九年级上册
教材过关二十一 二次根式
一、填空题
1.当x 为_____________时，12
+x 有意义；当x<-1时，2)1(+x =__________________. 2.当x 取_____________时，x 210+的值最小，最小值是____________；当x 取___________时，2-x -5的值最大，最大值是_____________.
3.当1 +-x x 等于_________________ 4.如果2)1(x -+2)1(x +=2,那么x 满足的条件是________________. 5.(23+35)(23-35)等于________________. 二、选择题 6.等式 x x -1= x x -1成立的条件是 A.0≤x<1 B.x ≥0 C.x<1 D.x ≥0或x<1 7.化简二次根式6)2(2?-得 A.-26 B.26 C.6 D.12 8.下列变形正确的是 A. )9)(4(--=4-×9- B.4 116 =16× 4 1=4× 2 1=2 C.2 )(b a +=|a+b| D.2 2 12 13-=13-12=1 9.若2--y x +|2x+y-7|=0,则x,y 的值是 A.?? ?==2 0y x B.???==1 3y x C.???==3 1y x D.?? ?==5 1y x 三、解答题 10.计算： (1) 3 132+2 18-5 150; (2)(5-26)×(2-3); (3)(1+2+3)(1-2-3); (4)(12-4 8 1)(2 3 1-45.0). 11.已知423+-y x +122++y x =0，求 2 2 y x +的值. 12.已知x= 2 1（5+3）,y= 2 1（5-3）,求x 2-xy+y 2和 y x + x y 的值. 13.已知长方形的长是π140 cm ，宽是π35 cm ，求与此长方形面积相等的圆的半径. 14.已知0＜x ＜1，化简：4)1(2 +-x x -4)1(2 -+ x x . 一、填空题 1答案：任何数 -x-1 提示：a 中a ≥0时有意义，在讨论被开方数时，有时以零为分界点分类讨论. 2答案：-5 0 5 2 提示：a 中a ≥0且被开方数为0时，值最小，最小值为0. 3答案：2 提示：2 a =|a|=?? ?<-≥, 0, ,0,a a a a 当1 提示：原式=|x-1|+|x+1|=2， 即|x-1|+|x-（-1）|=2，它表示在数轴上到-1与1的距离的和为2的点，画出图形可知-1≤x ≤1. 5答案：-33 提示：利用平方差公式来解，(23+35)(23-35)=(23)2-(35)2 =-33. 二、选择题 6答案：A 提示： x x -1= x x -1成立，则? ??>-≥,01, 0x x 解得0≤x<1. 7答案：B 提示：2)2(-=2. 8答案：C 提示：根据根式的基本性质得. 9答案：B 提示：几个非负数的和为零，则这几个非负数必须同时为零. 10答案：（1） 3 42； （2）112-93；（3）-4-26；（4）8-3 64. 提示：（1）利用2a =a(a ≥0)，ab =a b (a ≥0,b ≥0)化简； （2）可以利用多项式乘法法则，结合上题提示计算； （3）利用平方差公式； （4）利用多项式乘法公式化简. 11答案：42. 提示：两个非负数的和为零，则这两个非负数必须同时为零. 由此可列方程组?? ?=++=+-. 0122,0423y x y x 解得? ??-=-=,4,4y x ∴2 2y x +=42. 12答案：x 2-xy+y 2= 2 7, y x + x y =8. 提示：由已知有x+y=5,xy=4 1(52-32 )= 2 1. ∴13答案：r=70. 提示：利用面积公式列出方程π140·π35=πr 2，解得r=70. 14答案：2x. 提示： 4)1(2 +- x x -4)1(2 -+ x x = 212 2 ++ x x -212 2 -+ x x =2 ) 1(x x + - 2 )1(x x - , 因为0＜x ＜1，所以原式=x+x 1-( x 1-x)=x+ x 1- x 1+x=2x. x 2-xy+y 2=（x+y ）2 -3xy=(5)2 -3×2 1=2 7; y x +x y =xy xy y x 2)(2 -+=8. 中考数学二次根式知识归纳总结及答案一、选择题 1．计算 3 278 2 -?的结果是（） A．3B．3 -C．23D．53 2．下列运算正确的是（） A．732 -=B．()255 -=- C．1232 ÷=D．0 3812 += 3．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简2 ||(-1) a a +的结果为（） A．1 B．﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1 4．下列各式计算正确的是（） A 1 22 2 =B362 =C．2 (3)3 =D2 22 () -=-5．下列式子中，为最简二次根式的是（） A 1 2 B7C4D48 6．化简 1 x -） A x- B x C x- D x 7．设a3535 +-b633633 +- 21 b a -的值为（） A621 +B621 +C621D621 8．下列计算正确的是（） A．531883 +=B．()3223 26 a b a b -=- C．222 () a b a b -=-D． 24 2 2 a a b a a b a -+ ?=- ++ 9．当4 x= 22 2323 43124312 x x x x x x -+ - -+++ 的值为（） A．1 B3C．2 D．3 10．设0a >，0b >，且()()35a a b b a b +=+，则23a b ab a b ab -+++的值是（ ） A ．2 B ．14 C ．12 D ． 3158 11．化简（﹣3）2的结果是（ ） A ．±3 B ．﹣3 C ．3 D ．9 12．使式子 2124x x ++-成立的x 的取值范围是（ ） A ．x≥﹣2 B ．x ＞﹣2 C ．