数学物理方法第一篇总结
1.1复数与复数运算
（一）复数的概念
一个复数可以表示为某个实数与某个纯虚数iy 的和，z=x+iy ，这是复数的代数式，x 和y 叫做该复数的实部和虚部，并分别记做Re z 和Im z 。
如果将x 和y 当做平面上点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面称为复数平面，两个坐标轴分别称为实轴和虚轴。
复数的三角式]sin [cos θθρi z +=，其中22y x +=
ρ，()x /y arctg =θ。
共轭复数的概念
如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 （二）无限远点 复球面
无限远点：复平面上ρ为无限大的点．
复球面：与复平面相切于坐标原点o ，其上每一点都与复平面上的点构成一一对应关系的球面．
（三）复数的运算
已知两个复数：211sin cos θθi z += 222s i n c o s θθi z += 1.加减运算 )sin (sin )cos (cos z 212121θθθ+++=+i z 2.乘法运算
[])sin(i )cos()sin )(cos sin (cos 21212122112121θθθθρρθθθθρρ+++=++=i i z z
3.除法运算
[])(i 2
12121212121)sin(i )cos(θθθθθθ-=-+-=e r r
r r z z 4.复数的乘幂)sin (cos θθρn i n z n
n
+=
5.复数的方根)sin (cos
n
i n z n
n
θ
θ
ρ+=
（四）典型例题
计算下列数值（其中θ为常数）
1.?θθθn cos 3cos 2cos cos +++
2.θθθθn sin 3sin 2sin sin +++
1.2复变函数
（一）复变函数的定义
对于复平面的点集E ，它的每个点z 都有一个或多个点ψ通过确定的关系与之对应。则称ψ为z 的复变函数，记作：ψ= f (z ), z ∈E E 叫做定义域。 （二）区域的概念
在解析函数论中，函数的定义域一般不是点集，而是满足一定条件的点集，称为区域，用B 表示。
邻域：以某点z0为圆心,以任意小的正实数 为半径的圆的内部，称为0z 的邻域。 内点：若0z 及其邻域均属于点集E ，则称为该点集的内点。 外点：若0z 及其邻域均不属于点集E ，则称为该点集的外点。
边界点：若在0z 的每个邻域内，既有属于E 得点，也有不属于E 的点，则称0z 为该点集的边界点，它既不是E 的内点，也不是E 的外点，边界点的全体称为边界线。 区域是指满足下列两个条件的点集： 1. 全由内点组成；
2. 具有连通性，即点集的任意两点都可以用一条折线连起来，且折线上的点全部属于该点
集。
（三）典型例题 求解方程2sinz =
1.3导数
（一）导数的概念
设函数(z)f =ω是在区域B 上定义的单值函数，即对于B 上的每一个Z 值，有且只有一个
ω值与之相对应。若在B 上的某点z ，极限z
z z z lim z lim z 0
z ??+=???→?
）
（—）（f f ω存在，并且与0z →?的方式无关，则称f (x )在z 点可导。
（二）柯西黎曼方程
柯西-黎曼方程在直角坐标系下的C-R 条件，是复变函数可导的必要条件????
?????-=????=??y u x v y v x u
柯西-黎曼方程在极坐标系下的C-R 条件，是复变函数可导的必要条件????
?????=????=??θ
ρρθρu v v u 1-
函数f (z )可导的充分必要条件：f (z )的偏导数y
v
x v y u x u ????????,,,存在且连续，并满足C-R 条件。
（三）典型例题
试从极坐标系中的柯西黎曼方程中????
?????=????=??θ
ρρθρu v v u 1-消去u 或者v 。
（四）人物传记
1.柯西:法国数学家，他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他首创性的工作是关于单复变函数论，阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等等。他还在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。
2.黎曼：德国数学家，对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。
1.4解析函数
（一）解析函数的定义
若函数f (z )在z0点及其邻域上处处可导，则f (z )在z0点解析。又若f (z )在区域B 上每点都解析，则f (z )是区域B 上的解析函数。 （二）解析函数的性质
1.若函数f (z )=u+iv 在区域B 上解析，则u(x,y)=1C ,v(x,y)=2C ,是B 上的两组正交曲线组。
2.若函数f (z )=u+iv 在区域B 上解析，则u ，v 均为B 上的调和函数。 （三）典型例题
已知解析函数()z f 的实部()y x u ,或者虚部()y x v ,，求该解析函数。 1.y e u x sin =；
2.xy y x u +-=22，()00=f ；
2.1复变函数的积分
（一）复变函数积分的定义
设在复数平面的某分段光滑曲线l 上定义了连续函数f (z )，在l 上取一系列分点z0（即起点A ）, z1 , z2,…, zn （即终点B ），把l 分成n 个小段，在每个小段[zk-1,zk]上任取一点ξk ，作 和得
k k n
z f f ?=∑∑==)(z z 1
k 1k k
n
1
k k
ζζ）—（
）（—
当n →∞且每小段都无限缩短时，如果这个和的极限存在，且其值与各个ξk 的选取无关，则这个和为函数f(z)沿曲线l 从A 到B 的路积分，记作
?l
dz z f )(=??++-l
l
dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u ),(),(),(),(
（二）复变函数积分的性质 1.常数因子可以移到积分号外；
2.和积分等于积分和；
3.反转路径，积分反号；
4.全路径上的积分等于各段积分之和
一般来说，复变函数积分值不仅依赖于起点和终点，同时还与积分路径有关。
2.2柯西定理
（一）单连通区域的情况
单通区域：在其中做任何简单的闭合围线，围线内的点都是属于该区域内的点。也可以认为是一根闭合曲线围成的区域。
单连区域柯西定理：如果函数f (z )在闭单通区域B 上解析，则沿B 上的任一分段光滑闭合曲线l ，有
?=l
dz z f 0)(
证明如下
???++-=l
l
l
dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f ),(),(),(),()(，
由于f (z )在B 上解析，因而有
y
v
x v y u x u ????????,,,在B 上连续，
Z 0(A)
根据格林公式dxdy y P x Q Qdy Pdx l S
??
??-??=
+)(
和C-R 条件y
u
x v y v x u ??=????=??-，得： ?=l
dz z f 0)(
（二）复通区域情形
为了将奇点排除在区域之外，需要做一些适当的闭合曲线把奇点分隔出去，即形成复通区域。 一般来说，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线内有不属于该区域的点，这样的区域便称为复通区域。
对于区域（单或复通区域）的境界线，通常这样规定（内外）正方向，区域在观察者的左边。 复通区域柯西定理：
如果f (z)是闭复通区域上的单值解析函数，则?∑?
