圆锥曲线的性质研究
一．引言和引理
本文的主要目的是想把圆锥曲线的性质的研究, 建立在少数几个引理之上.
尽可能多地使用用欧式平面几何的方法,而不是一味地使用直角坐标方法计算.
我们先证明几个引理(其中的引理2相当于圆锥曲线的统一定义,本文中将圆视为 特殊的椭圆)
过P 的与直线l 平行(或重合)的直线交给定圆锥曲线Ω于点,.A B 我们称PA PB ?为P 关于Ω沿定向l 的幂,记为(,)P l Ω或简记为().P l (对闭凸曲面或曲线也可类似定义此幂)
引理1 过一点P 向给定圆锥曲线引两条定向直线12,,l l 分别交其于1122,;,.A B A B 求证： 比值
111222()
()
PA PB P l PA PB P l ?=
?与点P 无关. (此引理对任意n 次代数曲线、曲面都成立，可以类似下面证明)
引理1的证明：直线1l 的参数方程是0101cos ,sin x x t y y t αα=+=+， 其中P 的坐标为00(,).x y
设给定二次曲线方程为(,)0,f x y =则有
2010111(cos ,sin )0(*)f x t y t a t bt c αα++=++=
其中211(cos sin )a f x y
αα??
=?
+??是与00,x y 无关常数,00(,)c f x y =与定方向1α无关. 上述关于t 的二次方程两个根为12,,t t 利用韦达定理知道11121
,c
PA PB t t a ?==
2l 的倾斜角为2α，对应的二次方程为2220,a t b t c ++=同样有222
,c PA PB a ?=
于是
112
221
PA PB a PA PB a ?=?与点00(,)P x y 无关,仅与定方向12,αα有关.
(具体计算的结果此比值为222
22
1
1sin 1sin e e αα--,,e α分别表示曲线离心率,定方向与准线夹角) 引理1（关于椭圆情形）的另一证明 过椭圆中心作两天条直线'
'
12,,l l 分别与12,l l 平行，
且与椭圆分别相交与'''
'
1
1
22,;,.A B A B 只需证明 ''
1111''
2222
.PA PB OA OB PA PB OA OB ??=?? 利用仿射变换将椭圆变为相同中心O 的半径为r 的圆，仿射变换:.M M ττ→利用仿射变换保比性质知道
11221122''''''''
11112222,,,,P A P B P A P B PA PB PA PB OA OA OB OB OA OA OB OB ττττττττ
ττττ==== 于是要证明''1111''2222,PA PB OA OB PA PB OA OB ??=??只需证明''21111''
22222 1.P A P B OA OB r P A P B OA OB r ττττ
ττττττ
ττ??===?? 这就是关于圆的割线定理或相交弦定理.
引理2 ABCD 四边形内接于圆锥曲线Ω,M 为Ω上异于,,,A B C D 一动点，
M 到ABCD 四边所在直线的有向距离依次为,1,2,3,4.i d i =
求证 比值13
24
M d d d d λ=
是与点M 无关的常数. 反之有向距离比值
13
24
d d d d 为非零常数的点M 的轨迹是圆锥曲线.
证明:利用圆锥曲线的射影定义有,线束的交比(,|,)MA MC MB MD 与其上动点M 无关，而
2413sin sin (,|,),sin sin AMD CMB CMD AMB S S d d AMD CMB BC DA
MA MC MB MD CMD AMB S S d d AB CD
?????∠?∠?=
==?∠?∠??
于是可得到引理2的证明.
利用引理2可以证明以下结论
推论L2.1 如果引理2中(1,2,3,4)i K i =分别是直线,,,AB BC CD DA 的点,且
i MK 有定向,有向线段i MK 的长度记为i l , 则比值13
24
M l l l l μ=
为与M 无关的常数.
推论L2.2 如图2中, 圆锥曲线的内接四边形ABCD ,.BC EF 则有等式
.EG EH EK
FG FH FK
?=?
推论L2.3 如图3,,AB AC 与圆锥曲线相切于,,B C BC 的平行线交,AB AC 于,,D E 交曲线于,.D E 求证.DM EN =
证明：圆锥曲线上任意的点,P 其到,,AB AC BC 的距离分别为12,,d d d . 对内接退化四边形B B C C 应用引理2得到
12
2
P d d d
λ=
为定值,由此得到22
sin sin sin sin ,M N
DM EM B C DN EN B C
d d λλ????=
==即有 ()().DM EM DN EN DE DM DM DM EN EN DM EN ?=??-=-?=
由它不难得到如下的
推论L2.4圆锥曲线平行弦的中点轨迹是一条直线，过任一弦两端的两切线的交点在此直线上.
推论L2.5 如图3中,过A 作直线l 交曲线于,,G H 交切点弦于.K 则
.AG AH
GK HK
= 引理3 每条闭凸曲线都存在两条切线(支撑线),它们与切点(支撑点)连线垂直. 作平行切线,切线与切点连线夹角是切点的连续函数,利用连续性不难获得结论. 也可以通过曲线上两点间距离的极值性来获得证明.