x ＞﹣2，且x ≠2 D ．x≥﹣2，且x ≠2 二、填空题 13．计算（π-3）02-211(223)-4--22 --（）的结果为_____． 14．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______． 15．方程14 (1)(1)(2)(8)(9)x x x x x x ++???+=+++++的解是______． 16．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______. 17．若0xy >，则二次根式2 y x -________． 18．11122323 -=11113-23438??= ???11114-345415??= ???据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________． 19．计算： 200820092+323?-=_________． 谈小学数学思维训练 数学思维是学习数学的核心水平，没有思维水平，什么数学问题也解决不了。若以传统的教学理念实行教育，则是少、慢、差、费，事倍功半。因为传统的教学方式是以“三中心”（课堂中心、教材中心、教师中心）为标志的。它不利于学生主体精神的发挥，不利于学生思维水平的培养。必须代之以素质教育的理念实行思维训练。 课堂教学是学生思维训练的主渠道。要增强学生思维训练的有效性，教师就必须抓住数学课堂教学的各个环节，合理使用教学方法。 一、温故知新，循序渐进。 孔子曰：“温故而知新”。构建主义的学习观认为：“每个学生的学习建构过程都是以自己原有经验系统为基础，对新信息实行编码（即对各种感官通道输入的信息实行加工，使之成为人脑能够接受的形式的加工方式）进而构建自己理解的新知识。在这个过程中，教师的主导作用也是非常重要的，所以要遵循思维训练规律。采取合理的导课方法，使学生思维由旧知向新知转换。在复习导课时，可适当设计悬念，激发学生探索知识的兴趣。如教“通分”课时，可设计几道分数大小比较的复习导入题。 ①4/1( )7/11 ②7/9( )7/10；③7/8( )8/9 在这三道题中，①②题学生能够根据已学的知识实行比较，孰大孰小。但第③题不能，教师能够提出启发性的问题：“你能不能使用学过的知识，通过转换来比较它们的大小呢?”设计学习“通分”新知识的悬念。另外，在数学课堂教学的导入时，创设适宜的教学情境，要适合学生心理发展的要求，使学生在好奇、好胜的心理状态下进入学习的“高潮”。如教“计算思维训练”课时，设计新颖的、有趣的，又富有思考挑战性的游戏型题目： ①找规律填数：2、5、10、( )、26、( )……． ②计算：1+2+3+……+49 ③计算：100—98十96—94+……十4—2 这样，让学生的思维在良好的教学情境和有层次的练习中持续深入，使学生的思维素质在由易到难的解题中得以发展和提升。复习导课时，只要根据课堂教学的内容，采取合适的导人新课的方法，不拘一格，就能达到思维转换训练的要求。 二、在新知识的传授中实行思维训练。 小学数学思维训练的八 种类型 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 小学数学思维训练的八种类型 《九年制义务教育全日制小学数学教学大纲》中指出：“学生初步的逻辑思维能力的发展，需要有一个长期的培养和训练过 程，要有意识地结合教学内容进行。”怎样在教学中，对小学生进行思维训练，许万明老师认为主要有以下八种类型。 1.求异型 这是在同一来源中产生各种各样的为数众多的输出的分析性的 思维形式，而教师可以引导学生从不同的方面探索问题的多种 答案。如16—10，可以启发学生用不同的叙述方式表述这道算式。如①16 减去10 等于几？②16减去10 还剩多少？③16 与 10 的差是多少？④10 与什么数的和是16？⑤16比10 多多少？ ⑥10 比16 少多少？⑦16 减去什么数等于10？⑧10 加上什么数 等于16？这样，既使学生透彻理解了数量关系，又训练了口头表达能力，更重要的是锻炼了学生的思维能力。其它如“一题多解”、“一题多变”等就不赘述了。 2.求同型 这是一种进行综合、概括的思维形式。如上例，教师亦可以用 几种不同的叙述方法提出几个问题，让学生归纳出16—10 的算式来。此外，还可以通过一些异中有同的习题来训练学生的抽 象概括思维能力。如： ①甲乙两人接到加工54 只零件任务，甲每天加工10 只，乙每 天加工8只，几天后完成任务？ ②一件工程，甲独做10 天完成，乙独做15 天完成，两人合作 几天完成？ ③像这些形异质同的问题，要引导学生自己总结出：工作总量 ÷工作效率=工作时间。只有这样，学生才能以不变应万变，解一题会多题，可以起到减轻学生负担的作用。 ④3.递进型 ⑤ ⑥这是一种属于逻辑判断、推理的思维形式。例如，教师在讲 授“已知一个数的百分之几是多少，求这个数。”一类题时，叮以引导学生用已掌握的“已知一个数几倍是多少，求这个数”的解题规律去进行逻辑推理，让学生自己发现新出现的百分数应用题的解题规律。教师不要越俎代疱，否则吃力不讨好，反而妨碍了学生思维能力的提高。 ⑦4.逆反型 ⑧这是一种敢于和善于突破习惯性思维束缚的反向思维形式。 在数学教学中，可供训练的材料比比皆是，如加减、乘除、通分约分、正反比例等，问题是教师如何善于运用它。如教验算时，16-10=6，学生习惯地用16-6=10 ⑨ 最新初中数学二次根式真题汇编及答案 一、选择题 1．下列各式中，是最简二次根式的是( ) A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答. 【详解】 （1）A被开方数含分母，错误. (2)B满足条件，正确. (3) C被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误. (4) D被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误. 所以答案选B. 【点睛】 本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键. 2．