第2章 插值法
1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底
设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=， 所以：6421111111111222
211
200
-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222
2211
1200
00-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1
)(1222
21120022221120
01=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 656542*********
1311011111)(1)(1)(1222211
200
2211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337
)(x x x P ++-
= （2）用Lagrange 插值基底
)21)(11()2)(1()
)(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l )21)(11()2)(1()
)(()
)(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l )12)(12()1)(1())(()
)(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x l
Lagrange 插值多项式为：
37
2365
)1)(1(314)2)(1(61)3(0)
()()()()()()(22211002-
+=+-?+--?
-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L 所以f(x)的二次插值多项式为：2
2652337)(x x x L ++-
= (3) 用Newton 基底:
均差表如下：
Newton 37
2365
)1)(1(65)1(230)
)(](,,[)](,[)()(21021001002-+
=+-+-+
=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N 所以f(x)的二次插值多项式为：2
265
23
37)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
6、在44≤≤-x 上给出x e x f =)(的等距节点函数表，若用二次插值求e x 的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h 应取多少？ 解：以x i-1,x i ,x i+1为插值节点多项式的截断误差，则有
),(),)()()((!31)(11112+-+-∈---'''=i i i i i x x x x x x x x f x R ξξ
式中.,11h x x h x x i i +=-=+-
3
4
34114239313261))()((max
61)(11h e h e x x x x x x e x R i i i x x x i i =≤---=+-≤≤+-
令634
1039-≤h e 得00658.0≤h
插值点个数
12178.12161)
4(41≤=---+N
是奇数，故实际可采用的函数值表步长
006579.012168
1)
4(4≈=---=N h
8、13)(47+++=x x x x f ，求]2,,2,2[710 f 及]2,,2,2[810 f 。
解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：
],[,!)(],,,[)(10b a n f x x x f n n ∈=ξξ 所以有：1!7!7!
7)
(]2,,2,2[)7(710===ξf f
0!80
!8)
(]2,,2,2[)8(810===ξf f
15、证明两点三次Hermite 插值余项是
),(,!4/)())(()(1212)4(3++∈--=k k k k x x x x x x f x R ξξ
并由此求出分段三次Hermite 插值的误差限。
证明：利用[x k ，x k+1]上两点三次Hermite 插值条件
)()(),()()
()(),()(11331133++++'=''='==k k k k k k k k x f x H x f x H x f x H x f x H
知)()()(33x H x f x R -=有二重零点x k 和k+1。设
2123)())(()(+--=k k x x x x x k x R
确定函数k(x):
当k x x =或x k+1时k(x)取任何有限值均可；
当1,+≠k k x x x 时，),(1+∈k k x x x ，构造关于变量t 的函数
2123)())(()()()(+----=k k x x x x x k t H t f t g
显然有
0)(,0)(0
)(,0)(,0)(11='='===++k k k k x g x g x g x g x g
在[x k ,x][x,x k+1]上对g(x)使用Rolle 定理，存在),(1x x k ∈η及),(12+∈k x x η使得
0)(,0)(21='='ηηg g
在),(1ηk x ，),(21ηη，),(12+k x η上对)(x g '使用Rolle 定理，存在),(11ηηk k x ∈，),(212ηηη∈k 和),(123+∈k k x ηη使得
0)()()(321=''=''=''k k k g g g ηηη
再依次对)(t g ''和)(t g '''使用Rolle 定理，知至少存在),(1+∈k k x x ξ使得
0)()4(=ξg
而!4)()()()4()4()4(t k t f t g -=，将ξ
代入，得到 )(),(!41)(1,)
4(+∈=k k x x f t k ξξ
推导过程表明ξ依赖于1,+k k x x 及x
综合以上过程有：!4/)())(()(212)4(3+--=k k x x x x f
x R ξ 确定误差限：
记)(x I h 为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite 插值函数。
n a b h n k kh a x k -==+=),,1,0(,
在区间[x k ，x k+1]上有 2
12)4(212)4()()(max )(max !41!4/)())(()()(1+≤≤≤≤+--≤--=-+k k x x x b x a k k h x x x x x f x x x x f x I x f l k ξ 而最值
)(,161)1(max )()(max 4422102121sh x x h h s s x x x x k s k k x x x l k +==-=--≤≤+≤≤+ 进而得误差估计：
)(max 3841)()()4(4x f h x I x f b x a h ≤≤≤-
16、求一个次数不高于4次的多项式)(x p ，使它满足0)0()0(='=p p ，0)1()1(='=p p ，1)2(=p 。
解：满足0)0()0(33='=H H ,1)1()1(33='=H H 的Hermite 插值多项式为
)1,0(10==x x
32221
03
332010)1(01001121)]()()()([)(x x x x x x x x H x a x H
x H j j j j j -=??