1.应用引理推导二次曲线方程：
设二次曲线两条切线12,,l l 切点121212,,,.A A A A l l ⊥ 对退化四边形1122A A A A 应用 引理2可知曲线关于直线12,A A 及12A A 的中垂线都是对称的. 可以通过对称及引理1(或引理2)得到曲线的方程：
设12(0,0),(2,0),(,0),(,0),A A a B m M x 过,B C 的x 轴的垂线交曲线于
1212(,),(,);(,),(,).B m n B m n M x y M x y --
利用引理1有：2212121212,,(2)(2)
BB BB MM MM n y k BA BA MA MA m m a x x a ??--===??--
其中2(2)
n k m a m =-为非零常数,则2
(2)0kx x a y -+=(a 有限,表示椭圆或双曲线,
适当平移,或建系时把原点放在12A A 中点就可以得到标准方程);
在方程22(2)(2)n y m m a x x a --=--中令2
,,2n a p m →+∞=我们得到抛物线的标准方程
22.y px = (利用引理2的推导留给大家)
2.圆锥曲线的高中课本上的两个定义或性质的导出：如下图中,12A A 同上所述,它所在直线也是曲线的一条对称轴,12A A 的中点为.O
记号同1中,设122,,A A a MF r ==同样我们知道
2
212CM CR b k CA CA a
?==±?为常数,0k >时,0;b a <≤1,.1a
FO c a k BO k
==-=
- 这样利用12CM CR k CA CA ?=?得到22sin ,1.(cos )(cos )
r k c k a c r a c r θ
θθ==--++-
即2222[(1)cos 1]21cos 0,k r ak k r k a θθ--+-?+= 解得
(11cos ),k r ka θ--=或(11cos ).k r ka θ+-=-
不难得到：
1,||
1|cos |1MF r
r
c
k e a
MN BF FC a
a k r k
θ===-=
=+--+-
我们得到圆锥曲线的用焦点和准线的统一定义.
对于抛物线情形由1知道2
20,(2)
2n n p
k m a m am a
=
=→-即抛物线的离心率 1.e = 对于椭圆或双曲线,添上右侧交点'
F 和准线, 不难得到'
||2.MF MF a ±= 加上引理1，引理2的逆,其实我们得到了圆锥曲线的四种等价定义.
二．综合应用（圆锥曲线性质研究）
1.一些新的结论
引理1,2通过下面的定理1联系起来
定理1 引理2中的常数1324()()
.()()
M d d P BC P DA d d P AB P CD λ?=
=±?(其中P 可取为曲线Ω内部任意一点, 从引理1知此比值与P 无关)
证明：如图1中记号,M 是曲线上任意一点,N 是曲线上满足''
1313''2424
M N d d d d d d d d λλ===
('
,1,2,3,4i d i =为N 到四边形ABCD 相应边的距离)异于M 的一点. 直线MN 交ABCD 的四边于,
,,E F G H , 各符号意义见图4中所示.
利用''1122sin ,sin ,sin ,sin ,d EM d EN d FM d FN ααβα=?=?=?=?
''3344sin ,sin ,sin ,sin ,d GM d GN d HM d HN γγδδ=?=?=?=? 于是利用M N λλ=,
我们有''222
1313''22
2424()()sin sin .()()sin sin M
M N d d d d EM EN GM GN d d d d FM FN HM HN αγ
λλλβδ
??==?=??? 然而由正弦定理有
sin sin sin sin ,,,,sin sin sin sin FB HA FC HD
EB EA GC GD
ααγγβδβδ==== 于是相乘得到2222sin sin ()()
,
sin sin ()()FB FC HD HA EA EB GC GD αγβδ??=??
我们得到
2()()()()
,()()()()
M EM EN GM GN FB FC HD HA FM FN HM HN EA EB GC GD λ????=
????? 然而利用引理1有
()(),,()()EM EN P MN GM GN P MN EA EB P AB GC GD P CD ??==??()()
,,
()()FB FC P BC HD HA P DA FM FN P MN HM HN P MN ??==??
2()()()()
()()()()
M M P BC P DA P BC P DA P AB P CD P AB P CD λλ??=
?=±
??为常数. 可见引理1可以得出引理2, 引理1的逆也成立,是圆锥曲线的另一种统一定义. 推论T1 圆上任意一点到其内接四边形两对边距离乘积相等(1324d d d d =). 推论T2 如下图，中心为O 的圆锥曲线外一点A ，过它的两条切线的切点为,.B C 曲
线上一动点,M ,,.M D B C M E A C M F A B ⊥⊥⊥ 中心半径,,OG OH OK 满足
,,.O G B C O H
A B O K A C 求证
2
2.ME MF OG MD OK OH
?=?