=+=l
n
i l i
dz z f dz z f 0)()(1
l 为区域外境界线，
l i 为内境界线，积分均沿正方向进。 证明如下：
向积分相等。
沿内外境界线逆时针方即：＋的积分值抵消，于是
其中沿同一割线两边缘＋＋＋按单通区域柯西定理，
?∑??
?
??
??===+=+l
n
i l l l
BA
l AB
l
i
dz
z f dz z f 1
)()(0
1
1
（三）柯西定理的总结：
1.闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零；
2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零；
3.闭复通区域上的解析函数沿境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针积分之和。
4.对于某个闭单通或闭复通于区上为解析的函数，只有起、终点固定不变，当积分路径连续变形（不跳过“孔”），路积分值不变。
2.3不定积分
（一）不定积分的概念
根据柯西定理，若函数f (z )在单通区域B 上解析，则沿B 上任一路径L 的积分
?l
)(z
d
z f
的值只跟起点和终点有关，而与路径无关。因此，当起点和终点固定时，这个不定积分就定义了一个单值函数，记作?
=z
z d f z F 0
)()(ζζ
例如).n ()(为整数dz
z I n
l
?
-=α
1. 若回路L 不包围点α，则被积函数在l 所包围的区域上是解析的，按照柯西定理，积分
值为零。
2. 接着讨论L 包围α的情形，如果0≥n ，被积函数在l 所包围的区域是解析的，积分值
也为零；如果0 αi z Re =- ?αα?π ???id e R e R d e R dz z I i in n l C i in n n ???=+=-=20 )Re ()( α 讨论：1. 0) 1(1 -120 )1(1 =+=≠++π? n i n e n i iR I n 时，当 2. i d i I n π?π 2-120 ===? 时，当 2.4柯西公式 单通域柯西公式：若f (z )在闭单通区域B 上解析，L 为B 的境界线，α为B 内一点，则 dz z z f i f l ?-= α πα) (21)(。 复通域柯西公式：若f (z)在L 上所围区域上存在奇点，则考虑挖去奇点后的复通区域。在复 通区域上f (z)解析，则柯西公式仍成立，只要将L 理解为所有的境界线，且均取正向。 柯西导数公式：由于z 为区域内点，积分变数在境界线上，ξ-z ≠0,积分号下的导数f (ξ)/(ξ-z)在区域上处处可导。因此，可以在积分号下对z 求导，得：dz z f i z f l ?-= '2 )() (2!1)(ξξπ反 复在积分号下求导，得dz z f i n z f l n n ?+-= 1) () () (2!)(ξξπ。 （三）典型例题 已知函数()2 2,t tx e x t -=ψ。将x 作为参数，t 为复变数，应用柯西公式将0 =??t n n t ψ 表示成回 路积分。 3.1复数项级数 （一）设有复数项的无穷级数 ++++=∑∞ =k k k w w w w 21 1他的每一项都可以分为实部和 虚部，k k k iv u w +=那么他的前n+1项的和可以表示为： l l ε ?++=π ?? 20 )1(1d e iR n i n ∑∑∑∑∑∑=∞ →=∞ →=∞ →===+=+=n k k n n k k n n k k n n k k n k k n k k v i u w v i u w 1 1 1 1 1 1 lim lim lim , 这样，复数项无穷级数的收敛问题就归结为两个实数级数的收敛问题。 级数收敛的判断依据 （二）柯西收敛判据：对于任一给定的小正数ε，存在一个N ，使得n>N 时ε<∑++=|| 1 p n n k k w ， p 为任意正整数。 绝对收敛：如果复数项级数各项的模（正实数）组成的级数 收敛，则wk 绝对收敛。 （三）绝对收敛级数的性质 绝对收敛的复数项级数必是收敛的，各项先后次序可变，其和不改变。 应用柯西收敛判据，复变项级数在B （或l ）上收敛的充要条件是： 在B （或l ）上各点z ，对于任一给定小正数ε，存在N(z)，使得n>N(z)时， ε<∑++=|)(| 1 p n n k k z w ，p 为任意正整数。如果N 与z 无关，则复变项级数在B （或l ）上一致收 敛。 （四）典型例题 3.2幂级数 （一）各项都是幂函数的复变项级数 +-+-+=-∑∞ =2020101 )()() (z z a z z a a z z a k k k 其中 z0,a0,a1,a2,…都是复常数。这样的级数叫做以z0为中心的幂级数。 绝对收敛：由幂级数各项模组成的正项级数|a0|+|a1||z-z0|+|a2||z-z0|2+…+|ak||z-z0|k+… （二）正项级数的收敛性的判别： 1.达朗贝尔判别法 如果1||||lim ||||||||lim 01 0101<-=--+∞→++∞→z z a a z z a z z a k k k k k k k k 则正项级数收敛，幂级数绝对收敛。如果 1||| |lim ||||||||lim ,||101010=>-->-+∞→++∞→R a a z z a z z a R z z k k k k k k k k 则也就是说， 幂级数后面的项的模越来越大，必然是发散级数。即如果|z-z0|>R ，则发散。 那么以z0为圆心做一个半径为R 的圆CR ，圆内绝对收敛，圆外发散。CR 称为幂级数的收敛圆，半径R 为收敛半径。 3. 根值判别法 如果1||||lim 0<-∞ →k k k k z z a ，则正项模级数收敛，幂级数绝对收敛； 如果1||||lim 0>-∞ →k k k k z z a ，则正项模级数发散，幂级数绝对发散； 收敛半径为k k k a R | |1lim ∞→=。 幂级数在收敛圆内的性质： 1．和函数是解析函数； 2．可以逐项求导，且收敛半径不变； 3．可以逐项积分，且收敛半径不变； （三）典型例题 （四）人物传记 达朗贝尔：法国著名的物理学家、数学家和天文学家，一生研究了大量课题，完成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中最著名的有八卷巨著《数学手册》、力学专著《动力学》、23卷的《文集》、《百科全书》的序言等等。他的很多研究成果记载于《宇宙体系的几个要点研究》中。 达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了许多荣誉。 3.3泰勒级数展开 （一）已知，任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数，既然解析函数的任意阶导数都存在，也希望能把解析函数展开为复变项的泰勒级数。 定理：设f (z)在以z0为圆心的圆CR 内解析，则对圆内任意z 点，f (z)可以展开为幂级 ∑∞ =-=0 0)()(k k k z z a z f 其中!)()() (210)(101k z f d z f i a k C k k R =-=?+ξξξπ。1R C 为圆R C 内包含z 且与R C 同心的圆。 泰勒展开公式（具有唯一性）： +-+-+=-=∑∞ =2020100 0)()()()(z z a z z a a z z a z f k k k ! ) (0)(k z f a k k = (二)几个典型的泰勒展开公式 1.∑∑ ∞ =∞ ==-= 000 0)(!)(!)(k k k k k z k z z z k z f e （在00=z 的邻域） 2. +-+-=-= ∑ ∞ =! 7!5!3!1)(!)(sin 75300 0)(z z z z z z k z f z k k k （在00=z 的邻域） 3. k z i n z k k k )1() 1(2ln 1 1 --+ =∑∞ =+π（在10=z 的邻域） 4. ()? ?? ???