高三第一轮复习三角恒等变换

三角恒等变换

【提纲挈领】

主干知识归纳 1.常用的三角公式 （1）同角公式. （2）诱导公式. （3）和差角公式. （4）二倍角公式. （5）降幂公式：2

1cos 2sin

2

α

α-=

，2

1cos 2cos

2

α

α+=

，2

1cos 2tan

1cos 2ααα

-=

+.

（6）万能公式：2

2tan

2

sin 1tan

2

α

α

α

=+，2

2

1tan 2cos 1tan

2

αα

α

-=+，2

2tan 2

sin 1tan

2

α

α

α

=-.

（7）辅助角公式

：

()

sin cos a b ααα?+=+

，

cos ?=

、

sin ?=

.

方法规律总结

1. 三角恒等变换的主题是求值、化简、证明.

2.对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.

3.三角变换包括变换的对象、目标、依据和方法；三角变换思维起点是角：盯住未知与已知角的关系（互余、互补、和、差、倍、分）；三角变换的基本思想是转化与化归思想；三角变换的策略是：找“差异”，立足“化异为同”、消除差异找方法.

【指点迷津】 【类型一】求值

【例1】：已知角α的终边与单位圆相交于点1cos ,2P α?

?

- ???

，则cos 2α=（）. A ．12

-

B ．

12

C

．

【解析】：因为角α的终边与单位圆相交于点?

? ??

?

1P cos α,-2，所以1sin α=-

2

．

故?? ???

2

112

cos2α=1-2sin α=1-2-=22.

答案：B

【例2】：已知3

sin 5

θ=-

，θ为第四象限角，则tan

2

θ

=(

)．

A ．35-

B ．34-

C ．13-

D ．43

【解析】：因为3sin θ=-5

，θ为第四象限角，所以4cos θ=

5

.故θsin θ2tan

==θ2

cos

2

3

θθ-

2sin

cos

sin θ152

2=

=

=-θ4cos θ+1

322cos

1+

2

5

. 答案：C

【例3】：已知α、β为锐角，且4

tan 7,tan 3

αβ==

，则αβ+=________． 【解析】：因为()

?

4

7+

tan α+tan β3tan α+β=

=

=-14

1-tan αtan β

1-73

，且0<α+β<π，所以3π4α+β=.

答案：

3π

4

【类型二】化简

【例1】：化简：2

222tan15

cos

15cos 751tan 15

-+

=-( )

A

．6

-

B

．6 C

．4- D

．

4

【解析】

：原式＝2

o

2

o

o

o o

cos 15-sin 15+tan30=cos30+tan30=236

答案：B 【例2】：已知5,22ππθ

??

∈ ???

=( ) A ．sin cos 22θθ- B ．cos sin 22

θθ

- C ．sin cos θθ-

D ．cos sin θθ-

【解析】：

θθsin -cos 22，且?? ???

π5πθ∈,22，

所以

?? ???

θ2π5π∈,44，且θθsin >cos 22

，故θθsin -cos 22. 答案：A

【例3】：()s i n 40t a n 10

3

-

=________．

【解析】

：原式＝? ?o o o sin10sin10o o sin40=sin40o o

cos10cos10 ()

o o o 2sin40sin 10-60=o

cos10

o o o o o -2sin40sin502sin40cos40sin80==-=-=-1o o o cos10cos10cos10. 答案：-1 【类型三】证明 【例1】：求证：

1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθ

θθθ

+-=++.

【证明】：左边＝

()()2

21+2sin θcos θ-1-2sin θ

2sin θcos θ+2sin θ

=22

2sin θcos θ+2cos θ

1+2sin θcos θ+2cos θ-1

()()

2sin θsin θ+cos θ=

=tan θ2cos θsin θ+cos θ＝右边，所以等式成立.

【例2】：求证：()()1

cos sin sin sin 2

αβαβαβ=

+--???? . 【证明】：因为()

sin α+β=sin αcos β+cos αsin β，()

sin α-β=sin αcos β-cos αsin β，两式相减得()()

-sin α+βsin α-β=2cos αsin β，即()()????1cos αsin β=

sin α+β-sin α-β2

.

【例3】：已知

1tan 12tan θθ-=+，求证：tan 24tan 4πθθ??

=-+ ???

.

【证明】：因为

1-tan θ=12+tan θ

，所以1tan θ=-2

.

故??

?????

???

12-

2tan θ42tan2θ===-2231-tan θ11--2，

??

??? ?

???? ????? ???