对椭圆的内接退化四边形BBCC 应用定理1即可,P 取为中心O . 曲线退化为圆时，它就成了2
.MD ME MF =?
定理2（中切椭圆性质）
如下图5中椭圆与ABC ?的三边相切于三边中点,,D E F
（笔者称之为ABC ?的中切椭圆）.三角形的面积记为,S 椭圆的长、短半轴长为,.T T μν
24
22
1
,.2
p a q a b c
=
=-∑∑∑
求证 (1);33
S T T μν?=
22,;6()6()
S S
T T p q p q μν=
=-+
(2);;1818
p q
p q
T T μν+-=
= (3),
,.323
323
v p a S c a b c T T p μ≥≥≤<
<≤
证明：记222
2(),.2
a b c a m AD AD EF H +-==?=
利用一下仿射变换将椭圆化为圆,此时ABC ?变为等边，G 将变为圆心. 于是重心G 是中切椭圆中心.
M 为椭圆上一动点，,GM ρ=max min ,.T T μνρρ==
过M 分别作,,.MR AC MS
AB MT AD
利用引理2之推论 2.1L 得到22
(*)M D
a MR MS bc
MT m μμ?=
== 设,GM xAB yAC =+ 则222222||2cos .GM c x b y bc A xy ρ==++? 可得11()(),33
AM AG GM x AB y AC =+=+++于是得到
11
(),().33
MR AS y b MS x c ==+=+ 又不难知道()(),GM x AD EF y AD EF =++-
HM =11
()(),66
GM GH GM AD x y AD x y EF -=+=+++-
11
|()|||,66a MT x y AD x y m =++=++
利用(*)得到2111()()()336x y x y ++=++?221
,12
x xy y ++=
而2
22
2
2
2cos ,c x b y bc A xy ρ=++? 于是得到
2222222222(12)(12)(12)0,c x b c a xy b y ρρρ-++--+-=于是由判别式法知
2212,12v T T μ是一元二次方程22222224()()()0(12)b t c t b c a t t ρ---+--==的两个根，
方程即2
2222241
32
160,(2).16
t a t S S b c a -?+==
-∑∑ 利用它不难得到题中所有结论,此略.
定理3(中切椭圆与九点圆之交点)
ABC ?的九点圆J 与中切椭圆的第4交点(其余的是三边中点)为,X 则
2
22222(),()0.c b OA
OX c b ωω
-=
=-≠∑∑
证明: 记O 为ABC ?的外心.
由前设111()()(),3
3
3
GX xAB y AC OX x y OA x OB y OC =+?=--++++
将面积坐标111(,,)333X x y x y --++代入附录一中的九点圆J 的方程(6):
2
11()()022y z a --=∑中得到 222111111
()()()()()()0,666666
x y a y x y b x x y c ----++--++=注意到
中切椭圆条件(见定理2中的证明过程)221
,12
x xy y ++= 不难得到
111111
()()()()()(),666666x y y x y x x y --=-+++-++于是我们有
.0)])(6
1
())(61)[(61(2222=--+--++c a x b a y y x
由221011116
(,)(,),(,).1
366312
x y x y x xy y ?++=???=--?
?++=?? 这两组解对应着图5的两边中点,.E F
由22222211()()()()066112
y a b x a c x xy y ?--+--=????++=?? 记2222
,a c k a b
-=--方程组的解为222
21122122(,)(,),(,).666(1)6(1)k k k k x y k k k k ----=++++ 第1组解对应于BC 中点,D 后一组对应于,X 可求得
222
22
2222
()1[(1)],().2(1)c b OA OX k OA k OB OC c b k k ωω
-=+++==-++∑∑
当,;,a b c X F a b c =≠≡==椭圆与九点圆重合. 由定理3的的后面的叙述,我们可以得到
推论 3.1T
(1)X 在中切椭圆上?222
1
[(1)],;2(1)
OX k OA k OB OC k R k k =
+++∈++ (k =∞按极限意义理解) 或者叙述成对称的形式
222222
,0.r OA s OB t OC OX r s t r s t ++=++=++
(2)中切椭圆的重心坐标方程为2222220,x y z xy yz zx ++---= 重心为其对称中心.
