，电器城决定再经销B 型号彩电.已知A 型号彩电每台进货价为1800元，B 型号彩电每台进 货价为1500元，电器城预计用不多于3.3万元．．且不少于2.3万元．．的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进货方案？ （3）电器城准备把A 型号彩电继续以原价每台2000元的价格出售，B 型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批 彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获利最大？最大利润是多少？ 26．如图9，抛物线k x y ++=2)1(与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）. （1）求抛物线的对称轴及k 的值； （2）抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PC PA +的值最小，求此时点P 的坐标； B 图7 B C A D E F 图8 （3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限. ①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标； ②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标. y A B O x C 图9 2011年清远市初中毕业生学业考试数学科试题 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.C 8.C 9.A 10.C 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 510x 12.)3(2-x x 13.6- 14. π2 15.乙 16.3 三、解答题：（每小题6分，共30分） 17.解：原式1221 23-+?+= ………………………………………………………(4分) 1213-++= ………………………………………………………(5分) 5=. ………………………………………………………(6分) 18.解法一：这里，1=a ，4-=b ，1-=c . …………………………(1分) ∵020)1(14)4(422>=-??--=-ac b ， …………………………(2分) ∴522 5 241220)4(±=±=?±--= x ， …………………………(4分) 即 521+=x ，522-=x . …………………………(6分) 解法二：142=-x x ， …………………………………………(1分) 2222124+=+-x x ， …………………………………………(2分) 即 5)2(2=-x . …………………………………………(3分) 52±=-x ， …………………………………………(4分) 即 52=-x ，或52-=-x . …………………………………………(5分) ∴521+=x ，522-=x . …………………………………………(6分) 19.解：如图5所示：（注：画出△ 1B A 1分，共6分） 20.解：原式1 )1111( 2 -÷+-++=x x x x x ……………………………………………(1分) x x x x 1 12-? += ……………………………………………(2分) x x x x x ) 1)(1(1-+? += ……………………………………………(3分) 1-=x . …………………………………………… (4分) 当12+=x 时， 原式112-+= ……………………………………………(5分) 2C 2B 图5 2=. ……………………………………………(6分) 21.解：依题意： 在Rt △ACB 中，?=∠90ACB ， AB BC A =sin ， ……………………………………(1分) ∴17.5246 .024 28sin 24sin ≈≈?== A BC A B (米). …………………………………(4分) ∴4.1739.173 17 .52≈== t （秒）. 答：小明从山脚爬上山顶需要的时间约为4.17秒.…………………………………(6分) 四、解答题：（每小题8分，共24分） 22.(1)证明:∵AB 是⊙O 的直径，∴?=∠90D . …………………………(1分) ∵AC 与⊙O 相切，∴?=∠90CAB . …………………………(2分) 即?=∠+∠90DAB CAD . ∵C DAB ∠=∠， ∴?=∠+∠90C CAD . ∴?=∠90AEO . ∴D AEO ∠=∠. …………………………(3分) ∴OC ∥BD . …………………………(4分) (2)解: ∵?=∠90AEO ，∴AD OE ⊥. ∴482 1 21=?==AD AE . …………………………(5分) 在Rt △OEA 中，?=∠90AEO ， ∴3452222=-=-=AE OA OE . …………………………(6分) ∵?=∠=∠90OEA AEC ，DAB C ∠=∠， ∴△ACE ∽△OAE .∴ OE AE AE CE = ， …………………………(7分) 即 3 4 4=CE . 解得：3 16 = CE . …………………………(8分) (注:其它证法可参照本证法给分) 23.解：（1）由黄球有1个，从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为3 1 得： 袋中共有乒乓球的个数为：33 1 1=÷ （个）. …………………(2分) 所以袋中白球的个数为2个. …………………(3分) （2）解法一： 1种， 所以两次都摸到黄球的概率为91 . …………………(8分) 解法二： ……………(6分) 依题意，画树状图为： (黄,黄) (黄,白) (黄,白) (白,黄) (白,白) (白,白) (白,黄) (白,白) (白,白) (6分) 由以上树状图可知，共有9种结果，其中两次都摸到黄球的结果只有1种， 所以两次都摸到黄球的概率为9 1 . …………………(8分) 24.