+-+ -+ +=+ 32 m !3)1(!2) 1(! 111z 1z m m z m m z m m （在00=z 的邻域） 5. ∑∑∑∞ =∞=∞=-=-==-0 2020)1()(11k k k k k k k z z Z Z （在00=z 的邻域） （三）典型例题 （四）人物传记 泰勒：18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒。泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（信中首先提出的著名定理－－泰勒定理：泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。 3.4解析延拓 3.5洛朗级数展开 (一）当所研究的区域上存在函数的奇点时，就不能将函数展为泰勒级数，而需要考虑除去奇点的环域上的展开，这就是洛朗级数展开。 定理： 设f (z )在环形区域201R z z R <-<的内部单值解析，则对环域上的任意一点，f (z )可展为幂级数∑∞ -∞ =-= k k k z z a z f )()(0，其中ξξξπ?+-= c k k d z f i a 10) () (21，积分路径C 位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任意闭合曲线。 (二)几个典型的洛朗展开公式 1.|)|0()! (10 1z z k e k k z <-= ∑-∞= 2. ∑∑∞ =+∞=----=----=-0202)1(2 1)1(1121)21()1(41112111k k k k k k k z z z z z （∞< 3. )||0(! 7!5!31sin 6 42∞<<+-+-=z z z z z z （三）洛朗展开和泰勒展开的区别与联系 联系：都是单值解析函数；展开形式均以0z 为展开中心。 区别：1.0z 是泰勒函数f (z )的奇点，洛朗展开中的0z 不一定是f (z )的奇点； 2.泰勒展开的区域是R <0z -z ，是绝对且一致收敛的函数。洛朗展开的区域是 201R z z R <-<，也是绝对且一致收敛的函数； 3.泰勒展开无负幂次项，洛朗展开可以有负幂次项，也可以没有负幂次项。 （三）典型例题 在挖去奇点0z 的环域上或指定的环域上将下列函数展为洛朗级数 （五）人物传记 洛朗：法国数学家提出洛朗级数，复变函数f (z )的洛朗级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。 3.6孤立奇点的分类 孤立奇点：若函数f (z)在某点z0不可导，而在z0的任意小邻域内除z0之外处处可导，则z0为f (z) 的孤立奇点。 若在z0无论多么小的邻域内总可以找到除z0外的不可导点，z0为f (z)的非孤立奇点。 在挖去孤立奇点z0而形成的环域上的解析函数f (z)的洛朗级数分三种： （1）无负幂项，0z 为f (z)的可去奇点； （2）有有限个负幂项，0z 为f (z)的极点； （3）有无限个负幂项，0z 为f (z)的本性奇点。 典型例题 设函数()z f 和()z g 分别以点0z 为m 阶和n 阶极点，问对下列函数而言，0z 是何种性质的点： （1） () () z g z f ；（2）()()z g z f ；（3）()()z g z f + 4.1留数定理 (一)留数的定义：单值函数 f (z ) 在孤立奇点0z 邻域内的洛朗展开∑+∞ -∞ =-=l k l z a z f k 0) ()z ()(其中的10)z (--z 项的系数称为 f (z ) 在0z 处的留数，记作)z (res 0f 。 这样 ()()0l es i 2z f R d z f z π=? (二)留数定理：函数 f (z )在回路l 所围区域 B 是除有限个孤立奇点n b b b ,,,21 外解析，在闭区域上除点n b b b ,,,21 外连续，则?∑==l n j j b sf i dz z f 1 )(Re 2)(π （三）留数的计算 1. 单极点的情况： ()[])() ()()(lim )()()()(lim )()(lim es 0b Q b P z Q b z b P z Q z P b z z f b z z f R b z b z b z '=-=????? ?-=-=→→→ 2. m 阶极点的情况： ())()(lim )!1(1es 011 00z f z z dz d m z f R m m m z z --=--→ （四）典型例题 1.计算下列函数的奇点，求出函数在各奇点的留数 （1）()() 2 21--z z z ； （2）()5 3 1 z z -。 2.计算函数的回路积分 () () )022(112 22 2 =--+-+?y x y x l z z d l z 的方程是 3.应用留数定理计算回路积分()z l d z z f i ?-α π21，函数()z f 在L 所包围的区域上是解析的，α是这区域的一个内点。 4.2留数定理是复变函数的定理 若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。 留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。 类型一： ?= π θθθ20 )cos ,(sin d R I 被积函数是三角函数的有理式，积分区间是[]π2,0,做变 换θ i e z =，于是原积分化为?=???? ? ?+-=12221,21z iz dz z z iz z R I 类型二： ?+∞ ∞ -dx x f )(积分区间()∞∞，-；复变函数f (z )在实轴上没有奇点，在上半平面除有 限个奇点是解析的；当z 在上半平面及实轴上∞→时，z f (z )一致的→0. 这个积分通常看作为极限?∞→-∞→=2 1 21)(lim R R R R dx x f I },)(Re {2)(上半平面∈=∑?-j j j R R z z sf i dx x f π 类型三：.sin )(,cos )(0 ? ?∞ ∞mxdx x G mxdx x F 偶函数 F(z) 和奇函数 G(z) 在实轴上无奇点， 在上半平面除有限个奇点外是解析的；当 z 在实轴和上半平面趋于无穷大， F(z) 和 G(z) 一致地趋于零。 做变换得 上半平面。∈== ?∑?∞ j imz l j j imz z e z sF i dz e z F mxdx x F j ,)(Re )(21cos )(0π 上半平面。∈== ?∑?∞ j imz l j j imz z e z sG dz e z G i mxdx x G j ,)(Re )(21sin )(0 π 典型例题 计算下列实变函数的定积分 1.?+∞ ∞ -++1142x x ； 2. ()()10,cos 120 2 <<+?εεπ x d x ； 3. ?∞ >+0 40,1cos m d x mx x 。 5.1傅里叶级数 （一）周期函数的傅里叶展开 若函数f (x )以2l 为周期，即f x )= f (x+2l )，则可取三角函数族，将f (x )展开为级数 )sin cos (2)(10x l n b x l n a a x f n n n ππ++=∑∞= 其中?-= l l n xdx l n x f l a πcos )(1，?-=l l n xdx l n x f l b π sin )(1 注意：对于非周期函数,如果函数f (x )只在区间],[ππ-上有定义,并且满足收敛定理条件,也可展开成傅立叶级数. （二）傅里叶级数收敛的定理 狄里希利定理：若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间 断点；(2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数收敛， 且??? ??