由(1)知道222222
,0,r OA s OB t OC
OX r s t r s t
++=++=++ 而4
4
4
22
22
22
2()()
()0,r s t r s s t t r r s t r s t ++-++=-+++-=∏
222
222
,,,r s t x y z r r r ===∑∑∑ 可知中切椭圆重心坐标方程为 2222220.x y z xy yz zx ++---=(ABC ?等边时是一个圆)
定理4 三角形的内切椭圆的重心坐标方程为
2222221231223312220,x y z xy yz zx λλλλλλλλλ++---= 切点分三边,,AB BC CA
所成的比分别为
3
12231
,,,λλλλλλ椭圆的中心233212(,,).λλλλλλ+++ 证明：2222221231223312220x y z xy yz zx λλλλλλλλλ++---=与边
:0AB z =的切点21(,,0)F λλ, 它分AB 所成的比为
1
2
,FAC FBA S AF FB S λλ??== 同样 可证明切点分三边,BC CA 所成的比分别为
3
231
,,λλλλ不难由方程得到,,0x y z ≥, 2222221231223312220x y z xy yz zx λλλλλλλλλ++---=上的点都在ABC ?内部
或边上, 于是它代表内切椭圆. 不妨设
1
1,
x λ==∑∑(,,)f x y z =222222123122331222.x y z xy yz zx λλλλλλλλλ++---
点233112(,,)λλλλλλ+++面积坐标即233112
(
,
,
),(,,)2
2
2
x y z λλλλλλ+++关于它的中心
对称点为233212(,,).x y z λλλλλλ+-+-+-
233112(,,)f x y z λλλλλλ+-+-+-
22123233112()2()()(,,).
x y z f x y z λλλλλλλλλ=+--+-+-=∑∑
此椭圆的对称中心点为233112(,,).λλλλλλ+++
推论 4.1T M 在ABC ?的内切椭圆
2222221231223312220x y z xy yz zx λλλλλλλλλ++---=上 222233112222233112,0r OA s OB t OC
OX r s t r s t λλλλλλλλλλλλ++?=++=++
2223311222
233112
(1),[,].(1)k OA k OB OC
OX k k k λλλλλλλλλλλλ+++?=∈-∞+∞+++ 推论 4.2T 内切椭圆2222221231223312220x y z xy yz zx λλλλλλλλλ++---= 的长,短半轴,T T μν由下列式子给出：,,88
p q
p q
T T μν+-=
=其中 22
1121323
22
1232
3
11()64,.()()a p q p S λλλλλλλλλλλλ++-=
=-
∑∑∑
证明：自然约定
11,x λ==∑∑椭圆中心Ω的面积坐标233112
(
,
,
).
2
2
2
λλλλλλ+++
设,(,,).M uAB vAC M x y z Ω=+(M 在椭圆上) 则可以得到23
31
12
,,.2
2
2
x u v y u z v λλλλλλ+++=
--=+=
+ 将它代入内切椭圆方程中
化简得到2
2
2
2
12123131231
()2()().u uv v λλλλλλλλλλκ
++-++==
222222222||(),M c u b c a uv b v ρ=Ω=++-+ 于是两式相乘得到
2222222222221212313[()][2()][()]0,c u a b c uv b v κρλλκρλλλκρλλ+-+-+--++-=
由判别式法知2
2
,T T μνκκ是下列二次方程的两个根：(2
t κρ=)
2222222212131234[()][()][2()]0.t c t b t a b c λλλλλλλ+-+---+--=
整理为
2221231
1
()0.4
t a t S λλλκ
-
-?+=∑ 可求得,,88
p q
p q
T T μν+-== 其中2
2
21
23
11(),64, 1.p a q p S λλλλλ=
-=-=∑∑∏
齐次化,去掉约束条件即22
1
12132322
1232
3
11()64,.()()a p q p S λλλλλλλλλλλλ++-=
=-
∑∑∑
推论 4.3T 锐角ABC ?垂足内切椭圆的重心坐标方程为
2
2222222222()2()()0.b
c a x c a b a b c yz +--+-+-=∑∑
我们定义2
2
2
1,b c a λ=+-类似定义23,,λλ即有223
,...,2
a λλ+=
设1
2
123
3
,,.u v w λλλλλλ=
==∑∑ 利用推论 4.2T 知此椭圆的长短半轴
,,8
8
p q
p q
T T μν+-=
= 其中 22
1
12132322
1232
3
11()16,4,.()()a p q p r r S λλλλλλλλλλλλ++-=
=-=
∑∑∑
2
1121323232
22
1()()
323,()uv w v w
p u u u
λλλλλλλλλλ++-++=
=
=+?∑∑123233321()vw v w
r u u u
λλλλλλ=
==?∑∑, 可见对于不同的三角形要具有大小形状完全相同的
垂足内切椭圆(,T T μν相同),充要条件是对应的
2
,v w
u u 相同. 而垂足三角形周长为222
2
822()S v v u L abc uv w v u w u
?===--也相同. 又222
22222
()16,()b c a v S w u a u a +-==∏∑∑.故我们不难有如下的两个有趣的推论
4.2 解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2 －2y 2 ＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A. ????22，0 B.????52，0 C.??? ?62，0 D ．(3，0) 解析：∵原方程可化为x 21－y 2 1 2＝1，a 2＝1， b 2＝12， c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴右焦点为????6 2 ，0. 答案：C 2．(2010·天津)已知双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个 焦点在抛物线y 2 ＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2 108－y 2 36＝1 D.x 2 27－y 2 9 ＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴b a ＝ 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③ 由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 2 27＝1. 答案：B
4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝() A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－3(x－2)， 当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)． 当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6， ∴P(6,43)， ∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B. 解法二：∵P A⊥l，∴PA∥x轴． 又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°， 又由抛物线定义知P A＝PF， ∴△P AF为等边三角形． 又在Rt△AFF′中，FF′＝4， ∴F A＝8，∴P A＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为() A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，BA P A DC PC ，从而 PC＝2P A.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得(x－5)2＋y2＝2(x＋5)2＋y2 化简得x2＋y2＋50 3 x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆．
圆锥曲线的概念及性 质
第二讲 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A.?? ??22，0 B.????52，0 C.??? ?62，0 D ．(3，0) 解析：∵原方程可化为x 21－y 2 1 2＝1，a 2＝1， b 2＝12， c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴右焦点为??? ? 62，0. 答案：C 2．(2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一 个 焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 2 27＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 2 9 ＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴ b a ＝ 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③ 由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 2 27＝1. 答案：B
4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝ () A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－3(x－2)， 当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)． 当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6， ∴P(6,43)， ∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B. 解法二：∵P A⊥l，∴P A∥x轴． 又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°， 又由抛物线定义知P A＝PF， ∴△P AF为等边三角形． 又在Rt△AFF′中，FF′＝4，
椭圆 必背的经典结论 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两 个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角 形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 222 2 1x y a b + =（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. A B 是椭圆 2222 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22 O M AB b k k a ?=- ， 即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + .
圆锥曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求 导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF
9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上 根据第8条，证毕 10. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。（点差法）
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<
For pers onal use only in study and research; not for commercial use 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 . For pers onal use only in study and research; not for commercial use 椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 椭圆 点P处的切线PT平分△ PF1F2在点P处的外角. PT平分△ PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若 F0(X 若 P0(X0 2 x ,y0)在椭圆一亍 a 2 、x ,y0)在椭圆一2 a 2 2 2 2 y - b y - b =1上，则过P0的椭圆的切线方程是一0厂?辔=1. a b =1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦 2 x 椭圆 一2 a 2 x 椭圆一 2 a 2 2 2 2 y b y - b =1 (a>b> 0)的左右焦点分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点一RPF2 - =1 ( a > b> 0)的焦半径公式： P1P2的直线方程是°2 - =1. a b 戈，则椭圆的焦点角形的面积为S A：1PF2 = b2 tan—
|MF i |=a ex o ,|MF 2p a-( Fj-c,0) , F 2(c,0) M (心 y °)). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，贝U MF 丄NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A i 、A 2为椭圆长轴上的顶点， A i P 和A 2Q 交于点M , A 2P 和A i Q 交于点N ，则MF 丄NF. 2 2 2 2 -2 y ^ = 1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是一2 y^ - ―02 - a b a b a b 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线 相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支) 2 2 5. 若F 0(x 0, y 0)在双曲线 令-占=1( a > 0,b > 0)上，则过F 0的双曲线的切线方程是 彎一呼 =1. a b a b 2 2 6. 若i =0(x 0, y 0)在双曲线—~2 ^2 -1(a >0,b >0)外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦 P 1P 2的直线方程是■X 0，__y°y = 11. AB 是椭圆 即 K AB 2 2 a 2 b 2 b 2X 0 —2 。 a y ° =1的不平行于对称轴的弦， M (x 0, y 0)为AB 的中点，_则k OM k AB = b 2 ~2 ， a 12. F 0(X o ， y o )在椭圆 2 2 7占=1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是翠晋色 止 a 2 b 2 13. F 0(x 0,y °)在椭圆
圆锥曲线的基本定义性质与结论 考点一 圆锥曲线的定义 (一) 椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2.椭圆的标准方程： ①x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21 c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． ② y 2a 2+ x 2b 2 =1(a >b >0)，焦点是()()0,0,21c F c F ，-，且c 2=a 2?b 2． 3.椭圆的几何性质（用标准方程x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)研究）： 1）范围：?a ≤x ≤a ，?b ≤y ≤b ； 2）对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； 3）椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的2121,,,B B A A ； 4）长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的A 1A 2；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段B 1B 2． 5）椭圆的离心率：e =c a ，焦距与长轴长之比，0
圆锥曲线的性质 、基础知识 （一）椭圆： 1定义和标准方程： （1）平面上到两个定点F U F2的距离和为定值（定值大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆，其中F1, F2称为椭圆的焦点，F1F2称为椭圆的焦距 （2）标准方程： ①焦点在x轴上的椭圆：设椭圆上一点P x,y ，F1 -c,0 , F2C,0，设距离和 2 2 PF i PF2 = 2a，则椭圆的标准方程为：-y2 =1，其中a b 0,b2二a2 - c2 a b ②焦点在y轴上的椭圆：设椭圆上一点P x,y ，F10^C ,F20,C，设距离和 2 2 PFi +|PF2；=2a，则椭圆的标准方程为：专+令二丨，其中（a Ab>0,b2=a2—c2） a b 焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大 2 2 2、椭圆的性质：以焦点在x轴的椭圆为例：笃?爲=1 a b 0 a b （1）a:与长轴的顶点有关：A - a,0 ,A a,0 ，A A =2a称为长轴长 b :与短轴的顶点有关: BdO,-b）,B2（0,b ），IB1B2 =2b称为短轴长 C :与焦点有关：斤（—c,O ）F? （c,O ）, F1F2 =2c称为焦距 （2）对称性：椭圆关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称 （3）椭圆上点的坐标范围：设P x O,y O，则-a乞x O空a,-b乞y O乞b （4）通径：焦点弦长的最小值 ①焦点弦：椭圆中过焦点的弦 2b2 ②过焦点且与长轴垂直的弦，PQ|=—— a 说明：假设PQ过F r；_c,O ，且与长轴垂直，则P：L c, y O ,Q1. —c, - y O，所以