a的值为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】 根据题意得，3a-8=17-2a， 移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选：D． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． x=-时，二次根m等于（） 3．当3 A B． C D 2 【答案】B 【解析】 解：把x=﹣3代入二次根式得，原式=，依题意得： 2 =．故选B． 4．已知n是整数，则n的最小值是（）． A．3 B．5 C．15 D．25 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：= Q也是整数， ∴n的最小正整数值是15，故选C． 5．下列各式计算正确的是( ) A．2＋b＝2b B=C．(2a2)3＝8a5D．a6÷ a4＝a2【答案】D 【解析】 解：A．2与b不是同类项，不能合并，故错误； B不是同类二次根式，不能合并，故错误； C．（2a2）3=8a6，故错误； D．正确． 故选D． 6．若x、y4 y=，则xy的值为() A．0 B．1 2 C．2 D．不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得，2x?1?0且1?2x?0， 解得x?1 2 且x? 1 2 ， ∴x=1 2 ， y=4， ∴xy=1 2 ×4=2. 故答案为C. 1、一条路长100米，从头到尾每隔10米栽1棵梧桐树，共栽多少棵树？ 答案：路分成100÷10＝10段，共栽树10+1＝11棵。 2、12棵柳树排成一排，在每两棵柳树中间种3棵桃树，共种多少棵桃树？ 答案：3×（12－1）＝33棵。 3、一根200厘米长的木条，要锯成10厘米长的小段，需要锯几次？ 答案：200÷10＝20段，20－1＝19次。 4、蚂蚁爬树枝，每上一节需要10秒钟，从第一节爬到第13节需要多少分钟？ 答案：从第一节到第13节需10×（13－1）＝120秒，120÷60＝2分。 5、在花圃的周围方式菊花，每隔1米放1盆花。花圃周围共20米长。需放多少盆菊花？ 答案：20÷1×1＝20盆 6、从发电厂到闹市区一共有250根电线杆，每相邻两根电线杆之间是30米。从发电厂到闹市区有多远？ 答案：30×（250－1）＝7470米。 7、王老师把月收入的一半又20元留做生活费，又把剩余钱的一半又50元储蓄起来，这时还剩40元给孩子交学费书本费。他这个月收入多少元？ 答案：[(40+50) ×2+20] ×2=400(元)答：他这个月收入400元。 8、一个人沿着大提走了全长的一半后，又走了剩下的一半，还剩下1千米，问：大提全长多少千米？ 答案：1×2×2＝4千米 9、甲在加工一批零件，第一天加工了这堆零件的一半又10个，第二天又加工了剩下的一半又10个，还剩下25个没有加工。问：这批零件有多少个？ 答案：（25+10）×2＝70个，（70+10）×2＝160个。综合算式：【（25+10）×2+10】×2＝160个 10、一条毛毛虫由幼虫长到成虫，每天长一倍，16天能长到16厘米。问它几天可以长到4厘米？ 答案：16÷2÷2＝4（厘米），16-1-1＝14（天） 11、一桶水，第一次倒出一半，然后倒回桶里30千克，第二次倒出桶中剩下水的一半，第三次倒出180千克，桶中还剩下80千克。桶里原来有水多少千克？ 答案：180+80＝260（千克），260×2-30＝490（千克），490×2＝980（千克）。 12、甲、乙两书架共有图书200本，甲书架的图书数比乙书架的3倍少16本。甲、乙两书架上各有图书多少本？ 答案：乙：（200+16）÷（3+1）=54（本）；甲：54×3-16=146（本）。 13、小燕买一套衣服用去185元，问上衣和裤子各多少元？ 如何培养小学生的数学思维能力思维是人脑对客观事物的一般特性和规律的一种间接的、概括的反映过程。进行思维训练，培养学生的思维能力，是小学数学教学的主要任务之一，是实施素质教育开发学生智能，提高学生素质的重要措施。下面就如何培养学生的思维能力谈几点粗浅的看法。 一、进行类比迁移，培养思维的深刻性 思维的深刻性是指思维活动达到较高的抽象程度和逻辑水平，表现在能善于深入地思索问题，从纷繁到复杂的现象中，抓住发现事物的本质规律。小学生的认知结构往往缺损，他们不善于将知识纳入 原有的认知结构之中，因而考虑问题缺乏深度，因此，在教学中应抓以下三点： 1、培养学生对数的概括能力。 数的分解能力，是数的概括的核心。如教20以内的加法，利用直观教具，让学生了解某数是由几个部分组成和如何组成的，引导他们将20以内的数比较实际意义，认识大小，顺序、进行组合与分解练习。 2、让儿童逐步掌握简单的推理方法。 根据教材的内在联系，引导儿童进行类比推理。例如：在乘法口诀教学中，先通过一环紧扣一环的步骤，让学生展示“生动”的思维过程，使学生认识2—4的乘法口诀的可信性，还 了解每句乘法口诀形成的过程。然后利用低年级学生模仿性强的特点，让他们模仿老师的做法去试一试，推导出5—6的乘法口诀。生模仿获得成功后，就与他们一起总结几个步骤： ①摆出实物；提供思维材料； ②列出加法式子的结果； ③列出乘法式子，说明它的结果就是加法式子结果； ④用乘法式子的已知数和结果构造口诀。让他们按步骤来独立地推导7—8的乘法口诀。 在这过程中，针对不同学生不同阶段的不同情况，进行多寡不同的提示和点拨，使独立思维逐步发展。到推导9的乘法口诀时，有的学生已经几乎完全能进行推导了，而大多数学生的思维的能力都表现出不同程度的提高。 3、培养掌握应用题结构的能力。 各科教学问题，都有一个结构问题。狠抓结构训练，使学生掌握数学问题的数量关系，而不受题中具体的情节干扰，是培养思维深刻性的重要一环。由于低年级学生受年龄和知识水平的限制，他们的思维往往带有很大的局限性。为此，我在数学教学中采取多种方法。如：补充条件和问题，不变题意而改变叙述方法，根据问题说所需条件，扩题训练，拆应用题缩题训练，审题训练，自编应用题训练等等，拓展学生思维活动，训练学生思维的深刻性。 