-++=) ()}.0()0({2 1 )(),(x x f x f x x f 在间断点在连续点级数和 （三）奇函数和偶函数的傅里叶展开 1. 奇函数的傅里叶展开：∑∞ == 1 sin )(n n l x n b x f π，其中dx l x n x f l b l n ?=0sin )(2π。 2. 偶函数的傅里叶展开：∑∞=+=10cos 2)(n n l x n a a x f π其中dx l x n x f l a l n ?=0cos )(2π。 (四)定义在有限区间上的函数傅里叶展开 对于只在有限区间，可以采取延拓的方法，使其成为某种周期函数()x g ，而在()l ，0上 ()(),x f x g =然后在对()x g 作傅里叶展开，其级数区间在()l ，0上代表f (x )。 两种特殊的展开：1.如果()()00==l f f ，这时应延拓成奇的周期函数； 2.如果()()00='='l f f ，这时应延拓成偶的周期函数； （五）复数形式的傅里叶级数 f (x )展开为复数形式的傅里叶级数为：()∑∞ -∞ == k l x k i k e c x f π，其中 ()ζπζd l ik f l c e l l k ??? ? ??? ??-=* 21. （六）典型例题 1.交流电压t E ωsin 0经过全波整流，成为()t E t E ωsin 0=。将它展为傅里叶级数； 2.将锯齿波展为傅里叶级数。在()T ,0周期上，该锯齿波可以表示为()3 x x f =。 3.在区间()l ,0定义了函数()x x f =，试根据条件()()0,00=='l f f ，将()x f 展为傅里叶级数； 4.将函数()x x f 3 cos =展为傅里叶级数。 (七)人物传记 傅里叶：法国数学家及物理学家，主要贡献是在研究热的传播时创立了一 套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数，傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶分析等理论均由此创始。 5.2傅里叶积分与傅里叶变换 （一）实数形式的傅里叶变换 周期函数变为傅里叶级数，被看作周期函数从时域到频域的变换。不过，由于时域的函数具有周期性，频域的函数是离散的级数。有限区间的函数可以延拓为周期函数。因此，失去周期性的时域中的函数的定义域当为∞≤≤∞-x 。从方便于研究而言，它又可以看作为周期趋于无穷大的函数。 非周期函数的傅里叶级数积分：?? ∞ ∞ +=0 sin )(cos )()(ωωωωωωxd B xd A x f 实数形式的傅里叶变换：ξωξξπ ωd f B sin )(1 )(? ∞ ∞ -= ，ξωξξπ ωd f A cos )(1 )(? ∞ ∞ -= 。 傅里叶积分定理：若函数 ()x f 在区间),(∞-∞上满足条件(1) 在任意有限区间满足狄 里希利条件；(2) 在区间),(∞-∞上绝对可积（即 ? ∞ ∞ -dx x f )(收敛） ，则f(x) 可表为 傅里叶积分，且傅里叶积分值=2/)]0()0([-++x f x f 。 （二）复数形式的傅里叶积分 出了实数形式，还有复数形式的傅里叶积分，而且在很多情况下，复数形式的傅里叶积分比实数形式的傅里叶积分使用起来更为方便。 复数形式的傅里叶积分：.)(sin )(cos )()(0 ??? ∞ ∞ -∞∞ =+= ωωωωωωωωωd e F xd B xd A x f x i （三）两种特殊函数的傅里叶积分和傅里叶变换 1.奇函数：?∞ =0sin )()(ωωωxd B x f ，ξωξξπωd f B sin )(2 )(0? ∞ =。 2.偶函数：? ∞ = cos )()(ωωωxd A x f ，ξωξξπωd f A cos )(2 )(0 ? ∞ = 。 (四) 傅里叶变换的基本性质 1.导数定理：)()]('[ωωF i x f =F ； 2.积分定理：)(1 ])([) (ωω F i dx x f x = ? F ； 3.相似性定理：)(1)]([a F a ax f ω= F ； 4.延迟定理：)()]([0 0ωωF e x x f x i -=-F ； 5.位移定理：)()]([00ωωω-=-F x f e x i F ； 6.卷积定理： )()]([11ωF x f =F )()]([22ωF x f =F ，则)()(2)]()([2121ωωπF F x f x f ?=*F （五）典型例题 1.在边界条件下()00=f ，将定义在()∞,0上的函数()x e x f λ-=展为傅里叶积分； 2.将下列脉冲()t f 展开为傅里叶积分，()() ()()() ???? ???<<<<<--<=t T T t h t T h T t t f ,00,0,,0。 5.3δ函数 （一）δ函数作为广义函数的引入 物理上，存在这样的物理量，在无限小的范围内具有有限大小的量。这样的量的密度为无穷大，但是在整个空间这个物理量的总量却为有限。 对于指点，点电荷，瞬时力这类集中于空间某一点或时间的某一瞬时的抽象模型，在物理学中引入δ函数以描述其密度： ?? ?<<><=? ) 00(. 1) 0,,0,(,0)(b a b a b a dx x b a 或δ （二）δ函数的一些性质 1. δ偶函数，它的导数是奇函数 )()(x x δδ=-，)(')('x x δδ-=-； 2. 阶跃函数或亥维赛单位函数 ? ∞ -?? ?><== x x x dt t x H ) 0(. 1) 0(,0)()(δ； 3. 挑选性 )()()(00t f d t f =-? ∞ ∞ -ττδτ； （二）典型例题 将()x δ展为实数形式的傅里叶积分。 [Word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页） [Word格式]《成本会计》配套习题集参考答案 [Word格式]《实用成本会计》习题答案 [Word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年） [JPG格式]会计从业《基础会计》课后答案 [Word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先）[Word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什） [Word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻 P.林德特王新奎） [PDF格式]《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印 [Word格式]《金融工程》课后题答案（郑振龙版） [Word格式]《宏观经济学》课后答案（布兰查德版） [JPG格式]《投资学》课后习题答案（英文版，牛逼版） [PDF格式]《投资学》课后习题答案（博迪，第四版） [Word格式]《微观经济学》课后答案（高鸿业版） [Word格式]《公司理财》课后答案（英文版，第六版） [Word格式]《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版） [Word格式]《金融市场学》课后习题答案（张亦春，郑振龙，第二版） [PDF格式]《金融市场学》电子书（张亦春，郑振龙，第二版） [Word格式]《微观经济学》课后答案（平狄克版） [Word格式]《中级财务会计》习题答案（第二版，刘永泽） [PDF格式]《国际经济学》习题答案（萨尔瓦多，英文版） [JPG格式]《宏观经济学》课后答案（曼昆，中文版） [PDF格式]《宏观经济学》答案（曼昆，第五版，英文版）pdf格式 [Word格式]《技术经济学概论》（第二版）习题答案 [Word格式]曼昆《经济学原理》课后习题解答 [PDF格式]西方经济学（高鸿业版）教材详细答案 [Word格式]完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案 [Word格式]《金融市场学》课后答案（郑振龙版） 化学物理 [Word格式]《固体物理》习题解答（方俊鑫版） [Word格式]《简明结构化学》课后习题答案（第三版，夏少武） [Word格式]《生物化学》复习资料大全（3套试卷及答案+各章习题集） [PDF格式]《光学教程》习题答案（第四版，姚启钧原著） [Word格式]《流体力学》实验分析答案（浙工大版） [Word格式]《高分子化学》课后习题答案（第四版，潘祖仁主编） [PDF格式]《化工热力学》习题与习题答案（含各种版本） [Word格式]《材料力学》习题答案 [Word格式]《量子力学导论》习题答案（曾谨言版，北京大学） [PDF格式]《理论力学》习题答案（动力学和静力学） 复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0 z f z e d ζζζ= ? ，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)u x y = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - 数学物理方法 课程类别校级优秀□省级优质√省级精品□国家精品□项目主持人李高翔 课程建设主要成员陈义成、王恩科、吴少平、刘峰数学物理方法是理科院校物理类学生的一门重要基础课，该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。因此，本课程教学质量的优劣，将直接影响到学生对后续课程的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。数学物理方法是物理专业师生公认的一门“难教、难学、难懂”的课程，为了将其变为一门“易教、易学、易懂”的课程，我们对该课程的课程体系、内容设置、教学方法等方面进行了改革和建设，具体做法如下： 一、师资队伍建设 优化组合的教师队伍，是提高教学质量的根本保证。本课程师资队伍为老、中、青三结合，其中45岁以下教师全部具有博士学位，均具有高级职称。课程原责任教师汪德新教授以身作则，有计划地对青年教师进行传、帮、带，经常组织青年教师观摩老教师的课堂教学、参与数学物理方法教材编写的讨论；青年教师主动向老教师学习、请教，努力提高自身素质和教学水平。现在该课程已拥有一支以中青年教师为主的教师队伍。同时，系领导对该课程教师队伍的建设一直比较重视，有意识地安排青年教师讲授相关的后续课程，例如，本课程现责任教师李高翔教授为物理系本科生和函授生多次主讲过《电动力学》、《量子力学》、《热力学与统计物理》等课程，使得他们熟知本门课程与后续专业课程的连带关系，因此在教学中能合理取舍、突出重点，并能将枯燥的数学结果转化为具体的物理结论，有利于提高学生的学习兴趣。培养学生独立分析问题和解决问题能力的一个重要前提是教师应该具有较强的科研能力，该课程的任课教师都是活跃在国际前沿的学术带头人或学术骨干，近5年来，他们承担国家自然科学基金项目共8项，在国内外重要学术刊物上发表科研论文60余篇，并将科研成果注入教学中。此外，本课程大多数教师有多次出国合作研究的经历，并且在学校教务处和外事处的支持下，吴少平副教授参加了由国家留学基金委员会组织的赴英“双语教学研修项目”，为本课程双语教学的开展打下了良好的基础。 二、教学内容 数学物理方法是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁，本课程的重要任务是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法。本门课程的基本教学内容主要包括复变函数论、数学物理方程两部分。与国内流行的教材和教学内容相比，在讲解数理方程的定解问题时，本门课程教学内容的特色之一是按解法分类而不按方程的类型分类，这样，可以避免同一方法的多次重复介绍；特色之二是把线性常微分方程的级数解法和特殊函数置于复变函数论之后、数学物理方程之前，一方面可将这些内容作为复变函数理论的一个直接应用，使学生进一步巩固已学的相关知识，另一方面可使正交曲线坐标系中分离变量法的叙述更加流畅，并通过与直角坐标系中分 数学物理方法简答题 1.复数有哪几种表达方式？在复数的开方运算和对数函数的计算中，应特别 注意复数的什么性质？（复习掌握复数运算和几种基本函数的定义和计算） 书上列出了三种：代数式，三角式，指数式。其实还可以用级数式表示复数。 注意角度是除以/乘以一个数。 2.复变函数可导的充分必要条件是什么？可导与解析这两个概念有什么联 系和区别？（复习掌握柯西-黎曼条件以及求解解析函数的实部或虚部的方法） 复变函数可导的充分必要条件：函数的偏导数存在且连续，并满足柯西-黎曼方程。 联系与区别：对于一个点，函数解析必定可导，反之不一定；对于一个区域，解析和可导等价。 3.解析函数的两条性质是什么？ 一：函数的实部和虚部分别等于一个常数，这个两个曲线族在其区域B上是相互正交的。 二：函数的实部和虚部均为其区域B上的调和函数。 4.已知某函数在某一回路上的积分为零，可否据此对此函数的解析性质作出 判断？为什么？（复习掌握柯西定理、柯西公式） 可以，根据柯西定理，在闭单连通区域上的解析函数回路积分为零，可以据此对函数解析性质做出判断。 5.什么情况下某一积分回路的内部一定是复连通的区域？ 在回路内有奇点，则该回路积分会等于对其内部奇点所有回路积分之和。 6.收敛的幂级数和双边幂级数的收敛区域分别是什么类型的区域？在收敛 区域的境界线和外部是否一定发散？（复习掌握计算泰勒展开和洛朗展开的基本方法，特别是有理分式的展开） 一个是圆一个是环。在幂级数的境界线上要具体分析，其余都发散。 7.奇点可分为哪几类？孤立奇点可分为哪几类？简要说明它们之间的区别。 奇点分为孤立奇点和非孤立奇点，。函数在点z不可导，若在z的任意小领域除点z外处处可导，则为孤立奇点，若在任意小领域内可以找到除z以外不可导的点，则z为非孤立奇点。 孤立奇点根据挖去该点而形成环域上的解析函数的洛朗展开级数中负幂项情况，可以分为可取奇点（没有负幂项）、极点（有限个负幂项）、本性奇点（无限个负幂项）。 8.如何判断极点的阶数？ 函数在该极点上的洛朗展开，最低次幂项的次数的绝对值是极点的阶数。 9.试用文字说明什么是留数？（复习掌握留数计算相关公式） 被积函数在回路上的积分，将被积函数展开后逐项积分，除去留下来的项其他都为零，则这个不为零的项除以一常数后称之为留数/残数。 10.留数定理将回路积分归结成什么？对于回路积分的计算有什么意义？（复 习掌握留数定理计算回路积分和实函数积分的相关公式） 将回路积分归结成根据极点求留数，简化了对回路积分的计算。 电磁场与电磁波大作业 学院：电子工程学院 班级：021231 指导老师：侯建强 组长： 组员： 基于MATLAB的电磁场数值分析 摘要使用计算机进行电磁场数值分析已成为电磁场的工程开发、科研和教学的重要手段。本文介绍了电磁场数值分析的基本理论，并且基于MATLAB PDE工具箱实现了的静态场的边值型问题的求解。实验结果表明，MATLAB使电磁场问题的求解迅速、简单、方便。 