= (|PF i | +IPF 2I ) -2 PF 』PF 2 (1 +COSF 1PF2 ) .4c 2 =4a 2 -2 PF j|PF 2 1 cosFfF 2 PF 」|PF 2 = " _2c 1 +cosF 1PF 2 1 +cosF 1PF 2 比 2 .込各比出n 吐 1 COS RPF 2 2 F 1,F 2距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支 2、标准方程: 厶 + 卑=1 二 y ； =3，可得 y 。-。则 PQ = a b a a 2b 2 (5) 离心率：e = c ，因为c a ，所以e - 0,1 a (6) 焦半径公式：称 P 到焦点的距离为椭圆的焦半径 ①设椭圆上一点 P(x 0,y 0 )，则 PR =a+ex), PF 2 ②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为 (7)焦点三角形面积： S P FF 2二b 2 tan ；(其中n 1 证明：S PF ^- PF 1 - PF 2 sinRPF 2 2 + PF 且 F 1F 2 2 -2 PF 1H PF 2 cosRPF ? =a - e)(Q (可记为“左加右减”) a c ，最小值为a - c =PF 1F 2) 2b 2 1 〈PFf =2 PF 1 ' PF 2 1 sin F ]PF 2 : 2 1 cosPF F 2b 2 sin F |PF 2 1 因为 S PF/2 = 2 2c F 1PF 2 We%，所以2 =c y o ，由此得到的推论: ①.F 1PF 2的大小与 y 0之间可相互求出 ②? F 1 PF 2的最大值: F 1 PF 2 最大二 S PF 1 F 2 最大二 y o 最大=P 为短轴顶点 (二) 双曲线: 1、定义：平面上到两个定点 F 「F 2距离差的绝对值为一个常数(小于 F 1F 2)的点的轨迹 称为双曲线，其中 h,F 2称为椭圆的焦点, F 1F 2称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是002 21x x y y a b +=. 6. 若000 (,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为12 2 tan 2F PF S b γ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2 OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。
第二讲 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A.?? ??22，0 B.????52，0 C.??? ?62，0 D ．(3，0) 解析：∵原方程可化为x 21－y 2 1 2＝1，a 2＝1， b 2＝12， c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴右焦点为??? ? 62，0. 答案：C 2．(2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个 焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 2 27＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 2 9＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴b a ＝ 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③ 由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 2 27＝1. 答案：B
4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝() A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－3(x－2)， 当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)． 当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6， ∴P(6,43)， ∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B. 解法二：∵P A⊥l，∴P A∥x轴． 又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°， 又由抛物线定义知P A＝PF， ∴△P AF为等边三角形．
4.2解析几何--圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为 ( A. B. C. D．(，0 解析：∵原方程可化为－＝1，a2＝1， b2＝，c2＝a2＋b2＝， ∴右焦点为. 答案：C 2．(2010·天津已知双曲线－＝1(a>0，b>0的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为 ( A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：∵渐近线方程是y＝x，∴＝.① ∵双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上， ∴c＝6.② 又c2＝a2＋b2，③ 由①②③知，a2＝9，b2＝27， 此双曲线方程为－＝1. 答案：B
4．(2010·辽宁设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ ( A．4 B．8 C．8 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－(x－2， 当x＝－2时，y＝4，4A(－2,4． 当y＝4时代入y2＝8x中，x＝6， 4P(6,4， 4|PF|＝|PA|＝6－(－2＝8.故选B. 解法二：5PA∞l，4PA%x轴．
又5 AFO＝60°，4 FAP＝60°， 又由抛物线定义知PA＝PF， 4≥PAF为等边三角形． 又在Rt≥AFF′中，FF′＝4， 4FA＝8，4PA＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 ( A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，＝，从而 PC＝2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2，则A(－5,0，C(5,0，设P(x，y，得＝2 化简得x2＋y2＋x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆． 答案：A 二、填空题 解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c Gandongle 椭圆双曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF 圆锥曲线性质的探讨 顺义十中 数学组 一．平行射影 【教学目标】 了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）. 【教学重点与难点】 教学重点：体会平行投影 教学难点：证明平面与圆柱面的截线是椭圆 ㈠.复习与引入 1、点在直线上的正射影 2、直线在直线上的正射影 ㈡.新课讲授 问题1：点、直线在平面上的正射影是什么呢？ 给定一个平面α A′ 称为点A 在平面α上的正射影. 那么，一条直线在平面上的正射影是什么样的图形呢？ 一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面上的正射影. 问题2β上的正射影是什么图形？ A ‘ N M A B A ‘ B ‘ 当平面α与平面β不平行时，圆在平面β上的正射影是什么图形？ 如果平面α ββ 如果取消 “垂直”的限定，那么正射影的概念可以作进一步推广。 设直线l 与平面 α相交，称直线l 的方向为投影方向。过A 点作平行于l 的直线（称为投影线）必交与一点A′,称点A′为A 一个图形上各点在平面上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影。 