2.1.1 指数与指数幂的运算（2）
教学目的：进一步掌握根式、分数指数幂的运算，掌握幂的运算性质，会进行有理数 范围内的幂的运算。了解无理数指数幂的意义。
教学重点：根据分数指数幂的运算性质进行幂的运算。
教学难点：无理数指数幂的逼近值的理解。
教学过程
一、复习提问
1、n 为奇数时，n n a ＝？ n 为偶数时，n n a ＝？
2、n m
a ＝？n m
a -＝？（a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1）
二、新课
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r ，s 有：（1）s r a a ＝s r a + （a ＞0，r ，s ∈Q ）
（2）s r a )(＝rs a （a ＞0，r ，s ∈Q ）
（3）r ab )(＝r r b a （a ＞0，b ＞0，r ∈Q ）
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a ＞0） 解：a a ?3＝2
1
3a a ?＝213+a ＝27a 322a a ?＝322a a ?＝3832
2a a
=+ 3a a ＝2131)(a a ?＝3261
216121a a a a ==?+
例4、计算下列各式（式子中字母都是正数）：
解：（1）（22132
b a ）（－63121b a ）÷（－36561b a ）
＝［2×（－6）÷（－3）］6531216121
32-+-+b a
＝4a
（2）（883
41
)-n m ＝（32883
841)()--=n m n m
例5、计算下列各式：
（1）4325)12525(÷-＝555
561212321
32
-=---＝65－5 （2）322a
a a
?（a ＞0）＝6532
212a a =--＝65a 无理数指幂
25中指数是无理数，近似值看表（P62） 当2的过剩近似值从大于2的方向逼近2时，25的近似值从大于25的方向逼近 25。 当2的不足近似值从小于2的方向逼近2时，25的近似值从小于25的方向逼近 25。
变化规律可以用数轴来直观表示。
一般地，无理数指数幂a n （a ＞0，a 是无理数）是一个确定的数，有理数指数幂 的运算性质同样适用于无理数指数幂。
练习：P63 3、4
作业：P69 2、3、4
2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习
1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{><
§2.1.1指数与指数幂的运算（2） 学习目标 1. 理解分数指数幂的概念； 2. 掌握根式与分数指数幂的相互转化； 3 掌握有理数指数幂的运算. 预习案 预习课本P 50—P 52 页内容 1．正数a 的正分数指数幂=n m a （),,0*N n m a ∈> 2．正数a 的负分数指数幂=- n m a （),,0*N n m a ∈> 3．s r a a ?= （其中),,0Q s r a ∈> 4．s r a )( = （其中),,0Q s r a ∈> 5．s b a )(?= （其中),0,Q s b a ∈> 预习自测 1. 求下列各式的值： （1）3 28 （2）2 1100- （3）2 39- 2．用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）a a ?2 （2）323a a ? （3）a a 3．计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a 3 2b 2 1)(-6a 2 1b 3 1)÷(-3a 6 1b 6 5); （2）(m 4 1n 8 3- )8. 我的疑问
探究案 自主探究一: (1)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0, ①510a =55 2)(a =a 2 =a 5 10; ②8a =2 4)(a =a 4 =a 2 8; ③4 12 a =44 3)(a =a 3 =a 4 12; ④210a =22 5)(a =a 5 =a 2 10. (2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗？ 4 35,357,57a ,n m x (x>0,m,n∈+N ,且n>1). (3)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (4)0的正分数指数幂等于多少？0有负指数幂吗？ (5)负整数指数幂的意义是怎样规定的? 合作探究 例1． 已知231 21 1322[()()] a b a b ab a ------==求的值. 变题1：已知31 =+-x x ，求下列各式的值：（1）2 12 1- +x x 例2． 比较63123,11,5的大小.