关键词：MATLAB 数值分析法边值型问题 Electromagnetic Field Numerical Analysis Based on MATLAB Abstract:Using computers to analyze electromagnetic field has been an important method of the development of projects, research and teaching. The essay introduces some basic theories of electromagnetic field numerical analysis. And basing on MATLAB PDE tool, the electromagnetic field boundary value problem has been solved. Furthermore, the results show that it is easier, more prompt and more convenient to figure it out with the software, MATALAB. Keywords: MATLAB, Electromagnetic Field Numerical Analysis, boundary value problem 天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线 于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数 竭诚为您提供优质文档/双击可除数学物理方法学习心得 篇一：数学物理方程的感想 数学物理方程的感想 通过对数学物理方程一学期的学习，我深深的感受到数学的伟大与博大精深。 当应用数学发展到一定高度时，就会变得越来越难懂，越来越抽象，没有多少实际的例子来说明；物理正好也要利用数学来进行解释和公式推导，所以就出现了数学物理方法。刚开始到结束这门课程都成了我的一大问题。很难理解它的真正意义（含义），做题不致从何入手，学起来越来越费劲。让我很是绞尽脑汁。 后来由于老师耐心的指导与帮助下我开始有了点理解。用数学物理方法来解释一些物理现象，列出微分方程，当然这些微分方程是以物理的理论列出来的，如果不借助于物理方法，数学也没有什么好办法来用于教学和实践，而物理的理论也借助于数学方法来列出方程，解出未知的参数。这就是数学物理方法的根本实质所在。真正要学好数学物理方程 不仅要数学好物理也不能够太差。 接下来我想先对数学物理方程做一个简单的介绍与解 释说明。数学物理方程——描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式 特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的 数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。 然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发 展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势： 第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __ 。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中张力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变力t F ωsin 0的作用而振动。”则该定解问题为( B )。 A ．?????===<<-=-===0 ,0,0)0(,)(sin 0000 2 t l x x xx tt u u u l x x x t F u a u ρ δω u x h 2 /l 0 u 图 热传导方程及MATLAB 在其的应用 摘要：数学物理方程主要是偏微分方程，热传导方程是最为典型的数学物理方程之一。为了对热传导方程有个清晰地理解，论文重新阐述了热传导方程的推导。同时，求解热传导方程的方法也有很多种，但所得的结果往往是一个复杂的积分或级数，不能直观地表达出其物理意义，为了使这些公式中的物理图像展现出来，论文对MATLAB 在其的应用作了些浅略的探讨。 关键字：数学物理方程 热传导方程 数学物理方程是指在物理学、力学、程 2 2 2 2 2 22 2 2 ( ) u u u u t x y z a ????= + + ????、热传导方程 u t ?= ?斯方程 2 2 2 2 2 2 0u u u x y z ???+ + =???是最为典型的三个方程。 在参考相关文献的基础上，本论文主要对热传导方程及MATLAB 在其的应用做一个简要的介绍。 物体温度分布不均匀，物体内部必然会产生热应力，热应力过于集中，物体就会产生裂变，从而破坏物体原有的形状和结构，工程技术中称此现象为热裂。在建造大坝时，混凝土释放的水化热使大坝的温度分布极不均匀；在浇铸铸件过程中，散热条件不同，会导致铸件各点间温度变化的梯度过大……。此外，还有好多可以产生热裂的现象。为有效防止热裂，就必须清楚物体各点的温度分布情况。[1] 一、热传导方程的导出 物理方程是实际上是寻求不同定解问题的解，而定解问题有定解条件和泛定方程组成。不同的物理问题可能得到同一类方程，但因定 解条件不同，因而就可能得到不同的定界问题。 （一）热传导方程泛定方程的推导 在三维空间中，考虑一均匀、各向同性的物体，物体内部由于温度分布不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象称为热传导。 构建物体热传导物理模型时，我们必须基于两个方面。一是能量守恒定律：物体内部的热量增加等于通过物体的边界流入的热量与物体内部的热源所产生的热量的总和，即： 2 1 Q Q Q Q -= +入 内 其中(1,2)i i Q =表示在i t 时刻物体内部的热量，Q 入表示在12t t ????，时刻内通过边界流入物体的热量，Q 内表示在12t t ????，时刻内物体内部热源产生的热量。 二是热传导傅里叶定理：考察某物体G 的热传导问题时，以函数 ( u x (,,,)x y z 处及t 时刻的温度。在物体内任意 沿法向n 方向，物体在无穷小时段d t 内，流过 d t 、热量通过的面积ds 及温度沿 (,,)u dQ k x y z dsdt n ?=-? 其中，(,,)k x y z 称为物体在(,,)x y z 处的热传导系数，它应该取正值； u n ?? 称为温度的法向导数，它表示温度沿法向n 的方向的变化率；等式中 的负号表示热量是由高温向低温流动，而温度梯度gradu n ? 是由低温 大学几乎所有学科的课本答案 ！ 任明嘉的日志 经济金融 [PDF格式]《会计学原理》同步练习题答案 [Word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页） [Word格式]《成本会计》配套习题集参考答案 [Word格式]《实用成本会计》习题答案 [Word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年） [JPG格式]会计从业《基础会计》课后答案 [Word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先）[Word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什） [Word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻P.