2015届高三文科数学小综合专题练习-------立体几何
一.选择题:
1.下列命题中,正确的是( )
A .有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B .棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C .棱柱的侧面是平行四边形,而底面不是平行四边形
D .棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形
2. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2, 其体积为23
3,则该锥体的俯视图可以是
3.给出下列命题: (1)三点确定一个平面;
(2)在空间中,过直线外一点只能作一条直线与该直线平行; (3)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等,则//αβ; (4)若直线a b c 、、满足,a b a c ⊥⊥、则//b c . 其中正确命题的个数是 ( )
A .0个
B .1个
C .2个
D .3个
4.若m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( ) A .若m ?β,α⊥β,则m ⊥α B .若m ⊥β,m ∥α,则α⊥β
C .若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ
D .若α∩γ=m ,β∩γ=n ,m ∥n ,则α∥β
5.在空间四边形ABCD 中,点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点,F 、G 分别是边
BC 、CD 上的点,且CF CB =CG CD =2
3,则( )
A .EF 与GH 互相平行
B .EF 与GH 异面
C .EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上,也可能不在直线AC 上
D .EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上
二.填空题
6.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于43π,则该圆锥的体积为 .
7.在空间直角坐标系中,已知点A (1,0,2),B(1,-3,1),点M 在y 轴上,且
M 到A 与到B 的距离相等,则M 的坐标是________.
8.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC =45°,AB =AD =1,DC ⊥BC ,则这块菜地的面积为________.
9.如图,AB 为圆O 的直径,点C 在圆周上(异于点A ,B),直线PA 垂直于圆O 所在的平面,点M 为线段PB 的中点.有以下四个命题: ①PA ∥平面MOB ; ②MO ∥平面PAC ; ③OC ⊥平面PAC ; ④平面PAC ⊥平面PBC.
其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号).
10.如图所示,以圆柱的下底面为底面,并以圆柱的上底面圆心为 顶点作圆锥, 则该圆锥与圆柱等底等高。若圆锥的轴截面是一个 正三角形,则圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为
三.解答题
1.如图4,A A 1是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径,
C 是底面圆周上异于,A B 的任意一点, 12AA AB ==.
(1)求证:BC ⊥平面AC A 1; (2)求三棱锥
1A ABC -的体积的最大值.
1
F
E
D
C
B
A
2.如图3,在多面体ABCDEF 中,DE ⊥平面ABCD ,
AD ∥BC ,平面BCEF 平面ADEF EF =,
60BAD ?
∠=,2AB =,1DE EF ==.
(1)求证:BC ∥EF ;
(2)求三棱锥B DEF -的体积.
3.如图,在Rt △ABC 中,AB =BC =4,点E 在线段AB 上.过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ,将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合),使得∠PEB =30°. (1)求证:EF ⊥PB ;
(2)试问:当点E 在何处时,四棱锥P —EFCB 的侧面PEB 的面积最大?并求此时四棱锥P —EFCB 的体积.
4.如图(1),已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD =π
2,AB =BC =2AD =4,E ,F 分别是AB ,CD 上的点,EF ∥BC ,AE =x.沿EF 将梯形ABCD 翻折,使平面AEFD ⊥平面EBCF(如图(2)所示),G 是BC 的中点.
P A
B
C D
M
图6
(1)当x =2时,求证:BD ⊥EG ;
(2)当x 变化时,求三棱锥D -BCF 的体积f(x)的函数式.
5.如图6,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是
60ABC ∠=?的菱形,M 为PC 的中点.
(Ⅰ) 求证:PC AD ⊥;
(Ⅱ) 在棱PB 上是否存在一点Q ,使得,,,A Q M D 四点共面?若存在,指出点Q 的位置并证明;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ) 求点D 到平面PAM 的距离.
6.如图所示,三棱柱ABC -A1B1C1中,AA1⊥平面ABC ,D ,E 分别为A1B1,
AA1的中点,点F 在棱AB 上,且AF =1
4AB.
(1)求证:EF ∥平面BC1D ;
(2)在棱AC 上是否存在一个点G ,使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15,若存在,指出点G 的位置;若不存在,请说明理由.
7.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,60BAD ?