课时4指数函数 一. 指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方 根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n 为奇数时， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等 于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
二.指数函数及其性质（4）指数函数
三.例题分析 1.设a 、b 满足0
指数与指数幂的运算 课题：指数与指数幂的运算 课型：新授课 教学方法：讲授法与探究法 教学媒体选择：多媒体教学 学习者分析： 1.需求分析：在研究指数函数前，学生应熟练掌握指数与指数幂的运算，通过本节内容将指数的取值范围扩充到实数，为学习指数函数打基础. 2.学情分析：在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算，但是这对我们研究指数函数是远远不够的，通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入. 学习任务分析： 1.教材分析：本节的内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如推广思想，逼近思想，教材充分关注与实际问题的联系，体现了本节内容的重要性和数学的实际应用价值. 2.教学重点：根式的概念及n次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质；分数指数幂与根式的互化. 3.教学难点：n次方根的性质；分数指数幂的意义及分数指数幂的运算. 教学目标阐明：
1.知识与技能：理解根式的概念及性质，掌握分数指数幂的运算，能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化. 2.过程与方法：通过探究和思考，培养学生推广和逼近的数学思想方法，提高学生的知识迁移能力和主动参与能力. 3.情感态度和价值观：在教学过程中，让学生自主探索来加深对n 次方根和分数指数幂的理解，而具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面. 教学流程图： 教学过程设计： 一．新课引入：
（一）本章知识结构介绍 （二）问题引入 1.问题:当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内含量P 与死亡年数t 之间的关系： （1）当生物死亡了5730年后，它体内的碳14含量P 的值为 （2）当生物死亡了5730×2年后，它体内的碳14含量P 的值为 （3） 当生物死亡了6000年后，它体内的碳14含量P 的值为 （4）当生物死亡了10000年后，它体内的碳14含量P 的值为 122 12?? ???6000 5730 12?? ???100005730 12?? ? ??
高中数学练习：指数与指数函数 基础巩固(时间：30分钟) 1.函数y=a x-(a>0，且a≠1)的图象可能是( D ) 解析：若a>1时，y=a x-是增函数; 当x=0时，y=1-∈(0，1)，A，B不满足; 若0
高考数学知识点：指数函数、函数奇偶性指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 可以看到： （1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3）函数图形都是下凹的。 （4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y 轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。（7）函数总是通过（0，1）这点。 （8）显然指数函数无界。 奇偶性 注图：（1）为奇函数（2）为偶函数
1．定义 一般地，对于函数f(x) （1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 （2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 （3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 （4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。 （分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论） ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2．奇偶函数图像的特征： 定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象
分数指数幂 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2>=m m m 3、求下列各式的值 （1）2 325= （2）32 254- ?? ??? = 4、解下列方程 （1）13 1 8 x - = （2）151243 =-x 分数指数幂（第 9份）答案 153 ,a a 2、33 2 22 ,x y m 3、（1）125 （2） 8125 4、（1）512 （2）16 指数函数（第 10份） 1、下列函数是指数函数的是 （ 填序号） （1）x y 4= （2）4 x y = （3）x y )4(-= （4）2 4x y =。 2、函数)1,0(12≠>=-a a a y x 的图象必过定点 。 3、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数，求实数a 的取值范围 。 4、如果指数函数x a x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是 （ ） A 、2a C 、21< 5、下列关系中，正确的是 （ ） A 、51 31 )21()21(> B 、2.01.022> C 、2 .01.022--> D 、11 5311()()22 - - > 6、比较下列各组数大小： （1）0.5 3.1 2.3 3.1 （2）0.3 23-?? ? ?? 