显然，正射影是平行射影的特例。 问题3：两条相交直线的平行射影是否还是相交直线？两条平行直线的平行射影是否还是平行直线？ 可以看出水平面是一个椭圆. 定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。 我们分析一下图中的水平面的结构，水平面的图形可看成是以杯子（圆柱）的母线为投影方向，杯口（圆）在水平面所在平面上的射影。其中，点A 的投影为点E,点D 的投影为F ，显然EF>AD 。与杯口（圆）的直径AD 垂直的直径ＧＨ在水平面上的射影ＰＱ的长度保持不变，因此ＥＦ＞ＰＱ，于是杯口（圆）的射影不是一个圆，而是椭圆. 怎样学好圆锥曲线（解析几何的高考热点与例题解析）圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始. 高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到： 1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容. 2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等. 3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查. 4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程. (1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量. (2)用好函数思想方法 对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法 坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练. 考点一求圆锥曲线方程 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题。 解决这类问题常用定义法和待定系数法。 ●思路方法：一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0). 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 【例题1】某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点。 已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m. 建立坐标系并写出该双曲线方程。 圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例1．已知P 是椭圆22x y 14 +=上的点，12F ,F 是椭圆的两个焦点，且12FPF 60∠=?，求12FPF ?的面积. 解答过程：依题意得：12PF PF 2a 4+==，在12 FPF ?中由余弦定理得 2221212PF PF 2PF PF cos60=+-?? ＝2 121212(PF PF )2PF PF 2PF PF cos60+-?-?? ， 解之得：124PF PF 3?=，则12 FPF ?的面积为121PF PF sin 602??=小结：（1）圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重； （2）求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中，正、余弦定理非常重要. 考点3. 曲线的离心率 曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e ＝a c ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁); (2) 双曲线的离心率e ＝a c ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大). 考点 利用向量求曲线方程 利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题： 练习．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使???,,成公差小于零的等差数列， （Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？ （Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，θ为PN PM 与的夹角，求tan θ． 解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得 (1,),PM MP x y =-=---),1(y x ---=-=， )0,2(=-= . 高考数学圆锥曲线性质总结 椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线 于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ， 则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的角. 圆锥曲线三大难点解读 山东 王中华 李燕 2006年高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识，还对最值与定值（定点）、求参数范围（或值）、存在与对称等问题加大了考查力度．本文对各地考题归类整理，并探讨这三大难点的求解策略． 难点一、最值与定值（定点）问题 圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点． 最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解． 定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）． 例1 （江西卷理21）如图1，椭圆2222:1(0) x y Q a b a b +=>>的右焦点(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 是线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）在Q 的方程中，令2 1cos sin a θθ=++， 2sin 0b θθπ? ?=< ?2??≤，确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远，此时，设l 与 x 轴交点为D ．当直线m 绕点F 转动到什么位置时，ABD △的面积最大？ 分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB 的斜率是否存在，注意到AB 与PF 共线，得方程为2 2 2 2 2 0b x a y b cx +-=；在第（2）问中，由2 a 、 2b 不难得到满足要求的1c =，为避免讨论直线m 的斜率是否存在，可设m 的方程为1x ky =+，再利用三角函数求出θ， ABD △的面积用A B ，纵坐标可表示为121 2 S y y =-， 当直线m 垂直于x 轴时，ABD △的面积最大． 点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高． 注：与最值相关的试题，还有江西卷理科第9题、北京卷理科第19题、全国卷I 理科第20题、文科第21题、山东卷文科第21题等． 例2 （全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A B ，是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>u u u r u u u r ．