∠=,
Q 为AD 的中点。
(1)若PA PD =,求证:平面PQB ⊥平面PAD ;
(2)点M 在线段PC 上,PM tPC =,试确定的值,使//PA 平面MQB ;
8.如图,四边形ABCD 为正方形,EA ⊥平面ABCD ,EF ∥AB ,AB =4,AE =2,EF =1. (1)求证:BC ⊥AF ;
(2)若点M 在线段AC 上,且满足CM =1
4CA ,求证:EM ∥平面FBC ;
(3)试判断直线AF 与平面EBC 是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.
9.已知直角梯形ABCD 中, //AB CD ,,1,2,13,AB BC AB BC CD ⊥===+过A 作
AE CD ⊥,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将ADE ?沿AE 折叠,使得DE EC ⊥.
(Ⅰ) 求证:BC CDE ⊥面; (Ⅱ) 求证://FG BCD 面;
(Ⅲ)在线段AE 上找一点R ,使得面BDR ⊥面DCB ,并说明理由.
A
B
C
D
E
G
F
·
· A
B
C
D
E G
F
2015届高三文科数学小综合专题练习-------立体几何 参考答案
一选择:DCBBD
二填空题: 6.45
81π 7. (0,1,0)- 8. 2+2
2 9. ②④ 10.
2
1.证明:∵C 是底面圆周上异于A 、B 的一点,且AB 为底面圆的直径, ∴BC AC ⊥. ∵
1AA ⊥平面ABC ,BC ?平面ABC ,∴1BC AA ⊥.
∵?=11,AA A AC AA
平面AC A 1,?AC 平面AC A 1, ∴BC ⊥平面1
A AC .
(2)解法1:设AC x =,在Rt △ABC 中,222
4BC AB AC x =-=-(0<x <2),
故111111332A ABC ABC V S AA AC BC AA -?=?=???2
143x x
=-(0<x <2),
即
122222111
4(4)(2)4333A ABC V x x x x x -=
-=-=--+.
∵
2
02,04x x <<<<, ∴当22x =,即2x =时,三棱锥1
A ABC -的体积的最大值为32. 解法2: 在Rt △ABC 中,42
2
2
==+AB BC AC ,
BC AC A A A A S V ABC ABC A ????=?=
-21
3131111?
BC AC ??=312
3122BC AC +?≤2312
AB ?= 32=. 当且仅当BC AC =时等号成立,此时2=
=BC AC .
∴三棱锥ABC A -1的体积的最大值为32
.
2.(本小题满分14分)(1)证明:∵AD ∥BC ,AD ?平面ADEF ,BC ?平面ADEF , ∴ BC ∥平面ADEF . …………………2分 又BC ?平面BCEF ,平面BCEF 平面ADEF EF =, ∴BC ∥EF . ………………………………4分 (2)解: 在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H , ∵DE ⊥平面ABCD ,BH ?平面ABCD , ∴DE BH ⊥. ………………………………5分
∵AD ?平面ADEF ,DE ?平面ADEF ,AD DE D = ,
∴BH ⊥平面ADEF . ………………………………7分 ∴BH 是三棱锥B DEF -的高. ………………………………8分
在Rt △ABH 中,o
60BAD ∠=,2AB =,故3BH =. ………………………………9分
∵ DE ⊥平面ABCD ,AD ?平面ABCD ,
∴ DE AD ⊥. ………………………………10分 由(1)知,BC ∥EF ,且AD ∥BC ,
∴ AD ∥EF . …………………………………………11分 ∴
DE EF ⊥. …………………………………………12分
∴三棱锥B DEF -的体积
1113
1133326DEF V S BH ?=??=????=
. …………………14分
3.(1)证明 ∵EF ∥BC 且BC ⊥AB ,
∴EF ⊥AB ,即EF ⊥BE ,EF ⊥PE.又BE ∩PE =E , ∴EF ⊥平面PBE ,又PB ?平面PBE , ∴EF ⊥PB.
(2)解 设BE =x ,PE =y ,则x +y =4. ∴S △PEB =1
2BE·PE·sin ∠PEB =14xy ≤14???
?
x +y 22=1.
P
A
B
C D
M Q
O
当且仅当x =y =2时,S △PEB 的面积最大. 此时,BE =PE =2.
由(1)知EF ⊥平面PBE , ∴平面PBE ⊥平面EFCB ,
在平面PBE 中,作PO ⊥BE 于O ,则PO ⊥平面EFCB. 即PO 为四棱锥P —EFCB 的高. 又PO =PE·sin 30°=2×1
2=1. SEFCB =1
2×(2+4)×2=6. ∴VP —BCFE =1
3×6×1=2.