1π

1+-tan +tan θπ424-4tan +θ=-4=-4=-π1431-tan tan θ1-1-42. 所以等式成立. 【类型四】综合应用

【例1】

：已知tan 2θ=-2,2πθπ??

∈ ???

，求

2

2cos sin 1

2

4θ

θπθ--?

?+ ?

?

?的值.

【解析】：原式＝

cos θ-sin θ1-tan θ

=

1+tan θ

sin θ+cos θ

.

因为??

???π2θ∈,π2，所以??

???ππθ∈,42.

又2tan θtan2θ=21-tan θ

，解得tan θ=2.

1-2

【例2】：已知12

cos ,sin 2923

βααβ????-=--= ? ?????，且,02παπβπ

<<<<，求cos

2

αβ

+的值. 【解析】：因为

π<α<π,0<β<π2

，所以3ππ

0-42βα<α-

<π,-<β<22

. 又?

??? ?

??

?

??β1α2cos α-

=-

,sin -β=，所以???? ? ?????ββ8022sin α-=1-cos α-=， ???? ? ?????αα

522cos -β=1-sin -β=229

，故?? ???βsin α-=

29

，?? ???αcos -β=23

于是，???

??????? ? ? ? ???????????

??α+ββαβαcos

=cos α-

--β=cos α-cos -β2

2222 ?

??? ?

??

?

??

βα+sin α-

sin -β2

2??12=-=933927. 【例3】：已知2sin cos 2sin ,sin cos sin θθαθθβ+==，求证：224cos 2cos 2αβ=.

【证明】：因为sin θ+cos θ=2sin α，所以2

1+2sin θcos θ=4sin α.

又2sin θcos θ=sin β，所以22

1+2sin β=4sin α，即(

)(

)

2

2

1+21-cos β=41-cos α， 整理得，224cos α=1+2cos β，降次得，2cos2α=cos2β，平方得，22

4cos 2α=cos 2β.

【同步训练】

【一级目标】基础巩固组 一、选择题 1．已知cos18m =，则2sin 9= (

)．

A.

12m - B. 12m + C

．2

D.

2

【解析】：o

1-cos181-m 2o sin 9==22

．

答案：A 2．已知3sin ,5

θθ=为第二象限角，则sin 2θ的值为 ( ) ．

A ．1225

-

B ．

1225

C ．2425-

D ．

24

25

【解析】：因为3sin θ=

,θ5

为第二象限角，所以4cos θ=-

5

，

从而???? ???3424

sin2θ=2sin θcos θ=2-=-5525

. 答案：C 3．已知()11

tan ,tan 43

α

αβ=+=，则tan β= ( )．

A ．

1

7

B.

113 C. 16 D ．4

13

【解析】：()()()?

????11-tan α+β-tan α134tan β=tan α+β-α===111+tan α+βtan α131+34

. 答案：B

4．已知[)0,2x π∈

，则函数(

)cos 22

x x

f x =

+的零点是( ) A.6π B. 3π C ．6π或3π D. π或3

π 【解析】：因为(

)??

???

x x x πf x +cos 2sin +2226，由()f x =0，

得

?? ???

2x πsin +=

26.又[)x ∈0,2π，所以)

??x ππ7π+2666∈,，故x ππ+=263或x π2π+=263，解得π

x =

3

或x =π. 答案：D 5

= ( )．

A ．sin 4- B. sin 42cos 4- C ．2cos 4sin 4- D ．2sin 4cos 4- 【解析】：原式＝sin4-cos4-cos4=-sin4+cos4+cos4=2cos4-sin4. 答案：C 二、填空题

6．已知33cos ,52

πθπθ=-<<

，则2

sin cos 22θ

θ??-= ??

?________．

【解析】：因为33πcos θ=-

,π<θ<

5

2

，所以4sin θ=-

5

.故

原式＝???? ? ?????2

θθθθθθ

4922sin -cos =sin

-2sin cos +cos =1-sin θ=1--=22222255

. 答案：

95

7．已知34

παβ+=

，则

()()1tan 1tan αβ--=________．

【解析】：因为3π

α+β=

4

，所以()

3πtan α+β=tan

4

，即

+tan αtan β=-11-tan αtan β

，整理得，

++tan αtan β=-1tan αtan β.于是

()()()()+2-1tan αtan β1-tan α1-tan β=1-tan α+tan β+tan αtan β=1-+tan αtan β=.

答案：2 8．化简：()

sin 50

13tan10+

=________.

【解析】：原式＝()

?o o o

o o 2sin50sin 30+10cos10o

sin50=o o

cos10cos10

o o o

2cos40sin40sin80===1o o cos10cos10

.