过A B ，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明FM u u u u r ·AB u u u r 为定值； 毕业论文 （2010 届） 题目圆锥曲线的性质 及其应用 学院数学与计算机学院 专业数学与应用数学（师范）年级2006级 学生学号12006242748 学生姓名王海强 指导教师胡有婧 2010年4 月19 日 目录 摘要 (1) 关键词 (1) 1.引言 (1) 2.圆锥曲线的性质 (2) 2.1圆锥曲线的基本性质 (2) 2.2圆锥曲线的光学性质 (4) 2.3由圆的性质引出的圆锥曲线的性质 (7) 2.3.1 蝴蝶定理 (7) 2.3.2 帕斯卡定理 (8) 2.4 与焦点弦相关的几条性质 (9) 3.圆锥曲线性质的应用 (11) 3.1基本性质的应用 (11) 3.2光学性质的应用 (12) 3.2.1解决一类“距离之和”的最值问题 (12) 3.2.2 圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用 (15) 3.2.3在生产生活中的作用 (16) 3.3由圆的性质引出的圆锥曲线的性质的应用 (17) 3.3.1蝴蝶定理的应用 (17) 3.3.2巴斯卡定理的应用 (19) 3.4 与焦点弦相关的几条性质的应用 (20) 4.总结 (22) 参考文献 (22) 数学计算机学院数学教育专业2010届王海强 摘要本文首先从圆锥曲线的产生和发展入手，对圆锥曲线的定义和圆锥曲线的部分性质进行了简要的概括．主要是利用平面解析几何的知识和数形结合思想，对圆锥曲线的基本性质、光学性质，由圆的性质推广得到的几条性质和与焦点弦有关的性质，进行了总结和证明，并且将它们在日常生活中的应用和在解题中的应用进行了简要说明． 关键词圆锥曲线；性质；应用 中图分类号O123.1 The Properties of conic and Application 圆锥曲线的定义及几何性质 1. 椭圆 222 2 1x y a b + =和 222 2 x y k a b + =(0)k >一定具有（ ） A ．相同的离心率 B ．相同的焦点 C ．相同的顶点 D ．相同的长轴长 2. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2 ABF ?是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A ． 2 B ． 3 C 2 D 3 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120M F M F ?= 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的 取值范围是（ ）A ．(01)， B ．1(0]2 ， C ．(02 D ．1)2 4. 过椭圆 222 2 1(0) x y a b a b + =>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若 1260F PF ∠=°，则椭圆的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．12 D ．1 3 5. 已知椭圆 2222 1x y a b +=的左、 右焦点分别为1F 、2F ，且12||2F F c =，点A 在椭圆上，1120AF F F ?= ，2 12AF AF c ?= ，则椭圆的离心率e = （ ） A ． 3 B ． 2 C 2 D 2 6. 已知P 是以12F F ，为焦点的椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>上的一点，若 120 PF PF ?= ， 121tan 2 PF F ∠= ，则此椭圆的的离心率为（ ） A ． 12 B ． 23 C ．1 3 D 3 7. 已知椭圆 2 2 15 x y m + = 的离心率e 5 =m 的值为（ ） A ．3 B ． 253 或3 C ． D 8. 椭圆的长轴为12A A ，B 为短轴的一个端点，若∠012120A BA =，则椭圆的离心率为（ ） A ． 12 B 3 C 3 D 2 9. 椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABC D 的内切圆恰好过椭 圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ） A ． 2 B ． 4 C 2 D 4 10. 设12F F ，分别是椭圆 222 2 1x y a b + =（0a b >>）的左、右焦点，若在直线2 :a l x c = 上存在P （其 中c =），使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．0, 2? ?? B ．0, 3? ? ? C ．,12????? D ．,13? ???? 11. 椭圆上一点A 看两焦点的视角为直角，设1AF 的延长线交椭圆于B ，又2||||AB AF =，则椭圆的 离心率e =（ ） A ．2-+ B ． C 1- D 12. 椭圆() 222 2 10x y a b a b + =>>的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点满足线 段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 13. A ．02? ? ? B ．102? ? ?? ?， C ．)11 ， D ．112 ???? ??， 14. 已知椭圆() 222 2 10x y a b a b + =>>，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F 为 椭圆的一个焦点． 若AB BF ⊥，则该椭圆的离心率为 （ ） 224416. 在ABC △中，A B B C =，7cos 18 B =- ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离 心率e = ． 17. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆 222 2 1(0) x y a b a b +=>>的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为 半径作圆M ．若过点20a P c ?? ? ?? ，作圆M 的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为 ． 18. 直线:220l x y -+=过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为_________． 19. 设12(0)(0)F c F c -，，，是椭圆 222 2 1(0) x y a b a b + =>>的两个焦点，P 是以12F F 为直径的圆与椭 圆的一个交点，若12 21 2PF F PF F ∠=∠，则椭圆的离心率等于________． 20. 椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的半焦距为c ，若直线2y x =与椭圆一个交点的横坐标恰为c ，椭圆 的离心率为_________ 21. 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A B ，两点，若 2ABF △是正三角形，则这个椭圆的离心率是_________．圆锥曲线经典性质总结及证明!!!
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怎样学好圆锥曲线知识讲解
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