一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A ．()2 22a b a b -=- B ．()3 22x x 8x ÷=+ C ．1a a a a ÷? = D ． () 2 44-=- 2．若实数m 、n 满足等式402n m -+=-，且m 、n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 3．计算1 2718483 --的结果是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．32-- D ．23- 4．下列计算正确的是（ ） A ．532-= B ．223212?= C ．933÷= D ．423214+= 5．要使2020x -有意义，x 的取值范围是（ ） A ．x≥2020 B ．x≤2020 C ．x> 2020 D ．x< 2020 6．下列式子一定是二次根式的是 ( ) A ．2a B ．－a C ．3a D ．a 7．设,n k 为正整数，()()1314A n n = +-+，()2154A n A =++， ()3274A n A = ++，()4394A n A =++，…()1214k k A n k A -=+++，….，已知 1002005A =，则n =( ). A ．1806 B ．2005 C ．3612 D ．4011 8．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18 B ． 13 C 24 D 0.3 9．1272a -是同类二次根式，那么a 的值是（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1 D ．2 10．如果实数x ，y 23x y xy y =-(),x y 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第一象限或坐标轴上 D ．第二象限或坐标 轴上 二、填空题 11．比较实数的大小:(1)5? -______3 ；（2）51 4 _______12 小学数学思维训练“十佳题”（1） 1、有黑、白棋子一堆，黑子个数是白子个数的2倍。现在从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，待到若干次后，白子已经取尽，而黑子还有16个。求黑、白棋子各有多少个？（假设思维） 【分析与解答】假设每次取出的黑子不是4个，而是6个（6=3×2），也就是说每次取出的黑子个数也是白子的2倍。由于这堆棋子中黑子个数是白子的2倍，所以，待取到若干次后，黑子、白子应该都取尽。但是实际上当白子取尽时，（留下）黑子还有16个，这是因为实际每次取黑子是4个，和假定每次取黑子6个相比，相差（留下的是）2个。由此可知，一共取的次数是：16÷2=8（次）。白棋子的个数为：3×8=24（个）。黑棋子的个数为24×2=48（个）。 2、小华解答数学判断题，答对一题给4分，答错一题扣4分，她答了20道判断题，结果只得56分。小华答对了几题？（假设思维） 【分析与解答】假设小华全部答对：该得4×20=80（分），现在实际只得了56分，相差80-56=24（分），因为答对一 题得4分，答错一题扣4分，这样，一对一错相比，一题就差8分（4+4=8），根据总共相差的分数以及做错一题相差的分数，就可以求出做错的题数：24÷8=3（题），一共做20题，答错3题，答对的应该是：20-3=17（题）4×17=68（分）（答对的应得分）4×3=12（分）（答错的应扣分）68-12=56（分）（实际得分） 3、一个化肥厂计划在50天内生产一批化肥，从前24天的生产情况看，每天实际生产的化肥没有达到原计划每天产量指标，因此工厂决定停产3天进行整顿。整顿之后，每天比整顿前多生产化肥25吨，结果只用了49天（包括停产整顿所用的3天时间）就完成了原计划50天的生产任务。已知整顿后比整顿前一共多生产化肥400吨，问整顿前后各生产化肥多少吨？（因果关系） 【分析与解答】我们容易算出整顿后生产的天数是：49-24-3=22（天）。由于整顿后每天比整顿前多生产化肥25吨，所以，一共多生产化肥22×25=550（吨）。可题目中却说整顿后比整顿前一共多生产化肥400吨，这岂不是“自相矛盾”吗？ 究竟“矛盾”出在哪里呢？原来，我们刚才算出的“550吨” 小学三年级数学：4种数学思维训练+对应练习题，给孩子看看 很多学生反映数学复杂难懂，其实数学学习不是要死记硬背，而是要掌握方法。数学思维的训练需要一套完成的训练方法，经过思维的训练，数学成绩一定可以大大提高。今天老师就来教你4招： 1 转化型 这是解决问题遇到障碍，受阻时把问题由一种形式转换成另一种形式，使问题变得更简单、更清楚，以利解决的思维形式。在教学中，通过该项训练，可以大幅度地提高学生解题能力。 2 系统型 这是把事物或问题作为一个系统从不同的层次或不同的角度去考虑的高级整体思维形式。在高年级除结合综合应用题以外还可编制许多智力训练题来培养学生系统思维能力。 3 激化型 这是一种跳跃性、活泼性、转移性很强的思维形式。教师可通过速问速答来训练练学生。 如问：3 个5 相加是多少？学生答：5＋5＋5=15 或5×3=15。教师又问：3 个5 相乘是多少？学生答：5×5×5=125。紧接着问：3 与5 相乘是多少？学上答：3×5=15，或5×3=15。通过这样的速问速答的训练，发现学生思维越来越活跃，越来越灵活，越来越准确。 4 类比型 这是一种对并列事物相似性的同实质进行识别的思维形式。这项训练可以培养学生思维的准确性。如： ①金湖粮店运来大米6吨。比运来的面粉少1/4吨、运来面粉多少吨？ ②金湖粮店运来大米6吨，比运来的面粉少1/4，运来面粉多少吨？ 以上两题，虽然相似，实质不同，一字之差，解法全异，可以点拨学生自己辨析。通过训练，学生今后碰到类似的问题便会仔细推敲，这样就大大地提高了解题的准确性。 练习题 1、父亲和儿子今年共有60负，又知4年前，父亲的年龄正好是儿子的3倍，儿子今年是多少岁？ 中考数学专项训练：二次根式二次根式的概念 1．