????---+??????--??????---='+=∑=β
设223)1()()(-+=x Ax x H x P ，令1)2(=P 得41=A
于是
222232)3(41
)1(412)(-=-+-=x x x x x x x P
第3章 曲线拟合的最小二乘法
解：经描图发现t 和s 近似服从线性规律。故做线性模型{}t span bt a s ,1,=Φ+=，计算离散内积有：
()61
1,150
2==∑=j ，()7.140.59.30.39.19.00,150=+++++==∑=j j t t ()63.530.59.30.39.19.00,22222250
2
=+++++==∑=j j
t t t ()280110805030100,150
=+++++==∑=j j
s s ()10781100.5809.3500.3309.1109.000,50=?+?+?+?+?+?==∑=j
j j s t s t
求解方程组得：
???
? ??=???? ?????? ??107828063.537.147.146b a 855048.7-=a ，253761.22=b
运动方程为：t s 253761.22855048.7+-=
平方误差：[]2
2502101.2)(?≈-=∑=j j j t s s
δ
用最小二乘法求形如2bx a y +=的经验公式，并计算均方差。
解： {
}2,1x span =Φ，计算离散内积有： ()51
1,1402==∑=j ，()53274438312519,12222240
22=++++==∑=j j x x
()72776994438312519,4444440
422=++++==∑=j j x
x x ()4.2718.973.730.493.320.19,140
=++++==∑
=j j y y ()5.3693218.97443.73380.49313.32250.1919,2
22224022=?+?+?+?+?==∑=j j j y x
y x
求解方程组得：
???? ??=???? ?????? ??5.3693214.271727769953275327
5b a 972579.0≈a ，05035.0=b
所求公式为：205035.0972579.0x y +=
均方误差：[]1226.0)(21
240≈???????
???-=∑=j j j y x y δ 第4章 数值积分与数值微分
1、确定下列求积分公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：
（1）101()()(0)()h
h f x dx A f h A f A f h --≈-++?；
（2）21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++?；
（3）1121()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -≈-++?；
（4）20()[(0)()]/2[(0)()]h f x dx h f f h ah f f h ''≈++-?。 解：（1）101()()(0)()h
h f x dx A f h A f A f h --≈-++?；
将2()1,,f x x x =分别代入公式两端并令其左右相等，得
1011012223
1011200203h h h h h h A A A dx h hA A hA xdx h A A h A x dx h ------?++==???-+?+==??
?+?+==??
???
解得。所求公式至少具有2次代数精确度。又由于
故4()()(0)()333h h h h h f x dx f h f f h -≈-++?
具有3次代数精确度。
（2）21012()()(0)()h
h f x dx A f h A f A f h --≈-++?
2()1,,f x x x =分别代入公式两端并令其左右相等，得
21012210122222233101221400116()033h h h h h h h h A A A dx h hA A hA xdx h A A h A x dx x h -------??++==?
?-+?+==?????-+?+===??????
??? 解得：11084,33h h A A A -===-
令3()f x x =，得23332880()03
3h
h h h x dx h h -==-+?=?
令4()f x x =，得2555244422648816()55333h h
h h x h h h h x dx h h --??==≠-+?=????? 故求积分公式具有3次精确度。
（3）1
121()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -≈-++? 当()1f x =时，易知有
1
121()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -≈-++?
令求积分公式对2(),f x x x =准确成立，即
()
11212
21
12210123123233xdx x x x x x dx --==-++-++==?
?
则解得12
0.28989790.5265986x x =-??=?或120.68989790.1265986x x =??=-? 将3()f x x =代入已确定的积分公式，则
1
121()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -≠-++?
故所求积分式具有2次代数精确度。
（4）20()[(0)()]/2[(0)()]h
f x dx h f f h ah f f h ''≈++-? 当()1,f x x =时，有
20
1[11]/2[00]h
dx h ah ≈++-? 20
[0]/2[11]h xdx h h ah ≈++-? 故令2()f x x =时求积公式准确成立，即
2220[0]/2[02]h
x dx h h ah h ≈++-? 解得1
12a =。
将34(),f x x x =代入上述确定的求积分公式，有
43322001[0]/2[03]412h h x x dx h h h h ??==++-????? 544240
01[0]/2[04]512h h x x dx h h h h ??=≠++-????? 故所求积公式具有3次代数精确度。
2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：
（1）1
20,8;4x dx n x =+?