0.24 23-?? ? ?? （3） 2.52.3- 0.10.2- 7、函数x x f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 函数x x f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 8、求满足下列条件的实数x 的范围： （1）82>x （2）2.05 高一数学 指数函数平移问题 ⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x ＋a )的图象;向右平移a 个单位得到f (x －a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )＋a 的图象;向下平移a 个单位得到f (x )－a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，∴值域是≤＜．0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）4 12 -=x y ； （2）|| 2()3 x y =； （3）12 41 ++=+x x y ； 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 及时演练 指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 【例3】比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 358945 12--() 2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时） 第一课时根式 教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念； 2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质； 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法：学导式 教学过程： （I）复习回顾 引例：填空 m n =(m,n∈Z)； a+ （II ）讲授新课 1.引入： （1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m n a a ÷可看作m n a a -?,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +?=；又因为n b a )(可看作 m n a a -?，所以n n n b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =?(n ∈Z)）,这是为下面学习分 数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。 （2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如： 分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。由此，可有： 2.n 次方根的定义：（板书） 问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？ 分析过程： 解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为5)2(-=-32，所以-2是-32的5次方根； 因为632a )a (=，所以a 2是a 6的3次方根。 结论1：当n 为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a 的n 次方根可表示为n a x =。 从而有：3273=，2325-=-，236a a = 解：因为4216=，16)2(4=-，所以2和-2是16的4次方根； 第四课：指数函数（一） 知识点一、指数幂的运算 ??? ?? ???==-r s r s r s r s a a a a 1 该式成立的条件必须是：_________ 反例： ?? ?-=____ , ____ ,为当为当n a n a a n n 正例： 1、字母化简 例1：已知0,0>>b a ,化简： （1） ()6 a - （2）a a a a （3） ??? ? ??-÷--- 32653 14 1412b a b a 练习：（1） 3 4 3 5 3 5 2 3a b b a ? （2）31 31 31 323131323 1 2124)8(a a b a b a b b a a ?????? ??-÷++- 2、例2：（1）63125.132?? （2） 21 4 10 3 101.0168187)064.0(-+?? ? ??+??? ??-- 3、“双重根式”的化简 例3：223- （2）324+ （3）2611- 练习：（1）625+ （2）32- （3）53+ 4、条件求值——整体法 高考必备：立方和（差）公式： 例4：已知()032 12 1>=+-x x x ，求下列各式的值： （1）1-+x x （2）22-+x x （3） 2 32 3-+x x 练习：已知433=--x x ，求下列各式的值： （1）x x 1 - （2）22-+x x （3）x 知识点二、指数函数 1、定义：R x a y x ∈=,. 底数.10≠>a a 且 例:1：下列函数中，哪些是指数函数__________ ; 121)12()8(;)7(;4)6(;)5(;)4()4(;4)3(;)2(;4)1(24?? ? ??≠>-====-=-===a a a y x y y y y y x y y x x x x x x x 且πx x y y -+==8)10(;4)9(1 2、指数函数的图像和性质 3、比较指数幂大小 （1）同底不同指：1.01.075.0_____75.0- 方法一：考查指数函数： 方法二：考查幂函数： 练习： 7.08.03_____3 课题：指数与指数幂的运算(一) 课 型：新授课 教学目标： 了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念 教学重点：掌握n 次方根的求解. 教学难点：理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景 教学过程： 一、复习准备： 1、提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？