(中考)使二次根式5x－2有 意义的x的取值范围是__x≥2 5 __． 二次根式的运算 2．(中考)8＋2＝__32__． 3．(中考)计算2－18的结果是__－22__． 4．(中考)计算：27＋3＝__43__． 5．(一中一模)函数y＝ x＋3 x－1 中自变量x的取值范围是( D) A．x≥－3 B．x≥3 C．x≥0且x≠1 D．x≥－3且x≠1 6．(十一中二模)与1＋5最接近的整数是( B) A．4 B．3 C．2 D．1 平方根、算术平方根 1．若x 2＝a,则x 叫a 的__平方根__．当a≥0时,a 是a 的__算术平方根__．正数b 的平方根记作__±b__.a 是一个__非负__数．只有__非负__数才有平方根． 立方根及性质 2．若x 3＝a,则x 叫a 的__立方根__,求一个数的立方根的运算叫__开立方__；任一实数a 的立方根记作__3a__；3a 3＝__a__,(3a)3＝__a__,3－a ＝__－3 a__． 二次根式的概念 3．(1)形如a(__a≥0__)的式子叫二次根式,而a 为二次根式的条件是__a≥0__； (2)满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式： ①被开方数的因数是__整数__,因式是__整式__； ②被开方数中不含有__开得尽方的因数或因式__． 二次根式的性质 4．(1)ab ＝__a ·b __(a≥0,b ≥0)；a b ＝__a b __(a≥0,b ＞0)； (2)(a)2＝__a__(a__≥__0)； (3)a 2 ＝|a|＝??? a （a≥0）， －a （a ＜0）. 二次根式的性质 5．(1)二次根式的加减： 二次根式相加减,先把各个二次根式化成__最简二次根式__,再把__同类二次根式__分别合并． (2)二次根式的乘法： a · b ＝__ab __(a≥0,b ≥0)． (3)二次根式的除法： a b ＝__a b __(a≥0,b>0)． (4)二次根式的估值：二次根式的估算,一般采用“夹逼法”确定其值所在范围．具体地说,先对二次根式平方,找出与平方后所得的数__相邻__的两个能开得尽方的整数,对其进行__开方__,即 小学数学思维训练方法集锦 绩一定可以大大提高: 1.转化型 这是解决问题遇到障碍受阻时把问题由一种形式转换成另一种形式，使问题变得更简单、更清楚，以利解决的思维形式。在教学中，通过该项训练，可以大幅度地提高学生解题能力。如:某一卖鱼者规定，凡买鱼的人必须买筐中鱼的一半再加半条。照这样卖法，4 人买了后，筐中鱼尽，问筐中原有鱼多少条?该题对一些没有受过转化思维训练的学生来说，会感到一筹莫展。即使基础较好的学生也只能复杂的方程。 但经过转化思维训练后，学生就变得聪明起来了，他们知道把买鱼人转换成1人，显然鱼1条;然后转换成2人，则鱼有3条;再3人，则7条;再4人，则15条。 2.系统型 这是把事物或问题作为一个系统从不同的层次或不同的角度去考虑的高级整体思维形式。在高年级除结合综合应用题以外还可编制许多智力训练题来培养学生系统思维能力。如:1 2 3 4 5 6 7 8 9在不改变顺序前提下(即可以将几个相邻的数合在一起成为一个数，但不可以颠倒)，在它们之间划加减号，使运算结果等于1OO。象这道题就牵涉到系统思维的训练。教师可引导学生把10 个数看成一个系统，从不同的层次去考虑、第一层次:找100 的最接近数，即89 比100 仅少11。第二个层次:找11 的最接近数，很明显是前面的12。第三个层次:解决多l 的问题。整个程序如 下:12+3+4+5-6-7+89=100 3.激化型 这是一种跳跃性、活泼性、转移性很强的思维形式。教师可通过速问速答来训练练学生。如问:3 个5 相加是多少?学生答:5+5+5=15 或5×3=15。教师又问:3 个5 相乘是多少?学生答:5×5×5=125。紧接着问:3 与5 相乘是多少?学上答:3×5=15，或5×3=15。通过这样的速问速答的训练，发现学生思维越来越活跃，越来越灵活，越来越准确。 4类比型 这是一种对并列事物相似性的个同实质进行识别的思维形式。这项训练可以培养学生思维的准确性。如: ①金湖粮店运来大米6吨。比运来的面粉少1/4吨、运来面粉多少吨? ②金湖粮店运来大米6吨，比运来的面粉少1/4，运来面粉多少吨? 以上两题，虽然相似，实质不同，一字之差，解法全异，可以点拨学生自己辨析。通过训练，学生今后碰到类似的问题便会仔细推敲，这样就大大地提高了解题的准确性。 小学数学思维训练题及答案解析一 1、有黑、白棋子一堆，黑子个数是白子个数的2倍。现在从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，待到若干次后，白子已经取尽，而黑子还有16个。求黑、白棋子各有多少个？（假设思维） 【分析与解答】假设每次取出的黑子不是4个，而是6个（6=3×2），也就是说每次取出的黑子个数也是白子的2倍。由于这堆棋子中黑子个数是白子的2倍，所以，待取到若干次后，黑子、白子应该都取尽。但是实际上当白子取尽时，（留下）黑子还有16个，这是因为实际每次取黑子是4个，和假定每次取黑子6个相比，相差（留下的是）2个。由此可知，一共取的次数是：16÷2=8（次）。白棋子的个数为：3×8=24（个）。黑棋子的个数为24×2=48（个）。 2、小华解答数学判断题，答对一题给4分，答错一题扣4分，她答了20道判断题，结果只得56分。小华答对了几题？（假设思维） 【分析与解答】假设小华全部答对：该得4×20=80（分），现在实际只得了56分，相差8 0-56=24（分），因为答对一题得4分，答错一题扣4分，这样，一对一错相比，一题就差8分（4+4=8），根据总共相差的分数以及做错一题相差的分数，就可以求出做错的题数：24÷8=3（题），一共做20题，答错3题，答对的应该是：20-3=17（题）4×17=68（分）（答对的应得分）4×3=12（分）（答错的应扣分）68-12=56（分）（实际得分） 3、一个化肥厂计划在50天内生产一批化肥，从前24天的生产情况看，每天实际生产的化肥没有达到原计划每天产量指标，因此工厂决定停产3天进行整顿。