答案：1 三、解答题 9．已知()()13

cos

,cos 55

αβαβ+=

-=，求tan tan αβ的值. 【解析】：因为(

)

1

cos α+β=

5

，1cos αcos β-sin αsin β=

5 （1） ()3

cos α-β=

5

，3cos αcos β+sin αsin β=

5

（2）

（1）+（2）得，2cos αcos β=5 （3） （2）－（1）得，1sin αsin β=

5

（4） （4）÷（3）得，1tan αtan β=.

10.已知函数()22cos sin 2cos sin f x x x x x =-+

（1）函数()f x 的递增区间； （2）函数

()f x 的零点.

【解析】：（1）因为()

?? ??

?

πf x =sin2x+cos2x 2x+

4

由()πππ-

+2k π≤2x +≤+2k πk ∈Z 22

4得，()3ππ

-+k π≤x ≤+k πk ∈Z 88，

所以函数()

f x 的递增区间为(),??

????

3ππ-+k π+k π88k ∈Z .

（2）由

()?? ??

?

πf x 2x+

4得，

?? ??

?

πsin 2x +

=1

4，所以

()ππ2x +

=

+2k πk ∈Z 24

，解得()πx =+k πk ∈Z 8.所以函数()f x 的零点为()π

+k πk ∈Z 8

. 【二级目标】能力提升题组

一、选择题 1．已知1cos 23

θ

=

，则44

cos sin θθ+的值为( )．

A ．1 B.

59 C ．1318 D ．1118

【解析】：原式＝()

()()2

122

22

cos θ+sin θ

-2cos θsin θ=1-1+cos2θ1-cos2θ2

()

???? ? ? ?????

2

1

1152

=1-1-cos 2θ=1-1-=2239

.

答案：B 2．已知24sin 225α

=-

，且3,4παπ??

∈ ???

，则sin α=( )．

A ．

4

5

B.45

-

C ．35

D ．35-

【解析】：因为??

???

3πα∈,π4，所以sin α>0，且?? ???3π2α∈,2π2.

又24

sin2α=-25，所以????

? ?????

2

2

2

2

247cos 2α=1-sin 2α=1--=2525，7cos2α=

25

.

故7

1-1-cos2α

92

25sin α==

=2

225

，于是3sin α=5.

答案：C 二、填空题 3．cos 20

cos 40cos60cos80= ________.

【解析】：原式＝o o o o o

2sin20cos20cos40cos60cos80

o

2sin20

o o o o 2sin40cos40cos60cos80=o 4sin20o o o 2sin80cos60cos80=o 8sin20o o

sin160cos601==o

168sin20

. 答案：

116

三、解答题

4.已知3177cos ,4512

4x x ππ

π??+=<<

???，求2sin 22sin 1tan x x x

+-的值.

【解析】：因为??

???π317π

7πcos +x =,

4512

4，所以

,??

???5πππ4

<

+x <2πsin +x =-3

4

45

. 由??

???

π3

cos +x =45

，得-ππcosxcos sinxsin =44

-sinx =

由??

???π4

sin +x =-45

，得ππsin

cosx +cos

sinx =4

4

+sinx =

由-cosx sinx

()(

)

? 7×

-22552sinxcosx cosx+sinx sin2x+2sin x 28=-1-tanx

cosx -sinx 75

5

.

【高考链接】

1.（2015年四川文13）已知sin 2cos 0α

α+=，则22sin cos cos ααα-的值为________.

【解析】：因为sin α+2cos α=0，所以tan α=-2，故2

2sin αcos α-cos α

22sin α+cos α

()()?2-2-1

2tan α-1=

==-122tan α+1-2+1

.

答案：-1

2.（2013年全国新课标II 卷理15）设θ为第二象限角，若1tan 42πθ

?

?+= ??

?，

则s i n c o s θθ+=________.

【解析】：因为?

? ??

?

π1tan θ+

=

42

，所以

-π

tan θ+tan

14=π21tan θtan

4

，解得1tan θ=-3.又θ为第二象限角，由?????1sin θtan θ=-=3cos θ22sin θ+cos θ=1

，解得???????

sin θcos θ

于是sin θ+cos θ=5

答案：-

5

3.（2014年全国新课标I 卷理8）设(0,)2πα

∈，(0,)2π

β∈，且1sin tan cos βαβ

+=

，则（ ）.