4.(1)证明 作DH ⊥EF ,垂足为H ,连接BH ,GH ,
因为平面AEFD ⊥平面EBCF ,交线为EF ,DH ?平面AEFD , 所以DH ⊥平面EBCF ,又EG ?平面EBCF ,故EG ⊥DH. 因为EH =AD =1
2BC =BG =2,BE =2,EF ∥BC ,∠EBC =90°,
所以四边形BGHE 为正方形,故EG ⊥BH.
又BH ,DH ?平面DBH ,且BH ∩DH =H ,故EG ⊥平面DBH. 又BD ?平面DBH ,故EG ⊥BD.
(2)解 因为AE ⊥EF ,平面AEFD ⊥平面EBCF ,交线为EF ,AE ?平面AEFD , 所以AE ⊥平面EBCF.
由(1)知,DH ⊥平面EBCF ,故AE ∥DH ,
所以四边形AEHD 是矩形,DH =AE ,故以B ,F ,C ,D 为顶点的三棱锥D -BCF 的高DH =AE =x.
又S △BCF =12BC·BE =1
2×4×(4-x)=8-2x , 所以三棱锥D -BCF 的体积f(x)=1
3S △BFC·DH =13S △BFC·AE =13(8-2x)x =-23x2+8
3x(0 5.【解析】(Ⅰ)方法一:取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 所以OC AD ⊥,OP AD ⊥,又OC OP O = ,OC ?平面POC ,OP ?平面POC , 所以AD ⊥平面POC ,又PC ?平面POC ,所以PC AD ⊥.………………4分 方法二:连结AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 又M 为PC 的中点,所以AM PC ⊥,DM PC ⊥, 又AM DM M = ,AM ?平面AMD ,DM ?平面AMD , 所以PC ⊥平面AMD , 又AD ?平面AMD ,所以PC AD ⊥.………………4分 (Ⅱ)当点Q 为棱PB 的中点时,,,,A Q M D 四点共面,证明如下:………………6分 取棱PB 的中点Q ,连结QM ,QA ,又M 为PC 的中点,所以//QM BC , 在菱形ABCD 中//AD BC ,所以//QM AD ,所以,,,A Q M D 四点共面.………………8分 (Ⅲ)点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离, 由(Ⅰ)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =, PO ?平面PAD ,所以PO ⊥平面A B C D ,即PO 为三棱锥P A C D -的体高.………………9分 在Rt POC ?中,3PO OC ==,6PC = , 在PAC ?中,2PA AC ==,6PC =,边PC 上的高AM = 2210 2PA PM -= , 所以PAC ?的面积 11101562222PAC S PC AM ?= ?=??=,………………10分 设点D 到平面PAC 的距离为h ,由 D PAC P ACD V V --=得………………11分 11 3 3PAC ACD S h S PO ???=?,又2 3234 ACD S ?= ?=,所 以 1151 33323h ??=??,………13分 解得 215 5h = , 所以点D 到平面PAM 的距离为215 5.………………14分 6.(1)证明 取AB 的中点M ,连接A1M. 因为AF =1 4AB ,所以F 为AM 的中点. 又E 为AA1的中点,所以EF ∥A1M. 在三棱柱ABC -A1B1C1中,D ,M 分别是A1B1,AB 的中点, 所以A1D ∥BM ,A1D =BM , 所以四边形A1DBM 为平行四边形,所以A1M ∥BD. 所以EF ∥BD. 因为BD ?平面BC1D ,EF ?平面BC1D , 所以EF ∥平面BC1D. (2)解 设AC 上存在一点G ,使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1∶15,如图所示. 则VE -AFG ∶VABC -A1B1C1=1∶16, 所以VE -AFG VABC -A1B1C1 =13×1 2AF·AGsin ∠GAF·AE 12×AB·ACsin ∠CAB·AA1=13×14×12×AG AC =124×AG AC , 由题意,124×AG AC =116,解得AG AC =2416=3 2. 所以AG =3 2AC>AC ,所以符合要求的点G 不存在. 7.解:(1)连BD ,四边形ABCD 菱形, ∵AD ⊥AB , ∠BAD=60° △ABD 为正三角形, Q 为AD 中点, ∴AD ⊥BQ ∵PA=PD ,Q 为AD 的中点,AD ⊥PQ 又BQ ∩PQ=Q ∴AD ⊥平面PQB , AD 平面PAD ∴平面PQB ⊥平面PAD (2)当 1 3t = 时,//PA 平面MQB 连AC 交BQ 于N 由//AQ BC 可得,ANQ BNC ??∽, 1 2AQ AN BC NC ∴ == //PA 平面MQB ,PA ?平面PAC ,平面PAC 平面MQB MN =,//PA MN ∴ 13PM AN PC AC == 即:1 3PM PC = 13t ∴= 8.(1)证明 因为EF ∥AB , 所以EF 与AB 确定平面EABF. 因为EA ⊥平面ABCD ,所以EA ⊥ BC. 由已知,得AB ⊥BC 且EA ∩AB =A , 所以BC ⊥平面EABF. 又AF ?平面EABF ,所以BC ⊥AF. (2)证明 如图所示,过M 作MN ⊥BC ,垂足为N ,连接FN ,则MN ∥AB. 又CM =1 4AC , 所以MN =1 4AB. 又EF ∥AB 且EF =1 4AB , 所以EF ∥MN ,且EF =MN. 所以四边形EFNM 为平行四边形,所以EM ∥FN. 又FN ?平面FBC ,EM ?平面FBC , 所以EM ∥平面FBC. (3)解 AF ⊥平面EBC. 证明如下: 由(1),可知AF ⊥BC. 在四边形ABFE 中,AB =4,AE =2,EF =1,∠BAE =∠AEF =90°, 所以tan ∠EBA =AE AB =12,tan ∠FAE =EF AE =1 2, 即tan ∠EBA =tan ∠FAE ,则∠EBA =∠FAE. 设AF ∩BE =P ,因为∠PAE +∠PAB =90°, 故∠PBA +∠PAB =90°. 则∠APB =90°,即EB ⊥AF. 又EB ?平面EBC ,BC ?平面EBC , 且EB ∩BC =B ,所以AF ⊥平面EBC. 