（2a 、3a ） 2、回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根；如果一 个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根. → 二. 讲授新课: 1. 教学指数函数模型应用背景： ① 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性. 实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a 万，则x 年后人口数为多少万？ 实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次） 计算：若报纸长50cm ，宽34cm ，厚0.01mm ，进行对折x 次后，问对折后的面积与厚度？ ② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x 年后GDP 为2000年的多少倍？ 书P52 问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后 体内碳14的含量P 与死亡时碳14的关系为57301()2 t P =. 探究该式意义？ ③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学. 2. 教学根式的概念及运算： ① 复习实例蕴含的概念：2(2)4±=,2±就叫4的平方根；3327=，3就叫27的立方根. 探究：4(3)81±=,3±就叫做81的？次方根, 依此类推,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根. ② 定义n 次方根：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根.( n th root ),其中1n >,n *∈N 例如：328=2= ③ 讨论：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？, 例如: 33-, 记：x 当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？ 例如: 4(3)81±=,81的4次方根就是3±, 记： 强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即. 0= ④ 练习：4b a =,则a 的4次方根为 ； 3b a =, 则a 的3次方根为 . ⑤ radical ）, 这里n 叫做根指数（radical exponent ）, a 叫做被开方数（radicand ）. ⑥ 计算2→ 探究： n 、n n a 的意义及结果？ （特殊到一般） n a =. 当n 是奇数时，a a n n =；当n (0)||(0)a a a a a ≥?==?- 指 数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 2.1指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 3433)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 2.1.1（2）指数与指数幂的运算（教学设计） 内容：分数指数幂 一、教学目标 （一）知识目标 （1）理解根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。 （2）理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。 （二）能力目标 （1）学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力． （2）让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想． （3）训练学生思维的灵活性 （三）德育目标 （1）激发学生自主学习的兴趣 （2）养成良好的学习习惯 教学重点： 次方根的概念及其取值规律。 教学难点：分数指数幂的意义及其运算根据的研究。 教学过程： 一、复习回顾，新课引入： 指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展。引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义。 ．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出 及 ，同时追问这里 的由来。 二、师生互动，新课讲解： 1.分数指数幂 看下面的例子： 当0>a 时， （1）2552510)(a a a ==，又5102=，所以510 510a a =； （2）3443412)(a a a ==，又4123=，所以412 412a a =． 从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式． 那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？ 根据n 次方根的定义，规定正数的正分数指数幂的意义是：n m n m a a =（0>a ，1*,,>∈n N n m ）． 0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂无意义. 由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当0 指数与指数幂的运算 1、有理数指数幂的分类 （1）正整数指数幂()n n a a a a a n N *=????∈64748 L 个； （2）零指数幂)0(10≠=a a ； （3）负整数指数幂()10,n n a a n N a -* =≠∈ （4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 （1）()0,,m n m n a a a a m n Q ==>∈ （2）()()0,,n m mn a a a m n Q =>∈ （3）() ()0,0,m m m ab a b a b m Q =>>∈ 知能点2：无理数指数幂 若a ＞0，P 是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。 知能点3：根式 1、根式的定义：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中( )* ∈>N n n ,1， n a 叫做根式， n 叫做根指数，a 叫被开方数。 