A .32

π

αβ-=

B .22

π

αβ-=

C .32

π

αβ+=

D .22

π

αβ+=

【解析】：?? ???2

ββββsin +cos sin +cos 1+sin β2222tan α===ββββcos β22cos -sin cos -sin 2

2

2

2

?? ???β

1+tan πβ2==tan +β421-tan

2

.因为πβ∈(0,)2

，所以

β

2πππ+

∈(,)4

42

.又πα∈(0,)2，所以πβα=+42，即π2α-β=2. 答案：B

高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结

第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定

四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。

高考总复习三角恒等变换专题习题附解析

高考总复习三角恒等变换专题习题附解析 文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]

三角恒等变换专题习题 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知α为锐角，cosα＝，则tan＝( ) A．－3 B．－ C．－D．－7 解析依题意得，sinα＝，故tanα＝2，tan2α＝＝－，所以tan＝＝－. 答案B 2．已知cos＝－，则cos x＋cos的值是( ) A．－B．± C．－1 D．±1 解析cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1. 答案C 3．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( ) A. B. C. D．－1 解析∵cos2θ＝，∴sin22θ＝，∴sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－(sin2θ)2＝. 答案B 4．已知α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值是( ) A．－1 B．1 C．2 D．4 解析∵α＋β＝，tan(α＋β)＝＝1， ∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ. ∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ ＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2. 答案C 5.

(2014·成都诊断检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为和，则cos(α＋β)的值为( ) A．－B．－ C．0 D. 解析cosα＝，sinα＝，cosβ＝－，sinβ＝，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝·(－)－·＝－.选A. 答案A 6．若＝－，则sinα＋cosα的值为( ) A．－B．－ C. D. 解析∵(sinα－cosα)＝－(cos2α－sin2α)， ∴sinα＋cosα＝. 答案C 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．若tan＝，则tanα＝________. 解析∵tan＝＝， ∴5tanα＋5＝2－2tanα. ∴7tanα＝－3，∴tanα＝－. 答案－ 8．(2013·江西卷)函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________． 解析y＝sin2x＋2sin2x＝sin2x－cos2x＋ ＝2sin(2x－)＋，所以T＝π. 答案π 9．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ＝________. 解析f(x)＝sin x－2cos x＝(sin x－cos x)＝sin(x－φ)而sinφ＝，cosφ＝，当x －φ＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值，即θ＝φ＋＋2kπ时，f(x)取最大值．cosθ＝cos(φ＋＋2kπ)＝－sinφ＝－＝－.

第三章：三角恒等变换中角变换的技巧.

1 三角恒等变换中角变换的技巧 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1 设a B为锐角，且满足cos a=, tan (a— 3= —，求cos B的值. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例2 设a为第四象限的角，若=，贝U tan 2 a=___________________ . 三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin=, 0

五、分子、分母同乘以2n sin a求COS acos 2 a cos 4 a ?os 8a??C0S 2n—1 a 的值 例 5 求值：sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 ° 4聚焦三角函数最值的求解策略 一、化为y = Asin( 3x+(j)+ B的形式求解 例1求函数f(x =的最值. 例2 求函数y = sin2x + 2sin xcos x + 3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合. 二、利用正、余弦函数的有界性求解 例3求函数y =的值域. 例4求函数y =的值域. 三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值 例5 设关于x的函数y= cos 2x —2acos x—2a的最小值为f(a,写出f(a的表达式. 例 6 试求函数y = sin x + cos x + 2sin xcos x + 2 的最值. 四、利用函数的单调性求解 例7求函数y =的最值. 例8 在Rt A ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB = a, / ABC = 0,△ ABC的面积为P,正方形面积为Q.求的最小值. 易错问题纠错 一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin话，sin护，a和B都是锐角，求a+ B的值.

三角恒等变换-高考理科数学试题

（二十二） 三角恒等变换 [小题对点练——点点落实] 对点练(一) 三角函数的求值 1．(2017·山东高考)已知cos x ＝3 4，则cos 2x ＝( ) A ．－14 B.14 C ．－18 D.18 解析：选D cos 2x ＝2cos 2x －1＝1 8 . 2．(2018·太原一模)若cos ????α－π6＝－3 3，则cos ????α－π3＋cos α＝( ) A ．－ 22 3 B ．±223 C ．－1 D ．±1 解析：选C 由cos ????α－π3＋cos α＝12cos α＋3 2sin α＋cos α＝3cos ????α－π6＝－1，故选C. 3．(2018·安徽十校联考)sin 47°－sin 17°cos 30° cos 17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 解析：选C sin 47°－sin 17°cos 30° cos 17° ＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30° cos 17° ＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°－sin 17°cos 30° cos 17° ＝ sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝1 2 . 4．(2018·湖南郴州质检)已知x ∈(0，π)，sin ???? π3－x ＝cos 2????x 2＋π4，则tan x ＝( ) A.1 2 B ．－2 C.22 D. 2