9.解:(Ⅰ)证明:由已知得:,DE AE DE EC ⊥⊥, DE ABCE ∴⊥面………(2分) DE BC ∴⊥, BC CE ⊥又,BC DCE ∴⊥面……………………(5分) (Ⅱ)证明:取AB 中点H ,连接GH ,FH , //GH BD ∴, //FH BC , //GH BCD ∴面, //FH BCD 面……………(7分) //FHG BCD ∴面面, //GF BCD ∴面 …………………………………(10分) (Ⅲ)分析可知,R 点满足3AR RE =时,BDR BDC ⊥面面 ……………(11分) 证明:取BD 中点Q ,连结DR 、BR 、CR 、CQ 、RQ 容易计算 513212,,,,2222CD BR CR DR CQ == ===, 在BDR 中 521 ,,22 22BR DR BD = == ,可知 52RQ =, ∴在CRQ 中,222 CQ RQ CR += ,∴CQ RQ ⊥……………………(13分) 又在CBD 中,,CD CB Q BD CQ BD =∴⊥为中点, CQ BDR ∴⊥面, BDC BDR ∴⊥面面…………………………………………(15分) (说明:若设AR x =,通过分析,利用BDC BDR ⊥面面推算出1 2x = ,亦可,不必再作证明) 2019年高三数学知识点总结:立体几何 由查字典数学网高中频道提供,2019年高三数学知识点总结:立体几何,因此老师及家长请认真阅读,关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台: 定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 2019-2020学年度第一学期高三调研测试 理科数学 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1.已知集合{} {}2 |230,|10A x Z x x B x x =∈--≤=->,则集合A B =( ) A. {2,3} B. {1,1}- C. {1,2,3} D. ? 【答案】A 【解析】 【分析】 解一元二次不等式求得集合A ,解一元一次不等式求得集合B ,由此求得A B 【详解】由()()2 23310x x x x --=-+≤,解得13x -≤≤,所以{}1,0,1,2,3A =-.{}|1B x x =>.,所以{2,3}A B =. 故选:A 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算,考查一元二次不等式的解法,属于基础题. 2.己知 ()2,m i n i m n R i -=+∈,其中i 为虚数单位,则m n +=( ) A. 1- B. 1 C. 3 D. 3- 【答案】D 【解析】 【分析】 整理等式为21m i ni -=-,等号左右两边实部、虚部对应相等,进而求得m n + 【详解】由题,21m i ni -=-,所以1 2m n =-??=-? ,则123m n +=--=-, 故选:D 【点睛】本题考查相等的复数,考查复数的实部与虚部的定义,属于基础题 3.已知向量a ,b 满足1a =,27a b +=,且a 与b 的夹角为60?,则b =( ) A. 1 B. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 对2a b +作平方处理,整理后即可求得b 【详解】由题,2 22 2 244441cos 607a b a a b b b b +=+?+=+????+=, 解得1b =, 故选:A 【点睛】本题考查向量的模,考查运算能力 4.已知数列{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,6353a a a +-=,则7S =( ) A. 42 B. 21 C. 7 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 利用等差数列的性质求出4a 的值,然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值. 【详解】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=, ()174 7772732122 a a a S +?∴===?=. 故选:B. 【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用,同时也考查了等差数列求和,考查计算能力,属于基础题. 5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图(90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生),则下列结论中不一定正确的是( ) 整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图 2015届高三数学(文)立体几何训练题 1、如图3,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于A 、B 的一点. ⑴求证:平面PAC ⊥平面PBC ; ⑵若PA=AB=2,∠ABC=30°,求三棱锥P -ABC 的体积. 2、如图,已知P A ?⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,AB =2,C 是⊙O 上一点,且AC =BC =P A ,E 是PC 的中点,F 是PB 的中点. (1)求证:EF 3、如图,四棱柱1111D C B A ABCD -中,A A 1?底面ABCD ,且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6,且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . (1)证明:EC D A 111A ABB 4、如图,已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1,AA 1=AB =2a ,D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点. (1)求证:DE ∥平面ABC ; (2)求证:AE ⊥BD ; (3)求三棱锥D —A 1BA 的体积 . 5.