林德特王新奎） [PDF格式]《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印 [Word格式]《金融工程》课后题答案（郑振龙版） [Word格式]《宏观经济学》课后答案（布兰查德版） [JPG格式]《投资学》课后习题答案（英文版，牛逼版） [PDF格式]《投资学》课后习题答案（博迪，第四版） [Word格式]《微观经济学》课后答案（高鸿业版） [Word格式]《公司理财》课后答案（英文版，第六版） [Word格式]《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版） [Word格式]《金融市场学》课后习题答案（张亦春，郑振龙，第二版）[PDF格式]《金融市场学》电子书（张亦春，郑振龙，第二版） [Word格式]《微观经济学》课后答案（平狄克版） [Word格式]《中级财务会计》习题答案（第二版，刘永泽） [PDF格式]《国际经济学》习题答案（萨尔瓦多，英文版） [JPG格式]《宏观经济学》课后答案（曼昆，中文版） [PDF格式]《宏观经济学》答案（曼昆，第五版，英文版）pdf格式 [Word格式]《技术经济学概论》（第二版）习题答案 [Word格式]曼昆《经济学原理》课后习题解答 [PDF格式]西方经济学（高鸿业版）教材详细答案 [Word格式]完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案 [Word格式]《金融市场学》课后答案（郑振龙版） 化学物理 [Word格式]《固体物理》习题解答（方俊鑫版） [Word格式]《简明结构化学》课后习题答案（第三版，夏少武） [Word格式]《生物化学》复习资料大全（3套试卷及答案+各章习题集）[PDF格式]《光学教程》习题答案（第四版，姚启钧原著） [Word格式]《流体力学》实验分析答案（浙工大版） [Word格式]《高分子化学》课后习题答案（第四版，潘祖仁主编） 数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】 3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上 1、 下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？（画图说明） （1） （2） 2、计算下列数值 （1） （2） （3） 3、解方程 1、设函数2222()()f z x axy by i cx dxy y =+++++问常数a ,b ,c ,d 取何值时, f (z )在复平面内处处解析? 2、如果f '(z )在区域D 处处为零, 证明f (z )在D 内为一常数. 3、(,)23()()0v x y xy x f z f i =+=判断是否可作为解析函数的虚部？为什么？若能， 求出一个解析函数，且满足 2、 1、求1()(12) z f z e i =-+的全部孤立奇点。 1Re 2z >arg ,Re (,,z a z b a b αβαβ<<<<和为实数） i i (13) Ln i -sin 2z =1、 求下列积分的值 （1）iz d , :i 1;i C e z C z z +=+? （2）2||2d (5)(i)z z z z z =--? （3）431 (1)(3)z z dz z z =-+-? （4）5 cos :1(1)C z dz C z r z π=>-? 2223713,(),'(1). C C x y f z d z f i ????+++==-+? 设表圆周求 2、32382(4) z z z +=--是的 阶极点。 3、确定下列函数的奇点，并求出函数在各奇点处的留数。 （1）2 (1)(2)z z z -- （2）1 1z e - 4、用留数定理计算下列积分。 （1）431 (1)(3)z z dz z z =-+-? （2）22()(3)z C e dz z i z i π-+? ，其中C 是|-1|3z =正向圆周. 1、求()=,0t f t e ββ->的傅立叶变换。 2、已知)(t f 的傅氏变换为[]00()()().F i ωπδωωδωω=+--，求)(t f 3、用拉普拉斯变换求解 4、质量为m 的物体挂在弹簧系数为k 的弹簧一端, 外力为f (t ), 物体自平衡位置x =0处开始运动, 求运动规律x (t )（用拉式变换求解） 1、用分离变量法求解混合问题 2、半径为a 的半圆形均匀薄板，板面绝缘，在半圆周的边界上保持恒定的温度0u ，在直径上保持零度，求板内的稳定温度分布。 1、设有两端固定的弦，其初始位移和初始速度为零，求在重力作用下该弦的振动。 22()()()(0)0(()) T t a T t g t T g t ω'?+=?=?已知()()()()20000,0,02,0sin ,0sin 0tt xx u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l l l ππ??-= << , >? ??= , = 0≤????= , = ≤≤?? 光信息科学与技术专业本科生培养方案Undergraduate Program for Specialty in Optical Information Science and Technology 一、培养目标 Ⅰ、Educational Objectives 培养德、智、体全面发展，既具有系统、扎实的物理学及光信息科学的理论基础，又在以光波为载波的信息获取、传递、处理及应用等方面具有较宽广的专业知识、较强的英语语言能力、计算机应用能力和实践动手能力，良好的人文素质和创新精神的高级研究型、应用型人才。毕业生能在光信息技术产业、科研部门、高等院校及相关领域从事研究、设计及开发等工作。 This program provides students with the comprehensive background knowledge in physics and optical information science, also thorough abilities in information retrieving, transferring, processing and application. The courses encourage good English performance, attainment in humanities and art, ability to problem solving and initiative. Students may further their career on research, design and development in optical information technology industry, research sectors, colleges and various fields. 二、业务素质培养要求 Ⅱ、Professional Skills Profile 毕业生应获得以下几方面的知识和能力： 1．具有扎实的数学和物理学基础； 2．掌握光信息科学、电子学、计算机科学的基本理论和方法； 3．具有研究光信息科学及其相关领域理论问题和解决实际问题的能力； 4．了解光信息科学的发展动态； 5．具有较强的英语语言应用能力； 6．掌握文献检索、资料查询的方法和撰写科学论文的能力； 7．具有较好的人文社科知识和较高的人文素质，以及较强的协调、组织能力； 8．具有较强的创新精神和团队合作精神； 9．了解体育运动的基本知识，初步掌握锻炼身体的基本技能，养成科学锻炼身体的习惯，身体健康，达到大学生体育合格标准。 Students are expected to gain the following knowledge and skills： 1．Sound grounding in both mathematics and physics； 2．Principles of optical information science, electronics and computer science； 3．Research and problem solving skills in optical information science and its relating area； 4．Skills to understand the development and trend in optical information science； 5．