解析：选D 由已知，得sin π3cos x －cos π3sin x ＝cos ????x ＋π2＋12，即32cos x －1 2sin x ＝ －12sin x ＋12，所以cos x ＝3 3 .因为x ∈(0，π)，所以tan x ＝ 2. 5．(2018·河北唐山一模)已知α为锐角，且cos ????α＋π4＝3 5，则cos 2α＝( ) A.24 25 B.725 C ．－ 2425 D ．±2425 解析：选A ∵0<α<π2，cos ????α＋π4＝35>0，∴π4<α＋π4<π 2，∴sin ????α＋π4＝45，∴sin α＝sin ????????α＋π4－π4＝sin ????α＋π4cos π4－cos ????α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝2 10，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2× ????2102＝2425 .故选A. 6．(2018·广东广州模拟)设α为锐角，若cos ????α＋π6＝35，则sin ????α－π 12＝( ) A ．－210 B.210 C.2 2 D.45 解析：选B 因为α为锐角，所以0<α<π2，则π6<α＋π6<2π 3，因此sin ????α＋π6>0，所以sin ??? ?α＋π 6＝ 1－cos 2??? ?α＋π 6＝ 1－????352＝45.所以sin ????α－π12＝sin ??? ?????α＋π6－π4＝sin ????α＋π6cos π4－cos ????α＋π6sin π4＝45×22－35×22＝2 10 . 7．(2018·荆州一模)计算：sin 46°·cos 16°－cos 314°·sin 16°＝________. 解析：sin 46°·cos 16°－cos 314°·sin 16°＝sin 46°·cos 16°－cos 46°·sin 16°＝sin(46°－16°)＝sin 30°＝12 . 答案：1 2 8．(2018·洛阳一模)已知sin ????α－π3＝14，则cos ????π 3＋2α＝________. 解析：cos ????π3＋2α＝cos ????π－2π3＋2α＝－cos 2????α－π3＝2sin 2????α－π3－1＝－7 8. 答案：－7 8

简单的三角恒等变换(基础)

第20讲：简单的三角恒等变换 【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力． 【要点梳理】 要点一：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-= 要点诠释： 利用二倍角公式的等价变形：2 1cos 2sin 2α α-=，2 1cos 2cos 2 α α+=进行“升、降幂”变 换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 要点二：辅助角公式 1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形： sin cos a x b x + x x ??? 令cos ??= = sin cos a x b x + )sin cos cos sin x x ??+ )x ?+ （其中?角所在象限由,a b 的符号确定，?角的值由tan b a ?= 确定， 或由sin ?= 和cos ?= 2．辅助角公式在解题中的应用 通 过 应 用 公 式 sin cos a x b x + = )x ?+（或 sin cos a x b x + =)α?-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一

三角恒等变换知识点和例题

三角恒等变换基本解题方法 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αα αβααβααβααααα =±=???→=-↓=-=-±±=?-↓=-m m 如（1）下列各式中，值为12 的是 A 、1515sin cos o o B 、221212cos sin ππ - C 、22251225tan .tan .-o o D （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 （3）已知35 sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ （4 ）11080sin sin -o o 的值是______ (5)已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a ，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--， 22αβαβ++=?，()() 222αββααβ+=---等），

三角恒等变换高考试题汇编

三角恒等变换高考题汇编 1、（07山东理）函数y=sin （2x+ 6π）+cos （2x+3 π ）的最小正周期和最大值分别为（ ） A π，1 B π，2 C 2π，1 D 2π，2 2、（07海南） ) 4 sin(2cos π αα-=- 2 2 ，则cos α+sin α的值为（ ） A - 27 B -21 C 2 1 D 27 3、（07福建文）sin150 cos750 +cos150 sin1050 =（ ）A 0 B 2 1 C 23 D 1 4、（07浙江理）已知sin θ+cos θ= 51且2π≤θ≤43π ，则cos2θ的值是（ ） 5、（07浙江文）已知sin θ+cos θ=51 则sin2θ的值是（ ） 6、（07全国Ⅰ理）函数f （x ）=cos 2x-2cos 22 x 的一个单调增区间是（ ） A （ 3π，32π ） B （6π，2π） C （0，3π） D （-6π，6 π） 7、（07广东理）已知函数f （x ）=sin 2 x -2 1（x ∈R ），则f （x ）是（ ） A 最小正周期为2 π 的奇函数 B 最小正周期为π的奇函数 C 最小正周期为2π的偶函数 D 最小正周期为π的偶函数 8、（07北京文）函数f （x ）=sin2x-cos2x 的最小正周期是（ ） A 2 π B π C 2π D 4π 9、（06全国）函数f （x ）=sin2xcos2x 的最小正周期是（ ） A 2 π B π C 2π D 4π 10、（06全国）若f （sinx ）=3-cos2x ，则f （cosx ）=（ ） A 3-cos2x B 3-sin2x C 3+cos2x D 3+sin2x 11、（06重庆文）已知,αβ∈（0，2 π ），cos （α-2β）=23，sin （2α-β）=-21，则 cos （α+β）的值等于（ ） A - 23 B -21 C 2 1 D 23