2 （1）n N ∈，且1n >； （2）当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则???<-≥==0 0a a a a a a n n ； （3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。 3、我们规定： （1）)0,,,1m n a a m n N n * =>∈>； （2）)10,,,1m n m n a a m n N n a -*= = >∈> 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）3 4 a = （3）35 a -= （4）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2>= m m m （3）85 - ?? = （4= （5= ； （6）a a a = ； （7） =?a a 2 （8）=?323a a （9）=a a （10） =35 6 q p 3、求下列各式的值 （1）2 38= ；（2）12 100- = ； （3）3 1()4 -= ；（4）3 416()81-= （5）3227= ；（6）23)4936(= ；（7）23)4 25 (-= ；（8）23 25= （9）12 2 [(] - = （10）(1 2 2 1?????? = （11）=3 264 2.3指数与指数幂的运算 班级___________姓名____________ 一、选择题（共5小题；共25分） 1. 下列各式中正确的是 ( ) A. √(?2)26 =(?2)1 3 B. √x 3y 34 =xy 3 4(x >0,y >0) C. 223 =a 13 ?b 13 D. √x y 3 =(y x ) ?1 3 (x ≠0,y ≠0) 2. 将 532 写成根式，正确的是 ( ) A. √523 B. √3 C. √3 25 D. √53 3. 下列运算中，正确的是 ( ) A. a 2a 3=a 6 B. (?a 2)5=(?a 5)2 C. (√a ?1)0 =0 D. (?a 2)5=?a 10 4. ?25 可化为 ( ) A. a ? 25 B. a 52 C. a 25 D. ?a 52 5. 若点 (a,9) 在函数 y =3x 的图象上，则 tan aπ6 的值为 ( ) A. 0 B. √33 C. 1 D. √二、填空题（共4小题；共20分） 6. 将 ?√223 化为分数指数幂的形式为 ． 7. 计算：(14) ?2 +(1 6 √2)0 ?271 3= ． 8. (1) n ∈N ? 时，(√a n )n = ． (2) n 为正奇数时，√a n n = ；n 为正偶数时，√a n n = ． 9. 若 log a 2=m ，log a 3=n ，则 a 2m+n = 三、解答题（共3小题；共39分） 10. 求值： (1) 4? 32 +(?27 8 )2 3 ?(0.1)0； (2)[(1?√2)2]12 ?(1+√2) ?1 ?1+213÷214． 第四课:指数函数(一) 知识点一、指数幂的运算 ??? ? ? ? ?? ==-r s r s r s r s a a a a 1 该式成立的条件必须是：_____＿＿__ 反例： ?? ?-=____ , ____ ,为当为当n a n a a n n 正例： 1、字母化简 例1:已知0,0>>b a ,化简: （１） ()6 a - (2)a a a a （3) ??? ? ??-÷--- 32653 14 1412b a b a 练习:（1） 3 4 3 5 35 2 3 a b b a ? (2)313131 323131323 1 2124)8(a a b a b a b b a a ????? ? ??-÷++- 2、例2：（1）63125.132?? (2) 21 4 10 3 101.0168187)064.0(-+?? ? ??+??? ??-- 3、“双重根式”的化简 例３：223- （２)324+ (3）2611- 练习：(1）625+ （２）32- （3）53+ 4、条件求值——整体法 高考必备：立方和（差）公式: 例4：已知()032 12 1>=+-x x x ,求下列各式的值： （1）1-+x x （２）22-+x x （3） 2 32 3-+x x 练习:已知433=--x x ，求下列各式的值: （1）x x 1 - (2）22-+x x （3)x 知识点二、指数函数 1、定义：R x a y x ∈=,． 底数.10≠>a a 且 例:1:下列函数中,哪些是指数函数＿_＿_______ ; 121)12()8(;)7(;4)6(;)5(;)4()4(;4)3(;)2(;4)1(24?? ? ??≠>-====-=-===a a a y x y y y y y x y y x x x x x x x 且πx x y y -+==8)10(;4)9(1 2、指数函数的图像和性质 3、比较指数幂大小 （1）同底不同指:1.01.075.0_____75.0- 高一（ ）班 座号： 姓名： 知能点1：有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类 （1）正整数指数幂()n n a a a a a n N *=????∈个 ； （2）零指数幂)0(10≠=a a ； （3）负整数指数幂()10,n n a a n N a -* = ≠∈ （4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 （1）()0,,m n m n a a a a m n Q ==>∈ （2）()()0,,n m mn a a a m n Q =>∈ （3） ()()0,0,m m m ab a b a b m Q =>>∈ 知能点2：无理数指数幂 若a ＞0，P 是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。 知能点3：根式 1、根式的定义：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中( )* ∈>N n n ,1， n a 叫做根式， n 叫做根指数，a 叫被开方数。 2 （1）n N ∈，且1n >； （2）当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ； （3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。 