整顿之后，每天比整顿前多生产化肥25吨，结果只用了49天（包括停产整顿所用的3天时间）就完成了原计划50天的生产任务。已知整顿后比整顿前一共多生产化肥400吨，问整顿前后各生产化肥多少吨？（因果关系） 【分析与解答】我们容易算出整顿后生产的天数是：49-24-3=22（天）。由于整顿后每天比整顿前多生产化肥25吨，所以，一共多生产化肥22×25=550（吨）。可题目中却说整顿后比整顿前一共多生产化肥400吨，这岂不是“自相矛盾”吗？ 究竟“矛盾”出在哪里呢？原来，我们刚才算出的“550吨”是整顿后22天比整顿前22天多生产的化肥；而题目中告诉我们的“400吨”是整顿后22天比整顿前24天多生产的化肥。这完全是两码事，所以“550吨”与“400吨”并不矛盾。从上面的比较中，我们看出：“550吨”与“4 00吨”的差150吨正好是整顿前2天的产量，因此，整顿前每天生产化肥150÷2=75（吨）。从而，75×24=1800（吨）就是整顿前产的化肥；1800+400=2200（吨）就是整顿后产的化肥。 4、红星机械厂十一月份计划生产一批机器，实际每天比计划多生产80台，结果25天就完成了全月计划。这个厂十一月份计划生产多少台机器？（因果关系） 【分析与解答】这道整数应用题，我们无论是从条件想起，还是从问题想起，都不容易找到 二次根式 一、选择题 1. （2018年江苏省宿迁）若实数m、n满足，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【考点】等腰三角形的性质，非负数之和为0 【解析】【解答】解：依题可得：，∴. 又∵m、 n恰好是等腰△ABC的两条边的边长， ①若腰为 2，底为 4，此时不能 构成三角形，舍去. ②若腰为4，底为2， ∴C△ABC=4+4+2=10. 故答案为：B. 【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得 m、n 的值，再分情况讨论：①若腰为 2，底为 4，由三角形两 边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可. 2 （2018·天津·3的值在（） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】D 【解析】分析：利用“夹逼法”表示出的大致范围，然后确定答 案．详解：∵64＜＜81， ∴8＜＜9，故 选：D． 点睛：本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题 3. （2018·四川自贡·4分）下列计算正确的是（） A（a﹣b）2=a2﹣b2 B．x+2y=3xy C．D（﹣a3）2=﹣a6 【分析】根据相关的运算法则即可求出答案． 【解答】解（A）原式=a2﹣2ab+b2，故A错误； （B）原式=x+2y，故B错误； （D）原式=a6，故D错误； 故选：C． 【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型． 4. ×（﹣1）之值为何？（） A．B．C．2 D．1 【分析】根据乘法分配律可以解答本题． 【解答】解：×（﹣1） =， 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 5.（2018?江苏扬州?3有意义的x的取值范围是（） A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≠3 【分析】根据被开方数是非负数，可得答案． 【解答】解：由题意，得 x﹣3≥0， 解得x≥3， 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用得出不等式是解题关键． 6.（2018·湖北省孝感·3分）下列计算正确的是（） A．a﹣2÷a5=B（a+b）2=a2+b2 C．2+ =2 D（a3）2=a5 【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式加减运算法则和幂的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a﹣2÷a5= ，正确； B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误； C、2+，无法计算，故此选项错误； D、（a3）2=a6，故此选项错误；故选：A． 【点评】此题主要考查了完全平方公式以及二次根式加减运算和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 7（2018·浙江临安·3分）下列各式计算正确的是（） A．a12÷a6=a2 B（x+y）2=x2+y2 C．D． 二次根式 1.二次根式的定义 ≥0)的式子叫做二次根式。 2.二次根式的基本性质 ①2a = (a ≥0)； )0(≥a a ②=2a )0(<-a a 3.二次根式的乘除法 (1)二次根式的乘法： ①ab b a =?(a ≥0， b ≥0)； ②b a ab ?= (a ≥0， b ≥0)。 (2)二次根式的除法： =≥0， b ＞0)； = (a ≥0， b ＞0)。 4.最简二次根式 最简二次根式满足的条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②根号内不含分母；③分母中不含根号。 5.同类二次根式： 几根二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式 6.二次根式的加减法 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 7.分母有理化 把分母中的根号化去的过程叫做分母有理化。 二.课后作业 1.二次根式1-x 在实数范围内有意义的条件是 。 2.若式子32 --x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 。 3.计算：2)32(-= ；2)3(-= ； 4.