（2
）9
1,4;n =?
（3
）6
,6n πθ=? 解（1）复化梯形公式，1
8h =
781(0)2()(1)0.11140242k k h T f f x f =??=++=????
∑ 复化辛普森公式，1
8h =
7781012(0)4()4()(1)0.11157186k k k k h S f f x f x f +==??=+++=????
∑∑ （2）2h =，341(1)2()(9)17.30600052k k h T f f x f =??=++=????
∑ 3341012(1)4()4()(9)16.72375056k k k k h S f f x f x f +==??=+++=????
∑∑ （3）36h π
=，561(0)2()() 1.035684126k k h T f f x f π=??=++=????∑ 5561012
(0)4()4()() 1.035763966k k k k h S f f x f x f π+==??=+++=????∑∑ 5、推导下列三种矩形求积公式：
2()()()()()2b a f f x dx b a f a b a η'=-+-?
； 2()()()()()2b a f f x dx b a f a b a η'=---?
； 3()
()()()()224b
a a
b f f x dx b a f b a η''+=-+-?。
解：（1）左矩形公式，将f(x)在a 处展开，得
()()()(),(,)f x f a f x a a x ξξ'=+-∈
两边在[a,b]上积分，得
()()()()()()()()b
b b a a a b
a f x dx f a dx f x a dx
b a f a f x a dx
ξξ'=+-'=-+-???? 由于x-a 在[a,b]上不变号，故由积分第二中值定理，有(,)a b η∈
()()()()()b b a a f x dx b a f a f x a dx η'=-+-?
? 从而有 21()()()()(),(,)2b a f x dx b a f a f b a a b ηη'=-+-∈?
（2）右矩形公式，同（1），将f （x ）在b 点处展开并积分，得 21
()()()()(),(,)2b a f x dx b a f a f b a a b ηη'=---∈?
（3）中矩形分式，将()f x 在
2a b +处展开，得 2()()()()()(),(,)2222
a b
a b
a b
a b
f x f f x f x a b ξξ++++'''=+-+-∈ 两边积分并用积分中值定理，得 21()()()()()()()22222b
b b a a a a b a b
a b a b
f x f b a f x dx f x dx ξ++++'''=-+-+-???
2()()()()2
2b a a b
a b f b a f x dx η++''=-+-? 31
()()()(),(,)224a b
f b a f b a a b ηη+''=-+-∈
6、若分别使用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分10x
I e dx =
?，问区间[]0,1应分多少等份才能使截断误差不超过51102-?。 解：由于(4)()()(),1x f x e f x f x b a ''===-=
由复合梯形公式的余项有：
[]2
25111()1012122n b a R f h f e n ξ--??''=-≤≤? ??? 解得212.85n ≥可取213n =
由辛普森公公式的余项有：
[]4(4)451
11()()10288028802n b a R f h f n ξ--=≤≤? 解得 3.707n ≥可取4n =
8、用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过510-
（1
10x
e dx ； （2）20
sin x xdx π?； （3
）30
?。
解：（1）101()(1)(1)21()()2(),024,1,2,3,4
n n n i i k k k k k n n k h T f x f x f x k T T T k -=---???=++=??????=?-?=??∑
18、用三点公式求21()(1)f x x =
+在 1.0,1.1,1.2x =处的导数值，并估计误差。的
[]2001201()3()4()()()23h f x f x f x f x f h
ε''''=-+-+ []210111
()()()()26h f x f x f x f h
ε''''=-+- []2201221
()()4()3()()23h f x f x f x f x f h ε''''=-++
02(,),0,1,2i x x i ε∈=
取表中 1.0,1.1,1.2x =，分别将有关数值代入上面三式，即可得导数近似值。 由于()551.0 1.2 1.0 1.24!4!()m ax ()m ax 0.7521i x x f f x x ε≤≤≤≤''''''≤===+
数值积分法,令()()x f x ?'=，由
11()()()k k x k k x f x f x x dx ?++=+?
对积分采用梯形公式，得
[]311111()()()()()(),(,)212k k k k k k k k k k k k x x x x f x f x x x x x ???ηη+++++--''=++-∈ 令k=0,1,得
[]01102()()()()x x f x f x h ??+≈
- []12212()()()()x x f x f x h ??+≈-
同样对
1111()()()k k x k k x f x f x x dx ?+-+-=+?