三角恒等式证明9种基本技巧

三角恒等式证明9种基本技巧 三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。 1．化角 观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。 例1求证：tan 23x - tan 21x =x x x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -2 1 x ，可作以下证明： 2．化函数 三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。 例2 设A B A tan )tan(-+A C 22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。 思路分析：欲证tan 2 C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。 3．化幂 应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。 例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4 α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：

将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。如 1=sin 2 α+cos 2 α=sec 2 α-tan 2 α=csc 2 α-cot 2 α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450 =sin900 =cos00 等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。 例4 求证 αααα2 2sin cos cos sin 21--=α α tan 1tan 1+- 思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2 α+cos 2 α”代替，问题便迎刃而解。 5．化参数 用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。 例5 已知acos 2 α+bsin 2 α=mcos 2 β，asin 2 α+bcos 2 α=nsin 2 β，mtan 2 α=ntan 2 β(β≠n π) 求证：(a+b)(m+n)=2mn 6．化比 一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。 例6 已知(1+ cos α)(1- cos β)=1- 2 ( ≠0，1)。求证：tan 2 2α= -+11tan 22 β 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将 分离出来，以结论中 -+11为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。

高考数学第一轮复习10--三角恒等变换

高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结 一、角的概念和弧度制： （1）在直角坐标系内讨论角： 角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0 Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α 角终边关于x y =轴对称的角的集合： ； ②一些特殊角集合的表示： 终边在坐标轴上角的集合： ； 终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示： ①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ； 第一、三象限角： ； ②写出图中所表示的区间角： （4）正确理解角： 要正确理解“o o 90~0间的角”= ； “第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o 90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2 α 所在的象限。 来判断3 α 所在的象限

（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一 已知角α的弧度数的绝对值r l = ||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。 （7）弧长公式： ；半径公式： ； 扇形面积公式： ； 二、任意角的三角函数： （1）任意角的三角函数定义： 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个 异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ； =αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ； 如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线； 比较)2 , 0(π ∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。 （3）特殊角的三角函数值： 三、同角三角函数的关系与诱导公式：

三角恒等变换知识点总结

、知识点总结 1、两角和与差的正弦、 ⑴cos cos ⑶sin si n 三角恒等变换专题 余弦和正切公式: cos sin si n :⑵ cos cos cos si n si n cos cos si n :⑷ sin si n cos cos si n ⑸tan tan tan 1 tan tan ⑹ta n tan tan 1 tan tan 2、二倍角的正弦、 余弦和正切公式： ⑴ sin 2 2si n cos 1 sin 2 ⑵ cos2 cos 2 ?2 sin 2cos 2 升幕公式 1 cos 2cos 2 — 2 降幕公式 2 cos cos2 1 (tan (tan 1 cos 2 ,1 sin 2 .2 sin tan tan 2 cos tan tan 2 sin cos tan tan tan tan (si n ） ； ). cos )2 1 2si n 2 2sin 2 — 2 1 cos2 ⑶tan2 1 2ta n tan 2 万能公式 半角公式 2 tan a cos - 2 a tan - 2 1 "一个三角函数，一个角，一次方”的y A sin （ x a 2 2 a tan — 2 2 a tan - 2 4、合一变形 把两个三角函数的和或差化为 形式。 sin 2 si n ，其中tan 5. (1)积化和差公式 1 cos = [sin( 2 1 cos =— [cos( 2 和差化积公式 si n cos (2) si n + )+sin( + )+cos( +sin = 2 sin ------ cos --- 2 2 )] )] cos si n si n 1 sin = [sin( + )-sin( 2 1 sin = - — [cos( + )-cos( 2 )] )] -sin = 2 cos ----- sin --- 2 2

(浙江专版)高考数学一轮复习 专题4.3 简单的三角恒等变换(讲)

第03节简单的三角恒等变换 【考纲解读】 【知识清单】 1.两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；