计算：8－12 ＝= 。62?= 。 5.已知a ＝1＋2，b ＝1－2，则代数式a·b 的值为________． 6.列计算错误．．的是( ) A. 2·3＝ 6 B. 2＋3＝ 5 C. 12÷3＝2 D. 8＝2 2 7.下面计算正确的是( ) A.33÷= ±2 8.a ＝17－1 2，则a 在两个相邻整数之间，这两个整数是( ) A. 4和5 B. 3和4 C. 2和3 D. 1和2 9.下列二次根式中，最简二次根式是( ) A.21 B.8 C 、21 D 、32 10.下列二次根式中与3是最简二次根式的是( ) A. 51 B. 21 C.18 D. 12 13.计算：54122475--+ 14. 计算：2－1－tan 60°－1 4－(π－1)0＋|2－3|. 一、选择题 1．下列式子为最简二次根式的是（ ） A B C D 2．若2a <3=（ ） A ．5a - B ．5a - C ．1a - D ．1a -- 3．若 有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x > B ．3x ≥ C ．3x ≤ D ．x 是非负数 4．若实数m 、n 满足等式02m +=-，且m 、n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 5．下列运算正确的是 （ ） A ．3= B = C ．= D =6．下列式子一定是二次根式的是 ( ) A B C D 7．下列各式中,正确的是（ ） A B ．C =D = - 4 8．a 的值是（ ） A ．2 B ．-1 C ．3 D ．-1或3 9．下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A B C D 10．的值应在（ ） A ．1和2之间 B ．3和4之间 C ．4和5之间 D ．5和6之间 二、填空题 11．2==________． 12．实数a 、b 10-b 4-b-2=+，则22a b +的最大值为_________． 13．)30m -≤，若整数a 满足m a +=a =__________． 14．把31a a -根号外的因式移入根号内，得________ 15．222a a ++-1的最小值是______． 16．把1m m -根号外的因式移到根号内，得_____________. 17．已知：x=35+2 ，则2可用含x 的有理系数三次多项式来表示为：2=_____． 18．已知1＜x ＜2，171 x x +=-，则111x x ---的值是_____． 19．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则3a b -=______. 20．若11+x 有意义，则x 的取值范围是____． 三、解答题 21．阅读下列材料，然后解答下列问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如 53，231+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： (一) 5353333 ?==?； (二) 231)=3131(31)(31)-=-++-（； (三) 22(3)1(31)(31)=3131313131 -+-===-++++. 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)请用不同的方法化简 5+3： ①参照(二)式化简 5+3＝__________. ②参照(三)式化简 5+3＝_____________ (2)+315+37+5 99+97+ 【答案】见解析. 【分析】 （1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果； （2）原式各项分母有理化，计算即可. 【详解】 思维训练 1、父亲和儿子今年共有60负，又知4年前，父亲的年龄正好是儿子的3倍，儿子今年是多少岁？ 分析与解答：4年前，父子的年龄和是：60-4×2=52岁，4年前儿子的岁数为52÷（1+3）=13岁，那么儿子今年的岁数是13+9=17岁。 2、快车与慢车从甲乙两地相对开出，如果慢车先开2小时，两车相遇时慢车超过中点24千米，若快乐先开出2小时，相遇时离中点72千米处，如果同时开出，4小时可以相遇，快车比慢车每小时多行多少千米？ 分析与解答：设全程的一半为x，两次行驶中快车行驶的路程为：x+72+x-24=2x-48，慢车行驶的路程为：x+24+x-72=2x-48，快车比慢车多行驶的路程：2x+48-(2x-48)=96千米，把两次行驶可以看作两车同时出发行驶全程，则时间是4×2=8小时，那么快车比慢车每小时多行的千米数为96÷8=12千米。 3、有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两色，第一堆的黑子数和第二堆里的白子数一样多，第三堆的黑子占全部黑子的，把这三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子数的几分之几？ 分析与解答：第三堆黑子占全部黑子的，那么，第一、二堆里的黑子占全部黑子的，又因为第一堆里黑子数和第二堆里的白子数相同，则第一、二堆里的黑子数正好等于第一堆棋子数，把每堆棋子数看作3，三堆棋子总数则是9，黑子有5份，那么白子有9-5=4份，所以白子占全部棋子数的 4、早晨8时多钟，有甲、乙两辆汽车先后从化肥厂开往县城，两车的速度都是每小时行驶48千米，8时32分，甲车离化肥厂的距离是乙车离化肥厂距离的5倍，到了8时44分，甲车离化肥厂的距离恰好是乙车离化肥厂距离的2倍，那么甲车是8时几分由化肥厂开出的？ 分析与解答： 12÷3×（3+5）=32分钟，8：44-32分=8：12分，故甲车是8时12分由化肥厂开出的。 5、有60个不同的约数的最小自然数是多少？ 分析与解答：60=2×2×3×5=（1+1）×（1+2）×（2+1）×（4+1），这个自然数最小是29×32×5×7=5040 6、1！+2！+3！+……+100！