如图,矩形ABCD 中,3AB =,4=BC .E ,F 分别在线段BC 和AD 上,EF ∥AB , 将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩形为MNEF ,且平面⊥MNEF 平面ECDF . (Ⅰ)求证:NC ∥平面MFD ; P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F F E A (Ⅱ)若3EC =,求证:FC ND ⊥; (Ⅲ)求四面体CDFN 体积的最大值. 6、如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ,AP=AC, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且BC (Ⅰ)求证:D E ⊥平面PAC ; (Ⅱ)若PC ⊥AD ,且三棱锥P ABC -的体积为8,求多面体ABCED 的体积。 7、如图:C 、D 是以AB 为直径的圆上两点,==AD AB 232,BC AC =,F 是AB 上一点, 且AB AF 3 1 =,将圆沿直径AB 折起,使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上,已知2=CE . (1)求证:⊥AD 平面BCE ; (2)求证://AD 平面CEF ; (3)求三棱锥CFD A -的体积. 8、如图甲,在平面四边形ABCD 中,已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =,现将四边 形ABCD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BDC (如图乙),设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点. (1)求证:DC ⊥平面ABC ; 2015届高三数学立体几何专题训练 1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 解析:选A. 原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V =4×2×2+1 2 π×22×4=16+8π. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析:选A. 如图,作出球的一个截面,则MC =8-6=2(cm), BM =12AB =1 2 ×8=4(cm). 设球的半径为R cm ,则R 2=OM 2+MB 2=(R -2)2+42,∴R =5, ∴V 球=43π×53=500π 3 (cm 3). 3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ?α,l ?β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 解析:选D. 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l ,故选D. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析:选A.法一: 如图,连接AC ,交B D 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ,所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC =C ,所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面B D C 1,连接D H ,则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影,所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由 等面积变换易求得CH =23.在Rt △C D H 中,s in ∠C D H =CH CD =2 3 . 法二: 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D(0,0,0),C (0,1,0), B (1,1,0), C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→ =(0,1,2). 设平面B D C 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ⊥DB →,n ⊥DC 1→ ,所以有????? x +y =0,y +2z =0, 令y =-2,得平面B D C 1的一个法向量为n =(2, -2,1). 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ,则s in θ=|co s n ,DC → =???? ??n ·DC →|n ||DC →|=23. 5.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体 的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长,h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线 为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥:有一个面是多边形,其余各面是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。 2017年广东省东莞市中考数学试卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.5的相反数是() A.B.5 C.﹣D.﹣5 2.“一带一路”倡议提出三年以来,广东企业到“一带一路”国家投资越来越活跃,据商务部门发布的数据显示,2016年广东省对沿线国家的实际投资额超过4000000000美元,将4000000000用科学记数法表示为() A.0.4×109B.0.4×1010C.4×109D.4×1010 3.已知∠A=70°,则∠A的补角为() A.110°B.70°C.30°D.20° 4.如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根,则常数k的值为() A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2 5.