C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝1－tan αtan βtan α＋tan β ； T (α－β)：tan(α－β)＝1＋tan αtan βtan α－tan β . 变形公式： tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； . 函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 2. 二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝1－tan2α2tan α. 变形公式： cos 2α＝21＋cos 2α，sin 2α＝21－cos 2α 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 【重点难点突破】 考点1两角和与差的三角函数公式的应用 【1-1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点 ， ， 记射线 与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的

知识讲解-三角恒等变换-基础

三角恒等变换 【考纲要求】 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、两角和、差的正、余弦公式 ()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβαβ±±=m ()tan tan tan()()1tan tan T αβαβ αβαβ ±±±= - 要点诠释： 1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2 ±≠ +∈、、π αβαβπ 2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角 ()±αβ的正切值化简。 考点二、二倍角公式 1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式 222,,S C T ααα： sin 22sin cos ααα= 2()S α；

ααα22sin cos 2cos -=2()C α； 22tan tan 21tan α αα = -2()T α。 要点诠释： 1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当)(2 24 Z k k k ∈+≠+ ≠ππ αππ α和时才成立； 2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα2 2 sin cos 2cos -=＝1cos 22 -α＝α2 sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。 3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍， 24α α是的二倍，332 α α是 的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公 式的关键。 考点三、二倍角公式的推论 降幂公式：ααα2sin 21 cos sin = ； 22cos 1sin 2 αα-=； 22cos 1cos 2 αα+=. 万能公式：α α α2 tan 1tan 22sin +=； α α α2 2tan 1tan 12cos +-=. 半角公式：2cos 12 sin α α -± =； 2cos 12 cos α α +± =； α α α cos 1cos 12 tan +-± =. 其中根号的符号由2 α 所在的象限决定. 要点诠释： (1)半角公式中正负号的选取由 2 α 所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如2 3α 可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。 (3)正切半角公式成立的条件是α≠2k π+π(k ∈Z)

高考真题 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换

三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 2019年 1.（2019北京9）函数f (x )=sin 2 2x 的最小正周期是 ________. 2.（2019全国Ⅲ理12）设函数()f x =sin （5 x ωπ + ）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0, 10 π ）单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ，) 其中所有正确结论的编号是 A ． ①④ B ． ②③ C ． ①②③ D ． ①③④ 3.（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π ，且π4g ??= ???3π8f ?? = ??? A.2- B. D.2 4.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0， 2 π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α= A ． 15 B ． 5 C ． 3 D 5 5.（2019江苏13）已知tan 2 π3tan 4αα=-? ?+ ?? ?，则πsin 24α??+ ?? ?的值是_________. 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；

（2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅲ)若1 sin 3 α=，则cos2α= A ． 89 B ． 79 C ．79 - D ．89 - 2．（2016年全国III ）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= A ． 6425 B ．4825 C ．1 D ．1625 3．（2016年全国II ）若3 cos( )45π α-=，则sin 2α=（ ） A ．7 25 B ．15 C ．15- D ．725- 4．（2015新课标Ⅰ）sin 20cos10cos160sin10-= A ． B C ．12- D ．1 2 5．（2015重庆）若tan 2tan 5 π α=，则 3cos()10sin() 5 π απ α- -＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2014新课标Ⅰ）若0tan >α，则 A ．0sin >α B ． 0cos >α C ． 02sin >α D ． 02cos >α 7．（2014新课标Ⅰ）设(0, )2π α∈，(0,)2 π β∈，且1sin tan cos βαβ+= ，则 A ．32 π αβ-= B ．22 π αβ-= C ．32 π αβ+= D ．22 π αβ+= 8．（2014江西）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则 2222sin sin sin B A A -的值为（ ） A ．19- B ． 13 C ．1 D ．72