的个位数字是（） 分析与解答：1！=1 2！=2 3！=6 4！=24 ，而5！6！7！……100！的个位数字全是0，1+2+6+4=13，所以1！+2！+3！+……+100！的个位数字是3 7、一间屋子里有1小学数学思维训练题00盏灯排成一行，按从左到右的顺序编上号1、2、3、4、5……99、100，每盏灯都有一个开关，开始全都关着，把100个学生排 小学数学思维训练题（一） 1、小明原来有图书35本，后来，爸爸买给他18本，小姨又送给他12本。 小明的图书比原来增加了多少本 [分析与解答]一般解法：①爸爸买给他18本后小明有图书多少本 35+18=53（本）；②小姨送给他12本后小明有图书多少本53+12=65（本）； ③小明的图书比原来增加了多少本65-35=30（本）。这道应用题用一般方 法解答，既麻烦又费时。可运用方法简便的“华罗庚法”解，只需一两步 就可以解答出来。华罗庚法：小明的图书比原来增加的本数就等于爸爸和 小姨送给他图书的本数的和。18+12=30（本） 2、比较下面两个积的大小A○B。 ×× [分析与解答]由“分配律”×ד两数的和一定时，两数的差越小积越 大，相等时积最大”—— [分析与解答] 4、看谁能最快指出下面四道题中哪两道的计算结果相同。 ①48×6÷4×7×4÷8 ②128×9＋72×9 ③48×4÷6×7×6÷8×8 ④342×9－9×142 [分析与解答]题目要我们找出哪两题计算结果相同，那我们就可以找一 找哪两题形式相同，然后再仔细比较一下，它们在计算结果上会有什么不 同的地方，这样就可以初步估算出计算结果是否相同了。例如，第①、③ 两题，都是48与4、6、7、8几个数相乘、除，我们把这两题中相同的数 以及相同的运算符号划去。①48×6÷4×7×4÷8、③48×4÷6×7×6÷8 ×8；结果第①题只剩下“÷4”，第③题剩下“÷6”和“×8”可见这两道题的计算结果是不相同的。而第②题和第④题都是9的倍数的计算，第②题是128个9加上72个9，一共是200个9；第④题是342个9减142个9，得200个9。所以这两道题计算结果是相同的。 5、今有甲乙丙丁四人在晚上都要从桥的左边到右边。此桥一次最多只能走两人，而且只有一支手电筒，过桥是一定要用手电筒。四人过桥最快所需时间如下为：甲：2 分钟；乙：3 分钟；丙：8 分钟；丁 10分钟。走的快的人要等走的慢的人，请问如何走法才能在 21 分钟让所有的人都过桥 [分析与解答]先是甲和乙一起过桥，然后将乙留在对岸，甲独自返回。甲返回后将手电筒交给丙和丁，让丙和丁一起过桥，丙和丁到达对岸后，将手电筒交给乙，让乙将手电筒带回，最后甲和乙再次一起过桥。则所需时间为：3+2+10+3+3=21分钟。 6、六位数□4321□能被4321整除，这个六位数是多少 [分析与解答]这道题目初看起来似乎难度较大。如果我们采用“假设 ──计算──排错──验证”的方法，问题就会很快得解。假设六位数为943219，那么943219÷4321＝218…1241，由于余数大于9，所以不合题意。假设六位数为843219，则有843219÷4321＝195…64，余数大于9，也不合题意。假设六位数为743219，则有743219÷4321＝172…7，余数小于9，由此可见符合条件的六位数为743219－7＝743212。当六位数的首位数分别为6、5、4、3、2、l时，经计算可知均不合题意。综上分析可知，要求的六位数只能为743212。 二次根式 A 级 基础题 1．(2018年上海)下列计算－的结果是( ) 182A ．4 B ．3 C ．2 D.22 2．(2018年山东聊城)下列计算正确的是( ) A ．3－2 ＝ B.·＝1055711(117÷111)11C ．(－)÷＝2 D. －3 ＝75153513188923．(2017年四川绵阳)使代数式＋有意义的整数x 有( )1x ＋3 4－3x A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 4．与－是同类二次根式的是( ) 5A. B. C. D.10152025 5．(2017年江苏南京)若 B 级 中等题 12．设n 为正整数，且n ＜＜n ＋1，则n 的值为( ) 65A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 13．如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①＝；②·＝1；③÷＝－b ，a b a b a b b a ab a b 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③ 14．下列各式运算正确的是( ) A.－＝ B.＝2 53241913 C.＝2＋ D.＝2－12－3 3 2－5 2515．(2017年山东济宁)若＋＋1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是2x －11－2x ( ) A ．x≥ B ．x≤ C ．x ＝ D ．x≠12121212 16．若y ＝－2，则(x ＋y)y ＝________.x －4＋4－x 2 17．(2018年山东枣庄)如图1-3-1，我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a ， b ， c ，则该三角形的面积为S ＝.现已知△ABC 的三边长分别为，14[a2b2－(a2＋b2－c22)2] 52,1，则△ABC 的面积为________． 图1-3-1 C 级 拔尖题 18．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S ＝p p －a p －b p －c ，并给出了证明．(其中a ，b ，c 是三角形的三边长，p ＝a ＋b ＋c 2，S 为三角形的面积) 例如：在△ABC 中，a ＝3，b ＝4，c ＝5，那么它的面积可以这样计算：中考数学二次根式知识归纳总结及答案
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