有
[]31111111111()()()()()(),(,)212k k k k k k k k k k k k x x x x f x f x x x x x ???ηη+-+-+--+-+--''=++-∈ 从而有
[]02201()()()()x x f x f x h ??+≈-
代入数值，解方程，即得(),0,1,2k x k ?=如下
第5章 解线性方程的直接方法
7、用列主元消去法解线性方程组
123123123123315183156x x x x x x x x x -+=??-+-=-??++=?
并求出系数矩阵A 的行列式的值。
[]18
3115183115123315771731183115015036186111622
6671731000
776186A b ?
????
???-------????????????=----???????????????
?????????
7
22
186667A =-??=-
3213,2,1x x x ===
8、用直接三角分解求线性方程组的解。
1231231231119
45611183
451282
x x x x x x x x x ?++=???++=???++=?? 解：由公式111111(1,2,,),/,2,3,,i i i i u a i n l a u i n ====
1
1
,,1,,;r ri ri rk ki k u a l u i r r n -==-=+∑
1
1()/,1,,;r ir ir ik kr rr k l a l u u i r n r n
-==-=+≠∑ 知
1111
004564111003
60452361130015A LU ?????????????
?==--????????-????????
1
00941083
82361b LY Y ?????????
?===??????????-??
94154Y ??
??=-??
??-??
1
11456911046045154130015U X X Y ???????
?????=--===-???
???-?
?????????
123227.08,476.92,177.69x x x =-==-
12、设0.60.50.10.3A ??= ???
,计算A 的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 解：11
1.1m ax n ij i n
j A a ∞≤≤===∑ 1110.8m ax n ij j n i A a ≤≤===∑
2
2,10.8426150n ij F i j A a =??==
= ???
∑ 0.60.10.6
0.50.370.330.5
0.30.10.30.330.34T A A ??????==???????????? m ax ()0.6853407T A A λ=
13、求证：（1）1x x n x ∞∞≤≤；（2
2F F A A ≤≤
证明：（1）由定义知
111111m ax
m ax n n i i i i n i n i i i x x x x x x n x ∞
∞∞≤≤≤≤===∞=≤=≤==∑∑∑
1x x n x ∞∞≤≤
（2）由范数定义，有
2
max 122()()()()T T T T n A A A A A A A A A λλλλ=≤+++
222
22212211111n n
n n n i i in ij F i i i j i A a
a a a A ======+++==∑∑∑∑∑
()()()2
2
12211
m ax()T T T N F A A T A A A A A A A A n n λλλλ??=≥++++=??
故2F F A A ≤≤
第6章 解线性方程的迭代法
1、设线性方程组
1231231
235212422023106x x x x x x x x x ++=-??-++=??-+=?
（1） 考察用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程组的收敛性；
（2） 用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程组，要求当
(1)()
410k k x x +-∞-<时迭代终止。
解：（1）因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比迭代法与高斯-塞德迭代法均收敛。
（2）雅可比迭代法格式为
(1)()()123(1)()()213(1)()()31221125551154213351010k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++?=---???=-+??
?=-++??
取(0)(1,1,1)T x =，迭代到17次达到精度要求
(0)( 4.0000186,2.9999915,2.0000012)T x =-
高斯-塞德迭代格式为
(1)()()123(1)()()213(1)()()31221125551154213351010k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++?=---???=-+??
?=-++??
取(0)(1,1,1)T x =，迭代到8次达到精度要求
(0)( 4.0000186,2.9999915,2.0000012)T
x =-
第七章
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ数值分析试题及答案汇总
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
数值计算方法试题一 一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。 二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1），（2），（3），（4）， （1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4)
三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 （2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中 ， （1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。 五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如 （1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若
第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)
第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为
1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
第一章绪论 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差 是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限） 为的相对误差，当较小时，令 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即： 绝对误差有量纲，而相对误差无量纲 若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共 有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。 例：设x==3.1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。 科学计数法：记有n位有效数字，精确到。 由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为 由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字 令 1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限） 的和 2.x-y近似值为 3.xy近似值为 4. 1．避免两相近数相减 2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数
4．尽量减少计算工作量 第二章非线性方程求根 1.逐步搜索法 设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为 (a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从 x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|< 为止，此时取 x*≈(x k+x k-1)/2作为近似根。 2.二分法 设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.将[a0,b0]对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0)。 3.比例法 一般地，设 [a k,b k]为有根区间，过(a k, f(a k))、 (b k, f(b k))作直线，与x轴交于一 点x k,则： 1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。 2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列（递推公式），使该点列收敛到方程的根。——这正是迭代法的基本思想。 事先估计: 事后估计 局部收敛性判定定理： 局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确解的附近 Steffensen迭代格式： Newton法： Newton下山法：是下山因子 弦割法：
￥ 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么（1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） ()3 1 3+ ，（4） ()6 1 1 ，（5）99- , 数值实验 数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。 Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。 数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 $ r e x x e x x ** * ** - == 141 . ≈)61
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ最新数值分析历年考题
数值分析A 试题 2007.1 第一部分：填空题10?5 1.设3112A ?? = ??? ,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ??= ??? 分解成T A LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________ ,请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bx f x ae =中的参数：a = ___________ b =___________ 4.方程13 cos 2044x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =，迭代方法 113 cos 244 k k x x π+=-的收敛阶是 5.解方程2 210x x -+=的Newton 迭代方法为___________，其收敛阶为___________ 6.设()s x = 323 2 323,[0,1]31,[1,2] ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________ b =___________ 7.要想求积公式： 1 121 ()(()f x dx A f f x -≈+? 的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________ 8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设 ,0,f y μμ=?其绝对稳定性空间是___________ 9.用线性多步法 2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________，此时该方法是几阶的：___________
第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3
X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?