三角恒等变换技巧

三角恒等变换技巧 三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且．由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画，最后又以三角问题反映出来；由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题．因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广．是常见的解题“工具”．而且由于三角公式众多．方法灵活多变，若能熟练地掌握三角恒等变换，不但能增强对三角公式的记忆，加深对诸多公式内在联系的理解，而且对发展学生的逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有裨益 · 一、 切割化弦 “切割化弦”就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，以有利于问题的解决或发现解题途径．其实质是”‘归一”思想． 【例1】 证明：ααααααααcot tan cos sin 2cot cos tan sin 22 +=++ 证明：左边ααα αααααcos sin 2sin cos cos cos sin sin 22 +?+?= ααααααααααααc o s s i n 1 c o s s i n )c o s (s i n c o s s i n c o s c o s s i n 2s i n 2224224=+=++= 右边α αααααααααcos sin 1 cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+= ∴左边～右边．原等式得证． 点评“切割化弦”是将正切、余切、正割、余割函数均用正弦、余弦函数表示，这是一种常用的、有效的解题方法．当涉及多种名称的函数时，常用此法减少函数的种类． 【例2】 已知θ同时满足b a b a b a 2sec cos 2cos sec 22 =-=-θθθθ和， 且b a ,均不为零，试求“b a ,”b 的关系． 解：?????=-=-② ① b a b a b a 2sec cos 2cos sec 2 2 θθθθ 显然0cos ≠θ，由①×θ2 cos +②×θcos 得： 0cos 2cos 22=+θθb a ，即0cos =+b a θ 又0≠a ，∴a b -=θcos 代入①得a a b b a 2223=+ 0)(222=-?b a ∴22b a = 点评 本例是化弦在解有关问题时的具体运用，其中正割与余弦、余割与正弦之间的倒数关系是化弦的通径． 【例3】 化简)10tan 31(50sin 00+ 解：原式=000000 010cos ) 10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin +?=+ 110 cos 80sin 10cos 10cos 40sin 210cos )1030sin(250sin 0 000000 00===+?= 点评 这里除用到化切为弦外，其他化异角函数为同角函数等也是常用技巧． 二、 角的拆变 在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等．因此角的拆变技巧，倍角与半角的相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活．常见的拆变方法有：α可变为

2014届高考数学一轮复习教学案简单的三角恒等变换

第六节 简单的三角恒等变换 [知识能否忆起] 半角公式(不要求记忆) 1．用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α 2 . sin 2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α 1＋cos α. 2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2. sin α 2＝± 1－cos α2；cos α 2＝± 1＋cos α 2 ； tan α2 ＝± 1－cos α 1＋cos α . 3．用sin α，cos α表示tan α 2. tan α2＝sin α 1＋cos α＝1－cos αsin α . [小题能否全取] 1．(教材习题改编)已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α 2等于( ) A.6 3 B ．－63 C. 3 3 D ．－ 33 解析：选B ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈???? π2，π， ∴cos α 2＝－ 1＋cos α 2 ＝－ 1＋132＝－63 . 2．已知函数f (x )＝cos 2????π4＋x －cos 2????π4－x ，则f ??? ?π 12等于( )

A.12 B ．－12 C. 3 2 D ．－ 32 解析：选B f (x )＝cos 2????π4＋x －sin 2????x ＋π4＝－sin 2x ，∴f ????π12＝－sin π6＝－12. 3．已知tan α＝1 2，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于( ) A ．3 B ．6 C ．12 D.3 2 解析：选A cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos α cos 2 α ＝2＋2tan α＝3. 4. sin 20°cos 20° cos 50° ＝________. 解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝1 2sin 40° sin 40°＝1 2. 答案：1 2 5．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则1cos 2α＋tan 2α＝________. 解析：1 cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α ＝ cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α 1－tan α ＝2 013. 答案：2 013 三角恒等变换的常见形式 三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明． (1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及 和、差、倍角公式进行转化求解． (2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利 用条件进行转化求解． (3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名， 不同角则化同角，利用公式求解变形即可．

必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类的总结

三角函数知识点总结 1、任意角： 正角： ；负角： ；零角： ； 2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定()*n n α ∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份， 再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象 限对应的标号即为n α 终边所落在的区域． 5、 叫做1弧度． 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ． 7、弧度制与角度制的换算公式： 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l= ．S= 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距 离是() 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：． 12、同角三角函数的基本关系：(1) ; (2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．

三角恒等变换知识点总结详解

第三章 三角恒等变换 一、知识点总结 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+） ； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-） ． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．2 2 2 )cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2 222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?升幂公式2 sin 2cos 1,2cos 2cos 12 2 α αα α=-=+ ?降幂公式2cos 21cos 2αα+= ，2 1cos 2sin 2 αα-=． ⑶2 2tan tan 21tan α αα = -． 3、 ? （后两个不用判断符号，更加好用） 4、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。()sin cos ααα?A +B = +，其中tan ?B = A ． 5．（1）积化和差公式 sin α·cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]cos α·sin β=21 [sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)]sin α·sin β= -2 1 [cos(α+β)-cos(α-β)] （2）和差化积公式 sin α+sin β= 2 cos 2 sin 2β αβ α-+sin α-sin β=2 sin 2 cos 2β αβ α-+ αααα ααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos : +-±=-± =+±=2 tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin : 2 2 2α α αααα万能公式+-=+=