（1）证明：在矩形ABCD 中，BC AD =，AD ∥BC ，?=∠90B . ∵AD ∥BC ，∴FAD BEA ∠=∠. …………………………(1分) ∵DF ⊥AE ，∴?=∠90DFA . ∴DFA B ∠=∠. …………………………(2分) ∵BC AE =，BC AD =， ∴AD AE = …………………………(3分) ∴△AEB ≌△DAF ∴DF AB =. …………………………(4分) （2）解：由（1）可知：6==AB DF ，10==AD AE . …………………………(5分) 在Rt △AFD 中，?=∠90DFA ， ∴86102222=-=-=DF AD AF . …………………………(6分) ∴2810=-=-=AF AE EF ， …………………………(7分) 在Rt △DFE 中，?=∠90DFE ， ∴3 1 62tan ===∠DF EF EDF . ………………………… (8分) 五、解答题（每小题9分，共18分） 25.解：（1）设去年四月份每台A 型号彩电售价x 元，依题意： 2000 40000 50000= x . ………………(2分) 解得：2500=x . 经检验，2500=x 是原方程的解. ∴2500=x . 答：去年四月份每台A 型号彩电售价是2500元. ………………(3分) （2）设电器城在此次进货中，购进A 型号彩电a 台，则B 型号彩电)20(a -台，依题意： ? ??≤-+≥-+.33000)20(15001800, 32000)20(15001800a a a a ………………(5分) 解得： 103 20 ≤≤a . 由于a 只取非负整数，所以7=a ，8，9，10. ………………(6分) 所以电器城在此次进货中，共有4种进货方案，分别是： 方案一：购进A 型号彩电7台、B 型号彩电13台； 方案二：购进A 型号彩电8台、B 型号彩电12台； 方案三：购进A 型号彩电9台、B 型号彩电11台； 方案四：购进A 型号彩电10台、B 型号彩电10台. ………………(7分) （3）设电器城获得的利润为y 元，则y 与a 的函数关系式为： 6000100)20)(15001800()18002000(+-=--+-=a a a y . ……………(8分) ∵6000100+-=a y ，y 随a 的增大而减小，且7=a ，8，9，10. ∴当7=a 时，y 可取得最大值，530060007100=+?-=最大y . 开始 黄 白 白 黄 白 白 黄 白 白 黄 白 白 x y O A B C M H N 图9 P 因此，当购进A 型号彩电7台、B 型号彩电13台时，电器城获得的利润最大，最大利润为5300 元. ………………(9分) (注:其它解法可参照本解法给分) 26.解：（1）抛物线k x y ++=2)1(的对称轴为：直线1-=x .…………(1分) ∵抛物线k x y ++=2)1(过点C （0，3-），则k ++=-2)10(3， ∴4-=k .…………(2分) （2）如图9，根据两点之间线段最短可知，当P 点在线段AC 上就可使PC PA +的值最小，又因为P 点要在对称 轴上，所以P 点应为线段AC 与对称轴直线1-=x 的交点. 由（1）可知，抛物线的表达式为：324)1(22-+=-+=x x x y . 令0=y ，则04)1(2=-+x ，解得：31-=x ，12=x . 则点A 、B 的坐标分别是A （3-，0）、B （1，0）. 设直线AC 的表达式为b kx y +=，则 ???-==+-303b b k 解得：? ??-=-=31 b k 所以直线AC 的表达式为3--=x y .…………(3分) 当1-=x 时， 23)1(-=---=y ， 所以，此时点P 的坐标为（1-，2-）. ………… (4分) （3）①依题意得： 当点M 运动到抛物线的顶点时，△AMB 的面积最大. 由抛物线表达式4)1(2-+=x y 可知，抛物线的顶点坐标为（1-，4-）. ∴点M 的坐标为（1-，4-）. …………(5分) △AMB 的最大面积84)13(21 =?+?=?A MB S . …………(6分) ②方法一： 如图9，过点M 作x MH ⊥轴于点H ，连结AM 、MC 、CB . 点M 在抛物线上，且在第三象限，设点M 的坐标为（x ，322-+x x ），则 OBC OHMC AMH AMCB S S S S ??++=梯形四边形 3121 ))(323(21)32)(3(2122??+-+--++--+= x x x x x x 62 9 232+-- =x x …………(7分) 8 75 )23(232+ +-=x . 当2 3 -=x 时，四边形AMCB 的面积最大，最大面积为875.………(8分) 当23- =x 时，4 15 3)23(2)23(3222-=--?+-=-+x x . ∴四边形AMCB 的面积最大时，点M 的坐标为（23- ，4 15 -）. (9分) 方法二： 如图9，过点M 作x MH ⊥轴于点H ，交直线AC 于点N ，连结AM 、MC 、CB . 点M 在抛物线上，且在第三象限，设点M 的坐标为（x ，322-+x x ），则 点N 的坐标为（x ，3--x ），则x x x x x MN 3)32(322--=-+---=. 则AMC ABC AMCB S S S ??+=四边形3)3(2 1 3)13(212?--+?+?=x x 62 9 232+-- =x x …………(7分) 8 75 )23(232+ +-=x . 当2 3 -=x 时，四边形AMCB 的面积最大，最大面积为875.………(8分) 当23- =x 时，4 15 3)23(2)23(3222-=--?+-=-+x x . ∴四边形AMCB 的面积最大时，点M 的坐标为（23- ，4 15 -）. (9分)
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