数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0( 1、 方程组中，，则求解方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代均收敛的a 的范围是___________。 2、，则A 的LDL T 分解中，。 3、，则__________，_______________. 4、已 知，则用复合梯形公式计算求 得，用三点式求得____________. 5、，则_________ ，三点高斯求积公式______________. 6设* 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则* x 有________位有效数字。 7 3()1,[0,1,2,3]f x x x f =+-=设 则差商(均差)_____________，[0,1,2,3,4]f =________________。 8 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________。 9.梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式_____（对或错）。 10.牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0n n k k C ==∑__________________。 11.用二次拉格朗日插值多项式2()sin0.34L x 计算的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。 12.用二分法求方程3()10[1.0,1.5]f x x x =--=在 区间内的一个根，误差限 210ε-=。 13.用列主元消去法解线性方程组 1231231 232346,3525,433032.x x x x x x x x x ++=??++=??++=? 14. 确定求积公式 012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h -≈-++? 。 中待定参数i A 的值(0,1,2)i =，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。 15、 试求使求积公式的代数精度 尽量高，并求其代数精度。 16.证明区间[a,b]上带权()x ρ的正交多项式(),1,2,n P x n = 的n 个根都是单根，且位于区间(a,b)内。 17.设()()[,],max ()n n a x b f x C a b M f x ≤≤∈=，若取 21cos ,1,2,,222k a b a b k x k n n +--=+= 作节点，证明Lagrange 插值余项有估计式21()max ()!2n n n a x b M b a R x n -≤≤-≤ 18用n=10的复化梯形公式计算时， （1）试用余项估计其误差 （2）用n=10的复化梯形公式计算出该积分的近似值。 19已知方程组AX ＝f,其中 （1）列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （2）求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，SOR 迭代法的最佳松弛参数 和SOR 法 的谱半径(可直接用现有结论) 20试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？ 21证明方程=)(x f x 2-x -3=0在区间(2,3)内有且仅有一个根,并用迭代法求方程在区间(2,3)内的根,精确到小数点后4位。 22设f (1)=2，f (3)=4，f (4)=6，用拉格朗日插值法求f (x )的二次插值多项式P 2(x )，并求f (2)的近似值。 数值计算方法考试试题 一、选择题（每小题4分，共20分） 1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ） A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差； B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差； C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差； D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。 2. 若132)(3 56++-=x x x x f ，则其六阶差商 =]3,,3,3,3[6210 f （ C ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 （ D ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 （ B ） A. 都发散； B. 都收敛 C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散； D. Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。 5. 对于试验方程y y λ='，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ） A. 02≤≤-h ； B. 0785.2≤≤-h ； C. 02≤≤-h λ； D. 0785.2≤≤-h λ ； 二、填空题（每空3分，共18分） 1. 已知 ? ??? ??--='-=4321,)2,1(A x ，则 =2 x 5，= 1Ax 16 ，=2A 22115+ 2. 已知 3)9(,2)4(==f f ，则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。 3. 要使 20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。 三、利用下面数据表， 1. 用复化梯形公式计算积分 dx x f I )(6 .28 .1? =的近似值； 解：1.用复化梯形公式计算 取 2.048 .16.2,4=-= =h n 1分 分 分分7058337 .55))6.2()2.08.1(2)8.1((22.04)) ()(2)((231 1 1 4=+++=++=∑∑=-=f k f f b f x f a f h T k n k k 10.46675 8.03014 6.04241 4.42569 3.12014 f (x ) 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x数值分析模拟试题
《数值计算方法》试题及答案
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