Skills to use English language； 基于分离变量法的波导中的电磁波研究 1 空间当中的电磁波 在迅变情况下，电磁场以波动形式存在，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组，对于在0==J σ情况下的迅变场，麦克斯韦方程组为]4[ ?? ? ?? ???? =??=????=????- =??00B D t D H t B E (1) 为了便于求解，通常将（1）式化为 ??? ????=??-?=??-?0101 22 2 22 22 2 t B c B t E c E (2) 必须指出的是，（2）式中第一式E 的三个分量X E ，y E ，z E 虽然是三个独立方程，但是其解却是相互关联的，因为（1）式到（2）式麦克斯韦方程变为二阶的麦克斯韦方程，故解的范围变大了。为了使波动方程（2）的解是原方程（2）的解，必须是波动方程的解满足条件 0=??E 。 求解方程（1），即为求解 ???? ??? ????- =??=??=??-?t B E E t E c E 0012222 (3) (3)式在给定的边界条件下，可以求得定解. 对于定态电磁波，场量可以表示为 t i e z y x E E ω-=),,( (4) 考虑(4)式，(3)式可表示如下： ? ?? ? ? ?? ??-==??=+?E i B E E k E ω002 2 (5) 设电磁波为时谐波，并考虑到关系H B μ=，由（5）式可得到z y x ,,三个分量的6个标量方程： x y x H i E y E ωμγ-=+?? (6) y x z H i E x E ωμγ-=-??- (7) z x y H i y E x E ωμ-=??- ?? (8) x y z E i H y H ωεγ=+?? (9) y x z E i H x H ωεγ=-??- (10) z x y E i y H x H ωε=??- ?? (11) 以上6个方程经过简单运算，可以将横向场分量y x y x H H E E ,,,用两个纵向场分量 z z H E ,来表示，即： )(1 2 y E i x H k H z z c x ??-??- =ωεγ (12) )(12 x E i y H k H z z c y ??+??- =ωεγ (13) )(12 y H i x E k E z z c x ??+??- =ωμγ (14) )(12 x H i y E k E z z c y ??-??- =ωμγ (15) 式中222 k k c +=γ 典型习题 一、填空题： 1 的值为 ， ， 。 2 、1-+的指数表示为_________ ,三角表示为 。 3、幂级数2 k k=1(k!)k z k ∞ ∑的收敛半径为 。 4、ln(5)-的值为 。 5、均匀介质球，半径为0R ，在其中心置一个点电荷Q 。已知球的介电常数为 ε，球外为真空，则电势所满足的泛定方程为 、 。 6、在单位圆的上半圆周，积分1 1||__________z dz -=?。 7、长为a 的两端固定弦的自由振动的定解问问题 。 8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为 。 9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为 ，f （k ）的傅里叶逆变换为 。 10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为 。 二、简答题 1、已知()f z u iv =+是解析函数，其中22 v(x,y)=x y +xy -，求 (,)u x y 。 2、已知函数1w z = ，写出z 平面的直线Im 1z =在w 平面中的,u v 满足的方程。 3、将函数21()56f z z z =-+在环域2||3z <<及0|2|1z <-<内展开成洛朗级数． 4、长为L 的弹性杆，一端x=0固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长p 后静止（在弹性限度内），突然放手后任其振动。试写出杆的泛定方程及定解条件。 三、计算积分： 1. ||22(1)(21)z zdz I z z ==-+? 2．||2sin (3)z zdz I z z ==+? 3.22202(1)x I dx x ∞ =+? 4.||1(31)(2) z zdz I z z ==++? 5. ||23cos z zdz I z ==? 6. 240x dx 1x I ∞=+? 7、0sin x dx x ∞ ? 8、20cos 1x dx x ∞+? 四、使用行波法求解下列方程的初值问题 福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z 用数学物理学方法抓狮子：用慢中子辐射沙漠 此文编译自一篇1938年发表在《美国数学月刊》上的真实论文，原文的题目是《关于狩猎大型猎物的数学定理的研究》，虽然题目有点“雷”，但它极具传播效率地向有兴趣的读者介绍了当时数学和物理学的发展分支。因为版面有限，我们做了删节，如果您感兴趣，请查阅原文。 作者H.Petard是数学家E.S.Pondiczery的笔名。更有意思的是，E.S.Pondiczery本身也是一个笔名，是数学家Ralph P. Boas,Jr.和同事们长期合作发表论文时虚构的人物。 为了叙述简便，我们不妨将提到的“大型猎物”限定为居住在撒哈拉沙漠上的狮子。显然，只需要在形式上加以修改，文中列举的方法便可以自然地扩展到其他的野兽和其他的地域上。 数学方法 希尔伯特方法：我们将一个锁住的笼子放在沙漠的一个已知位置上，然后引入以下的逻辑系统： 公理一：撒哈拉沙漠中的狮子集不是空集； 公理二：如果撒哈拉里有一头狮子，那么笼子里就有一头狮子； 推理规范：如果P是一个定理，同时有“P蕴含了Q”，那么Q是一个定理； 定理一：笼子里有一头狮子。 反演几何学方法：我们在沙漠里放一个球形的笼子，然后走进去,之后对笼子进行反演变换。于是狮子在笼子里面，我们在外面。 射影几何学方法：我们可以不失一般性地将整个沙漠看成是一个平面。我们将这个平面投影到一条线上，接着将这条线投影到笼子的一个内点。因此目标狮子便也被投影到这个内点上——也就是笼子里。 波尔察诺-魏尔斯特拉斯方法：用一条南北走向的线将这个沙漠分成两部分。那么狮子不是在东边就是在西边，不妨设它在西边；再用一个东西方向的线分割狮子所在的部分，于是狮子不是在这部分的南边就是在北边……无限次地进行这个过程，每一步都布下一个足够结实的围栏，而且所围区域的直径趋向于0。于是这头狮子最终被包围在一个周长任意小的围栏里面了。 集合论方法：沙漠是一个可分空间，所以它包含一个可数的稠密点集，可以以此构造一个以狮子为极限的子序列。接着我们沿着这个子序列悄悄地接近它，然后用合适的东西海扁它！ 皮亚诺方法：通过标准方法构造一条经过沙漠中每一点的连续曲线。我们已经知道，可以在任意短的时间内遍历这样的曲线。所以我们应该带上长矛，然后赶在狮子移动一个身长的距离之前飞速遍历整条曲线。 拓扑学方法：我们发现一头狮子至少有着环的连通性。我们将沙漠变换到四维空间中，便可将其以扭结状态变换回三维空间中，这样它便无计可施啦。 理论物理学方法 狄拉克方法：我们发现事实上野生狮子在撒哈拉沙漠中是观察不到的，因此如果沙漠中有狮子，那么他们一定是已经被驯服了的。在此我们将“抓住一个被驯服的狮子”作为一个练习留给读者。 薛定谔方法：任意时刻一定有一个微小的正概率使得狮子在笼子中，守株待兔吧！ 核物理方法：将一头驯服了的狮子放进笼子里，对它和一头野狮子应用马约拉纳交换算符。作为一个变型，假如你非要一头公狮子，我们可以在笼子里放入一头驯服了的母狮子，然后应用海森堡交换算符，它将连同自旋一并交换。 相对论方法：我们在狮子周围撒下大量天狼星伴星作为诱饵。当狮子吃了足够多的时候，我们用一束光照射穿过沙漠——这束光在狮子周围会发生弯曲，于是它就会头昏眼花的，我各科书的下载地址
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