在学校举行“阳光少年,励志青春”的演讲比赛中,五位评委给选手小明的平分分别为:90,85,90,80,95,则这组数据的众数是() A.95 B.90 C.85 D.80 6.下列所述图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A.等边三角形 B.平行四边形 C.正五边形D.圆 7.如图,在同一平面直角坐标系中,直线y=k1x(k1≠0)与双曲线 y=(k2≠0) 相交于A,B两点,已知点A的坐标为(1,2),则点B的坐标为() A.(﹣1,﹣2)B.(﹣2,﹣1)C.(﹣1,﹣1)D.(﹣2,﹣2)8.下列运算正确的是() A.a+2a=3a2B.a3?a2=a5 C.(a4)2=a6D.a4+a2=a4 9.如图,四边形ABCD内接于⊙O,DA=DC,∠CBE=50°,则∠DAC的大小为() A.130°B.100°C.65°D.50° 10.如图,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF,下=S△ADF;②S△CDF=4S△CEF;③S△ADF=2S△CEF;④S△ADF=2S△CDF,其中正确的是列结论:①S △ABF () A.①③B.②③C.①④D.②④ 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 11.分解因式:a2+a=. 12.一个n边形的内角和是720°,则n=. 13.已知实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则a+b0.(填“>”,“<”或“=”) 14.在一个不透明的盒子中,有五个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,随机摸出一个小球,摸出的小球标号为偶数的概率是. 15.已知4a+3b=1,则整式8a+6b﹣3的值为. 16.如图,矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3,先按图(2)操作:将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在边AB上的点E处,折痕为AF;再按图(3)操作,沿过点F 的直线折叠,使点C落在EF上的点H处,折痕为FG,则A、H两点间的距离为. 2020年东莞市普通高中毕业班模拟自测 理科数学 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1. 已知集合{}{ }2 230,210A x x x B x x =+-<=->,则A I B= A 1)2(-3, B. (-3,1) C. 1(,1)2 D. 1(,3)2 2. 设复数z 满足1iz i =+, 则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一像限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 玫瑰花窗(如右图)是哥特式建筑的特色之一,镶嵌着彩色玻璃 的玫瑰花窗给人以瑰丽之感.构成花窗的图案有三叶形、四叶形、 五叶形、六叶形和八叶形等.右图是四个半圆构成的四叶形,半 圆的连接点构成正方形ABCD ,在整个图形中随机取一点,此 点取自正方形区域的概率为 A. 22π+ B. 11π+ C. 42π+ D. 2 1 π+ 4. 己知定义在R 上的奇函数f (x ), 当x >0时,2()log x f x =;且 f (m )=2,则m = A. 14 B.4 C.4或14 D.4或14 - 5. 已知平面向量a r 、b r 的夹角为135°, 且a r 为单位向量,(1,1)b =r ,则a b +=r r A. 5 B. 32. C.1 D. 32 6. 已知F 1、F 2分别为椭圆C: 22 22+1(0)x y a b a b =>>的左、右焦点,过F 1且垂直于x 轴的直线l 交 椭圆C 于A ,B 两点,若?AF 2B 是边长为4的等边三角形,则椭圆C 的方程为 A. 22143x y += B. 22 196x y += C. 221164x y += D. 22 1169 x y += 7.定义运算a b *为执行如图所示的程序框图输出的S 值,则 高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1.直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α=a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β,a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系: 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义:直线l与平面α内的都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线,则这两个平 面垂直 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直,则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图,已知三棱锥A BPC -中,,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点,D 为PB 中点, 且△PMB 为正三角形。(Ⅰ)求证:DM ∥平面APC ; (Ⅱ)求证:平面ABC ⊥平面APC ; (Ⅲ)若BC 4=,20AB =,求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C高三数学知识点总结:立体几何
广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题(解析版)
届高三文科数学立体几何专题训练
2015届高三数学立体几何专题训练及详细答案
高中数学立体几何专题
2017年度广东地区东莞市中考数学试卷(含详解)
广东省东莞市2020届高三4月模拟自测数学(理)【带答案】
高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)
2020高考数学专题复习----立体几何专题