3、我们规定： （1）)0,,,1m n a a m n N n * =>∈>； （2）)10,,,1m n m n a a m n N n a -*= = >∈> 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）3 4 a = （3）35 a -= （4）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2>= m m m （3）85 - ?? = （4= （5= ； （6）a a a = ； （7） =?a a 2 （8）=?323a a （9）=a a （10） =35 6 q p 3、求下列各式的值 （1）2 38= ；（2）12 100- = ； （3）3 1()4 -= ；（4）3 416()81-= （5）3227= ；（6）23)4936(= ；（7）23)4 25 (-= ；（8）23 25= （9）12 2 [(]- = （10）(1 2 2 1?????? = （11）=3 264 4.化简 2.1.1指数与指数幂的运算练习题 1、有理数指数幂的分类 （1）正整数指数幂()n n a a a a a n N *=????∈64748 L 个； （2）零指数幂)0(10≠=a a ； （3）负整数指数幂()10,n n a a n N a -* =≠∈ （4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 （1）()0,,m n m n a a a a m n Q ==>∈ （2）()()0,,n m mn a a a m n Q =>∈ （3）() ()0,0,m m m ab a b a b m Q =>>∈ 知能点2：无理数指数幂 若a ＞0，P 是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。 知能点3：根式 1、根式的定义：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中( )* ∈>N n n ,1， n a 叫做根式， n 叫做根指数，a 叫被开方数。 2 （1）n N ∈，且1n >； （2）当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则???<-≥==0 0a a a a a a n n ； （3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。 3、我们规定： （1）)0,,,1m n a a m n N n * =>∈>； （2）)10,,,1m n m n a a m n N n a -*= = >∈> 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）3 4 a = （3）35 a -= （4）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2>= m m m （3）85 - ?? = （4= （5= ； （6）a a a = ； （7） =?a a 2 （8）=?323a a （9）=a a （10） =35 6 q p 3、求下列各式的值 （1）2 38= ；（2）12 100- = ； （3）3 1()4 -= ；（4）3 416()81-= （5）3 227= ；（6）23)4936(= ；（7）2 3)4 25(-= ；（8）23 25= （9）12 2 [(]- = （10）(1 2 2 1?????? = （11）=3 264 4.化简 指数函数 (一)指数函数的概念： 函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数.其中x 是自变量.函数的定义域为R . 在以前我们学过的函数中，一次函数用形如)0(≠+=k b kx y 的形式表示，反比例函数用形如)0(≠= k x k y 的形式表示，二次函数用)0(2≠++=a c bx ax y 的形式表示．这些函数对其一般形式上的系数都有相应的限制．给定一个函数要注意它的实际意义与研究价值. 思考：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？ 将a 如数轴所示分为：a <0,a =0,01五部分进行讨论： (1)如果a <0, 比如y =(-4)x ，这时对于等，在实数范围内函数值不存在； (2)如果a =0， 、 (3)如果a =1，y =1x =1，是个常值函数，没有研究的必要； （4)如果01即a >0且a ≠1，x 可以是任意实数。 很好，所以有规定10≠>a a 且（对指数函数有一初步的认识）. （二）指数函数的图象与性质： 研究内容：定义域、值域、图象、单调性、奇偶性. 指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象与性质： (四)指数函数性质的简单应用 例1. 比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1 分析：对于这样两个数比大小，观察两个数的形式特征（底数相同，指数不同），联想指数函数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用函数的单调性比较大小． 说明：1. 当底数相同且明确底数a 与1的大小关系时：直接用函数的单调性来解． 2．当底数相同但不明确底数a 与1的大小关系时： 要分情况讨论． 3．当底数不同不能直接比较时：可借助中间数，间接比较上述两个数的大小． 解 : (1) 考察指数函数 y =1.7x , 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y =1.7x 在R 上是增函数 因为 2.5< 3, 所以 1.72.5<1.73 1a > 01a << 图 象 性 质 （1）定义域：(,)-∞+∞ （2）值域： (0,)+∞ （3）过定点(0,1)，即当0=x 时，1=y （4）在(,)-∞+∞上是增函数 （4）在(,)-∞+∞上是减函数高一数学指数函数经典例题
指数与指数幂的运算备课教案
高一数学指数函数题型复习(一)
高中数学指数与指数幂的运算(一)
高一数学指数函数知识点及练习题含答案
指数与指数幂的运算(教学设计)
指数与指数幂的运算
2.3指数与指数幂的运算
高一数学指数函数题型复习(一)
2[1].1.1指数与指数幂的运算练习题(整理)1
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